重难点突破1：正余弦函数图像与性质【知识梳理+14个常考题型归纳+解题策略】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义通过表格系统梳理正余弦型函数核心参数对图像的影响，用框架图呈现定义域、值域、周期等性质的推导过程，以“整体代换法”为核心串联知识脉络，清晰标注易错点如平移变换需提系数，构建起从基础概念到综合应用的完整体系。 讲义亮点在于14类典型题型的阶梯式设计，如“换元法求最值”通过“确定范围-转化基础函数-分析边界”三步策略培养数学思维，“图像交点个数问题”结合图像直观与逻辑推理发展几何直观。每个题型配易错提醒和梯度例题，基础生可掌握通法，尖子生能突破综合应用，助力教师实施精准复习教学。

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【重难点突破1：正余弦函数图像与性质解题策略】 总览 题型梳理 正余弦型函数图像与性质核心聚焦 核心对象：与（） 核心方法：整体代换法（令，转化为或求解） 一、核心参数对图像的影响（图像变换本质） 参数 图像变换规律 直观影响 典型示例（以为例） （振幅） 纵坐标伸缩：将基础函数图像纵向伸缩为原来的倍（横坐标不变） 决定波动幅度，影响值域范围 ：纵向伸长2倍，值域从变为 （角速度） 横坐标伸缩：将基础函数图像横向伸缩为原来的倍（纵坐标不变） 决定周期大小，越大周期越小，波动越频繁 ：横向缩短为，周期从变为 （初相） 左右平移：将伸缩后的图像沿轴平移个单位（左加右减，针对本身） 改变图像起始位置，不影响周期和幅度 ：左移（转化为） （垂直平移量） 上下平移：将平移后的图像沿轴平移个单位（上正下负） 改变图像中线位置，不影响周期、幅度和单调性 ：上移1个单位，中线为 易错提醒：平移变换必须先对提系数，平移量是，而非；伸缩变换中，横坐标伸缩与成反比，纵坐标伸缩与成正比. 二、正余弦型函数的核心性质（推导+结论） 2.1共性性质（正弦型、余弦型通用） 定义域：（无特殊定义域限制时） 值域： 推导：由、，得、，再叠加的平移量。 周期： 拓展：若，先利用奇偶性转化为，通用公式；、的周期为. 最值与对应的取值： ①最大值： 正弦型：对应（） 余弦型：对应（） ②最小值： 正弦型：对应（） 余弦型：对应（） 2.2差异性质（正弦型vs余弦型） 性质类型 正弦型函数 余弦型函数 奇偶性（时，否则非奇非偶） 奇函数：（）偶函数：（） 奇函数：（）偶函数：（） 单调性（） 增区间：解减区间：解 增区间：解减区间：解 对称性（） 对称轴：对称中心： 对称轴：对称中心： 推导关键：始终用“整体代换”，将看作一个整体，先利用基本正余弦函数的性质求出的范围/条件，再反解. 三、高频易错点辨析（避坑指南） 忽略符号：当时，求单调区间需先将转化为正数，同时反转不等式方向；例：求的增区间，先变形为，再求的减区间. 遗漏参数：误将的值域当作，正确值域应为. 对称中心纵坐标错误：将正余弦型函数的对称中心纵坐标误记为0，实际应为垂直平移量. 混淆周期公式：含绝对值的正余弦型函数（如），周期误记为，正确周期为. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:正余弦函数图像的应用之奇偶性判断图像】 【解题策略】 步骤1：明确奇偶性定义 奇函数：满足，图像关于原点对称； 偶函数：满足，图像关于轴对称. 步骤2：正余弦型函数的奇偶性判定公式（） 对正余弦型函数或（）： 1.正弦型函数 是奇函数； 是偶函数； 2.余弦型函数 是奇函数； 是偶函数. 步骤3：结合图像特征验证 若判定为奇函数：图像必过原点； 若判定为偶函数：图像必关于轴对称（即是对称轴）. 易错提醒 若函数为或（），则函数非奇非偶（因为垂直平移后不关于原点或轴对称）. （25-26高三上·山东·期中）函数 的图象大致是（   ）经典例题例题 A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，结合正弦函数的性质分析图象即可. 【详解】函数 的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 又时，，可排除A、B选项， 同时时，有无数零点，同时也有的情况， 故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确. 故选：D （25-26高三上·天津·期中）函数的图象的大致形状是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查函数的奇偶性、单调性与函数图像，直接求解即可. 【详解】,定义域为，关于原点对称； ，所以为偶函数， 图象关于y轴对称；排除B、D. 当 时，，则，所以，C满足. 故选：C （25-26高三上·天津河北·期中）已知函数，，则图象为如图的函数可能是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知图象关于原点对称，可知函数为奇函数，判断选项A和B错误；函数图象过原点判断选项C错误，分析选项D的函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负，及函数值正负的规律得解. 【详解】图象关于原点对称，则函数为奇函数； 选项A，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项A错误； 选项B，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项B错误； 选项C，， ，， 而，在出无意义，故选项C错误； 选项D， 设， ，， ，，是奇函数， ，符合已知图像， ，符合已知图像， 在上函数值从到1到0到到0，周而复始进行， 在上函数值恒大于0， 的函数值在上函数值从到正数到0到负数到0，周而复始进行， 故选项D符合已知图像，故选项D正确. 故选：D. （22-23高三上·广西柳州·月考）函数在上的图象大致为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号即得. 【详解】因为函数，， 又， 所以为奇函数图象关于原点对称，排除AD； 又时，，所以，排除C. 故选：B． 【题型2：正余弦型函数图像的应用之图像交点个数问题】 【解题策略】 步骤1：明确研究区间，锁定分析范围 先提取题目中给出的取值范围（如），明确分析边界； 计算正余弦型函数的周期，判断区间内包含的函数周期个数（整数周期+剩余区间），为后续图像绘制提供依据. 步骤2：简化函数表达式，明确图像特征 梳理参与交点分析的两个函数：一个为正余弦型函数（如），另一个根据题目确定（如直线、二次函数、其他三角函数等）； 简化正余弦型函数：通过参数（振幅）、（垂直平移）确定图像的最值范围和中线位置，通过（周期）、（初相）确定图像的波动频率和起始位置. 步骤3：绘制大致图像，初步定位交点 在同一坐标系中，结合步骤1的区间和步骤2的函数特征，分别绘制两个函数的大致图像（重点标注最值点、零点、对称轴等关键节点）； 根据图像走势，初步判断交点的大致位置和数量，尤其关注周期重复部分的交点是否存在重叠或遗漏. 步骤4：结合函数性质验证，精准计数 利用单调性验证：在疑似交点所在的子区间内，判断两个函数的增减趋势，若趋势相反，大概率存在1个交点；若趋势相同，需进一步比较函数值大小； 验证特殊点：将区间端点、函数最值点、零点代入两个函数，计算函数值是否相等，确认该点是否为交点； 汇总计数：整合各子区间和特殊点的验证结果，统计出区间内的交点总个数. 易错提醒 忽略周期重复：未计算区间内的周期个数，导致遗漏重复出现的交点； 误判端点交点：未验证区间端点是否满足两个函数的表达式，将“图像趋近”误判为“交点”； 忽视函数定义域：未注意其中一个函数的定义域限制（如二次函数定义域、分式函数分母不为0等），导致多算定义域外的交点. （25-26高三上·重庆·月考）函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则 的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用去绝对值法求出函数的表达式，作出函数图象，即可得出答案． 【详解】由，， 故当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 故，作出函数图象： 由图象可得：当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故直线与的图像有且仅有两个不同交点，需满足：． 故选：B 故选：B． （25-26高三上·青海·月考）曲线与交点个数是 ．小试牛刀1 【答案】3 【分析】分别作出与图象，分析即可得答案. 【详解】在同一坐标系中作出与图象，如下图所示， 因为，在 单调递增， ， 所以由图象可得，交点个数为3. 故答案为：3 （2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ）小试牛刀2 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】当时，画出曲线与的图象即可得解. 【详解】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. （2025·福建泉州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦函数图像的性质作出两函数图象，再确定在指定区间内交点个数即可. 【详解】函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 在坐标系中，由五点法作图画出两函数在上的图象，如图：    观测图象知，函数与在上的图象有8个交点. 故选：D 【题型3：正余弦型函数图像的应用之零点/方程的根的问题】 【解题策略】 步骤1：等价转化，统一问题模型 函数零点转化：正余弦型函数（或余弦型）的零点，等价于方程的实数根； 方程变形：整理方程为（或），转化为基础三角函数与常数直线的交点问题； 限定范围：明确题目中的取值区间（如），这是后续计数的关键边界. 步骤2：整体代换，简化分析对象 换元操作：令，根据且，求出的取值区间（若，需交换区间端点）； 转化方程：原方程转化为（或，其中），此时问题转化为“函数（或）与直线在内的交点个数”. 步骤3：图像分析，统计交点个数 确定的取值范围，结合基础三角函数图像特征判断交点个数： 当时：方程（或）无实数根； 当时：方程在一个周期内有且仅有1个实数根； 当时：方程在一个周期内有2个实数根（且关于对称）； 计算区间内包含的周期个数：先求出基础三角函数的周期，再计算区间长度，确定整数周期数和剩余区间长度； 分类统计：分别计算整数周期内的交点个数和剩余区间内的交点个数，汇总得到对应的根的总数. 步骤4：回代还原，确定x的根的个数 根据是单调函数（），与一一对应； 将对应的根的总数，转化为对应的根的总数，即为原函数的零点个数或原方程的实数根个数. 易错提醒 忽略符号：未判断的正负，直接求的区间，导致区间端点颠倒，计数错误； 漏算剩余区间交点：仅计算整数周期内的交点个数，忽略剩余区间内的交点，或误判剩余区间与直线的位置关系； 忽视参数范围：当含参数时，未按、、分类讨论，导致漏解； 混淆周期概念：误用正余弦型函数的周期代替基础三角函数的周期，干扰区间内周期个数的计算. （2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，若方程有4个实数根，则的取值范围为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得，转化为恰有4个实数根，结合图象列出不等式，求解即可. 【详解】由得，， 又，则， 如图，要使恰有4个实数根，结合图象需满足， 解得． 故选：D.    （25-26高三上·江苏南京·期中）若函数有个零点，则正数的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. （23-24高一上·江苏常州·月考）若函数在区间上存在唯一的使得，则实数的取值范围是 .小试牛刀2 【答案】 【分析】函数在区间上存在唯一的使得，由求出，利用正弦函数的图形得到，从而得到的取值范围. 【详解】函数在区间上存在唯一的使得， 由于，故， 所以，解得. 故实数的取值范围为. 故答案为：. （25-26高三上·江苏苏州·期中）已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】令，设的两根分别为，结合正弦函数的图象与性质，转化为上的零点问题，结合二次函数的图象与性质，分三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程在上恰有两个不同的实数根， 令，可得， 设的两根分别为，则，所以同号， 结合正弦函数的图象与性质， 可得上的零点有三种情况： 当时，即，解得或（舍去）， 此时，即，可得或，符合题意； 当时，则满足，即，解得（舍去）； 当时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型4：“换元法”求正余弦型函数的最值/值域】 【解题策略】 步骤1：确定目标函数，明确参数范围 1.整理目标函数：将函数化为标准形式或（）； 2.提取关键参数：明确（振幅）、（垂直平移量），同时确定自变量的取值范围（如，无特殊说明时）. 步骤2：整体代换，转化为基础函数 1.换元操作：令，将复合函数转化为关于的基础正余弦函数： 2.确定的取值范围：根据和的单调性（时单调递增，时单调递减），求出的区间. 步骤3：结合基础函数性质，分析最值 1.利用基础函数有界性： 当时，，； 当时，结合或在该区间内的单调性，确定或的最值和. 2.计算原函数最值： 若：，； 若：，. 步骤4：确定值域，总结结果 1.由函数的最值直接写出值域：； 2.验证特殊点：当的区间包含基础函数的最值点时，需验证对应是否在原定义域内. 易错提醒 1.忽略的定义域限制：直接套用时的有界性，未根据范围求的区间，导致值域计算错误； 2.忽视的符号：默认，未对时的最值进行反转，结果完全相反； 3.换元后忘记回代验证：求出的最值后，未确认对应是否在题目给定的区间内，导致结果无效. （25-26高二上·湖南长沙·月考）若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ）经典例题例题 A． B． 或 C． 或 D．或 【答案】D 【分析】利用换元法，结合二次函数和余弦函数的图象进行求解即可. 【详解】，，，分别作出它们的图象如下，              要使得关于x的方程在内有解，必须. 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意， 综上，或. 故选：D （25-26高三上·重庆·月考）已知函数，则的最大值为 .小试牛刀1 【答案】/0.25 【分析】结合题意求出，再利用同角三角函数的基本关系和换元法得到，最后结合二次函数的性质求解最大值即可. 【详解】由题意得，可得，解得， 则， 令，因为，所以， 则原函数可化为，由二次函数性质得其对称轴为，且图象开口向下， 可得，即的最大值为. 故答案为： （25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，在处取得最小值，则（    ）小试牛刀2 A．     B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求出取得最小值的，再利用诱导公式求解. 【详解】当时，，， 则当，即时，函数取得最小值，因此， 此时，所以. 故选：A （2025高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（    ）．小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得，结合的取值范围，求式子的值域即可. 【详解】令， 得． 因为，所以. 所以， 当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为：. 所以. 故选：C 【题型5：整体代换法求正余弦型函数的单调性对称性】 【解题策略】 一、用整体代换法求单调性 步骤1：换元转化，确定基础函数单调区间 1.令（），则正余弦型函数转化为或； 2.写出基础函数的单调区间（）： 的增区间：，减区间：； 的增区间：，减区间：. 步骤2：整体代入，列出关于的不等式 将代入基础函数的单调区间，得到关于的不等式： 例：求的增区间，即解. 步骤3：求解不等式，注意的符号对不等号的影响 1.当时，直接解不等式，不等号方向不变； 2.当时，不等式两边同时除以，不等号方向反转； 3.回代还原后，得到原函数的单调区间（结果需写成区间形式，标注）. 二、用整体代换法求对称性 步骤1：换元转化，确定基础函数的对称性质 1.令，转化为基础函数或； 2.写出基础函数的对称性质（）： 基础函数 对称轴方程 对称中心坐标 步骤2：整体代入，求解原函数的对称轴与对称中心 1.求对称轴： 对：令，解得； 对：令，解得； 对称轴为垂直于轴的直线，方程形式为（）. 2.求对称中心： 对称中心的横坐标：令满足基础函数对称中心的横坐标条件，解出； 对称中心的纵坐标：正余弦型函数的对称中心纵坐标为（即函数的中线位置）； 例：的对称中心为（）. 易错提醒 1.忽略的符号：求单调区间时，未判断的正负，直接解不等式导致区间方向错误； 2.混淆对称中心坐标：误将基础函数对称中心的纵坐标当作原函数的对称中心纵坐标，忽略垂直平移量的影响； 3.漏写：单调性和对称性的结果均为无限多个区间或点，遗漏会导致答案不完整. （25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数．经典例题例题 (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； (2)若，求． (3)若，求的单调递减区间和对称轴． 【答案】(1)填表见解析；作图见解析； (2)或； (3)单调递减区间为，；对称轴为，. 【分析】（1）根据函数解析式，完善题干的表格，应用五点法画出函数图象； （2）由已知，可得，再根据同角三角函数的平方关系，即可求解； （3）根据题意，先求得函数的解析式，再由正弦型函数的性质及整体法求得函数的单调递减区间和对称轴． 【详解】（1）根据题意，列表得       再描点，得图象如下， （2）根据题意，，且， 解得， 又， 解得或 . （3）根据题意，，且， 则， 根据正弦函数的图像性质，令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. （2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式将原函数变形为，将原函数的单调增区间转化为的单调减区间，再结合正弦函数的单调减区间列不等式求解，得到原函数的单调增区间. 【详解】由于函数， 故函数的单调递增区间，即函数的减区间． 令，，求得， 故所求的函数的单调递增区间是. 故选：B （25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，．小试牛刀2 (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； (2)求函数的对称轴和对称中心； (3)解不等式． 【答案】(1)答案见解析，作图见解析 (2)对称轴为；对称中心为； (3) 【分析】（1）分别令、、、、，解出的值，然后列表、描点、连线，可作出函数在一个周期内的图象； （2）利用函数的对称性可求得函数的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）由可得，即可解得原不等式的解集. 【详解】（1）分别令、、、、得： 画出函数在一个周期的图象，如图， ·· （2）令，解得， 所以函数的对称轴方程为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （3）因为，即， 所以，解得． 故不等式的解集为. （2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数．小试牛刀3 (1)求最小正周期； (2)求的单调递增区间与对称轴． 【答案】(1)，； (2)单调递增区间为，对称轴为. 【分析】（1）利用周期公式计算最小正周期，根据函数解析式代值计算即得； （2）利用正弦函数的图象性质，整体处理易求得单调区间及函数的对称轴方程. 【详解】（1）函数，最小正周期； 由，又，得. （2），则， 令，解得， 所以的单调递增区间为， 令，得， 所以的对称轴为. 【题型6：带入验证法判断正余弦函数的单调性对称性】 【解题策略】 一、代入验证法判断单调性 步骤1：明确验证前提 确定待验证的区间（如）和函数或； 单调性定义：对区间内任意，若则为增区间，若则为减区间. 步骤2：取特殊值代入 在区间内任意取两组不相等的（建议取区间中点、端点附近的点，计算更简便）； 分别计算和的值，比较两者大小关系. 步骤3：判断并验证 若两组特殊值均满足，可初步判断区间为增区间；若均满足，初步判断为减区间； （可选，增强严谨性）若存在一组使得（增区间验证），则区间非增区间；同理可验证非减区间. 二、代入验证法判断对称性 （1）验证对称轴（直线） 对称性定义：对函数定义域内任意，若，则是函数的对称轴； 代入验证：取2-3个不同的值（如），计算和的值； 判断：若所有取值均满足，则是对称轴；否则不是. （2）验证对称中心（点） 对称性定义：对函数定义域内任意，若，则是函数的对称中心； 代入验证：取2-3个不同的值，计算的结果； 判断：若所有取值均满足，则是对称中心；否则不是. 易错提醒 特殊值选取单一：仅取一组或就下结论，可能因特殊值巧合导致误判，建议至少取两组； 忽略定义域限制：选取的或超出函数定义域，导致计算无效； 混淆对称中心纵坐标：验证对称中心时，误将作为默认值，未结合函数的垂直平移量判断. 【多选题】（25-26高三上·海南海口·月考）设函数，则下列结论正确的是（   ）经典例题例题 A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上是增函数 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】利用正弦函数的周期，对称轴，对称中心和单调区间即可对各选项逐一判断. 【详解】对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，因，故直线不是该函数的对称轴，故B错误； 对于C，由，解得， 令得，即在上是增函数，而，故C正确； 对于D，因，故点不是该函数的对称中心，故D错误. 故选：AC 【多选题】（25-26高二上·湖南·期中）函数，则下列结论正确的为（    ）小试牛刀1 A．函数的单调增区间为 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．若，则函数的值域为 【答案】AC 【分析】由求解可判断A，通过代入验证可判断BC，由，可得，再结合正弦函数性质可判断D. 【详解】选项A：由，，可得，， 即函数的单调增区间为，故A正确； 选项B：，则函数的图象关于直线对称，关于不对称，故B错误，故C正确； 选项D：由，可得，则， 则． 即若，则函数的值域为，故D错误． 故选：AC． 【多选题】（2025·广西·模拟预测）关于函数，下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递减 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，将得到函数的图象 【答案】AC 【分析】根据正弦函数的最小正周期以及单调性分别代入检验判断ABC，将函数的图像沿x轴向左平移个单位长度，将得到函数整理判断D． 【详解】函数的最小正周期为，A正确； ，则，在单调递增，B不正确； 在对称轴处取到最值，则，C正确； 将函数的图像沿轴向左平移个单位长度，将得到函数的图象，D不正确 故选：AC． 【多选题】（24-25高三上·贵州·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．在上的最小值为 B．图像的对称轴为 C．的图像向右平移个单位长度可以得到的图像 D．在上单调递减 【答案】BC 【分析】对A，化简，再利用整体法求出其值域即可判断；对B，令，，解出即可判断；对C，根据左正右负的法则即可判断；对D，利用整体法并结合复合函数单调性即可判断. 【详解】对A，， 因为，则，则， 即，则，则其最小值为0，故A错误； 对B，令，，解得，，故B正确； 对C，的图像向右平移个单位长度可以得到 ，故C正确； 对D，因为，则， 因为在上单调递增，则在上单调递增，故D错误. 故选：BC. 【题型7：由正余型函数的值域/最值求参数】 【解题策略】 步骤1：明确函数形式与参数关联 将函数化为标准形式或（）； 牢记核心关系：无定义域限制时，函数值域为，最大值，最小值. 步骤2：结合已知条件列等式/不等式 若已知最值：设题目给出的最大值为、最小值为，则列方程、； 若已知值域：设题目给出的值域为，则列不等式组（若值域完全匹配，则为等式）； 若含参数：需关注其对复合角取值范围的影响，进而影响最值. 步骤3：结合定义域分析（若有定义域限制） 若有取值范围（如），令，求出的区间； 分析或在内的最值、，结合（或余弦型），列方程、（注意的符号）. 步骤4：求解参数，验证合理性 解上述方程或不等式组，得到参数的可能值； 验证：将参数值代入原函数，检查值域/最值是否与题目一致，排除不合理解（如导致函数为常函数，不符合正余弦型函数定义）. 易错提醒 忽略的绝对值：直接用代替，未考虑的情况，导致最值计算错误； 遗漏定义域限制：默认，未结合的范围分析的取值，导致参数解过多或过少； 未验证参数合理性：求解后未代入原函数验证，导致出现不符合题意的参数值（如参数使复合角范围固定，无法取到最值）. （25-26高三上·湖南·月考）若，，使得，则的最小值为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化成的区间长度要不小于的解集的区间长度求的取值范围. 【详解】由，得，， 由，得，， 若，，使得， 则的区间长度要不小于的解集的区间长度， ， . 故选：A （25-26高三上·江苏南通·月考）若对于，总，使得，则实数的最小值为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据正弦函数性质解不等式，由题意 ，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的解集为， 对于，总，使得， 所以， ，， 所以， 所以，即实数的最小值为. 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）如果函数在区间上的最小值为，则a的值为（    ）．小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】时应用正弦函数的值域得出当时，有最小值，最后结合最小值即可求参． 【详解】因为当时，， 所以，当时，有最小值． 可得的最小值为，解得. 故选：A. （25-26高三上·浙江·月考）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可推得.又，结合正弦函数的图象可知，解出不等式即可得出答案. 【详解】因为函数的值域为，所以. 又，所以， 根据正弦函数的图象可知，解得， 又，所以，所以的取值范围是. 故选：A 【题型8：由正余弦型函数的单调性求参数范围】 【解题策略】 步骤1：求函数的单调区间（含参数） 设函数为或（），令； 写出基础函数或的单调区间（），将代入，解关于的不等式，得到原函数的单调区间（含参数）； 注意：时不等号方向不变，时不等号方向反转. 步骤2：明确“子集”关系 设题目给定的单调区间为（如），原函数的某一单调区间为（含参数）； 核心关系：（即给定区间完全包含在函数的某一个单调区间内）. 步骤3：列不等式组，求解参数范围 根据，将区间端点代入单调区间的不等式，列出关于参数的不等式组； 结合、（若题目未说明，需保证单调区间的合理性）等条件，解不等式组，得到参数的初步范围； 若参数含，需结合的常见取值范围（如）进一步限定. 步骤4：验证边界与合理性 将参数范围的边界值代入原函数，检查给定区间是否仍为单调区间； 验证的取值：确保存在整数使得，排除无意义的参数范围. 易错提醒 忽略的隐含条件：未限定，导致参数范围包含负数值，单调区间方向错误； 未考虑：解不等式组时未结合整数的取值，导致参数范围过大或无法找到对应单调区间； 混淆“子集”关系：将当作核心关系，导致参数范围求解错误； 漏验证边界值：边界值可能使函数在区间端点处导数为0（极值点），需验证是否仍满足单调性. （2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ）经典例题例题 A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B （25-26高三上·河南·月考）已知函数的一条对称轴是，且在上单调，则ω的最大值为（    ）小试牛刀1 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先利用函数对称轴可得，又由在上为单调函数，列不等式可得间的不等关系，进而可得的最大值. 【详解】函数一条对称轴为，， ，的对称轴可以表示为， 令，则，在上单调， 则，使得，解得，由，得， 当时，取得最大值为. 故选：C． （25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 .小试牛刀2 【答案】11 【分析】由直线是曲线的一条对称轴，得到，进而得到在上单调递增，比较端点即可求解. 【详解】因为直线是一条对称轴，所以. 整理可得：，即， 由，得， 则函数在上单调递增， 因为函数在区间上不单调，所以，解得， 因为且，所以的最小值为11， 故答案为：11 （25-26高三上·河南郑州·期中）已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.小试牛刀3 【答案】，或. 【分析】根据偶函数确定的值，根据对称中心确定的表达式，根据单调性确定的取值范围，结合表达式和取值范围确定的值. 【详解】由是偶函数可得，即：. 所以 对任意都成立，且，所以得. 依题设，所以解得， 由的图象关于点M对称，得. 取，得，所以 又因为，得 所以 当时，在区间上是减函数； 时，在区间上是减函数； 时，在区间上不是单调函数； 综上，或. 【题型9：由正余弦型函数的奇偶性求参数范围】 【解题策略】 步骤1：明确奇偶性的前提条件 设函数为或（）； 前提条件：若函数为奇函数或偶函数，则必须满足（否则函数图像有垂直平移，不关于原点或轴对称），即函数简化为或. 步骤2：结合奇偶性定义或判定公式列方程 方法一：定义法（通用） 奇函数：，代入函数表达式化简，得到关于的方程； 偶函数：，同理代入化简，得到关于的方程. 方法二：公式法（快捷） 正弦型函数：奇函数；偶函数（）； 余弦型函数：奇函数；偶函数（）. 步骤3：求解参数的范围 解步骤2中得到的方程，结合，得到的通解； 若题目对有额外限制（如），结合通解求出具体的值. 步骤4：验证参数的合理性 将求出的和的值代入原函数，验证是否满足奇偶性定义（避免公式应用错误）； 排除特殊情况：如导致函数为常函数（既是奇函数也是偶函数），若题目明确为“正余弦型函数”，需排除的情况. 易错提醒 忽略的前提条件：未限定，直接求解，导致参数范围错误（此时函数非奇非偶）； 混淆正弦型与余弦型的判定公式：将两者的奇偶性条件记反，导致的解错误； 漏写：的解为无限多个，遗漏会导致答案不完整； 未验证常函数情况：时函数为常函数，仅当时是奇函数，需根据题目要求排除. （25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（   ）经典例题例题 A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D （25-26高三上·全国·期中）已知函数为奇函数，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定定义域，分析对数部分的奇偶性，结合的奇偶性推出正弦部分需为偶函数，利用偶函数性质列方程求解，进而得到其最小值. 【详解】先确定函数定义域：由得，定义域关于原点对称. 令，则，故是奇函数. 因为奇函数，故需为偶函数. 偶函数满足，即， 利用正弦函数性质， 得， 解得. 由，当时，取最小值. 故选：D （25-26高二上·贵州遵义·期中）设函数.若为偶函数，则 ．小试牛刀2 【答案】3 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． （2025·河南·一模）若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出的值，可得出函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可得出正数的最小值. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 则函数. 因为函数满足，所以函数是奇函数， 则，解得， 而，因此最小可取. 故选：D. 【题型10：由正余弦型函数的对称性求参数范围】 【解题策略】 一、由对称轴求参数 步骤1：明确对称轴的核心条件 设函数为或（）； 令，则原函数转化为或； 基础函数对称轴：的对称轴为，的对称轴为（）. 步骤2：结合原函数对称轴列方程 设原函数的对称轴为（题目给出），则当时，必须满足基础函数的对称轴条件； 列方程： 正弦型：（）； 余弦型：（）. 步骤3：求解参数范围 解上述方程，将待求参数（如或）单独放在等式一侧，得到含的通解； 结合题目对参数的限制（如、），确定的取值，进而得到参数的具体范围. 二、由对称中心求参数 步骤1：明确对称中心的核心条件 令，原函数转化为或； 基础函数对称中心：的对称中心为，的对称中心为（）； 原函数对称中心：横坐标满足基础函数对称中心的横坐标条件，纵坐标为（垂直平移量）. 步骤2：结合原函数对称中心列方程 设原函数的对称中心为（题目给出），则需满足两个条件： 纵坐标条件：（若题目未给出，则此条件用于验证或求）； 横坐标条件：（）. 步骤3：求解参数范围 先通过纵坐标条件确定（若未知），再解横坐标条件的方程，得到待求参数的通解； 结合题目对参数的限制，确定的取值，得到参数的具体范围. 易错提醒 混淆对称中心纵坐标：误将基础函数对称中心的纵坐标当作原函数的纵坐标，忽略垂直平移量； 漏写：参数的解为无限多个，遗漏导致答案不完整； 未结合参数限制：未利用题目中、等条件，导致参数范围过大； 对称轴与对称中心条件记反：将正弦型与余弦型的对称轴/对称中心条件混淆，导致方程列错. （25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，确定对称轴处三角函数取最值的条件，进而求解的取值. 【详解】由，知是的对称轴， 故. 解得,结合，得. 故选：A 【多选题】（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知函数图象的两个相邻零点之间的距离为，且是偶函数，则（   ）小试牛刀1 A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】根据题意，求得，得到，可判定A错误；由函数是偶函数，求得，得到，可判定B正确；由，可判定C正确；求得，结合三角函数的性质，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数的图象的两个相邻的零点之间的距离为， 可得，所以，则，所以A错误； 对于B，由，可得， 因为函数是偶函数，可得，所以， 又因为，所以，所以，所以B正确； 对于C，由，所以的图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，由，可得，则 所以函数的值域为，所以D错误； 故选：BC. （25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知函数图象的一条对称轴为直线，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用整体替换法，令求解出的表示，根据的范围求解出的值. 【详解】由题意可知，，得. 因为，所以. 故选：A. （25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题设条件结合正弦函数的性质由可得或，由可得或，进而分析求解即可. 【详解】由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由， 则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B 【题型11：正余弦型函数综合不等式恒成立/有解问题】 【解题策略】 步骤1：转化不等式，明确核心关系 设函数为或，不等式形式常见为、（为常数或含参数的表达式）； 核心关系（关键区分）： 恒成立：对定义域内所有成立，即（恒成立）、（恒成立）； 有解：存在定义域内的成立，即（有解）、（有解）. 步骤2：求函数的最值 令，根据的定义域求出的区间； 分析或在内的最值、； 计算的最值：结合的符号，、（时反转）. 步骤3：列不等式，求解参数范围 将步骤2求出的最值代入步骤1的核心关系，列出关于参数的不等式； 解不等式：若参数在中，结合参数的隐含条件（如）求解；若参数在中，直接解出参数范围. 步骤4：验证参数范围的合理性 将参数范围的边界值代入原不等式，检查是否满足恒成立/有解条件； 验证函数最值的有效性：确保求出的最值是函数在定义域内的真实最值，而非理论最值（如定义域限制导致无法取到理论最值）. 易错提醒 混淆恒成立与有解的核心关系：将“恒成立”的最值条件与“有解”的条件记反，导致不等式列错； 忽略定义域限制：默认，未结合的范围求的区间，导致最值计算错误； 未考虑的符号：计算最值时未区分和的情况，导致最值反转； 漏验证边界值：边界值可能使不等式变为等式，需验证是否满足“恒成立”或“有解”的定义. （24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数经典例题例题 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上m的取值范围是. （24-25高一上·广东揭阳·期末）已知函数（）的最小正周期为，小试牛刀1 (1)求的值及的单调增区间； (2)，若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值； (3)当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)，增区间为 (2) (3) 【分析】（1）应用正弦函数周期公式求出，再结合正弦函数单调性求解； （2）根据诱导公式化简得，根据角终边的对称性得，进而，变换，计算可得. （3）由题意，利用正弦函数的性质求出，解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数（）的最小正周期为， 所以，所以； 由得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以， 即，所以，所以， 又角的终边与角的终边关于轴对称，则， 所以， 故. （3）因为，所以，所以， 所以，即，由题意， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． （24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为.小试牛刀2 (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，结合已知即可求解的值，从而可得解析式，由的取值范围，结合正弦型函数的性质即可求解最大值； （2）根据和的取值范围可得在上先增后减，由已知恒成立可得关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）令，解得， 由已知得，解得， 所以， 当时，，因为，所以， 又在上单调递增，所以 （2） 因为，所以 又，所以， 所以在上先增后减， 所以即 所以解得，故的取值范围为 （24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为小试牛刀3 (1)求的单调递增区间; (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意得到，结合正弦型函数性质求解； 由题意，结合单调性求解即可 【详解】（1）由题意，周期， 所以， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为 （2）由题意， 因为对任意，存在，使得成立，所以 当时，，所以 当时，，，即 令，则，， 若，在上单调递增， 因为，所以，解得， 若，在上单减，在上单增， 因为，所以，解得， 若，在上单减， 因为，所以，解得 综上，a的取值范围为或 【题型12：正余弦型函数在解答题中方程的根的和问题】 【解题策略】 步骤1：转化方程，确定根的本质 将方程化为标准形式：或，即或（）； 明确根的本质：方程的根即为函数与轴交点的横坐标，也是函数图像与直线交点的横坐标. 步骤2：分析函数对称性，确定根的对称关系 求函数的对称轴：正弦型函数对称轴为，余弦型函数对称轴为（）； 根的对称关系：若和是方程的一对根，且关于对称轴对称，则（核心关系）. 步骤3：确定区间内根的个数与对称对数 令，根据的区间求出的区间； 分析方程或在内的根的个数，结合函数对称性，确定根的对称对数： 若为偶数：则有对对称根，每对根的和为对应对称轴的2倍； 若为奇数：则有对对称根，剩余1个根为对称轴上的点（即），和为. 步骤4：计算所有根的和 确定区间内所有对称轴的横坐标（对应每对根的对称中心）； 计算每对根的和，再汇总所有根的和：若有对根，每对和为，则总根和为（偶数个根）；若有奇数个根，加上单独的对称轴横坐标。 易错提醒 混淆对称关系：误将根的和当作“对称轴横坐标”，而非“2倍对称轴横坐标”； 漏算奇数个根的情况：当根的个数为奇数时，未考虑单独的对称轴上的根，导致和的计算错误； 未确定区间内的对称轴：仅用一个对称轴代替所有对称轴，导致多对根的和计算错误； 忽略的符号：求对称轴时未考虑的情况，导致对称轴横坐标计算错误. （24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．经典例题例题 (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． （2）， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． （3），设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. （24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数的图象经过点，且图象中任意一条对称轴和其相邻的对称中心之间的距离为.小试牛刀1 (1)求函数的解析式； (2)若函数，证明：函数的图象关于点对称； (3)已知函数，若在区间内共有8个零点，，求的取值范围以及的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）应用正弦函数性质得出周期求出，再代入点求出，即可求出解析式； （2）应用对称中心定义证明或根据奇函数得出对称中心结合图象的平移得出的对称中心； （3）根据正弦函数的对称轴计算求值. 【详解】（1）由题意可得：， 所以； （2）证法一：由题设及（1）可知：， ， ， ， 所以，函数的图象关于点对称. 证法二：由（1）知， 令，可证为奇函数，其图象关于对称. 而，所以将的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象，可知函数的图象关于点对称. （3）令，可得方程， 由的性质知，要使函数与在区间内共有8个交点， 则. 函数的对称轴方程为，其在区间内有7条对称轴， 分别是， . （2025高三上·安徽六安·专题练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．小试牛刀2 (1)求的解析式及对称轴； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1)，对称轴为 (2) (3)， 【分析】（1）先由相邻对称轴距离得周期，求出；再利用奇函数性质求出，得到解析式；最后令正弦函数取最值，求出对称轴. （2）通过平移、伸缩变换得到的解析式，结合的范围确定内层函数的范围，进而求出的值域. （3）将方程转化为正弦方程，结合的范围确定根的个数；再利用正弦函数的对称性，求出各根之和的表达式并计算结果. 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以，可得． 又由函数为奇函数，可得， 所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的对称轴为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象， 如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，， ，， 即，， ，， 解得：，，，， 所以． （2025高一上·湖北·专题练习）已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数.小试牛刀3 (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，再结合函数为奇函数，求出的值，即可求得函数的解析式； （2）设，由，得到，作出函数在的图象与直线的图象，求得，代入即可求解. 【详解】（1）由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 【题型13：正余弦型函数在解答题中区间范围根的个数问题】 【解题策略】 步骤1：标准化方程，明确转化方向 将原方程整理为标准形式：或（）； 变形为基础三角函数形式：或，其中（关键：后续分析与的大小关系）. 步骤2：整体代换，确定变量区间 令，根据题目给出的区间，求的区间： 若，则，，区间为； 若，则，，区间为（交换端点）. 步骤3：分析的取值，初步判断根的存在性 根据基础三角函数的有界性、，判断： 若：方程或无实数根，即原方程根的个数为0； 若：方程在一个周期内有1个实数根； 若：方程在一个周期内有2个实数根（关于对称）. 步骤4：结合区间，统计交点个数 计算区间的长度，基础三角函数的周期，确定区间内包含的整数周期数和剩余区间长度； 统计整数周期内的交点个数：一个周期内的交点个数（时为，时为）； 统计剩余区间内的交点个数：画出或在剩余区间的图像，结合的值，数出交点个数（注意区间端点是否为交点）. 步骤5：汇总个数，得到原方程根的个数 原方程根的个数=整数周期内的交点个数+剩余区间内的交点个数； 验证：若，需确认剩余区间内的最值点是否在区间内，避免重复或遗漏计数. 易错提醒 忽略的符号：求区间时未交换端点，导致区间方向错误，后续计数偏差； 漏判的情况：直接进入周期统计，导致无意义的计算； 剩余区间计数错误：未准确画出剩余区间的函数图像，误判交点个数； 重复计数端点：当剩余区间端点与整数周期的端点重合时，重复计数交点； 混淆周期：用正余弦型函数的周期代替基础三角函数的周期，导致整数周期数计算错误. （24-25高一下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示．经典例题例题 (1)求的解析式； (2)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象确定及的周期，从而求得，再利用特殊点坐标代入中，进而求出，即可得出的解析式； （2）将函数在区间上恰好有二个零点，转化为与在区间上恰好有二个交点，再根据正弦型函数的性质求的单调区间及对应的值域，进而利用数形结合即可求解． 【详解】（1）由，则根据图象可得， 又，解得， 所以， 又， 则，，又，得， 故． （2）由，则， 又在上单调递增，对应的值域为； 在上单调递减，对应的值域为， 又函数在区间上恰好有二个零点， 即与在区间上恰好有二个交点，如下图： 所以，即． 故实数k的取值范围为． （24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的部分图象如图所示．小试牛刀1 (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由函数的图象，根据三角函数的性质，即可求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求得函数的单调递减区间； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，转化为和的图象在上有公共点，由，求得函数的值域为，进而求得的范围. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且函数的周期为， 所以，即， 又由，即， 根据五点对应法，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 关于的方程在上有解，即在上有解， 即函数和的图象在上有公共点， 因为，可得， 当时，可得；当时，即时，可得， 所以函数的值域为，所以，解得， 所以实数的取值范围 （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数的部分图象如图所示．小试牛刀2 (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象可得，，将代入解析式,结合即可得出解析式； （2）由的范围求出的范围，根据余弦函数的性质求出值域； （3）将函数零点问题转化为在上恰有个解，再由的范围求出的范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由函数的图象，可得，， 则，所以． 将点代入函数解析式可得， 解得，因为，所以， 所以； （2）因为，所以，所以， 所以， 即在上的值域为； （3）由（1）知，则， 由函数在上恰有个零点， 即在上恰有个解，即在上恰有个解， 因为，所以， 则，解得，故. （24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知函数的部分图象如图所示.小试牛刀3    (1)求的解析式； (2)若将函数的图象向左平移个单位，得到函数，函数在上有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的图象求得A和，再将代入求解； （2）根据函数平移得出函数解析式，由余弦函数的性质得出函数的最值，进而结合图象解题即可. 【详解】（1）由图可知，不妨设函数图象的最小正周期为， 由图可得：，得，得， 因为，所以， 解得，又，所以， 故. （2）由题意可知，， 且函数的图象与直线在上有两个交点. 令，由，可得， 作出，在的图象，    当时，，即， 当时，，即， 又在单调递增；在单调递减； 所以在处取得极大值，即； 由图知，函数在上有两个零点等价于 ， 故m的取值范围为. 【题型14：正余弦型函数在动区间的最值分析】 【解题策略】 步骤1：明确函数与动区间形式 将函数化为标准形式或（）； 明确动区间：设动区间为或（为参数，为固定区间长度），确定参数的取值范围（题目给出或隐含）. 步骤2：换元转化，将动区间转化为基础函数的动区间 令，则； 将原动区间代入，得到的动区间（含参数）； 原函数转化为或，问题转化为“该基础函数在动区间内的最值分析”. 步骤3：分析动区间与基础函数周期的关系 基础函数的周期，计算动区间的长度（若区间长度固定，可与周期比较）； 确定分类讨论的核心依据：动区间是否包含基础函数的最值点（的最值点为，的最值点为，）. 步骤4：分类讨论，求不同参数范围的最值 情况1：动区间包含至少一个最值点 此时或能取到，结合的符号，函数最值为； 列出参数满足的不等式：存在，使得（或）落在内，解出参数的范围. 情况2：动区间不包含任何最值点 此时或的最值在动区间的端点处取得，计算和时的函数值； 比较两个端点的函数值，结合的符号，确定函数的最大值和最小值； 列出参数满足的不等式：对所有，（或）均不落在内，解出参数的范围. 步骤5：汇总结果，明确不同参数范围的最值 整理分类讨论的结果，按参数的取值范围，分别写出函数的最大值和最小值； 验证边界：当参数取边界值时，动区间恰好包含最值点，此时最值为情况1和情况2的临界值，需确认是否一致. 易错提醒 换元后区间转化错误：未准确将的动区间转化为的动区间，导致后续分类讨论的基础错误； 分类依据不清晰：未以“是否包含最值点”为核心分类，导致讨论混乱； 漏考虑多最值点情况：动区间可能包含多个最值点，此时仍以为最值，无需额外讨论； 未结合的符号：计算最值时未区分和的情况，导致最值反转； 漏验证边界参数：边界参数可能使动区间从“不包含最值点”变为“包含最值点”，需验证临界值的最值是否连续. （2024·福建泉州·模拟预测）函数在的最大值为m，在的最大值为n，则以下命题为假命题的是（    ）经典例题例题 A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【分析】利用假设法证明即可判断A；分别代入、与，即可验证BCD. 【详解】A：若，，则，得， 所以，故，所以，， 得，，所以，矛盾，故A为假命题； B：当时，函数在的最大值为，在上的最大值为， 此时，，故，且，故B为真命题； C：当时，函数在的最大值为，在上的最大值为， 此时，，故，且，故C为真命题； D：当时，函数在的最大值为，在上的最大值为1， 此时，，故，且，故D为真命题． 故选：A． （25-26高三上·江苏盐城·月考）若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的最小正周期，根据题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 由于函数在上至少有五个不同的零点， 故需满足，即， 即的最小值为， 故选：B （24-25高一下·上海·月考）已知，若对任意，当时，都有，则的取值范围是 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用三角函数的性质计算即可. 【详解】由题意可得，，则, 由,都有， 则 所以, , 则转化为 , 令, 由时,都有, 由正弦函数的单调递增，, 则， 由,则, 故时,区间为 满足且 则.的取值范围 故答案为：. （2023高三·全国·专题练习）已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（   ）小试牛刀3 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由区间的特点可知，采用特殊值法，对分别取值，排除选项A、B、C，即可得到正确答案. 【详解】由给定区间可知，. 区间与区间相邻，且区间长度相同. 取，则，区间，可知，，故A可能； 取，则，区间，可知，，故C可能； 取，则，区间，可知，，故B可能. 结合选项可得，不可能的是，． 故选：D. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 2．（24-25高三上·福建漳州·月考）当时，曲线与的交点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】首先画出它们各自的图象，然后根据余弦函数的性质和图象可判断交点个数. 【详解】令，因为，所以. 根据余弦函数的图象和性质，画出它们的图象为：    从图象可以看出它们的交点个数为4个. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，作出函数图象，运用数形结合思想求解即可. 【详解】由题得的最小正周期为，即在内，有3个周期， 又其值域为，且当时，， 在同一个坐标系内作出与的图象如图所示， 由图象知曲线与有6个交点．    故选：A. 4．（25-26高三上·福建宁德·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数在时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数，令，解得且， 所以的定义域为， 又， 所以为奇函数，则函数图像关于原点对称，故排除B、D； 当时，，，，所以，故排除C. 故选：A 5．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据，化简求得的值即可. 【详解】函数，定义域为， 由于为偶函数，即， 则， 化简为, 即，则， 因为不恒为0，所以. 故选：B 二、多选题 6．（浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】结合正弦函数的周期、对称轴、对称中心、单调区间依次分析选项即可. 【详解】对于的最小正周期，故A正确； 对于B，当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，，所以的图象不关于点中心对称，故C错误； 对于D，当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 7．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．函数的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的图象关于点对称 D．直线是图象一条对称轴 【答案】BC 【分析】根据三角函数性质：周期用公式；单调性代入正弦/余弦的单调区间不等式，解出范围，比对目标区间；对称性，对称中心（验证）；对称轴（验证）逐个分析即可. 【详解】选项A：正弦函数的最小正周期为， 本题中，故周期，并非， 故A错误. 选项B：求的单调递减区间， 令，解得， 当时，递减区间为，而，故在上单调递减，故B正确. 选项C：若函数图象关于点对称充要条件是， 计算，故是对称中心，故C正确. 选项D：若直线是对称轴，则（取最值）， 计算，并非最值，故不是对称轴，故D错误. 故选:. 8．（25-26高二上·云南曲靖·月考）若的定义域为，是奇函数，且是偶函数，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意得到关于中心对称，关于轴对称，点关于对称的点为可判断B正确；通过中心对称和轴对称得到可证明可判断C正确；通过的周期得到关于中心对称可判断D正确. 【详解】因为是奇函数，所以， 用替换得，所以关于中心对称， 因为是偶函数，所以， 用替换得，所以关于轴对称， 点关于对称的点为，所以，故B正确；无法确定A一定正确； 因为，，所以， 用替换得，所以， 用替换得，所以C正确； 因为的周期，由关于中心对称得关于中心对称， 因为，所以，故D正确； 故选：BCD. 9．（浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题）函数，下列四个选项正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．的图象关于对称 C．在区间上单调递增 D．，使得有解 【答案】BCD 【分析】画出函数图象，结合图象逐项判断即可. 【详解】由 令，当，可得，即， 当，可得，即， 作出函数图象如下： 由图象可知最小正周期为，A错误， 是图象的一条对称轴，B正确， 在区间上单调递增，再结合函数周期， 所以在区间上单调递增，C正确， 由图象可知函数最小值为， 又，由在单调递增， 可得：， 所以，使得有解，D正确， 故选：BCD 三、填空题 10．（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用变量代换，令， 求解. 【详解】因为函数的单调递减区间为，， 令， ， 解得：， ， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为：. 11．（25-26高三上·安徽合肥·期中）若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题得，再列出部分的零点即可求解． 【详解】解：由，得，若， 则，第三个零点为， 所以的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 12．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数． (1)求的周期及单调减区间； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦函数的单调性可得答案； （2）利用的范围求出及的范围可得答案． 【详解】（1）， 由得， 则的单调减区间为； （2）当时，， 则，故． 13．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域． （2）求函数的值域． 【答案】； 【分析】（1）根据，得出的值域，令，将问题转化为求二次函数的值域即可求解； （2）先将函数转化为，然后利用余弦函数的取值范围建立不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，则令， 所以. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以时，函数单调递增， 则当时，， 当时，. 综上，函数的值域为. （2）因为，所以，且. 又因为，所以，即， 整理得，解得或， 综上，函数的值域为. 14．（2025高一·全国·专题练习）已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】首先，根据已知条件，等价转化成恒成立，然后，换元法令，，设函数，对其对称轴进行讨论． 【详解】因为，所以对任意恒成立． 令，，则在上恒成立． 令，此为二次函数的动轴定区间问题，分类讨论如下． ①当时，，得，所以； ②当时，，得，所以； ③当时，，得，不符合，舍去． 综上，． 15．（25-26高三上·河南南阳·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移得到的解析式，再用整体法求对称中心的坐标； （2）根据，得到，则即可求解； （3）设，则，则在上恒成立，再由二次函数最值可知等价于，再解不等式即可． 【详解】（1）由题意可得， 令，解得， 则曲线的对称中心的坐标是； （2）因为，所以， 则， 故在上的值域为； （3）由（1）知，设，则， 所以关于的不等式， 对恒成立等价于关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 因为在上单调递增，又，， 所以的取值范围是． 16．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数的最值及取得最值时的的取值集合； (3)求函数的单调递减区间. 【答案】(1)； (2)最大值，；最小值，； (3) 【分析】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期的求解公式与对称中心的求解方法，直接计算即可； （2）利用整体法以及正弦型三角函数的最值，列出等量关系求解即可； （3）利用整体法，结合正弦函数的单调区间，列出不等关系，求解即可. 【详解】（1）因为，故， 即函数的最小正周期为； 令，解得：， 所以函数的对称中心坐标为：. （2）当，即时，取最大值， 故取最大值时的集合是； 当，即时，取最小值， 故取最小值时的集合是. （3）由，解得， 故的单调递减区间为 17．（25-26高二上·广东中山·月考）已知函数是上的偶函数． (1)求； (2)如果恒成立，求k的取值集合； (3)如果图象关于对称，且在区间上是单调函数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用偶函数的定义展开正弦函数，结合恒成立条件得，确定； （2）将函数化简为余弦函数，结合值域分析不等式恒成立的值； （3）根据对称点的函数值特征得的表达式，结合单调区间的限制确定的取值. 【详解】（1）因是偶函数，故，即. 根据和差角公式展开得， 对任意成立且，故. 结合，得. （2）由，得，其值域为. 不等式恒成立，等价于对所有成立. 的最大值为，的最小值为，故. （3）的图象关于对称，故，即. 得（），化简得（）. 在上单调，而在上单调递减，故，即. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递减； 当时，，不满足单调性要求. 故或. 18．（25-26高三上·河北保定·月考）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的取值范围； (3)若在上的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据三角函数单调性，通过换元法求解不等式，最终求出即可. 通过的范围求整体范围，找出最大值和最小值，根据恒成立条件列出的不等式，最终求解的范围即可. 利用换元法，根据的范围求整体范围，在正弦函数固定长度区间上找出最值差. 【详解】（1）函数的单调递增区间为.       令，，解得，. 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，，. 所以，的最大值为，最小值为0，即.     ，. 因为，，所以. 所以解得，. 故的取值范围为. （3）由题意可得函数在上的最大值为，最小值为. 令，则在上的最大值为，最小值为.          当时，，.   当时，，.      当时，，.         以此类推，当时，. 当时，. 当时，. 综上，的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【重难点突破1：正余弦函数图像与性质解题策略】 总览 题型梳理 正余弦型函数图像与性质核心聚焦 核心对象：与（） 核心方法：整体代换法（令，转化为或求解） 一、核心参数对图像的影响（图像变换本质） 参数 图像变换规律 直观影响 典型示例（以为例） （振幅） 纵坐标伸缩：将基础函数图像纵向伸缩为原来的倍（横坐标不变） 决定波动幅度，影响值域范围 ：纵向伸长2倍，值域从变为 （角速度） 横坐标伸缩：将基础函数图像横向伸缩为原来的倍（纵坐标不变） 决定周期大小，越大周期越小，波动越频繁 ：横向缩短为，周期从变为 （初相） 左右平移：将伸缩后的图像沿轴平移个单位（左加右减，针对本身） 改变图像起始位置，不影响周期和幅度 ：左移（转化为） （垂直平移量） 上下平移：将平移后的图像沿轴平移个单位（上正下负） 改变图像中线位置，不影响周期、幅度和单调性 ：上移1个单位，中线为 易错提醒：平移变换必须先对提系数，平移量是，而非；伸缩变换中，横坐标伸缩与成反比，纵坐标伸缩与成正比. 二、正余弦型函数的核心性质（推导+结论） 2.1共性性质（正弦型、余弦型通用） 定义域：（无特殊定义域限制时） 值域： 推导：由、，得、，再叠加的平移量。 周期： 拓展：若，先利用奇偶性转化为，通用公式；、的周期为. 最值与对应的取值： ①最大值： 正弦型：对应（） 余弦型：对应（） ②最小值： 正弦型：对应（） 余弦型：对应（） 2.2差异性质（正弦型vs余弦型） 性质类型 正弦型函数 余弦型函数 奇偶性（时，否则非奇非偶） 奇函数：（）偶函数：（） 奇函数：（）偶函数：（） 单调性（） 增区间：解减区间：解 增区间：解减区间：解 对称性（） 对称轴：对称中心： 对称轴：对称中心： 推导关键：始终用“整体代换”，将看作一个整体，先利用基本正余弦函数的性质求出的范围/条件，再反解. 三、高频易错点辨析（避坑指南） 忽略符号：当时，求单调区间需先将转化为正数，同时反转不等式方向；例：求的增区间，先变形为，再求的减区间. 遗漏参数：误将的值域当作，正确值域应为. 对称中心纵坐标错误：将正余弦型函数的对称中心纵坐标误记为0，实际应为垂直平移量. 混淆周期公式：含绝对值的正余弦型函数（如），周期误记为，正确周期为. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:正余弦函数图像的应用之奇偶性判断图像】 【解题策略】 步骤1：明确奇偶性定义 奇函数：满足，图像关于原点对称； 偶函数：满足，图像关于轴对称. 步骤2：正余弦型函数的奇偶性判定公式（） 对正余弦型函数或（）： 1.正弦型函数 是奇函数； 是偶函数； 2.余弦型函数 是奇函数； 是偶函数. 步骤3：结合图像特征验证 若判定为奇函数：图像必过原点； 若判定为偶函数：图像必关于轴对称（即是对称轴）. 易错提醒 若函数为或（），则函数非奇非偶（因为垂直平移后不关于原点或轴对称）. （25-26高三上·山东·期中）函数 的图象大致是（   ）经典例题例题 A．   B．   C．   D． （25-26高三上·天津·期中）函数的图象的大致形状是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·天津河北·期中）已知函数，，则图象为如图的函数可能是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （22-23高三上·广西柳州·月考）函数在上的图象大致为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：正余弦型函数图像的应用之图像交点个数问题】 【解题策略】 步骤1：明确研究区间，锁定分析范围 先提取题目中给出的取值范围（如），明确分析边界； 计算正余弦型函数的周期，判断区间内包含的函数周期个数（整数周期+剩余区间），为后续图像绘制提供依据. 步骤2：简化函数表达式，明确图像特征 梳理参与交点分析的两个函数：一个为正余弦型函数（如），另一个根据题目确定（如直线、二次函数、其他三角函数等）； 简化正余弦型函数：通过参数（振幅）、（垂直平移）确定图像的最值范围和中线位置，通过（周期）、（初相）确定图像的波动频率和起始位置. 步骤3：绘制大致图像，初步定位交点 在同一坐标系中，结合步骤1的区间和步骤2的函数特征，分别绘制两个函数的大致图像（重点标注最值点、零点、对称轴等关键节点）； 根据图像走势，初步判断交点的大致位置和数量，尤其关注周期重复部分的交点是否存在重叠或遗漏. 步骤4：结合函数性质验证，精准计数 利用单调性验证：在疑似交点所在的子区间内，判断两个函数的增减趋势，若趋势相反，大概率存在1个交点；若趋势相同，需进一步比较函数值大小； 验证特殊点：将区间端点、函数最值点、零点代入两个函数，计算函数值是否相等，确认该点是否为交点； 汇总计数：整合各子区间和特殊点的验证结果，统计出区间内的交点总个数. 易错提醒 忽略周期重复：未计算区间内的周期个数，导致遗漏重复出现的交点； 误判端点交点：未验证区间端点是否满足两个函数的表达式，将“图像趋近”误判为“交点”； 忽视函数定义域：未注意其中一个函数的定义域限制（如二次函数定义域、分式函数分母不为0等），导致多算定义域外的交点. （25-26高三上·重庆·月考）函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则 的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高三上·青海·月考）曲线与交点个数是 ．小试牛刀1 （2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ）小试牛刀2 A．3 B．4 C．5 D．6 （2025·福建泉州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：正余弦型函数图像的应用之零点/方程的根的问题】 【解题策略】 步骤1：等价转化，统一问题模型 函数零点转化：正余弦型函数（或余弦型）的零点，等价于方程的实数根； 方程变形：整理方程为（或），转化为基础三角函数与常数直线的交点问题； 限定范围：明确题目中的取值区间（如），这是后续计数的关键边界. 步骤2：整体代换，简化分析对象 换元操作：令，根据且，求出的取值区间（若，需交换区间端点）； 转化方程：原方程转化为（或，其中），此时问题转化为“函数（或）与直线在内的交点个数”. 步骤3：图像分析，统计交点个数 确定的取值范围，结合基础三角函数图像特征判断交点个数： 当时：方程（或）无实数根； 当时：方程在一个周期内有且仅有1个实数根； 当时：方程在一个周期内有2个实数根（且关于对称）； 计算区间内包含的周期个数：先求出基础三角函数的周期，再计算区间长度，确定整数周期数和剩余区间长度； 分类统计：分别计算整数周期内的交点个数和剩余区间内的交点个数，汇总得到对应的根的总数. 步骤4：回代还原，确定x的根的个数 根据是单调函数（），与一一对应； 将对应的根的总数，转化为对应的根的总数，即为原函数的零点个数或原方程的实数根个数. 易错提醒 忽略符号：未判断的正负，直接求的区间，导致区间端点颠倒，计数错误； 漏算剩余区间交点：仅计算整数周期内的交点个数，忽略剩余区间内的交点，或误判剩余区间与直线的位置关系； 忽视参数范围：当含参数时，未按、、分类讨论，导致漏解； 混淆周期概念：误用正余弦型函数的周期代替基础三角函数的周期，干扰区间内周期个数的计算. （2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，若方程有4个实数根，则的取值范围为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏南京·期中）若函数有个零点，则正数的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一上·江苏常州·月考）若函数在区间上存在唯一的使得，则实数的取值范围是 .小试牛刀2 （25-26高三上·江苏苏州·期中）已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ．小试牛刀3 【题型4：“换元法”求正余弦型函数的最值/值域】 【解题策略】 步骤1：确定目标函数，明确参数范围 1.整理目标函数：将函数化为标准形式或（）； 2.提取关键参数：明确（振幅）、（垂直平移量），同时确定自变量的取值范围（如，无特殊说明时）. 步骤2：整体代换，转化为基础函数 1.换元操作：令，将复合函数转化为关于的基础正余弦函数： 2.确定的取值范围：根据和的单调性（时单调递增，时单调递减），求出的区间. 步骤3：结合基础函数性质，分析最值 1.利用基础函数有界性： 当时，，； 当时，结合或在该区间内的单调性，确定或的最值和. 2.计算原函数最值： 若：，； 若：，. 步骤4：确定值域，总结结果 1.由函数的最值直接写出值域：； 2.验证特殊点：当的区间包含基础函数的最值点时，需验证对应是否在原定义域内. 易错提醒 1.忽略的定义域限制：直接套用时的有界性，未根据范围求的区间，导致值域计算错误； 2.忽视的符号：默认，未对时的最值进行反转，结果完全相反； 3.换元后忘记回代验证：求出的最值后，未确认对应是否在题目给定的区间内，导致结果无效. （25-26高二上·湖南长沙·月考）若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ）经典例题例题 A． B． 或 C． 或 D．或 （25-26高三上·重庆·月考）已知函数，则的最大值为 .小试牛刀1 （25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，在处取得最小值，则（    ）小试牛刀2 A．     B．1 C．3 D． （2025高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（    ）．小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：整体代换法求正余弦型函数的单调性对称性】 【解题策略】 一、用整体代换法求单调性 步骤1：换元转化，确定基础函数单调区间 1.令（），则正余弦型函数转化为或； 2.写出基础函数的单调区间（）： 的增区间：，减区间：； 的增区间：，减区间：. 步骤2：整体代入，列出关于的不等式 将代入基础函数的单调区间，得到关于的不等式： 例：求的增区间，即解. 步骤3：求解不等式，注意的符号对不等号的影响 1.当时，直接解不等式，不等号方向不变； 2.当时，不等式两边同时除以，不等号方向反转； 3.回代还原后，得到原函数的单调区间（结果需写成区间形式，标注）. 二、用整体代换法求对称性 步骤1：换元转化，确定基础函数的对称性质 1.令，转化为基础函数或； 2.写出基础函数的对称性质（）： 基础函数 对称轴方程 对称中心坐标 步骤2：整体代入，求解原函数的对称轴与对称中心 1.求对称轴： 对：令，解得； 对：令，解得； 对称轴为垂直于轴的直线，方程形式为（）. 2.求对称中心： 对称中心的横坐标：令满足基础函数对称中心的横坐标条件，解出； 对称中心的纵坐标：正余弦型函数的对称中心纵坐标为（即函数的中线位置）； 例：的对称中心为（）. 易错提醒 1.忽略的符号：求单调区间时，未判断的正负，直接解不等式导致区间方向错误； 2.混淆对称中心坐标：误将基础函数对称中心的纵坐标当作原函数的对称中心纵坐标，忽略垂直平移量的影响； 3.漏写：单调性和对称性的结果均为无限多个区间或点，遗漏会导致答案不完整. （25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数．经典例题例题 (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； (2)若，求． (3)若，求的单调递减区间和对称轴． （2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，．小试牛刀2 (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； (2)求函数的对称轴和对称中心； (3)解不等式． （2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数．小试牛刀3 (1)求最小正周期； (2)求的单调递增区间与对称轴． 【题型6：带入验证法判断正余弦函数的单调性对称性】 【解题策略】 一、代入验证法判断单调性 步骤1：明确验证前提 确定待验证的区间（如）和函数或； 单调性定义：对区间内任意，若则为增区间，若则为减区间. 步骤2：取特殊值代入 在区间内任意取两组不相等的（建议取区间中点、端点附近的点，计算更简便）； 分别计算和的值，比较两者大小关系. 步骤3：判断并验证 若两组特殊值均满足，可初步判断区间为增区间；若均满足，初步判断为减区间； （可选，增强严谨性）若存在一组使得（增区间验证），则区间非增区间；同理可验证非减区间. 二、代入验证法判断对称性 （1）验证对称轴（直线） 对称性定义：对函数定义域内任意，若，则是函数的对称轴； 代入验证：取2-3个不同的值（如），计算和的值； 判断：若所有取值均满足，则是对称轴；否则不是. （2）验证对称中心（点） 对称性定义：对函数定义域内任意，若，则是函数的对称中心； 代入验证：取2-3个不同的值，计算的结果； 判断：若所有取值均满足，则是对称中心；否则不是. 易错提醒 特殊值选取单一：仅取一组或就下结论，可能因特殊值巧合导致误判，建议至少取两组； 忽略定义域限制：选取的或超出函数定义域，导致计算无效； 混淆对称中心纵坐标：验证对称中心时，误将作为默认值，未结合函数的垂直平移量判断. 【多选题】（25-26高三上·海南海口·月考）设函数，则下列结论正确的是（   ）经典例题例题 A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上是增函数 D．的图象关于点对称 【多选题】（25-26高二上·湖南·期中）函数，则下列结论正确的为（    ）小试牛刀1 A．函数的单调增区间为 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．若，则函数的值域为 【多选题】（2025·广西·模拟预测）关于函数，下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递减 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，将得到函数的图象 【多选题】（24-25高三上·贵州·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．在上的最小值为 B．图像的对称轴为 C．的图像向右平移个单位长度可以得到的图像 D．在上单调递减 【题型7：由正余型函数的值域/最值求参数】 【解题策略】 步骤1：明确函数形式与参数关联 将函数化为标准形式或（）； 牢记核心关系：无定义域限制时，函数值域为，最大值，最小值. 步骤2：结合已知条件列等式/不等式 若已知最值：设题目给出的最大值为、最小值为，则列方程、； 若已知值域：设题目给出的值域为，则列不等式组（若值域完全匹配，则为等式）； 若含参数：需关注其对复合角取值范围的影响，进而影响最值. 步骤3：结合定义域分析（若有定义域限制） 若有取值范围（如），令，求出的区间； 分析或在内的最值、，结合（或余弦型），列方程、（注意的符号）. 步骤4：求解参数，验证合理性 解上述方程或不等式组，得到参数的可能值； 验证：将参数值代入原函数，检查值域/最值是否与题目一致，排除不合理解（如导致函数为常函数，不符合正余弦型函数定义）. 易错提醒 忽略的绝对值：直接用代替，未考虑的情况，导致最值计算错误； 遗漏定义域限制：默认，未结合的范围分析的取值，导致参数解过多或过少； 未验证参数合理性：求解后未代入原函数验证，导致出现不符合题意的参数值（如参数使复合角范围固定，无法取到最值）. （25-26高三上·湖南·月考）若，，使得，则的最小值为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏南通·月考）若对于，总，使得，则实数的最小值为 .小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）如果函数在区间上的最小值为，则a的值为（    ）．小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·浙江·月考）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：由正余弦型函数的单调性求参数范围】 【解题策略】 步骤1：求函数的单调区间（含参数） 设函数为或（），令； 写出基础函数或的单调区间（），将代入，解关于的不等式，得到原函数的单调区间（含参数）； 注意：时不等号方向不变，时不等号方向反转. 步骤2：明确“子集”关系 设题目给定的单调区间为（如），原函数的某一单调区间为（含参数）； 核心关系：（即给定区间完全包含在函数的某一个单调区间内）. 步骤3：列不等式组，求解参数范围 根据，将区间端点代入单调区间的不等式，列出关于参数的不等式组； 结合、（若题目未说明，需保证单调区间的合理性）等条件，解不等式组，得到参数的初步范围； 若参数含，需结合的常见取值范围（如）进一步限定. 步骤4：验证边界与合理性 将参数范围的边界值代入原函数，检查给定区间是否仍为单调区间； 验证的取值：确保存在整数使得，排除无意义的参数范围. 易错提醒 忽略的隐含条件：未限定，导致参数范围包含负数值，单调区间方向错误； 未考虑：解不等式组时未结合整数的取值，导致参数范围过大或无法找到对应单调区间； 混淆“子集”关系：将当作核心关系，导致参数范围求解错误； 漏验证边界值：边界值可能使函数在区间端点处导数为0（极值点），需验证是否仍满足单调性. （2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ）经典例题例题 A． B．3 C．2 D． （25-26高三上·河南·月考）已知函数的一条对称轴是，且在上单调，则ω的最大值为（    ）小试牛刀1 A．4 B．5 C．6 D．7 （25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 .小试牛刀2 （25-26高三上·河南郑州·期中）已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.小试牛刀3 【题型9：由正余弦型函数的奇偶性求参数范围】 【解题策略】 步骤1：明确奇偶性的前提条件 设函数为或（）； 前提条件：若函数为奇函数或偶函数，则必须满足（否则函数图像有垂直平移，不关于原点或轴对称），即函数简化为或. 步骤2：结合奇偶性定义或判定公式列方程 方法一：定义法（通用） 奇函数：，代入函数表达式化简，得到关于的方程； 偶函数：，同理代入化简，得到关于的方程. 方法二：公式法（快捷） 正弦型函数：奇函数；偶函数（）； 余弦型函数：奇函数；偶函数（）. 步骤3：求解参数的范围 解步骤2中得到的方程，结合，得到的通解； 若题目对有额外限制（如），结合通解求出具体的值. 步骤4：验证参数的合理性 将求出的和的值代入原函数，验证是否满足奇偶性定义（避免公式应用错误）； 排除特殊情况：如导致函数为常函数（既是奇函数也是偶函数），若题目明确为“正余弦型函数”，需排除的情况. 易错提醒 忽略的前提条件：未限定，直接求解，导致参数范围错误（此时函数非奇非偶）； 混淆正弦型与余弦型的判定公式：将两者的奇偶性条件记反，导致的解错误； 漏写：的解为无限多个，遗漏会导致答案不完整； 未验证常函数情况：时函数为常函数，仅当时是奇函数，需根据题目要求排除. （25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（   ）经典例题例题 A． B． C．1 D．2 （25-26高三上·全国·期中）已知函数为奇函数，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·贵州遵义·期中）设函数.若为偶函数，则 ．小试牛刀2 （2025·河南·一模）若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：由正余弦型函数的对称性求参数范围】 【解题策略】 一、由对称轴求参数 步骤1：明确对称轴的核心条件 设函数为或（）； 令，则原函数转化为或； 基础函数对称轴：的对称轴为，的对称轴为（）. 步骤2：结合原函数对称轴列方程 设原函数的对称轴为（题目给出），则当时，必须满足基础函数的对称轴条件； 列方程： 正弦型：（）； 余弦型：（）. 步骤3：求解参数范围 解上述方程，将待求参数（如或）单独放在等式一侧，得到含的通解； 结合题目对参数的限制（如、），确定的取值，进而得到参数的具体范围. 二、由对称中心求参数 步骤1：明确对称中心的核心条件 令，原函数转化为或； 基础函数对称中心：的对称中心为，的对称中心为（）； 原函数对称中心：横坐标满足基础函数对称中心的横坐标条件，纵坐标为（垂直平移量）. 步骤2：结合原函数对称中心列方程 设原函数的对称中心为（题目给出），则需满足两个条件： 纵坐标条件：（若题目未给出，则此条件用于验证或求）； 横坐标条件：（）. 步骤3：求解参数范围 先通过纵坐标条件确定（若未知），再解横坐标条件的方程，得到待求参数的通解； 结合题目对参数的限制，确定的取值，得到参数的具体范围. 易错提醒 混淆对称中心纵坐标：误将基础函数对称中心的纵坐标当作原函数的纵坐标，忽略垂直平移量； 漏写：参数的解为无限多个，遗漏导致答案不完整； 未结合参数限制：未利用题目中、等条件，导致参数范围过大； 对称轴与对称中心条件记反：将正弦型与余弦型的对称轴/对称中心条件混淆，导致方程列错. （25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知函数图象的两个相邻零点之间的距离为，且是偶函数，则（   ）小试牛刀1 A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 （25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知函数图象的一条对称轴为直线，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B．2 C．3 D．4 【题型11：正余弦型函数综合不等式恒成立/有解问题】 【解题策略】 步骤1：转化不等式，明确核心关系 设函数为或，不等式形式常见为、（为常数或含参数的表达式）； 核心关系（关键区分）： 恒成立：对定义域内所有成立，即（恒成立）、（恒成立）； 有解：存在定义域内的成立，即（有解）、（有解）. 步骤2：求函数的最值 令，根据的定义域求出的区间； 分析或在内的最值、； 计算的最值：结合的符号，、（时反转）. 步骤3：列不等式，求解参数范围 将步骤2求出的最值代入步骤1的核心关系，列出关于参数的不等式； 解不等式：若参数在中，结合参数的隐含条件（如）求解；若参数在中，直接解出参数范围. 步骤4：验证参数范围的合理性 将参数范围的边界值代入原不等式，检查是否满足恒成立/有解条件； 验证函数最值的有效性：确保求出的最值是函数在定义域内的真实最值，而非理论最值（如定义域限制导致无法取到理论最值）. 易错提醒 混淆恒成立与有解的核心关系：将“恒成立”的最值条件与“有解”的条件记反，导致不等式列错； 忽略定义域限制：默认，未结合的范围求的区间，导致最值计算错误； 未考虑的符号：计算最值时未区分和的情况，导致最值反转； 漏验证边界值：边界值可能使不等式变为等式，需验证是否满足“恒成立”或“有解”的定义. （24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数经典例题例题 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． （24-25高一上·广东揭阳·期末）已知函数（）的最小正周期为，小试牛刀1 (1)求的值及的单调增区间； (2)，若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值； (3)当时，恒成立，求m的取值范围. （24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为.小试牛刀2 (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. （24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为小试牛刀3 (1)求的单调递增区间; (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【题型12：正余弦型函数在解答题中方程的根的和问题】 【解题策略】 步骤1：转化方程，确定根的本质 将方程化为标准形式：或，即或（）； 明确根的本质：方程的根即为函数与轴交点的横坐标，也是函数图像与直线交点的横坐标. 步骤2：分析函数对称性，确定根的对称关系 求函数的对称轴：正弦型函数对称轴为，余弦型函数对称轴为（）； 根的对称关系：若和是方程的一对根，且关于对称轴对称，则（核心关系）. 步骤3：确定区间内根的个数与对称对数 令，根据的区间求出的区间； 分析方程或在内的根的个数，结合函数对称性，确定根的对称对数： 若为偶数：则有对对称根，每对根的和为对应对称轴的2倍； 若为奇数：则有对对称根，剩余1个根为对称轴上的点（即），和为. 步骤4：计算所有根的和 确定区间内所有对称轴的横坐标（对应每对根的对称中心）； 计算每对根的和，再汇总所有根的和：若有对根，每对和为，则总根和为（偶数个根）；若有奇数个根，加上单独的对称轴横坐标。 易错提醒 混淆对称关系：误将根的和当作“对称轴横坐标”，而非“2倍对称轴横坐标”； 漏算奇数个根的情况：当根的个数为奇数时，未考虑单独的对称轴上的根，导致和的计算错误； 未确定区间内的对称轴：仅用一个对称轴代替所有对称轴，导致多对根的和计算错误； 忽略的符号：求对称轴时未考虑的情况，导致对称轴横坐标计算错误. （24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．经典例题例题 (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． （24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数的图象经过点，且图象中任意一条对称轴和其相邻的对称中心之间的距离为.小试牛刀1 (1)求函数的解析式； (2)若函数，证明：函数的图象关于点对称； (3)已知函数，若在区间内共有8个零点，，求的取值范围以及的值. （2025高三上·安徽六安·专题练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．小试牛刀2 (1)求的解析式及对称轴； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． （2025高一上·湖北·专题练习）已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数.小试牛刀3 (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【题型13：正余弦型函数在解答题中区间范围根的个数问题】 【解题策略】 步骤1：标准化方程，明确转化方向 将原方程整理为标准形式：或（）； 变形为基础三角函数形式：或，其中（关键：后续分析与的大小关系）. 步骤2：整体代换，确定变量区间 令，根据题目给出的区间，求的区间： 若，则，，区间为； 若，则，，区间为（交换端点）. 步骤3：分析的取值，初步判断根的存在性 根据基础三角函数的有界性、，判断： 若：方程或无实数根，即原方程根的个数为0； 若：方程在一个周期内有1个实数根； 若：方程在一个周期内有2个实数根（关于对称）. 步骤4：结合区间，统计交点个数 计算区间的长度，基础三角函数的周期，确定区间内包含的整数周期数和剩余区间长度； 统计整数周期内的交点个数：一个周期内的交点个数（时为，时为）； 统计剩余区间内的交点个数：画出或在剩余区间的图像，结合的值，数出交点个数（注意区间端点是否为交点）. 步骤5：汇总个数，得到原方程根的个数 原方程根的个数=整数周期内的交点个数+剩余区间内的交点个数； 验证：若，需确认剩余区间内的最值点是否在区间内，避免重复或遗漏计数. 易错提醒 忽略的符号：求区间时未交换端点，导致区间方向错误，后续计数偏差； 漏判的情况：直接进入周期统计，导致无意义的计算； 剩余区间计数错误：未准确画出剩余区间的函数图像，误判交点个数； 重复计数端点：当剩余区间端点与整数周期的端点重合时，重复计数交点； 混淆周期：用正余弦型函数的周期代替基础三角函数的周期，导致整数周期数计算错误. （24-25高一下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示．经典例题例题 (1)求的解析式； (2)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． （24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的部分图象如图所示．小试牛刀1 (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数的部分图象如图所示．小试牛刀2 (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有三个零点，求的取值范围． （24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知函数的部分图象如图所示.小试牛刀3    (1)求的解析式； (2)若将函数的图象向左平移个单位，得到函数，函数在上有两个零点，求实数m的取值范围. 【题型14：正余弦型函数在动区间的最值分析】 【解题策略】 步骤1：明确函数与动区间形式 将函数化为标准形式或（）； 明确动区间：设动区间为或（为参数，为固定区间长度），确定参数的取值范围（题目给出或隐含）. 步骤2：换元转化，将动区间转化为基础函数的动区间 令，则； 将原动区间代入，得到的动区间（含参数）； 原函数转化为或，问题转化为“该基础函数在动区间内的最值分析”. 步骤3：分析动区间与基础函数周期的关系 基础函数的周期，计算动区间的长度（若区间长度固定，可与周期比较）； 确定分类讨论的核心依据：动区间是否包含基础函数的最值点（的最值点为，的最值点为，）. 步骤4：分类讨论，求不同参数范围的最值 情况1：动区间包含至少一个最值点 此时或能取到，结合的符号，函数最值为； 列出参数满足的不等式：存在，使得（或）落在内，解出参数的范围. 情况2：动区间不包含任何最值点 此时或的最值在动区间的端点处取得，计算和时的函数值； 比较两个端点的函数值，结合的符号，确定函数的最大值和最小值； 列出参数满足的不等式：对所有，（或）均不落在内，解出参数的范围. 步骤5：汇总结果，明确不同参数范围的最值 整理分类讨论的结果，按参数的取值范围，分别写出函数的最大值和最小值； 验证边界：当参数取边界值时，动区间恰好包含最值点，此时最值为情况1和情况2的临界值，需确认是否一致. 易错提醒 换元后区间转化错误：未准确将的动区间转化为的动区间，导致后续分类讨论的基础错误； 分类依据不清晰：未以“是否包含最值点”为核心分类，导致讨论混乱； 漏考虑多最值点情况：动区间可能包含多个最值点，此时仍以为最值，无需额外讨论； 未结合的符号：计算最值时未区分和的情况，导致最值反转； 漏验证边界参数：边界参数可能使动区间从“不包含最值点”变为“包含最值点”，需验证临界值的最值是否连续. （2024·福建泉州·模拟预测）函数在的最大值为m，在的最大值为n，则以下命题为假命题的是（    ）经典例题例题 A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 （25-26高三上·江苏盐城·月考）若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·上海·月考）已知，若对任意，当时，都有，则的取值范围是 ．小试牛刀2 （2023高三·全国·专题练习）已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（   ）小试牛刀3 A．， B．， C．， D．， 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 2．（24-25高三上·福建漳州·月考）当时，曲线与的交点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2025高三·全国·专题练习）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（25-26高三上·福建宁德·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 6．（浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．在上单调递增 7．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．函数的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的图象关于点对称 D．直线是图象一条对称轴 8．（25-26高二上·云南曲靖·月考）若的定义域为，是奇函数，且是偶函数，则必有（   ） A． B． C． D． 9．（浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题）函数，下列四个选项正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．的图象关于对称 C．在区间上单调递增 D．，使得有解 三、填空题 10．（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）函数的单调递减区间为 . 11．（25-26高三上·安徽合肥·期中）若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为 ． 四、解答题 12．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数． (1)求的周期及单调减区间； (2)求在区间上的值域． 13．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域． （2）求函数的值域． 14．（2025高一·全国·专题练习）已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 15．（25-26高三上·河南南阳·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 16．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数的最值及取得最值时的的取值集合； (3)求函数的单调递减区间. 17．（25-26高二上·广东中山·月考）已知函数是上的偶函数． (1)求； (2)如果恒成立，求k的取值集合； (3)如果图象关于对称，且在区间上是单调函数，求的值． 18．（25-26高三上·河北保定·月考）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的取值范围； (3)若在上的最大值为，最小值为，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $