专题2.6 二次函数（章节复习）（知识梳理+41个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共97题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义系统梳理二次函数核心知识，从概念、解析式（一般式、顶点式、交点式）到图像性质（开口、对称轴、顶点），再到与方程、不等式的联系及实际应用（拱桥、销售等），构建递进式学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 资料亮点在于41个细分考点覆盖基础到综合，结合中考真题与分层练习（基础夯实、培优拔高），通过实际问题（如销售利润、投球轨迹）培养模型意识与抽象能力，课中辅助教师精准教学，课后帮助学生查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

专题2.6 二次函数（章节复习） 【知识梳理+41个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共97题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：二次函数有关概念 3 知识点梳理02：二次函数的解析式 3 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 3 知识点梳理04：二次函数的图象与各项系数之间的关系 4 知识点梳理05：二次函数图象的变换 4 知识点梳理06：二次函数与一元二次方程 5 知识点梳理07：二次函数与不等式 5 知识点梳理08：二次函数的应用 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：列二次函数关系式 5 考点2：二次函数的识别 6 考点3：根据二次函数的定义求参数 6 考点4：y=ax²的图象和性质 6 考点5：y=ax²+k的图象和性质 7 考点6：y=a(x-h)²的图象和性质 7 考点7：y=a(x-h)²+k的图象和性质 7 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 7 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 8 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 10 考点11：y=ax²+bx+c的最值 11 考点12：二次函数图象与各项系数符号 12 考点13：根据二次函数的图象判断式子符号 12 考点14：一次函数、二次函数图象综合判断 13 考点15：反比例函数、二次函数图象综合判断 14 考点16：已知抛物线上对称的两点求对称轴 14 考点17：根据二次函数的对称性求函数值 15 考点18：二次函数图象的平移 15 考点19：图象法解一元二次不等式 16 考点20：利用不等式求自变量或函数值的范围 16 考点21：根据交点确定不等式的解集 17 考点22：待定系数法求二次函数解析式 18 考点23：图形问题(实际问题与二次函数) 19 考点24：图形运动问题(实际问题与二次函数) 20 考点25：拱桥问题(实际问题与次函数) 21 考点26：销售问题(实际问题与二次函数) 21 考点27：投球问题(实际问题与二次函数) 22 考点28：喷水问题(实际问题与次函数) 24 考点29：增长率问题(实际问题与二次函数) 25 考点30：其他问题(实际问题与次函数) 26 考点31：线段周长问题(二次函数综合) 27 考点32：面积问题(二次函数综合) 28 考点33：角度问题(二次函数综合) 29 考点34：特殊三角形问题(二次函数综合) 30 考点35：特殊四边形(二次函数综合) 31 考点36：相似三角形问题(二次函数综合) 32 考点37：其他问题(二次函数综合） 33 考点38：求抛物线与x轴的交点坐标 34 考点39：求抛物线与y轴的交点坐标 36 考点40：抛物线与x轴的交点问题 36 考点41：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 37 中考真题 实战演练 38 难度分层 拔尖冲刺 39 基础夯实 39 培优拔高 40 知识点梳理01：二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 知识点梳理02：二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 知识点梳理04：二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 知识点梳理05：二次函数图象的变换 (1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： (2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 知识点梳理06：二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 知识点梳理07：二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 知识点梳理08：二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 考点1：列二次函数关系式 【典例精讲】（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 【变式训练】（23-24九年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 考点2：二次函数的识别 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为 ． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数，一次项系数和常数项． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 考点3：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·浙江·假期作业）若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ． 考点4：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·开学考试）抛物线，和共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．图象都在某条与x轴平行的直线上方 D．抛物线呈下降趋势 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列关于二次函数的说法：①图像是一条抛物线；②图像开口向上；③函数的最大值是0；④一定过；⑤对称轴是x轴；⑥y随x增大而增大，其中正确的有 个． 考点5：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（2024九年级下·安徽合肥·专题练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．x轴 D．y轴 【变式训练】（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 考点6：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 【变式训练】（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 考点7：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（2024·江西·模拟预测）已知点A，B都在抛物线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练】（2024·广东广州·二模）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）把抛物线 向右平移1个单位，然后向上平移4个单位，则平移后抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象过点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)求证：； (3)当时，都有，则的取值范围为_____________． 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【变式训练】（24-25九年级下·重庆渝中·期末）如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【变式训练】（2025·云南丽江·一模）已知二次函数的图像经过点． (1)求的值． (2)当时，函数有最大值和最小值．若，求的值． 考点11：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（2025·四川成都·模拟预测）文化与情感的共燃、创意设计和温情表达的相辅相成使得中国传统节日文创产品出圈．某商店经销一种文创书签，该书签的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该书签每天的销售量y(个)与每个的售价x(元)之间的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)在每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润为元，则该书签每个的售价是多少？ (3)该商店决定这种书签的售价每个不能高于元，且每销售1个这种书签就向某文化机构捐款n元，捐款后发现，该商店每天销售这种书签所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 【变式训练】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数 (1)求该抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，已知点，若且线段与该抛物线恰有一个交点，请直接写出的取值范围； (3)当时，y有最小值为，求的值． 考点12：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（24-25九年级下·福建福州·期中）设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式训练】（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，已知二次函数与轴交于、，点在轴的与0之间，且、位于原点两侧，与轴的负半轴交于，且点在轴的与之间，顶点在直线上，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的结论有 （填写序号）． 考点13：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）二次函数的图象如图，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确结论的个数是(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（2025·四川内江·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点14：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2024·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A． B． C． D． 考点15：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 考点16：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（2025·福建福州·一模）若直线是二次函数图象的对称轴，则下列结论正确的是（   ） A．一定等于 B．有可能为0 C．该抛物线顶点的纵坐标最大为1 D．在时，最大值为2 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 考点17：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线经过点 C．抛物线开口向上 D．抛物线的顶点坐标为 【变式训练】（2025·安徽滁州·二模）已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点18：二次函数图象的平移 【典例精讲】（2025·湖南长沙·三模）将二次函数图象抛物线向上平移3个单位长度，可得到抛物线解析式为 ． 【变式训练】（2025·广东广州·二模）在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象，将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象，若将反比例函数的图象向下平移4个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ． 考点19：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）抛物线（a、b、c是常数且a≠0）经过、、三点，且，下列四个结论：①；②当时，y随x增大而减少；③一元二次方程有一个实数根；④不等式的解集是．其中正确的结论是 （填写序号）． 【变式训练】（2025·青海·三模）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点20：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的“变函数”． 例如：函数，它的“变函数”解析式为． 则关于函数，该函数图像经过点， ①该抛物线的对称轴为直线；②当时，；③若点均在抛物线上，则的最小值为；④若是的“变函数”，的函数图像仍然关于直线对称；⑤若是的“变函数”，直线与的函数图像恰好有两个交点时，． 以上说法正确的是： （填序号）． 【变式训练】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点21：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【变式训练】（24-25九年级下·全国·期中）如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 考点22：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）二次函数中的自变量和函数值满足下表： … … … … (1)该二次函数图象的对称轴是_____； (2)求该二次函数的解析式； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【变式训练】（2026·江西·模拟预测）已知抛物线：的顶点为A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)如图，将抛物线：绕点B旋转后，得到抛物线与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式及点D的坐标； ②记抛物线组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，试求b的取值范围． 考点23：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为． (1)关于的函数解析式为___________（写化简后结果），的取值范围是_________； (2)求菜园面积的最大值，并求此时的长； (3)在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移． (1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的至少两种图形形状． (2)当重叠部分的图形形状为如图2所示的四边形时，判断四边形的形状并证明． (3)设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为，求出时与的函数关系式． 考点24：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·吉林四平·开学考试）如图，在中．，，，点从点出发，在上以每秒个单位长度的速度向终点运动：同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连接，以、为邻边作．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为，与重叠部分的图形面积为． (1)点到边的距离=______，点到边的距离=______（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值： (3)求与之间的函数关系式； (4)连接，当与的一边平行时，直接写出的值． 考点25：拱桥问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·随堂练习）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）一个横截面为抛物线形的隧道底部宽，高，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧距道路边缘这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请你根据这些要求，建立适当的坐标系，利用所学的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制． 考点26：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·广东中山·模拟预测）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【变式训练】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）某经销商以元个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价元个满足一次函数关系（如下表)；线上售价为元个，供不应求．规定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的． 售价（元个） 销量（个） (1)求与的函数解析式； (2)若该经销商共购进个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本） 考点27：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与实践 问题情境： 发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图，这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系． 数学思考： (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）． 深入探究： (2)对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题． ①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离． ②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 【变式训练】（2025·湖北武汉·模拟预测）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； (3)馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 考点28：喷水问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图1，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A 处着火点．已知A，C的水平距离和竖直距离均为10m，水流在与点A水平距离为4m处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系，一个单位长度表示1 m． (1)求水流所在抛物线的解析式； (2)若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2m 到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4m处的B着火点？请说明理由； (3)如图2，将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移8m到点T处，同时改变水枪喷口的方向，使水流所在抛物线的解析式中二次项系数为，若水流在高度下降之前到达A处着火点，请直接写出的取值范围． 【变式训练】（2025·河南·模拟预测）大坝泄洪时，水流的形状类似抛物线形．如图2，建立如图所示平面直角坐标系（大坝底与水平面交点为原点，大坝墙面为轴），已知水流内轮廓线的函数表达式为 ，泄洪口高；水流外轮廓线的最高点比泄洪口A处高，且与泄洪口处的水平距离为． (1)求水流外轮廓线的表达式和内轮廓线的顶点的坐标． (2)求水流落入水平面时，形成的水流的宽度． 考点29：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 考点30：其他问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）某科研单位为保障某种型号的无人机能安全投产，随机选择一架该种型号的无人机进行测试，测试该无人机在跑道上着陆后滑行的情况，收集到的数据如下表． 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 … 滑行速度/（m/s） 30 28 26 24 22 … 滑行距离/m 0 29 56 81 104 … 已知该无人机在跑道上着陆后的滑行速度与滑行时间之间满足一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间满足二次函数关系． (1)直接写出关于的函数表达式________________和关于的函数表达式_________________（不需要写出自变量范围） (2)求该无人机着陆滑行中，最后5秒滑行的距离是多少米？ (3)若该无人机在跑道上开始滑行时，发现前方处有另外一架无人机以 （）的速度匀速同向滑行，要保证被测试的无人机无法追上前方的无人机，请直接写出的范围______________． 【变式训练】（2025·河北邯郸·三模）如图1，点O在直线l上，现有一台粒子发射器在O处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，发射出的粒子最终落在点O的右侧的直线l上．以点O为原点，直线l为x轴建立平面直角坐标系，粒子的运动路线的解析式为，若在直线l上的点A处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为n．（粒子的反弹忽略不计） (1)如图2，若，求n的值； (2)如图3，若，，求段上粒子未能覆盖的线段长度； (3)要使发射的粒子能覆盖段的每一处，直接写出最小时的的值． 考点31：线段周长问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【变式训练】（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点32：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线过点，点P在抛物线上，且横坐标为m，抛物线P、Q之间的部分（包括P、Q点）图象记为M． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求图象M最高点与最低点纵坐标的差． (3)点B坐标为，以为对角线构造平行四边形，轴，过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分．当时，求平行四边形的面积． 【变式训练】（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 考点33：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北十堰·期中）若一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式； (3)如图②，若点是第四象限内抛物线上的一点，连接交于点，连接，，求的最大值． 【变式训练】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，交x轴于点A、B(A点在 B 点左侧)，顶点为 D． (1)求该抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2)将沿直线对折，点A的对称点为，试求点的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点 P，使，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点34：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）定义：如果一个等腰三角形的顶角为，则称该等腰三角形为等腰三角形，称这个等腰三角形的顶角顶点为等腰点，过等腰点的函数叫做这个三角形的破角函数． 如图，平面直角坐标系中，点，点 (1)若点C是的等腰点，一次函数是的破角函数，直接写出的解析式； (2)点Q是y轴正半轴上一点，平行于y轴，是等腰三角形，P是等腰点，反比例函数是的破角函数，求的解析式； (3)如图2，二次函数与x轴交于A，D两点，与y轴交于点E，是等腰三角形，M是等腰点，且，是的破角函数． ①求的解析式； ②当时，的最大值为，最小值为4，直接写出m的取值范围； ③把线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，在对称轴左侧，是等腰三角形，N点落在对称轴上时，求N点坐标． 【变式训练】（2023·青海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 考点35：特殊四边形(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知轴上一点，在轴上有一动点，过点作轴，的垂直平分线交于点 ．在点的位置发生变化时，点 的位置也随之改变． (1)试猜想点的运动轨迹是什么曲线?设点，求出关于的关系式； (2)直线与轴的夹角为且与曲线交于第三象限的点 ，求的坐标； (3)在（）的条件下，第三象限内是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由． 【变式训练】（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点36：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点．其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于点D（D在第一象限内），交BC于点E，交x轴于点F． ①求的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与相似，求点D的坐标． 【变式训练】（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 考点37：其他问题(二次函数综合） 【典例精讲】（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【变式训练】（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，有，抛物线顶点D的坐标为 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)构造新函数 交y轴于点E． ①若直线与构造的新函数有且只有三个交点，试求t的值． ②是否存在到直线、、距离都相等的点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由． 考点38：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求，，三点的坐标； (2)点是抛物线上的一个动点，过作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为． ①如图2，若点在第一象限内抛物线上运动，连接，交直线于点，记的面积为，的面积为，求的最大值． ②抛物线的对称轴交直线于点，连接，是否存在点使是以点为顶角顶点的等腰三角形，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【变式训练】（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 考点39：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则下列n的取值不可能的是（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练】（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到新的抛物线与轴的交点坐标为 ． 考点40：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（2023·广东茂名·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”，抛物线与轴交于点，两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：平面直角坐标系中，点 ，点，若，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级垂变点”．例如，点是点的“2级垂变点”． (1)函数的图象上是否存在点的“k级垂变点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； (2)动点与其“k级垂变点”B分别在直线上，直线分别与x轴和y轴交于点C、点D； ①若直线与y轴围成的图形面积是5，求k的值； ②若关于x的二次函数的图象经过点C和点D，该二次函数的图象与x轴的另一个交点是点E，当该二次函数的顶点落在直线上并且满足时，求k的值． 考点41：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25九年级下·福建漳州·期中）已知抛物线（a为常数）经过点 ，过点作两条直线、分别交抛物线于点A、B和C、D，如图所示（点A、C在y轴左侧）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 、，求的值； (3)当直线垂直于y轴时，若四边形 的面积为，求的解析式． 1．（2024·天津和平·中考真题）抛物线的顶点坐标是 ． 2．（2024·广东佛山·中考真题）抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为 ． 3．（2024·浙江杭州·中考真题）关于x的二次函数与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根， ，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·中考真题）已知反比例函数（为常数）的图象经过二次函数的图象的顶点A，下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．反比例函数的表达式为 C．该二次函数的图象与轴没有交点 D．点A关于轴对称的点的坐标为 5．（2024·上海·中考真题）利用数形结合解决问题． (1)已知函数 若对任意 恒成立，求：实数 a 的取值范围． (2)设 若存在定义域为 R 的函数 f(x)同时满足①、②两个条件，求a 的取值范围． ①对于任意 的值为 或 ； ②关于 x 的方程 无实数解． (3) 已知函数 若方程 有实根，求：集合 的元素的可能个数． 基础夯实 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）由函数的图象平移得到函数的图象，则这个平移是 (     ) A．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 3．（24-25九年级下·山东临沂·月考）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为 ． 4．（25-26九年级下·天津·月考）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 5．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． (1)请求出抛物线的解析式． (2)跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 培优拔高 6．（25-26九年级下·北京西城·月考）二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论： ； ； ；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏泰州·三模）已知：下列函数①②③④， 则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 8．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）对于抛物线，若它的各项系数a，b，c满足，则称抛物线为“勾股抛物线”，现有“勾股抛物线过点，则该抛物线的对称轴是 ． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 10．（24-25九年级下·浙江·月考）已知二次函数 (b为常数). （1）若该函数的图象经过点，则： ①b的值为； ②当时，x的取值范围为； （2）当时，y的最小值为，求b的值； （3）对于一切实数x，若函数值总成立，直接写出t的取值范围（用含b的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 二次函数（章节复习） 【知识梳理+41个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共97题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数有关概念 2 知识点梳理02：二次函数的解析式 2 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 3 知识点梳理04：二次函数的图象与各项系数之间的关系 4 知识点梳理05：二次函数图象的变换 4 知识点梳理06：二次函数与一元二次方程 4 知识点梳理07：二次函数与不等式 5 知识点梳理08：二次函数的应用 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：列二次函数关系式 5 考点2：二次函数的识别 6 考点3：根据二次函数的定义求参数 6 考点4：y=ax²的图象和性质 7 考点5：y=ax²+k的图象和性质 8 考点6：y=a(x-h)²的图象和性质 9 考点7：y=a(x-h)²+k的图象和性质 10 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 11 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 13 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 16 考点11：y=ax²+bx+c的最值 21 考点12：二次函数图象与各项系数符号 24 考点13：根据二次函数的图象判断式子符号 27 考点14：一次函数、二次函数图象综合判断 29 考点15：反比例函数、二次函数图象综合判断 31 考点16：已知抛物线上对称的两点求对称轴 32 考点17：根据二次函数的对称性求函数值 34 考点18：二次函数图象的平移 36 考点19：图象法解一元二次不等式 37 考点20：利用不等式求自变量或函数值的范围 40 考点21：根据交点确定不等式的解集 44 考点22：待定系数法求二次函数解析式 45 考点23：图形问题(实际问题与二次函数) 47 考点24：图形运动问题(实际问题与二次函数) 51 考点25：拱桥问题(实际问题与次函数) 56 考点26：销售问题(实际问题与二次函数) 58 考点27：投球问题(实际问题与二次函数) 60 考点28：喷水问题(实际问题与次函数) 64 考点29：增长率问题(实际问题与二次函数) 67 考点30：其他问题(实际问题与次函数) 68 考点31：线段周长问题(二次函数综合) 72 考点32：面积问题(二次函数综合) 78 考点33：角度问题(二次函数综合) 85 考点34：特殊三角形问题(二次函数综合) 91 考点35：特殊四边形(二次函数综合) 98 考点36：相似三角形问题(二次函数综合) 104 考点37：其他问题(二次函数综合） 108 考点38：求抛物线与x轴的交点坐标 112 考点39：求抛物线与y轴的交点坐标 118 考点40：抛物线与x轴的交点问题 119 考点41：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 124 中考真题 实战演练 127 难度分层 拔尖冲刺 132 基础夯实 132 培优拔高 134 知识点梳理01：二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 知识点梳理02：二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 知识点梳理04：二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 知识点梳理05：二次函数图象的变换 (1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： (2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 知识点梳理06：二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 知识点梳理07：二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 知识点梳理08：二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 考点1：列二次函数关系式 【典例精讲】（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【规范解答】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 【变式训练】（23-24九年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答． 【规范解答】根据题意有：， 故选：D． 考点2：二次函数的识别 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【规范解答】解： ， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数，一次项系数和常数项． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答关键． 根据二次函数的这定义，二次函数与一元二次方程的关系来进行判定求解． 【规范解答】解：（1）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是5、一次项系数是，常数项是3； （5）是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是，常数项是4； （6）不是二次函数． 考点3：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，可得关于的不等式，解不等式即可． 【规范解答】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练】（24-25九年级下·浙江·假期作业）若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 考点4：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·开学考试）抛物线，和共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．图象都在某条与x轴平行的直线上方 D．抛物线呈下降趋势 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可解答． 【规范解答】解：A、抛物线，开口向上，抛物线开口向下，故本选项不符合题意； B、抛物线，和的对称轴都为直线，故本选项符合题意； C、抛物线，的图象都在某条与x轴平行的直线上方，抛物线在某条与x轴平行的直线下方，故本选项不符合题意； D、抛物线既有上升趋势的部分，也有下降趋势的部分，故本选项不符合题意； 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列关于二次函数的说法：①图像是一条抛物线；②图像开口向上；③函数的最大值是0；④一定过；⑤对称轴是x轴；⑥y随x增大而增大，其中正确的有 个． 【答案】3 【思路点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的图象和性质是关键．根据二次函数的性质逐条进行判断即可． 【规范解答】解：关于二次函数的说法： ①图像是一条抛物线,故①正确； ②∵ ∴图像开口向上； 故②正确； ③∵ ∴图像开口向上； ∵顶点为， ∴函数的最小值是0； 故③错误； ④∵顶点为， ∴一定过； 故④正确； ⑤对称轴是y轴； 故⑤错误， ⑥∵，对称轴为轴， ∴图像开口向上； ∴当时，y随x增大而增大，故⑥错误， 综上可知，正确的有①②④，共3个， 故答案为：3 考点5：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（2024九年级下·安徽合肥·专题练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．x轴 D．y轴 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握抛物线的对称轴为y轴是解题的关键． 根据抛物线的对称轴为y轴即可求解． 【规范解答】解：抛物线的对称轴是y轴， 故选：D． 【变式训练】（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】依题意，利用二次函数的性质，可得出，，即可作答．本题考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】解：∵当时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数图象经过点 ∴，且， 令，则 故答案为：（答案不唯一）． 考点6：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)向右平移3个单位长度 (2)向左平移1个单位长度 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据“左加右减”可以得解； （2）根据“左加右减”可以得解． 【规范解答】（1）解：的图像向右平移3个单位长度得到的图像； （2）解：的图像向左平移1个单位长度得到的图像． 【变式训练】（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【规范解答】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 考点7：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（2024·江西·模拟预测）已知点A，B都在抛物线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质，数轴上两点之间的距离公式等知识点，掌握这些是解题的关键． 由已知可知：抛物线的开口向上，对称轴是直线，从而可知：点 A，B分别在抛物线对称轴的左、右两侧，计算这两点到对称轴的距离并比较大小，根据“开口向上的抛物线上的两点，到对称轴的距离大的点的纵坐标也大”可得结论． 【规范解答】解：抛物线的开口向上， 对称轴是直线 ，，， 点A，B分别在抛物线对称轴的左、右两侧， ， 且， ， 点A，B 都在抛物线上， 则根据抛物线的对称性可知：与的大小关系为 ． 故选：A． 【变式训练】（2024·广东广州·二模）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【规范解答】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）把抛物线 向右平移1个单位，然后向上平移4个单位，则平移后抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是二次函数的图象的平移，先将函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移的方法“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移4个单位，则平移后抛物线的表达式是：，即． 故选：A． 【变式训练】（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象过点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)求证：； (3)当时，都有，则的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）化成顶点式即可求解； （2）利用图象上点的坐标特征求解即可； （3）利用抛物线的对称性求得点关于对称轴的对称点为，然后根据题意得到在的右侧，且对称轴在的左侧，得出关于的不等式组，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：当时，则， 抛物线的顶点坐标为； （2）证明：二次函数的图象过点，． ，， ， ， ，即． （3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 当时，都有， ，且 ， 故答案为：． 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【思路点拨】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【规范解答】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 【变式训练】（24-25九年级下·重庆渝中·期末）如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； (3)． 【思路点拨】此题考查了动点问题的函数图象和性质，准确求出函数解析式是关键． （1）自变量的取值范围分两段分别求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：矩形中，，， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， ∴ （2）函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围为． 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为 (2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【思路点拨】（1）将代入求出值，再根据和求出直线的解析式； （2）①根据题意可得，再将代入求解即可； ②参考①思路联立解析式即可； ③设抛物线的解析式为，则可得点的坐标为，点B的坐标为，先求出的表达式，作交直线于点C，求出直线和直线的解析式并联立，进而求出，结合题意求出t的值即可． 【规范解答】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点的坐标为，点B的横坐标为， 将代入得， ， ∴点B的坐标为， ∴ ， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴点B的坐标为． 【变式训练】（2025·云南丽江·一模）已知二次函数的图像经过点． (1)求的值． (2)当时，函数有最大值和最小值．若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，分式方程的解法. （1）把点代入即可得到答案. （2）由（1）可得抛物线为：，可得抛物线的对称轴为直线，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：. （2）解：∵， ∴二次函数为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数的最小值， ∵， 当时，函数有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验符合题意. 考点11：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（2025·四川成都·模拟预测）文化与情感的共燃、创意设计和温情表达的相辅相成使得中国传统节日文创产品出圈．某商店经销一种文创书签，该书签的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该书签每天的销售量y(个)与每个的售价x(元)之间的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)在每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润为元，则该书签每个的售价是多少？ (3)该商店决定这种书签的售价每个不能高于元，且每销售1个这种书签就向某文化机构捐款n元，捐款后发现，该商店每天销售这种书签所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)元 (3) 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设，利用待定系数法可得解析式； （2）由题意列方程，解得，而每天的销售量不低于个，则，则可求出该书签每个的售价； （3）依据题意，设捐款后每天所获得的利润为元，从而可得，结合二次函数的性质得当时，随的增大而增大，进而得到，再结合题目条件最后计算可以得解． 【规范解答】（1）解：由题意，设， 又∵图象过，， ． ． ； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵每天的销售量不低于个， ∴， ， 故， 则该书签每个的售价元； （3）解：设捐款后每天所获得的利润为元，根据题意得： ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， 当时，随的增大而增大． 物价部门规定这种书签的售价每个不能高于元， 即在 范围内函数都要递增，则对称轴才能保证在 时函数递增， ， 解得， 又， ． 【变式训练】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数 (1)求该抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，已知点，若且线段与该抛物线恰有一个交点，请直接写出的取值范围； (3)当时，y有最小值为，求的值． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）化为顶点式，即可求解； （2）令，求得或，根据当时，抛物线开口向下，线段与该抛物线恰有一个交点，即可求解； （3）分，，根据时，y有最小值为，得出的值，即可求解． 【规范解答】（1）解： ∴抛物线的对称轴为直线 （2）解：∵当时， ∴ 又∵ ∴或， 当时，抛物线开口向下， ∵点，线段与该抛物线恰有一个交点， ∴或 （3）抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴当时，当时取得最小值， 代入得， 解得： 当时，抛物线开口向上，顶点坐标为 ∴， 解得：． 综上所述，或． 考点12：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（24-25九年级下·福建福州·期中）设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．将四个点的坐标代入解析式，根据对每个选项解不等式即可解答． 【规范解答】解： ， ， A、 ，，则， 或， 即或， 当时，或， 当时，， 当时，，故A错误； B． ，，则， 或， 即或， 当时， 当时，， 当时，，故B错误； C． ，，则， 或， 即或， 当时，无解， 当时，无解， 当时，， ，故选项C错误； D、 ，，则， 或， 即或， 当时，， 当时，无解， 当时，无解， ，故D正确； ，故选项D正确； 故选：D． 【变式训练】（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，已知二次函数与轴交于、，点在轴的与0之间，且、位于原点两侧，与轴的负半轴交于，且点在轴的与之间，顶点在直线上，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点、顶点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目． ①，则，，故，即可求解；②由顶点可得，而，故，即可求解；③由顶点可得函数的表达式为：，故，故，即可求解；④根据，即可求解． 【规范解答】解：①由图象可知，，， ， ，故①正确，符合题意； ②抛物线的顶点在直线上， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； ③抛物线的顶点在直线上， 函数的表达式为：， 令，则 解得， 故，正确，符合题意； ④，正确，符合题意； 故答案为：①③④． 考点13：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）二次函数的图象如图，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确结论的个数是(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 由图可知，二次函数开口向下,，与x轴两个交点，对称轴，当时,，从而得出结论． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为，图象与y轴正半轴相交， ∴， ∴， 故①不正确； 由图象可知当时,， ∴， 故②正确； ∵对称轴为，与x轴的一个交点在和之间， ∴与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时,， ∴， 故③不正确； ∵对称轴为， ∴，即， 故④正确； ∵， ∴， 故⑤不正确． ∴正确的个数有2个， 故选：C． 【变式训练】（2025·四川内江·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向确定,根据抛物线的对称轴位置确定，与y轴的交点确定，根据对称轴方程推出，由图象可知，当时，，从而确定，当时，，即，以此确定本题答案． 【规范解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ，，故②正确； 抛物线的开口向下,对称轴为直线， 当时的函数值是最大值， ， ，故③正确； 由题图可知 时，， ，故④错误． 故选：C． 考点14：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2024·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，由二次函数的图象确定的符号，进而得出一次函数图象的分布位置即可求解，掌握一次函数与二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】解：、∵抛物线开口向上， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与轴的交点为，故选项图象符合题意； 、∵抛物线开口向上， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 、∵抛物线开口向下， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 、∵抛物线开口向下， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 故选：． 【变式训练】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中一次函数图象，可以得到，，然后根据二次函数的性质，即可得到二次函数的图象的开口方向，对称轴的位置，即可判断二次函数图象． 【规范解答】解：根据一次函数图象经过一、二、四象限， ，， 二次函数的图象开口向下，二次函数的对称轴为直线，即对称轴在轴右侧， 故选：D． 考点15：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【规范解答】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数与二次函数的综合，分两种情况讨论：①当时，②当时，分别判断反比例函数图象与抛物线的位置，即可求解，熟练掌握反比例函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：分两种情况讨论： 当时，反比例函数在第一、三象限，而二次函数开口向上，顶点在轴上，且与轴交点为，故四个选项都不符合题意； 当时，反比例函数在第二、四象限，而二次函数开口向下，顶点在轴上，且与轴交点为，故A选项符合题意， 故选：A． 考点16：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（2025·福建福州·一模）若直线是二次函数图象的对称轴，则下列结论正确的是（   ） A．一定等于 B．有可能为0 C．该抛物线顶点的纵坐标最大为1 D．在时，最大值为2 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向及与函数最大值，解决本题的关键是熟悉二次函数的性质． 首先求出二次函数与x轴的交点坐标为，，然后根据二次函数的对称轴为直线，得到，即可得到，即可判断A；根据得到此时二次函数与x轴只有一个交点，即二次函数的交点，即可判断B；根据题意得到二次函数与x轴一定有交点，然后结合图象开口向上即可判断C；根据题意得到当时，y随x的增大而增大，进而判断D即可． 【规范解答】解：∵二次函数 ∴当时，即 解得， ∴二次函数与x轴的交点坐标为， ∵直线是二次函数图象的对称轴， ∴ ∴，故A结论错误，不符合题意； 当时，即 ∴此时二次函数与x轴只有一个交点，即二次函数的顶点在x轴上． ∴此时，符合题意，故B正确，符合题意； ∵二次函数与x轴的交点坐标为， ∴二次函数与x轴一定有交点 ∵二次项系数为 ∴图象开口向上 ∴当二次函数与x轴只有一个交点时，二次函数的顶点在x轴上 ∴此时该抛物线顶点的纵坐标最大为0，故C结论错误，不符合题意； ∵图象对称轴为直线，且开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时，y取得最大值，即，不一定等于2，故D结论错误，不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数的顶点坐标知对称轴是直线，又图象与x轴的一个交点的横坐标是，从而根据对称性可得，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标． 【规范解答】解：由题意，二次函数的顶点坐标为， 对称轴是直线． 又图象与x轴的一个交点的横坐标是， 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：1． 考点17：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线经过点 C．抛物线开口向上 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【思路点拨】本题考查了把化成顶点式，二次函数的图象与性质，解题关键是求出对称轴． 先将点代入抛物线解析式中，求得与的关系式，求出对称轴，可判断A； 利用对称性可求出点的对称点，从而可判断B；利用对称性可求出点的对称点，根据当，时，恒成立，分两种情况画出草图，可判断C；根据上述解析，得出当时，，求出的值，可判断D． 【规范解答】解：∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的对称轴为， 故A正确； 点关于对称轴的对称点为，故B正确； ∵抛物线的对称轴为，点在此抛物线上，且， ∴点关于对称轴的对称点为，且， 当，时，由题意描点，结合点关于对称轴的对称点可知抛物线开口向上， 当，时，由题意描点，不符合二次函数图象，此种情况不存在， 则抛物线开口向上，故C正确； ∵当时，，当时，， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，故D错误， 故选：D． 【变式训练】（2025·安徽滁州·二模）已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得开口方向向上，对称轴为直线，则当，，当，则，据此进行逐项分析就，即可作答． 【规范解答】解：∵抛物线，且， ∴开口方向向上，对称轴为， ∴越靠近对称轴的所对的函数值越小， 则当，，故A、B选项不符合题意； 当，则，故C选项符合题意； 当，则，故D选项不符合题意； 故选：C 考点18：二次函数图象的平移 【典例精讲】（2025·湖南长沙·三模）将二次函数图象抛物线向上平移3个单位长度，可得到抛物线解析式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【规范解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 【变式训练】（2025·广东广州·二模）在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象，将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象，若将反比例函数的图象向下平移4个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【规范解答】解：由题知，将反比例函数的图象向下平移4个单位后，所得图象对应的函数表达式为， 故答案为：． 考点19：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）抛物线（a、b、c是常数且a≠0）经过、、三点，且，下列四个结论：①；②当时，y随x增大而减少；③一元二次方程有一个实数根；④不等式的解集是．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线经过的点坐标可得，再根据对称轴可得，由此可判断①；根据抛物线的对称轴，开口方向，由此可判断②；先根据抛物线经过点经过、，由此可判断③；先求出直线经过点和，再画出函数图象，结合函数图象可得不等式的解集，从而可判断④． 【规范解答】解：∵抛物线（a、b、c是常数且）经过、、三点，且， ∴，，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，y随x增大而减少，故结论②正确； ∵抛物线（a、b、c是常数且）经过、， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故结论③不正确； ∵， ∴直线经过点， 令，得， ∴直线经过点， ∴抛物线与直线的交点分别为和， 由图可知，不等式的解集是， 故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【变式训练】（2025·青海·三模）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】由题意，，，可判断错误；观察对称轴即可判断正确；根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点是可判断④错误；抛物线 图象与直线只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故⑤正确． 【规范解答】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴在轴右边， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵顶点坐标为， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误， 由题意：图象与直线交于，两点， ∴当时，即不等式的解集为，故④正确， ∵抛物线 图象与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确， 故选C． 考点20：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义：若有二次函数解析式为，存在另一函数解析式为，则称是的“变函数”． 例如：函数，它的“变函数”解析式为． 则关于函数，该函数图像经过点， ①该抛物线的对称轴为直线；②当时，；③若点均在抛物线上，则的最小值为；④若是的“变函数”，的函数图像仍然关于直线对称；⑤若是的“变函数”，直线与的函数图像恰好有两个交点时，． 以上说法正确的是： （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【思路点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，能求出函数的解析式和理解二次函数的性质是解此题的关键．根据经过得到，则二次函数解析式为，据此判断前三个，再画出“变函数”的大致图象判断后面两个． 【规范解答】解：∵关于函数，该函数图像经过点， ∴， 整理得， ∴二次函数解析式为，对称轴为直线， 故①说法正确； 当，时，抛物线开口向下，顶点处有最大值，到对称轴的距离更远， ∴当时，抛物线有最小值，最小值为； 当时，抛物线有最大值，最大值为， ∴， 故②正确； ∵点均在抛物线上， ∴，， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， 故③正确； ∵是的“变函数”， ∴， 当时，函数图象大致如下： 当时，函数图象大致如下： ∴的函数图像不是关于直线对称， 故④错误； 观察函数图象可得，直线与的函数图像恰好有两个交点时，经过或的顶点，此时， 故⑤说法正确， 综上所述，正确的有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【变式训练】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【规范解答】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程 的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式 的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 考点21：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【规范解答】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·期中）如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 【答案】(1)A的坐标是，点B的坐标是 (2) 【思路点拨】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）联立两函数解析式，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； （2）解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 考点22：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）二次函数中的自变量和函数值满足下表： … … … … (1)该二次函数图象的对称轴是_____； (2)求该二次函数的解析式； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据（1）中结果设函数解析式为：，然后利用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的性质及表格中数据即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等， ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵由（1）得顶点坐标为， ∴设函数解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， （3）解：∵ ， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时，． 【变式训练】（2026·江西·模拟预测）已知抛物线：的顶点为A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)如图，将抛物线：绕点B旋转后，得到抛物线与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式及点D的坐标； ②记抛物线组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，试求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，中心对称的性质，二次函数和一元二次方程的关系等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用二次函数的顶点式求顶点坐标即可，利用二次函数的抛物线特征进行求解即可； （2）①根据中心对称的性质求出顶点坐标，然后利用顶点式求函数解析式即可，然后利用二次函数的性质求交点坐标即可； ②联立解析式，利用一元二次方程的根的判别式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． 当时，， ∴． （2）解：①设抛物线的顶点为C，则点C与点A关于点B对称， ，． ∴点C的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 令，解得（不合题意，舍去)， ∴点D的坐标为． ②当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， 当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， ∴若与直线有三个交点，则b的取值范围为． 考点23：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为． (1)关于的函数解析式为___________（写化简后结果），的取值范围是_________； (2)求菜园面积的最大值，并求此时的长； (3)在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)菜园面积的最大值为，此时的长为 (3) 【思路点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）设，则，根据可得解析式，根据可得的取值范围； （2）将（1）中解析式化为顶点式，结合的取值范围求最值； （3）设，则，用含a的式子表示出矩形和矩形的面积，再根据，“乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍”，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，，且， 解得， ， 故答案为：，； （2）解： ， 对称轴为直线，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ， 当时，取最大值，最大值为：， 此时， 即菜园面积的最大值为，此时的长为； （3）解：设，则， 矩形的面积为，矩形的面积为， ， ， 由题意得：， 即， 化简得， 解得， 乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍， ， 解得， 的取值范围为． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移． (1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的至少两种图形形状． (2)当重叠部分的图形形状为如图2所示的四边形时，判断四边形的形状并证明． (3)设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为，求出时与的函数关系式． 【答案】(1)三角形，梯形，菱形，五边形 (2)四边形是菱形，见解析 (3)重叠部分为梯形，，重叠部分为五边形， 【思路点拨】题目主要考查平移的性质，菱形的判定，函数解析式的确定，理解题意，熟练掌握这些知识点，几何图形求解是解题关键． （1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可； （2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可证明； （3）分和两种情况分别求出s与x的函数关系式即可． 【规范解答】（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如图所示， （2）分别过，作于点，于点，如图， ， 两纸条等宽， ， ， ， 两纸条都是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （3）①当时，重叠部分为梯形，如图所求， 梯形的下底为，上底为， ， ②当时，重叠部分为五边形，如图所求， 考点24：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【规范解答】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 【变式训练】（24-25九年级下·吉林四平·开学考试）如图，在中．，，，点从点出发，在上以每秒个单位长度的速度向终点运动：同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连接，以、为邻边作．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为，与重叠部分的图形面积为． (1)点到边的距离=______，点到边的距离=______（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值： (3)求与之间的函数关系式； (4)连接，当与的一边平行时，直接写出的值． 【答案】(1)t， (2) (3) (4)或 【思路点拨】（1）过点P作，根据勾股定理求出，运用三角函数得出，，应用解直角三角形求出，即可； （2）当点M落在线段上时，证明四边形是矩形，从而得到，求出t即可； （3）分两种情况讨论：①当时，与重叠面积为，根据已有数据计算即可；②当时，设交于点N，则与重叠面积为，根据已有数据计算即可； （4）①如图，当时，则，证明四边形是矩形，求出t即可；②当时，证明四边形是平行四边形，再列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图1，过点P作， 由题意可知， ∵，，， ∴， ∴，， ∴ ，， ∴点P到的距离为t，点P到的距离为； 故答案为：t，； （2）解：如图2，当点M落在线段上时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由（1）得，， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）得当时，则点M落在线段上， ①当时，与重叠面积为，如图1， ∴， 由（1）可知，， ∴， ②当时，设交于点N，如图3， 则与重叠面积为， ∴， ∵， ∴， 综上所述； （4）解：①如图4，当时，则， 由（1）得：，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； ②当时，如图6， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当与的一边平行时，或． 考点25：拱桥问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·随堂练习）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【规范解答】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）一个横截面为抛物线形的隧道底部宽，高，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧距道路边缘这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请你根据这些要求，建立适当的坐标系，利用所学的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制． 【答案】见解析， 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式，然后求出当时，，再根据车辆顶部与隧道有不少于的空隙，得隧道车辆的高度限制为． 【规范解答】解：如图，建立平面直角坐标系， 由已知可得，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点为， 设抛物线的表达式为， 把代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，， ∴， ∴通过隧道车辆的高度限制为． 考点26：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·广东中山·模拟预测）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据原销售件数减去减少的件数列出函数关系式即可； （2）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：因为进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元， 所以 由题意得，； 所以y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W， 根据题意得，则， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∴当时，W 随x的增大而增大， ∴时，W取得最大值， ∴，解得：． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）某经销商以元个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价元个满足一次函数关系（如下表)；线上售价为元个，供不应求．规定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的． 售价（元个） 销量（个） (1)求与的函数解析式； (2)若该经销商共购进个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本） 【答案】(1)； (2)线下销售个，线上销售个时获利最大，最大利润是元． 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． （）待定系数法求解可得； （）根据“总利润线上利润线下利润”可得函数解析式，将所得函数解析式配方成顶点式即可求出最值． 【规范解答】（1）解：设与的函数解析式为， 由表格可知，当，，当，， ∴，解得：， ∴与的函数解析式； （2）解：当线下销量为个时，线上销量为（个），设全部售完后获得的利润为w元， 根据题意得 ， ∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的， ∴，解得， ∵， ∴线上销售符合要求， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时线下销售量为（个），线上销售量为个， 答：线下销售个，线上销售个时获利最大，最大利润是元． 考点27：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与实践 问题情境： 发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图，这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系． 数学思考： (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）． 深入探究： (2)对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题． ①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离． ②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 【答案】(1)，篮球不能直接从篮圈的正中心投进，见解析； (2)①他应该带球向正前方移动投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入；②体育老师至少需要跳起高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，求抛物线的解析式，二次函数的图象平移规律，掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； （1）根据题意，求出抛物线的顶点坐标和点A的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；然后求得当时，的值，即可判断篮球能否投进； （2）①设小明带球向正前方移动，根据平移规律求出平移后抛物线的解析式，再代入点，解方程求出的值；②由①知小明移动后抛物线的函数表达式，然后计算时，该抛物线的值，再根据老师身高，双手超过头顶高度进行计算，作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为，， 设该抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ，解得， 该抛物线的函数表达式为． 当时，， 此时篮球不能直接从篮圈的正中心投进． （2）解：①设小明带球向正前方移动，能使篮球直接从篮圈的正中心投入， 由题意可得移动后的抛物线为． 把点代入得， 解得或， 小明的活动范围不能超过， ，即小明应该带球向正前方移动投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入． ②由①知小明移动后抛物线的函数表达式为． ∵小明移动后距篮圈中心的水平距离为，体育老师在小明正前方处进行拦截， ∴当时，， ， 体育老师至少需要跳起高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 【变式训练】（2025·湖北武汉·模拟预测）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； (3)馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把代入求解即可； （3）把和代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或； （3）解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 考点28：喷水问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图1，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A 处着火点．已知A，C的水平距离和竖直距离均为10m，水流在与点A水平距离为4m处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系，一个单位长度表示1 m． (1)求水流所在抛物线的解析式； (2)若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2m 到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4m处的B着火点？请说明理由； (3)如图2，将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移8m到点T处，同时改变水枪喷口的方向，使水流所在抛物线的解析式中二次项系数为，若水流在高度下降之前到达A处着火点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)水流不经过着火点B，比着火点B高出2米；理由见解析 (3) 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键； （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）直接求出平移后的解析式，然后代入当时，，求出水流比着火点B高出2米； （3）设抛物线的解析式为：，代入点，，求出，进而根据对称轴，求出即可． 【规范解答】（1）解：设抛物线的解析式为：，由题意得抛物线经过点，， ， 解得：， ∴水流抛物线的解析式为：； （2）解：若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2m 到点D处， ∴平移后抛物线的解析式为：， ∴当时，，即水流过点， ， 答：水流不经过着火点B，比着火点B高出2米； （3）解：设抛物线的解析式为：，由题意得抛物线经过点，， ， 整理得：， ∵若水流在高度下降之前到达A处着火点， ∴， ∴， 解得： ∴； 若水流在高度下降之前到达A处着火点， 的取值范围为． 【变式训练】（2025·河南·模拟预测）大坝泄洪时，水流的形状类似抛物线形．如图2，建立如图所示平面直角坐标系（大坝底与水平面交点为原点，大坝墙面为轴），已知水流内轮廓线的函数表达式为 ，泄洪口高；水流外轮廓线的最高点比泄洪口A处高，且与泄洪口处的水平距离为． (1)求水流外轮廓线的表达式和内轮廓线的顶点的坐标． (2)求水流落入水平面时，形成的水流的宽度． 【答案】(1)，点的坐标为 (2) 【思路点拨】本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用二次函数性质，结合已知条件确定函数表达式、顶点坐标，通过求函数与轴交点计算宽度． （1）先将内轮廓线函数表达式通过配方法化为顶点式，从而得出内轮廓线顶点的坐标；再根据点坐标及高度确定点坐标，结合点与点的位置关系确定点坐标，最后设外轮廓线顶点式，代入点坐标求出表达式． （2）明确水流落入水平面时，分别将代入内、外轮廓线表达式．求解方程得到外轮廓线与轴交点和内轮廓线与轴交点的横坐标．用点横坐标减去点横坐标，算出水流宽度． 【规范解答】（1）解：内轮廓线的函数表达式为， 内轮廓线的顶点的坐标为． 令，得． 点的坐标为． 泄洪口高， 点的坐标为． ∵水流外轮廓线的最高点比泄洪口处高，且与泄洪口处的水平距离为，点坐标， ∴点横坐标为，纵坐标为，即． 设外轮廓线的函数表达式为顶点式． 把代入，得 ，即． 解得， ∴外轮廓线的函数表达式为． （2）解：当水流落入水平面时，． 代入外轮廓，得． 解得，（舍去）； 代入内轮廓，得， 解得，（舍去）． ∵的长度等于点横坐标减去点横坐标， ∴， 水流落入水平面时，形成的水流的宽度为． 考点29：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 【规范解答】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， 该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元． 根据题意得：， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 考点30：其他问题(实际问题与次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）某科研单位为保障某种型号的无人机能安全投产，随机选择一架该种型号的无人机进行测试，测试该无人机在跑道上着陆后滑行的情况，收集到的数据如下表． 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 … 滑行速度/（m/s） 30 28 26 24 22 … 滑行距离/m 0 29 56 81 104 … 已知该无人机在跑道上着陆后的滑行速度与滑行时间之间满足一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间满足二次函数关系． (1)直接写出关于的函数表达式________________和关于的函数表达式_________________（不需要写出自变量范围） (2)求该无人机着陆滑行中，最后5秒滑行的距离是多少米？ (3)若该无人机在跑道上开始滑行时，发现前方处有另外一架无人机以 （）的速度匀速同向滑行，要保证被测试的无人机无法追上前方的无人机，请直接写出的范围______________． 【答案】(1)， (2)米； (3) 【思路点拨】此题考查了一次函数和二次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出该无人机着陆滑行停止，再分别求出当和时的路程，作差即可求出答案； （3）有题意可知，，设，得到二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【规范解答】（1）解：设关于的函数表达式为，将代入得到， 解得， ∴关于的函数表达式为， 设关于的函数表达式，将代入得到 解得 ∴关于的函数表达式 故答案为：， （2）当时，，解得， 即该无人机着陆滑行停止， ∴当时， 当时， ∵， 即该无人机着陆滑行中，最后5秒滑行的距离是米； （3）由题意可得，， 设， 则， ∵ ∴ ∴的对称轴在轴的右侧， ∴，即， 解得，， 故答案为： 【变式训练】（2025·河北邯郸·三模）如图1，点O在直线l上，现有一台粒子发射器在O处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，发射出的粒子最终落在点O的右侧的直线l上．以点O为原点，直线l为x轴建立平面直角坐标系，粒子的运动路线的解析式为，若在直线l上的点A处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为n．（粒子的反弹忽略不计） (1)如图2，若，求n的值； (2)如图3，若，，求段上粒子未能覆盖的线段长度； (3)要使发射的粒子能覆盖段的每一处，直接写出最小时的的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【思路点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正切的定义等知识，明确题意，找准临界位置是解题的关键． （1）求出点坐标，代入函数解析式求出的值，进而求出抛物线与直线的交点，求出的值即可； （2）作，根据题意，求出点坐标，进而求出直线的解析式，根据题意，得到当直线与抛物线有唯一交点时，此时粒子能覆盖的范围最广，联立直线和抛物线，求出时的的值，进而求出此时抛物线与直线的交点，进而求出段上粒子未能覆盖的线段长度即可； （3）由题意，当抛物线与直线有唯一交点，且交点为时，发射的粒子能覆盖段的每一处，最小，把点的坐标代入解析式求出的值，设直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式，求出时的的值，进而求出直线的解析式，设设，作，利用正切的定义进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图， ∵， ∴， 把代入，得：， 解得：， ∴， 当时，解得：， ∴； （2）作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴， 当抛物线与直线只有一个交点时， 令，整理，得：， ∴， ∴或（不合题意，舍去）； ∴， ∴当时，则：， ∴段上粒子未能覆盖的线段长度为； （3）由题意，当抛物线与直线有唯一交点，且交点为时，发射的粒子能覆盖段的每一处，最小， 把代入，得：，解得：， ∴， 设直线的解析式为：， 令，整理，得：， 则：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，作， 则：． 考点31：线段周长问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 【变式训练】（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【思路点拨】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【规范解答】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 考点32：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线过点，点P在抛物线上，且横坐标为m，抛物线P、Q之间的部分（包括P、Q点）图象记为M． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求图象M最高点与最低点纵坐标的差． (3)点B坐标为，以为对角线构造平行四边形，轴，过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分．当时，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)16 (3)或 【思路点拨】本题是二次函数综合题，考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行四边形的性质，运用数形结合和分类讨论的思想； （1）运用待定系数法将坐标代入解析式即可求出； （2）运用二次函数的性质可得抛物线的顶点坐标为，即图象最高点为顶点，其纵坐标为4，再求得，P点为图象最低点，其纵坐标为，即可求得答案； （3）当时，，，由平行四边形性质可得：，，设A点坐标为，则，直线l将平行四边形的面积分成的两部分，根据直线l与交点D的位置进行分类讨论，分别利用三角形的面积占平行四边形面积的来建立方程求解. 【规范解答】（1）解：把代入中得： ， 解得， ∴抛物线解析式为. （2）解：在中，当时，， ∴ 如图所示: ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当时，图象最低点为P，最高点为顶点 ∴当时，， ∴图象M最高点与最低点纵坐标的差为. 故答案为：16. （3）解：当时，， ∵以为对角线构造平行四边形，轴， ∴， 设，则， ∴， ∵过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分， ∴分两种情况： 当直线l与的交点在线段上时，如图， ∴， ∴， 解得， ∴； 当直线l与线段相交于点E时，如图， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 综上所述，当时，平行四边形的面积为或． 【变式训练】（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最小值为 (3)存在，或 【思路点拨】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍）， ∴， 综上：存在，或． 考点33：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北十堰·期中）若一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式； (3)如图②，若点是第四象限内抛物线上的一点，连接交于点，连接，，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)m的最大值为 【思路点拨】此题考查二次函数的综合应用，掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）证明，解得：，即可求解． 【规范解答】（1）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点， 当时，，当时，，解得， ∴点，， 则， 解得：，， 故抛物线的表达式为：； （2）解：如图，设直线交y轴于点M， ∵ ∴抛物线的对称轴为， ∵轴交抛物线于点D， ∴点D的横坐标是2， 当时，， ∴， 由点B、C的坐标知，直线与的夹角为， 即， ∵恰好平分， 故， 而，， 故， ∴， 故， 故点， 设直线的表达式为：， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：； （3）解：过点P作轴交于点N， 则， 则， 而． 则， 解得：， 设点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则， 即， 故m的最大值为． 【变式训练】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，交x轴于点A、B(A点在 B 点左侧)，顶点为 D． (1)求该抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2)将沿直线对折，点A的对称点为，试求点的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点 P，使，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，点A、B的坐标分别为 (2) (3)或 【思路点拨】（1）将代入抛物线解析式求得的值，从而得出抛物线的解析式，再令，得出的值，即可求得点、的坐标； （2）如图2，作轴于，可证明，得出，由，即可得出的长，即可求得的坐标； （3）分两种情况：①如图，以为直径作，交抛物线的对称轴于的下方），由圆周角定理得出点坐标；②如图，类比第（2）小题的背景将沿直线对折，点的对称点为，以为直径作，交抛物线的对称轴于的上方），作于，交对称轴于，求得，在中，由勾股定理得出 【规范解答】（1）解：∵把代入得， 解之得 ∴所求抛物线的解析式为 ∴令得： 解之得， ∴点A、B的坐标分别为； （2）如图，作，垂足为H． 且 ∴， ∴， ∴． ∴A、C、三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴所求点的坐标为． （3）分两种情况讨论：①如图，以为直径作，交抛物线的对称轴于点 P (的下方)． ，点P的横坐标为4． 由圆周角定理得： ， ∵点A、B的坐标分别为， ∴此时点 P的坐标为． ②如图，以为直径作，交抛物线的对称轴于点，过点作，垂足为E，连接， ∵点与点 A 关于对称， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴ ∴此时，点的坐标为 综上所述，点P的坐标为或 考点34：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）定义：如果一个等腰三角形的顶角为，则称该等腰三角形为等腰三角形，称这个等腰三角形的顶角顶点为等腰点，过等腰点的函数叫做这个三角形的破角函数． 如图，平面直角坐标系中，点，点 (1)若点C是的等腰点，一次函数是的破角函数，直接写出的解析式； (2)点Q是y轴正半轴上一点，平行于y轴，是等腰三角形，P是等腰点，反比例函数是的破角函数，求的解析式； (3)如图2，二次函数与x轴交于A，D两点，与y轴交于点E，是等腰三角形，M是等腰点，且，是的破角函数． ①求的解析式； ②当时，的最大值为，最小值为4，直接写出m的取值范围； ③把线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，在对称轴左侧，是等腰三角形，N点落在对称轴上时，求N点坐标． 【答案】(1)或 (2) (3)①；②；③点N的坐标为或或 【思路点拨】（1）根据点C是的等腰点，以及点、点，求出点C的坐标从而代入一次函数解析式求出b，从而得解； （2）过Q作于点H，则，由是等腰三角形可知都是含30度角的直角三角形，从而求出PQ，即BP的长度，继而求出点P的坐标，继而得解； （3）①过M作于点N，先求得，则，再根据“是等腰三角形，M是等腰点，且”求出点M的坐标，再代入求出a的值即可得解； ②将的解析式化为顶点式，从而得出顶点坐标为，结合“当时，”和数形结合思想即可得出m的取值范围； ③分，，三种情况讨论，利用一线三直角的全等模型求解即可． 【规范解答】（1）解：点C是的等腰点， ， 为等边三角形， ， ， ，点C在y轴上， 或， 将C点坐标代入得，或， 或； （2）解：如图，过Q作于点H， 则， ， ， ， ， 点P坐标为， 反比例函数是的破角函数， ， ； （3）解：①如图，过M作于点N， 令， 解得：， ∴， 又∵， ， ，， ，， ， ， ， 是的破角函数， 将点代入得，， 解得， ； ②， 顶点坐标为， 当时，， 当时，， 由抛物线对称性可知，关于对称轴对称点为， 当时，依然满足， 又当时，的最大值为，最小值为4， ； ③由，可得，， 直线DE的解析式为； 设， 第一种情况：， 如图，过作轴，分别过和N作的垂线，垂足为M和Q， 由平移可知 ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 第二种情况：， 同理可得 ， ，， ， ， ， ， ； 第三种情况：， 由平移得 ， ，， 同理可得 ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 综上，点N的坐标为或或 【变式训练】（2023·青海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【思路点拨】（1）先求解，的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可． （2）设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．可得，结合，再建立方程求解即可． （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，表示，，，再分三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：∵直线经过点， ∴当时，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数为：． （2）解：由（1）得：，， ∴， 设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴， ， ， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或． 考点35：特殊四边形(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知轴上一点，在轴上有一动点，过点作轴，的垂直平分线交于点 ．在点的位置发生变化时，点 的位置也随之改变． (1)试猜想点的运动轨迹是什么曲线?设点，求出关于的关系式； (2)直线与轴的夹角为且与曲线交于第三象限的点 ，求的坐标； (3)在（）的条件下，第三象限内是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)关于的关系式为； (2)； (3)或． 【思路点拨】（）由垂直平分，则，又，，从而代入即可求解； （）由题意得，，则有，故有，则，设解析式为，则有，解得：，然后联立得，然后解方程并检验即可； （）分当，时，则，由（）得，所以；当，时，则，由（）得，所以． 【规范解答】（1）解：如图， ∵垂直平分， ∴， ∵点，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的关系式为； （2）解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设解析式为， 则有，解得：， ∴解析式为， 联立得， 解得：或（舍去）， ∴； （3）解：如图， 当，时， ∴， 由（）得， ∴； 当，时， ∴， 由（）得， ∴； 综上可知：或． 【变式训练】（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，点的坐标为或或或 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，得到，过点作轴于点，根据菱形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则， 解得：，， 点，点． ， 如图，当四边形为菱形时，，过点作轴于点， 四边形为菱形， ， ， ， ， 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ， 当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 考点36：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点．其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于点D（D在第一象限内），交BC于点E，交x轴于点F． ①求的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与相似，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，的最大值是9；②或 【思路点拨】本题考查二次函数综合知识，涉及抛物线的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点、线段和的最大值、相似三角形判定和性质等，解题的关键是分类列方程． （1）根据抛物线的对称轴为直线，得，求出n的值即可； （2）①求出，可得直线解析式为，设第一象限，则，可得，即可得的最大值是9； ②由，，得，以点C，D，E为顶点的三角形与相似，点A与点E对应，分两种情况：Ⅰ、当O与D对应，G与C对应时，即时，则有；Ⅱ、当与C对应，G与D对应时，即，则有；据此列出方程即可得的值，从而得到答案． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①令，则， 解得：，， ∴，， 令，则， ∴， 设直线解析式为，将，代入可得：， 解得， 直线解析式为， 设第一象限内，点，则， ，， ， ∵， 当时，的最大值是9； ②由（1）知，，， ∴，， ∴， ∴， ， 轴于， ， ， ∴以点C，D，E为顶点的三角形与相似，点A与点E对应， ∴分两种情况：Ⅰ、当O与D对应，G与C对应时，即时， 则， 而为中点，，， ，，， 由①知：，， ， 当时，， 解得或（此时与重合，舍去）， ， Ⅱ、当与C对应，G与D对应时，即， 则， ∴， 解得或（舍去）， ， 综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，则的坐标为或． 【变式训练】（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或 【思路点拨】（1）把点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后判断出平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式时方程只有一个根求解即可； （3）设点E的坐标为，表示出，然后根据相似三角形对应边成比例，分和，和是对应边两种情况列出比例式求解即可． 【规范解答】（1）解∶ 二次函数 的图象与x轴交于，两点， 解得， 则二次函数解析式为 ； （2）令，则， 点， 设直线的解析式为， 则 ， 直线的解析式为， 由三角形的面积可知：平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大， 此时设过点P的直线为， 消掉y得， 整理得，， 此时， ， 解得， ，     点时，的面积最大； （3）存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图，设点E 的坐标为， 则点Q的坐标为，， ①和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时， 则点Q坐标为； ②和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时，Q点与C点重合，E点与原点重合，即Q的坐标为； 综上所述，存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 考点37：其他问题(二次函数综合） 【典例精讲】（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【思路点拨】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 【变式训练】（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，有，抛物线顶点D的坐标为 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)构造新函数 交y轴于点E． ①若直线与构造的新函数有且只有三个交点，试求t的值． ②是否存在到直线、、距离都相等的点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)①或； ②存在到直线、、距离都相等的点，该点为：或或或． 【思路点拨】(1)由待定系数法即可求解； (2)①如图，当直线平移到m的位置，即过点B以及直线平移到n的位置，即和抛物线只有一个交点时，求出临界点时t的值即可求解； ②分该点是内角平分线的交点和外角平分线的交点求解即可． 【规范解答】（1）设抛物线的表达式为：， 设，则，即点A、B的坐标分别为：、， 将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即点A、B的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为：； （2）①如图，当直线平移到m的位置，即过点B以及直线平移到n的位置，即和抛物线只有一个交点时，符合题设条件， 将点的坐标代入得：， 解得：； 当时，； 联立上式和的表达式得：， ∴， 则， 解得：； 综上， 或； ②存在，理由： 当时，， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵到三角形三边距离相等的点在三角形角平分线的交点上， ∴存在到直线距离都相等的点，即该点为角平分线的交点． 设该点为P， 当点P是内角平分线的交点时，即点， 则， ∴， ； 当点P为与外角平分线的交点时，即点， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可求，，． 综上，符合条件点的坐标为：或或或． 考点38：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求，，三点的坐标； (2)点是抛物线上的一个动点，过作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为． ①如图2，若点在第一象限内抛物线上运动，连接，交直线于点，记的面积为，的面积为，求的最大值． ②抛物线的对称轴交直线于点，连接，是否存在点使是以点为顶角顶点的等腰三角形，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①4；②存在，或 【思路点拨】本题考查二次函数与几何综合，二次函数的性质和图象，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别令，求出抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）①将变形为即，然后写出此面积差关于P点横坐标m的函数，利用二次函数性质求最大值即可； ②求出抛物线的对称轴交直线于点，分P在D上方或下方两类讨论，作，，可证，利用相似性质可得可证，则，据此列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：令，即， 解得：， ∴，， 令，则， 得； （2）①∵，， 设解析式为，代入，， ， 解得， ∴解析式为：， ∵P在第一象限的抛物线上，则设， ∵过作轴于点，交直线于点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， 有最大值，最大值为； ②对称轴为直线：， 当时，， ∴， 当P在D上方， 作，， 轴， ∴， ， ， ∵，， ， ， ， 是以点为顶角顶点的等腰三角形， ， ∵， ∴， 同理可证， ， ， ， 整理得：， 解得（舍）， 当P在D下方，如图， ∵，， 此时，， 是以点为顶角顶点的等腰三角形， 作，， 同前理，可得， 即， 整理得：， 解得（舍） 综上所述，存在点使是以点为顶角顶点的等腰三角形，． 【变式训练】（2024·湖南·一模）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线的“不动点”．已知：若抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的不动点坐标； (2)若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． ①求抛物线的解析式； ②如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)和 (2)①；② 【思路点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数图象上的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是关键． （1）根据抛物线的“不动点”定义即可解决问题． （2）①根据抛物线的对称轴是直线，建立方程求解即可求得a的值；②过点P作轴，交直线于E，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴抛物线恒过定点和， ∴抛物线的不动点坐标为和； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线L的对称轴是直线， 解得， ∴． ②如图，过点P作轴，交直线于E， ∵抛物线的对称轴直线与轴交于点， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 令， 解得：， ∴， ∴P是第一象限抛物线上的一个动点， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，最大，最大值为． 考点39：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则下列n的取值不可能的是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 分两种情况：抛物线的顶点在轴上和抛物线与轴交点在轴下方两种情况求解可得． 【规范解答】解：∵点的坐标为，抛物线与线段有且只有一个公共点， ∴抛物线顶点在轴上，或者当时，；且当时,，如图： ∴或， 解得，或， 故n的取值不可能的是1， 故选：B． 【变式训练】（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到新的抛物线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得到平移后的解析式，在根据抛物线与坐标轴的交点的计算即可求解． 【规范解答】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后的解析式为， 当时，， ∴平移后的解析式与轴的交点坐标为， 故答案为： ． 考点40：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（2023·广东茂名·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”，抛物线与轴交于点，两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查抛物线与轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与轴交点位置是本题的关键．首先把二次函数的解析式配方，可得：，所以可知抛物线的对称轴为直线，且当时，，所以抛物线在、之间的部分与线段所围的区域中的整点包括点，根据抛物线的对称性可知，个整点是，，，，，所以抛物线与轴的交点纵坐标一定大于且小于等于，当时，对应的值大于，可列关于的不等式，解不等式组即可得到的取值范围． 【规范解答】解：把抛物线化为顶点式， 可得：， 抛物线的对称轴为：，顶点坐标为， 和两点是抛物线与轴的交点， 点和关于对称轴直线对称， 根据题意，抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点， 这些整点是，，，，， 当时， ． 当时， 即：， 解得：， 故选：B． 【变式训练】（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：平面直角坐标系中，点 ，点，若，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级垂变点”．例如，点是点的“2级垂变点”． (1)函数的图象上是否存在点的“k级垂变点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； (2)动点与其“k级垂变点”B分别在直线上，直线分别与x轴和y轴交于点C、点D； ①若直线与y轴围成的图形面积是5，求k的值； ②若关于x的二次函数的图象经过点C和点D，该二次函数的图象与x轴的另一个交点是点E，当该二次函数的顶点落在直线上并且满足时，求k的值． 【答案】(1)存在； (2)①或；②或 【思路点拨】（1）根据定义解答即可； （2）①动点在直线上，其“k级垂变点”B点坐标为，得的方程为：，可知 与y轴交于 ，与y轴交于 ，与x轴交于，根据面积公式求解即可； ②二次函数的图象经过点 和点，得方程，可得顶点在上，联立方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：函数的图象上存在点的“k级垂变点” 根据“k级垂变点”定义，点的“k级垂变点”为， 把点代入中， 得，解得． （2）①动点在直线上，其“k级垂变点”B点坐标为，消去t得的函数为：， 与y轴交于 ，与y轴交于 ，与x轴交于 两直线的交点为：解得：， ∴三角形的底为： ，高为： 两直线与y轴围成的三角形面积为： 得：，解得：或； ②∵与x轴交点： 令， ， ∴， ∴ 与y轴交点： 令，， ∴ ∵二次函数经过和， 代入：则， 代入：则恒成立， ∵， ∴， ∵， ∴① 二次函数的图象与x轴另一交点为，设， ∵，即， ∴， ∵二次函数经过 和， ∴可写为： 则与给定形式比较， ∴，由， ∵， ∴② 由，代入方程①：得， ∴， 又由方程2，，所以一致， ∵顶点在上，二次函数顶点横坐标 ∵， ∴纵坐标． 代入： 即：， 又， 分情况： 情况1： 则， ∴， ∴， ， ∴ 代入顶点： 左边： 右边： ∵， ∴， ∴左边： 右边： ∴， 解得； 情况2： ∵， ∴， ∴， 代入顶点： 左边： 右边： ∵， ∴， ∴左边：， 右边：， ∴， 解得 综上，或． 考点41：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据题意判断出，，由对称轴为直线得到，即可判断①；然后根据图象经过点得到，进而可判断②；然后求出函数与x轴的另一个交点为，结合图象即可判断③；首先求出抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为，然后结合图象求解即可． 【规范解答】解：①根据题意得，， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴函数与x轴的另一个交点为， ∴由图象可得，当或时y随x的增大而增大，故③正确； 根据题意得，抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为， ∴由图象可得，与直线有三个交点， ∴关于x的方程有三个实数根， ∴关于x的方程有三个实数根，故④正确． 综上所述，其中正确结论的个数为3． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·福建漳州·期中）已知抛物线（a为常数）经过点 ，过点作两条直线、分别交抛物线于点A、B和C、D，如图所示（点A、C在y轴左侧）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 、，求的值； (3)当直线垂直于y轴时，若四边形 的面积为，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）抛物线（a为常数）经过点，代入即可求解； （2）设直线为，联立方程组得，消y整理得： 根据根与系数的关系可得，代入中可求解； （3）设直线的解析式为，联立方程组得，消去y整理得，求解方程，根据四边形的面积为，得，求出，代入即可. 【规范解答】（1）解：∵抛物线（a为常数）经过点， ∴ ∴ ∴ （2）设直线为 联立方程组得 消y整理得： ∴ ∴． （3）设直线的解析式为 联立方程组得 消去y整理得 解这个方程得， ∴， ， 由 得 整理得 解得：或（舍去） ∴ ∴的解析式为或． 1．（2024·天津和平·中考真题）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的性质，将抛物线的解析式利用配方法转化为顶点式是解题的关键． 已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即可． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 2．（2024·广东佛山·中考真题）抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】过点作交于点，交于点，可得，，继而得出，，，根据 ，得出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作交于点，交于点， 依题意，设，则 则， ∵点、点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴，即 ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ， 当时，取得最大值， 故答案为：． 3．（2024·浙江杭州·中考真题）关于x的二次函数与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根， ，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，先确定， 是直线与抛物线的交点的横坐标，再画出大致图象即可得到，最后推理判断即可． 【规范解答】解：的对称轴为直线，开口向下， ∵关于x的二次函数与x轴有两个交点，， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴，， 当时，，整理得， ∵关于x的方程有两个非零实数根， ， ∴， 是直线与抛物线的交点的横坐标，， 的大致图象如下： 由函数图象可得，，故选项A正确，不合题意； ∵可能是正数也可能是负数， ∴与的大小不能确定，故选项B不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项C正确，不合题意； ∵，， ∴， ∴，故D成立，不符合题意； 故选：B． 4．（2024·湖南长沙·中考真题）已知反比例函数（为常数）的图象经过二次函数的图象的顶点A，下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．反比例函数的表达式为 C．该二次函数的图象与轴没有交点 D．点A关于轴对称的点的坐标为 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查二次函数的性质、反比例函数的表达式以及关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是会求顶点坐标．先求出二次函数的顶点坐标，再代入反比例函数求出表达式，然后逐一分析选项． 【规范解答】A．，点的坐标为，故错误，本选项不符合题意； B．将点代入反比例函数，解得，故正确，故本选项符合题意； C．当时，有，该二次函数的图象与轴有两个交点，故错误，本选项不符合题意； D．点关于轴对称的点的坐标为，故错误，本选项不符合题意． 故选B． 5．（2024·上海·中考真题）利用数形结合解决问题． (1)已知函数 若对任意 恒成立，求：实数 a 的取值范围． (2)设 若存在定义域为 R 的函数 f(x)同时满足①、②两个条件，求a 的取值范围． ①对于任意 的值为 或 ； ②关于 x 的方程 无实数解． (3)已知函数 若方程 有实根，求：集合 的元素的可能个数． 【答案】(1) (2) (3)2或4 【思路点拨】本题考查绝对值函数的恒成立问题、函数的定义与方程无解的条件、二次函数与复合方程根的个数问题，解题关键是运用分类讨论思想，结合函数单调性、方程解的分析及换元法进行求解． （1）根据绝对值的定义化简函数，再根据函数恒成立，分离参数进行讨论即可； （2）根据函数的定义，在函数中给定的自变量，只有唯一确定的与之对应，即可解答； （3）根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可解答． 【规范解答】（1）①当时，，则， 此时恒成立，故； ②当时，，则， 若，即 令为对勾函数，在上单调递减，所以， 故； ③当时，若，则，同②符合题意成立； 若，则，同①符合题意成立． 综上所述，的取值范围为． （2）由条件①得，当时，， 即， 当时，， 即， 又因为关于的方程无实数解， 且， ． （3）①若函数有两个相等的实数根， 则，得，实数根， 令，则， 当时，，此时，有2个解； ②若函数有两个不相等的实数根， 则，得，此时两个实数根分别是， 而， 即在时成立， 此时，有4个解； 综上所述，集合有2个或4个元素． 基础夯实 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了函数图象的平移．根据平移的规律：左加右减，上加下减求解即可． 【规范解答】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）由函数的图象平移得到函数的图象，则这个平移是 (     ) A．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数图象的平移问题，根据所给函数解析式可得平移前后的顶点坐标，根据顶点坐标即可得到平移方式． 【规范解答】解：由题意得平移前的顶点坐标为，平移后的顶点坐标为， 则平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移5个单位， 故选：D． 3．（24-25九年级下·山东临沂·月考）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【规范解答】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级下·天津·月考）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 将一般式转化为顶点式，即可得解． 【规范解答】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． (1)请求出抛物线的解析式． (2)跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 【答案】(1) (2)2米或4米 【思路点拨】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． （1）根据题意，假设出来抛物线的顶点解析式，然后利用待定系数法即可求解； （2）利用函数值，求自变量的值即可． 【规范解答】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入中，得， 该抛物线的解析式是． （2）解：将代入， 解得，， 小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方． 培优拔高 6．（25-26九年级下·北京西城·月考）二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论： ； ； ；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标，可得二次函数的解析式为，根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴交点的位置，可知，，可得：；根据二次函数的解析式为，可知抛物线与轴交点的坐标为和，又因为抛物线开口向上，所以当时，，可得：正确；由可知，，所以；因为二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位，可知结论正确；根据一元二次方程根与系数的关系可以判断结论正确． 【规范解答】解：抛物线的顶点坐标为， 则二次函数表达式为：， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， ， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为， 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 故正确； 二次函数的解析可整理为， 方程的解为，， 抛物线与轴的交点坐标为和， 当时，， 故正确； 由可知，， ， 故错误； 二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位， 有两个根和，且，则， 故正确； 若方程， 即：方程， 当时， 其两个根的和为， 当时， 其两个根的和也为， 这四个根的和为， 故正确． 综上所述，正确的结论是． 故选：D． 7．（2025·江苏泰州·三模）已知：下列函数①②③④， 则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【思路点拨】要确定三点能否确定一个圆，需判断三点是否共线，若三点共线，则无法确定圆；否则可以确定唯一的圆，再结合所给函数图象与性质逐个判定即可得到答案． 【规范解答】解：①是直线，其图象上任意三点必然共线，无法确定圆，故①不满足题意； ②是抛物线，直线与抛物线最多有两个交点，因此抛物线上任意三点不共线，可以确定圆，故②满足题意； ③是反比例函数，图象为双曲线，直线与双曲线最多有两个交点，因此双曲线上任意三点不共线，可以确定圆，故③满足题意； ④图象上三点、和共线，在直线图象上，存在三点共线的情况，这三点无法确定圆，故④不满足题意； 综上所述，满足题意的是②③， 故选：B． 8．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）对于抛物线，若它的各项系数a，b，c满足，则称抛物线为“勾股抛物线”，现有“勾股抛物线过点，则该抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是合理的利用题目中的“勾股抛物线”；先把代入解析式得到，再根据题目中的，得到关于a，b的方程，进而得到答案； 【规范解答】解：∵勾股抛物线过点（1，0）， ∴， ∴， 又， ∴ 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 该抛物线的对称轴为． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【规范解答】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·浙江·月考）已知二次函数 (b为常数). （1）若该函数的图象经过点，则： ①b的值为； ②当时，x的取值范围为； （2）当时，y的最小值为，求b的值； （3）对于一切实数x，若函数值总成立，直接写出t的取值范围（用含b的式子表示）． 【答案】（1）① ②或 （2）或 （3） 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象的性质，求二次函数关系式，二次函数的最值， 对于（1）①，由二次函数经过点，可得，求出解；②由①得，当时可得x的取值范围，再当时可得答案； 对于（2），先求出抛物线的顶点式，再分三种情况：当时，y在处取得最小值为；当时，y在顶点处取得最小值为；当时，即，再分别求出答案； 对于（3），先将抛物线关系式配方可知当时，y有最小值，再结合题意可得答案． 【规范解答】解：（1）①∵二次函数经过点， ∴， 解得． 故答案为：； ②由①得， 当时，则， 解得或； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时， ∴或． 故答案为：或； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线． 当时，y在处取得最小值为， 即， 解得； ②当时，y在顶点处取得最小值为， 即， 解得． ∵， ∴； ③当时，即， 当时，（不合题意，舍去）． 综上所述，或； （3）解：∵， ∴当时，y有最小值． ∵对于一切实数x，函数总成立， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $