精品解析：河北定州中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学考试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2. 设，，…，是变量x和y的n个样本点，通过最小二乘法得到经验回归方程为，则“点在经验回归直线上”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，则或（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 排序题是考研英语中难度较高的题型之一，也是考生普遍认为挑战较大的题型.现有A，B，C，D，E，F6段话，需要将它们按正确的顺序排列，已知正确答案为，某考生将段落B排在第1段后，因时间来不及，只能将后5段进行随机排序，则该名考生恰好对一个的情况有（ ） A. 22种 B. 24种 C. 36种 D. 44种 8. 在等腰中，角，，的对边分别为，，，且满足，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数z满足，其中i是虚数单位，则（ ） A. z的虚部为3 B. 在复平面内，z对应的点在直线上 C. D. 10. 抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 抛物线的准线方程为 C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 13. 如图，在棱长为3的正四面体中，M是棱上一点，且，过点M作平面，，且平面分别交，，于点N，G，H.若四边形的周长为7，则__________. 14. 第二届杭州国际人形机器人与机器人技术展览会将于年月在杭州大会展中心举办，某公司计划让自己的展出机器人在该次大会期间进行一场表演活动.现在给表演机器人编排一个动作，如图，机器人从点出发，每一次等可能地沿着格线移动一个单位长度，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，沿着左右方向恰好移动了次的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，记数列的前n项和为. （1）求； （2）若数列的前n项和，求数列的通项公式. 16. 首届江苏省城市足球联赛（俗称“苏超”）已于2025年11月1日圆满收官，自开赛以来，“苏超”凭借其独特魅力迅速爆火，关注度甚至超过部分职业联赛.统计显示，继“苏超”之后，“赣超”“湘超”“川超”“渝超”“蒙超”“辽超”“青超”“琼超”“滇超”等不少于10个省、自治区和直辖市也在举行城市联赛，这无疑体现出当前城市联赛的火爆程度.某地组建球队参加业余比赛，该队教练统计了球员的数据.为了调查某球员对球队的贡献，作出如下数据统计（比赛结果中没有平局）： 球员 球队 总计 胜 负 未上场 30 上场 40 总计 50 120 （1）将上表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析球队胜利是否与该球员上场有关； （2）考虑到赛程比较密集，主教练决定在接下来的两场比赛中，第一场安排该球员上场，如果获得胜利，那么第二场比赛该球员不上场，以便能够获得充分的休息，否则第二场继续上场比赛.已知每场比赛是胜是负相互独立，利用频率估计概率，设X表示这两场比赛中该球队胜利的场数，求X的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）求的极值； （2）若，证明：． （3）已知对任意的，恒成立，求实数k的取值范围． 18. 如图，四边形是周长为6的矩形，四边形满足，且，现将四边形以直线为轴旋转，记二面角的大小为．点M在直线上，且平面． （1）求证：； （2）已知平面和平面垂直． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当取最小值时，证明：几何体的体积小于． 19. 若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）.已知点是双曲线（，）上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为. （1）证明：直线的方程为； （2）证明：直线为的平分线； （3）若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正切型函数的周期定义求解即可. 【详解】由可知最小正周期公式为. 2. 设，，…，是变量x和y的n个样本点，通过最小二乘法得到经验回归方程为，则“点在经验回归直线上”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，样本中心点在经验回归直线上，必要性成立， 但上除了点外，还有其他点，故不一定是，充分性不成立， 故“点在经验回归直线上”是“，”的必要不充分条件. 3. 已知集合，，则或（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，，， 所以，A错误； 或，B正确； ，C错误； ，D错误. 4. 已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值，再由投影向量公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 即，解得， 所以， 设为向量在上的投影向量， 则. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域为,再判断出关于中心对称，进而判断出当时，的图象位于轴下方，结合排除法即可得答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为, 又因为 ， 所以关于中心对称，故排除C ,D； 当时，，， ，， 所以，图象位于轴下方，故排除B. 由对称性可知当时，的图象位于轴上方， 所以只有A满足. 6. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 7. 排序题是考研英语中难度较高的题型之一，也是考生普遍认为挑战较大的题型.现有A，B，C，D，E，F6段话，需要将它们按正确的顺序排列，已知正确答案为，某考生将段落B排在第1段后，因时间来不及，只能将后5段进行随机排序，则该名考生恰好对一个的情况有（ ） A. 22种 B. 24种 C. 36种 D. 44种 【答案】D 【解析】 【分析】分 四类讨论，先算出答对时的排法共 11 种，同理得到答对也各 11种，得到总的可能情况种数. 【详解】由已知，排在第一段，该名考生恰好对一个，则可能对的一个是四种可能， 若对的一个是，则可分为两类：一是排在第2段，二是排在第段中的一个位置. 若排在第2段，则只能排在第段中一个位置，剩余的只有一种排法，共有种不同的排法； 若C排在第段中的一个位置，不妨设排在第6段，则可排在第段中的任何一个位置， 此时剩余只有一种排法，共有种不同的排法； 综上，此时不同的排法共有种， 同理可得当对的是中某一个时，不同的排法也各有11种， 所以该名考生恰好对一个的情况共有种. 8. 在等腰中，角，，的对边分别为，，，且满足，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角形内角和为化简，结合和差角公式和诱导公式可以得到，再根据等腰即可得到；再由三角形内角和为即可得到三角大小，进一步利用余弦定理求，将值代入即可求解. 【详解】， , ， ， 即， 整理得； ， ，即； 又为等腰三角形，所以， 又，解得，所以； 由余弦定理得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数z满足，其中i是虚数单位，则（ ） A. z的虚部为3 B. 在复平面内，z对应的点在直线上 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的概念、四则运算、共轭复数、模、几何意义判断选项即可. 【详解】由得，所以，z的虚部为，A选项错误； 在复平面内，z对应的点为，该点在直线上，B选项正确； ，所以，C选项正确； ，D选项正确. 10. 抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 抛物线的准线方程为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】选项 A，抛物线的焦点为，是关于原点的对称点，故，由，且是的中点，得， 因为都在抛物线上，代入抛物线方程得，， 即，，所以，得，由，解得，故 A 正确； 选项 B，由，抛物线方程为，其准线方程为，故 B 错误； 选项 C，由，，因为点B在第一象限，故，即，故， 所以，故 C 错误； 选项 D，如图，延长AF与抛物线交于点C，在F的右侧且在x轴上取一点X， 焦点，，， 可得，说明直线与关于轴对称，所以， 因为，所以，故D 正确. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A先将不等式两边作差并化简，再构造函数，通过函数的单调性判断差值的正负可得；对B构造函数，再用导数判断函数单调性进而可得；对C先将不等式变形，再构造函数，并用导数判断函数的单调性进而可得；对D先由换底公式将不等式变形，再构造函数，并用导数判断函数的单调性进而可得. 【详解】选项A：因为， 令，， 所以函数在上单调递减， 因此，所以， 又因为，所以，且，因此， 所以，即，故A错误； 选项B：构造函数，求导得， 因此当时，，故，即在上单调递减. 由，得， 因为在单调递减，所以，即​，故B正确； 选项C：将不等式变形为， 构造函数，求导得， 由均值不等式，当且仅当时取等号， 因此当时，（等号无法取到），在上单调递增. 由题设，得，即原不等式成立，故C正确； 选项D：由换底公式将不等式变形为， 构造函数，求导得， 令，则， 当时，，，函数在上单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递减， 由条件，所以，即， 所以原不等式成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接分椭圆的焦点在轴或轴上，再结合椭圆的性质及离心率的定义计算可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，由焦距得， 根据椭圆关系，有，解得， 所以​，离心率. 当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，同理由焦距得， 由得，解得， 所以，离心率​. 综上，椭圆的离心率为​​或. 13. 如图，在棱长为3的正四面体中，M是棱上一点，且，过点M作平面，，且平面分别交，，于点N，G，H.若四边形的周长为7，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到四边形为等腰梯形或平行四边形，结合余弦定理可得方程，求出答案 【详解】因为，平面，平面平面， 所以，同理可得，故，， 又，，所以≌，所以， 又可能相等，也可能不等，所以四边形为等腰梯形或平行四边形， 因为，所以， 设，则， 在中，由余弦定理得， 故四边形的周长为， 所以，解得， 故 14. 第二届杭州国际人形机器人与机器人技术展览会将于年月在杭州大会展中心举办，某公司计划让自己的展出机器人在该次大会期间进行一场表演活动.现在给表演机器人编排一个动作，如图，机器人从点出发，每一次等可能地沿着格线移动一个单位长度，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，沿着左右方向恰好移动了次的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“沿着左右方向恰好移动次”， 按到位置需要步，步分类讨论． 记向左，向右，向上，向下， ①若步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以； 所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，记数列的前n项和为. （1）求； （2）若数列的前n项和，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，分别令和，并结合等差数列的定义求得，从而求得数列的通项公式，并求得其前n项和. （2）根据数列的项与和的关系，求得数列的通项公式，结合数列的通项公式，可求得数列的通项公式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d. 因为， 所以，即，解得， 则，故. 【小问2详解】 当时，，则； 当时， ， 可得. ，也符合上式， 故数列的通项公式为. 16. 首届江苏省城市足球联赛（俗称“苏超”）已于2025年11月1日圆满收官，自开赛以来，“苏超”凭借其独特魅力迅速爆火，关注度甚至超过部分职业联赛.统计显示，继“苏超”之后，“赣超”“湘超”“川超”“渝超”“蒙超”“辽超”“青超”“琼超”“滇超”等不少于10个省、自治区和直辖市也在举行城市联赛，这无疑体现出当前城市联赛的火爆程度.某地组建球队参加业余比赛，该队教练统计了球员的数据.为了调查某球员对球队的贡献，作出如下数据统计（比赛结果中没有平局）： 球员 球队 总计 胜 负 未上场 30 上场 40 总计 50 120 （1）将上表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析球队胜利是否与该球员上场有关； （2）考虑到赛程比较密集，主教练决定在接下来的两场比赛中，第一场安排该球员上场，如果获得胜利，那么第二场比赛该球员不上场，以便能够获得充分的休息，否则第二场继续上场比赛.已知每场比赛是胜是负相互独立，利用频率估计概率，设X表示这两场比赛中该球队胜利的场数，求X的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） 球员 球队 总计 胜 负 未上场 30 30 60 上场 40 20 60 总计 70 50 120 认为球队胜利与该球员上场有关，该推断犯错的概率不超过0.1 （2） X 0 1 2 P . 【解析】 【分析】（1）根据列联表各行各列总计与分项的和差关系，计算空缺的数值，进而确定零假设，代入卡方公式计算统计量，将统计量和对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设. （2）分别得到球员上场时球队获胜的概率、球员未上场时球队获胜的概率，再确定的可能取值，分情况计算每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据期望公式计算. 【小问1详解】 补充列联表，如下所示： 球员 球队 总计 胜 负 未上场 30 30 60 上场 40 20 60 总计 70 50 120 零假设：球队胜利与该球员上场无关. 则， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为球队胜利与该球员上场有关，该推断犯错的概率不超过0.1. 【小问2详解】 由题意可知，该球员上场时，球队获胜的概率为； 该球员不上场时，球队获胜的概率为. X的可能取值为0，1，2， ， ， . 故X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 17. 已知函数． （1）求的极值； （2）若，证明：． （3）已知对任意的，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）的极小值为，极大值为 （2）证明：由（1）可知在区间上单调递增， 所以当时，， 故， 即， 故，即． （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，依据驻点两侧增减性求出函数极值； （2） 根据函数的单调性构造不等式，结合立方差公式代数变形完成证明； （3）化简恒成立不等式，换元分离参数，构造函数求最值，解出参数范围． 【小问1详解】 ， 令，得或； 令，得或；令，得； 故在区间，上单调递减，在区间上单调递增， 所以的极小值为，极大值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知，对任意的，， 即， 当时，，不等式显然成立， 当时，等价于， 令，则， 于是，即， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以， 当，即时，不等式成立， 综上，实数k的取值范围是． 18. 如图，四边形是周长为6的矩形，四边形满足，且，现将四边形以直线为轴旋转，记二面角的大小为．点M在直线上，且平面． （1）求证：； （2）已知平面和平面垂直． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当取最小值时，证明：几何体的体积小于． 【答案】（1）如图，因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，，平面， 所以平面. 因为平面，所以． （2）（i） （ii）由题意知，几何体的体积， 由，知， 因为，，，所以， ， 所以， 又， 所以几何体的体积小于． 【解析】 【分析】（1） 利用线面垂直性质，由平面得，结合矩形中，证平面，推出； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，利用面面垂直则法向量点积为0得到，用基本不等式求最小值； （ⅱ）拆分几何体体积为两部分，代入最小值算出总体积，作差比较证明小于． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由，，知， 由（1）知，平面，则平面， 故在平面内过点D作的垂线，交直线于点G， 以D为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， ，， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以； 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． （ⅱ）略 19. 若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）.已知点是双曲线（，）上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为. （1）证明：直线的方程为； （2）证明：直线为的平分线； （3）若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）由题意知，点P与直线是双曲线的一对极点和极线， 故直线的方程为， 即. （2）如图，，， 则， 同理可得. 由直线，知，则，， 所以，，所以. 在中，， 在中，， 又，联立上式可得， 因为， 所以，所以直线l为的平分线. （3）由（2）知，又，，则， 故，即，故双曲线的方程为. 假设存在点，使得过点的双曲线的两条切线互相垂直. 由双曲线的几何性质可知，切线的斜率不为0，则两条切线的斜率都存在且不为0， 设切点分别为，， 则切线，. 由点和直线是双曲线的一对极点和极线， 得直线的方程为，即. 又，则. 因为点在直线上，所以， 切点在双曲线上，则， 化简可得， 同理可得， 则与是方程的两个解. 由韦达定理可得，得，故点K的轨迹方程为. 又直线， 圆心到直线的距离， 令，则， 由均值不等式，得，因此，即， 故，所以直线与曲线无交点， 故不存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直. 【解析】 【分析】（1）利用极点极线的对应规则，曲线上点的极线就是该点的切线，代入圆锥曲线一般式可直接写出切线方程； （2）证明角平分线可优先用角平分线定理逆定理，通过线段长度比例直接判定，比正弦定理更简洁； （3）圆锥曲线两条互相垂直切线的交点轨迹为蒙日圆，先求出轨迹方程，再通过直线与曲线的位置关系判断是否存在满足条件的点。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $