第26讲：两角和差的正余弦正切公式+简单三角恒等变换+和差化积公式【知识梳理+8个题型归纳方法总结+期末真题训练】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以两角差余弦公式为基础，构建“公式推导-应用-变换”的知识体系，通过教材知识框架图呈现从和角公式到倍角公式的脉络，用表格对比核心公式的记忆要点与推导关系，清晰展示重难点分布。 讲义亮点在于“题型分类+方法模板”设计，如给角求值题型通过拆角技巧（如15°=45°-30°）培养数学思维，给值求角强调范围缩小训练发展推理能力。含易错点辨析和必背清单，助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学提升效率。

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第26讲：两角和差的正余弦正切公式+简单三角恒等变换】 总览 题型梳理 一、教材知识框架 5.5三角恒等变换（教材P215-226）是三角函数章节的核心应用部分，包含： 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式（基础） 2.二倍角公式（重点） 3.简单三角恒等变换（应用） 知识脉络：以两角差的余弦公式为基础→推导和角公式→导出倍角公式→应用于化简、求值、证明 二、核心公式全解 1.两角和与差公式（"基石公式"） 公式名称 公式内容 记忆要点 余弦和角 "余余正正，符号相反" 余弦差角 "余余正正，符号相同" 正弦和角 "正余余正，符号相同" 正弦差角 "正余余正，符号相反" 正切和角 分子同号，分母异号 正切差角 分子异号，分母同号 推导关系：由单位圆旋转对称性证明→→公式用诱导公式转换→公式由导出 2.二倍角公式（"核心应用公式"） 公式 标准形式 变形形式(降幂公式) 正弦二倍角 余弦二倍角 正切二倍角 推导：在和角公式中令即可 3.辅助角公式（"化简神器"） ，其中 应用：求三角函数的最值、周期，将不同名三角函数化为同名 三、易错点辨析（避坑指南） 1.公式结构混淆（高频错误） 错误：（漏掉负号） （漏掉） 辨析：理解公式推导过程，利用"口诀记忆法"： 正弦公式："正余余正，符号相同"（展开项符号与一致） 余弦公式："余余正正，符号相反"（展开项符号与相反） 2.角的范围忽略（致命错误） 错误：已知，直接得出（忽略可能在第二象限） 辨析： 求值后必须判断角所在象限，确定三角函数符号 角范围分析三步法： 1.确定角的大致范围（如） 2.选择适当公式（如） 3.根据角范围确定符号（"一全正，二正弦，三正切，四余弦"） 3.恒等变换过度或不足 错误：化简直接展开为，不进一步用降幂公式 辨析：建立公式使用优先级： "次数优先降幂"：优先使用降幂公式降低次数 "同名优先和差化积"：同名三角函数优先考虑和差化积 注意公式可逆性：逆用即升幂公式 4.忽略定义域限制 错误：计算时不考虑且 辨析：使用相关公式前必须检查： 分母不为零 角不在使无定义的位置 特殊值计算时优先考虑和，再求 四、概念比较（深入理解） 1.同角三角函数关系vs诱导公式vs和差公式 关系类型 核心功能 公式特点 应用场景 同角关系 同角不同名函数转换 已知一角三角函数值求其他值 "弦化切"或"切化弦" 诱导公式 不同角但终边有对称关系的函数转换 "奇变偶不变，符号看象限" 任意角→锐角 简化计算 和差公式 两角和差与单角函数关系 等 求值、化简、证明 角的变换 联系：诱导公式可视为和差公式的特例（如） 2.二倍角公式vs降幂公式vs半角公式 公式类型 转换方向 核心公式 应用价值 二倍角 单角→倍角 角的倍数转换 周期变换 降幂 高次→一次 化简、积分 消除平方项 半角 倍角→半角 角的细分 积分计算 本质联系：三者可相互推导，核心都是角的倍数关系转换，体现"角变则函数变"的基本思想 五、重点记忆内容（必背清单） 1.公式记忆核心组块 基础组：（所有公式的起点） 和角组：（正弦"正余余正"） 倍角组：（三种形式） 辅助角： 2.角变换技巧（秒杀关键） 拆角/拼角策略： （灵活拆分） 特殊角组合： （利用特殊值简化） 互余角：与（） 互补角：与（） 六、常考结论（高分必备） 1.求值问题通用结论 已知，则（平方关系） 与：平方和为2，平方差为 （倒数关系变形） 2.三角函数性质结论 的最大值：，最小值： 周期结论：周期为；周期为 对称性：；； 3.三角形中的恒等式（拓展应用） 在中： （时） 七、解题方法模板 1.化简求值通用步骤 1.角分析：观察角之间的关系（如和差、倍角），确定变换方向 2.名统一：将不同名函数化为同名（如用辅助角公式） 3.幂降低：利用降幂公式消除平方项 4.形简化：整理成标准形式（如） 5.代入计算：注意角范围对结果符号的影响 2.证明恒等式策略 从左到右：将复杂一边化简到简单一边 左右归一：两边分别化简到同一形式 变更命题：证明等价命题（如移项证差为0） 切割化弦：将化为（通法） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：给角求值（两角和差公式直接应用+逆应用）】 【解题策略】 直接应用题型特征 已知非特殊角（如、、），需拆分为两个特殊角的和/差，利用两角和差公式计算三角函数值. 答题模板 1.拆角：将非特殊角表示为两个特殊角的和/差（如、）； 2.选公式：根据拆分形式（和/差）及所求函数名，选择对应的两角和差公式； 3.代值计算：代入特殊角的三角函数值，化简得出结果. 名师方法总结 ·常见特殊角组合：、、； ·优先拆成“小角度+小角度”，减少计算误差；计算时注意符号与特殊值的精准性. 两角和差公式逆应用专项方法总结 核心价值：两角和差公式的逆应用是三角恒等变换的“化简利器”，能快速将复杂的乘积、和差形式转化为单一角的三角函数，大幅降低计算量.高一期末高频考查，尤其在化简求值、恒等式证明题型中占比极高. 一、核心公式逆用形式（必背清单） 1.正弦和差公式逆用 ·正向： ·逆用： ·记忆口诀：“正余余正，符号相同”（逆用符号与括号内“”一致） 2.余弦和差公式逆用 ·正向： ·逆用： ·记忆口诀：“余余正正，符号相反”（逆用符号与括号内“”相反） 3.正切和差公式逆用 ·正向： ·逆用： ·适用条件：（），避免正切无定义 二、逆应用适用场景（快速识别） 1.正弦逆用场景 ·题干出现“”形式（直接匹配逆用结构）； ·出现“”（提取系数2后匹配，可结合二倍角公式）； ·化简含“异角正弦余弦乘积±同角正弦余弦乘积”的表达式. 2.余弦逆用场景 ·题干出现“”形式（符号是关键识别点）； ·出现“”（可视为，逆用，即二倍角公式的本质是余弦和差公式逆用）； ·证明含“异角余弦乘积与正弦乘积加减”的恒等式. 3.正切逆用场景 ·题干同时出现“”和“”（两者成对出现，优先逆用）； ·出现“”（虽为正向形式，但可转化为，本质是逆用的变形）； ·三角形内角问题（如，则，可结合逆用）. 三、逆应用答题模板（三步秒杀） 通用模板（适用于所有逆用题型） 1.识别结构：观察题干表达式，匹配对应的逆用公式结构（重点看函数名、运算符号、角的关系）； 2.变形匹配：若表达式有系数（如），先提取系数（3），转化为“系数×（逆用结构）”；若角不直接匹配（如），将“”视为整体角，匹配逆用形式； 3.代入逆用：套用对应逆用公式，将表达式转化为单一角的三角函数，再结合其他公式（如诱导公式、特殊角值）进一步化简求值. 逆应用核心技巧（名师总结） 1.整体角思想：将“”视为一个整体角（如），避免被“两个角”的表象干扰，快速匹配逆用结构； 2.系数处理技巧：遇到含系数的表达式（如），先提取系数，再逆用，即； 3.符号优先判断：逆用前先确定表达式的符号，再匹配对应公式（如“”对应，符号为“+”时括号内是“-”）； 4.公式联动技巧：逆用后常结合诱导公式（如）、特殊角值（如）化简，形成“逆用+收尾”的完整解题链； 5.正切逆用速记：记住“和加积乘（1减积），差减积乘（1加积）”，快速对应的逆用形式. 【多选题】（25-26高三上·四川遂宁·期中）下列各式的值为的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·重庆南岸·期中）（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·广东·期中）计算的值为 .小试牛刀2 【多选题】（24-25高一下·江苏镇江·月考）下列等式正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：给值求值（单角→同角/倍角）】 【解题策略】 题型特征 已知一个角的某三角函数值（如、、），求该角的同角其他函数值或倍角函数值（、等）. 答题模板 1.定范围：根据题干条件（象限、角度区间）确定角的范围； 2.求同角值：利用同角关系（、）求缺失的函数值，结合范围判断符号； 3.选倍角公式： 求：用； 求：优先选与已知条件匹配的形式（已知用，已知用）； 4.代入计算：分步化简，确保符号正确. 名师方法总结 ·核心技巧：“先定范围再判符号”，避免因符号错误丢分； ·倍角公式选择优先级：“已知什么用什么”，减少额外计算（如已知，求直接用正切二倍角公式）. （25-26高三上·山东济宁·月考）已知，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ．经典例题2例题 （25-26高三上·重庆·期中）已知，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·湖南·期中）已知则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·四川泸州·一模）若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：给值求值（复角→单角/其他复角，角拼凑法）】 【解题策略】 题型特征 已知、等复角函数值，求、等相关值（名师高频强调的“核心题型”，关键是“角的拼凑”）. 答题模板 1.凑角（核心）：将所求角拆分为已知复角与已知角/特殊角的和差，如： 、、； 2.定范围：根据、的范围，推导拼凑后复角的范围； 3.求中间值：利用已知复角函数值，求拼凑过程中所需的其他函数值（注意范围与符号）； 4.代公式：代入两角和差公式展开，化简求解. 名师方法总结 ·凑角口诀：“未知角=已知角±已知角”，打破“复角是两个角”的惯性思维，将视为“一个整体角”； ·关键提醒：拼凑后复角的范围必须精准，否则会导致中间值符号判断错误（如、为锐角，则，再结合符号可进一步缩小范围）. （25-26高三上·四川广安·月考）已知，满足 ，则值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知为锐角，且，，则 ．经典例题2例题 （25-26高三上·江苏无锡·月考）已知，那么等于（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·四川广安·月考）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上.小试牛刀2 (1)求cos 2α的值； (2)若，求sin(α－2β)的值. （25-26高三上·河北保定·月考）已知均为锐角，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：给值求角】 【解题策略】 题型特征：已知三角函数值（单角/复角），求指定区间内角的大小（名师强调“易丢分题型”，核心是“范围缩小”）. 答题模板 1.求参考角：根据已知函数值的绝对值，求出对应的锐角（参考角）； 2.定象限：根据已知函数值的符号，判断角可能所在的象限； 3.缩范围：结合题干给出的区间（如、），双重缩小角的范围，确保唯一性； 4.写结果：根据参考角和象限，写出符合条件的角（如、、）. 名师方法总结 ·函数选择技巧：范围在选余弦（单调性好，符号唯一），范围在选正弦/正切； ·避坑关键：“范围缩小不彻底不罢休”，避免因范围过宽导致多解错误. （24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，是方程的两根，且，则的值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·江苏苏州·月考）已知为三角形的两个内角，，则＝（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则 ．小试牛刀2 （24-25高一上·山西·期末）若，则 .小试牛刀3 【题型5：三角函数化简（含辅助角公式应用）】 【解题策略】 题型特征 将含高次、不同名、复角的三角函数表达式，化简为“一角一函数”标准形式（如），常涉及辅助角公式、降幂公式的应用. 答题模板 1.降幂优先：用降幂公式（、）消除高次项； 2.展开复角：将、等复角公式展开，合并同类项； 3.统一函数名：“切割化弦”（），将不同名函数化为正弦/余弦； 4.辅助角化简：对形式，化为，确定及象限； 5.整理规范：化为最简形式（无同类项、系数最简）. 名师方法总结 ·辅助角公式速算技巧：最大值直接为，最小值为，无需完整化简即可判断最值； ·化简优先级：“降幂→展开→统一名称→辅助角”，按步骤来避免混乱. （24-25高一·全国·假期作业）已知函数 的最小正周期为π．经典例题1例题 (1)求ω的值； (2)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程． 【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数，则（    ）经典例题2例题 A．的值域为 B．当时，图象的对称中心为， C．当时，图象的对称轴方程为， D．当，的值域为时，的值为 （2025·浙江台州·一模）已知函数.小试牛刀1 (1)求的最小正周期； (2)若函数为偶函数，其中，求的最小值. （24-25高三上·天津武清·月考）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．对于下列四种说法，正确的是（   ）小试牛刀2 ①函数的图象关于点成中心对称 ②的图象关于对称 ③函数在区间上的最大值为，最小值为 ④函数在区间上单调递增 A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ （25-26高一上·浙江·期末）已知函数.小试牛刀3 (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 【题型6：三角恒等式证明（无条件/条件型）】 【解题策略】 题型特征 证明等式两边三角函数表达式恒等，分为“无条件证明”（无额外条件）和“条件证明”（已知某三角条件，证明结论成立）. 答题模板 1.无条件证明： 选方向：从复杂的一边向简单的一边化简（左推右/右推左），或“左右归一”（两边化简为同一形式）； 用技巧：展开复角、降幂、切割化弦，逐步消除差异（角、函数名、次数）； 2.条件证明： 找关联：分析已知条件与结论的角、函数名关联（如角互补、互余）； 转结论：用已知条件转化结论中的角（如）或函数值（如）； 再化简：按无条件证明方法推导，验证等式成立. 名师方法总结 ·核心思想：“化异为同”（角同、函数名同、次数同）； ·常用技巧：“1的代换”（）、公式逆用（如逆用降幂）. （2025高三·全国·专题练习）在中，求证：.经典例题1例题 （22-23高一·全国·随堂练习）求证：经典例题2例题 (1)； (2)； (3)； (4)． （23-24高三上·四川广安·月考）在中，下列等式错误的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立．小试牛刀2 (1)； (2)； (3)． （24-25高一下·江西萍乡·期末）（1）求证：；小试牛刀3 （2）已知，，求的值． 【题型7：正切恒等式问题（切弦互化+和差公式）】 【解题策略】 题型特征 含、的恒等式证明或求值，常涉及公式的逆用，或“切化弦”转化. 答题模板 1.观察结构：若含、，优先联想公式（）； 2.选方法： 能直接用和差公式逆用的，直接变形代入； 无法直接用的，进行“切化弦”，转化为正弦、余弦表达式，再用和差公式化简； 3.化简求解/证明：逐步推导，验证结果或等式成立. 名师方法总结 ·典型模型：（时成立），可直接记忆应用； ·避坑提醒：使用正切和差公式前，需验证、、不为（无定义情况） （23-24高一下·四川成都·期中）已知斜三角形.经典例题1例题 (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. （23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知为斜三角形．经典例题2例题 (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． （24-25高一下·上海·月考）在中，若，则角的取值范围是 .小试牛刀1 （23-24高一下·江苏镇江·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    )小试牛刀2 A．4 B．6 C．8 D．10 （23-24高一·全国·课后作业）在中，已知，求角C的大小．小试牛刀3 【题型8：和差化积与积化和差问题】 【解题策略】 题型特征 已知同名三角函数的和/差（如、），需转化为乘积形式化简求值；或已知三角函数的乘积（如、），需转化为和/差形式求解（高一期末高频考点，常结合其他公式综合应用）. 答题模板 1.核心公式回顾（名师必背）： 和差化积： ； ； 积化和差： ； ； 2.识别形式：判断题干是“和差→积”还是“积→和差”，明确目标； 3.匹配公式：根据已知函数名（正弦/余弦）、运算形式（和/差/积），选择对应的和差化积或积化和差公式； 4.代入化简：将已知角代入公式，整理后结合其他公式（如辅助角、降幂）进一步化简； 5.求解结果：根据题干要求（求值/化简/证明），得出最终答案. 名师方法总结 ·公式记忆技巧：和差化积口诀“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”，对应公式中函数名和符号规律； ·应用场景：和差化积常用于同名三角函数和差的化简、三角形内角相关问题（如时，的转化）；积化和差常用于乘积形式的降次、求值； ·避坑关键：和差化积仅适合同名三角函数的和/差，不同名需先统一函数名；注意公式中“”和“”的书写，避免角的倍数关系错误；积化和差公式中系数“”和符号（如前的负号）不可遗漏. 1.角变换核心：“见角拆角，无角凑角”，优先用已知角表示所求角，避免新增未知角； 2.公式应用技巧： 正用：直接展开计算；逆用：简化表达式（如）； 牢记符号口诀：正弦和差“正余余正，符号相同”，余弦和差“余余正正，符号相反”； 3.速算工具：辅助角公式、降幂公式优先用，减少计算量；万能公式（用表示、）可用于快速判断符号； 4.避坑关键： 任何求值、求角问题，先定角的范围，再判符号； 化简问题“降幂优先”，证明问题“化异为同”； （2025高三上·内蒙古包头·专题练习）已知函数．若有两个零点和，则 ．经典例题1例题 （25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ）经典例题2例题 A．1 B． C． D． （25-26高三上·湖南·月考）设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则角 .小试牛刀1 【多选题】（25-26高三上·广东湛江·月考）已知函数在内的三个零点分别为，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）求的值.小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 3．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高一下·江苏苏州·期中）若，，其中，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北石家庄·期末）（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，，则 . 三、解答题 10．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 11．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）已知，，求，； （2）已知，，求； （3）已知，，且，求的值. 12．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 13．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）设，都是锐角，且， (1)求的值； (2)求的值. 14．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第26讲：两角和差的正余弦正切公式+简单三角恒等变换】 总览 题型梳理 一、教材知识框架 5.5三角恒等变换（教材P215-226）是三角函数章节的核心应用部分，包含： 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式（基础） 2.二倍角公式（重点） 3.简单三角恒等变换（应用） 知识脉络：以两角差的余弦公式为基础→推导和角公式→导出倍角公式→应用于化简、求值、证明 二、核心公式全解 1.两角和与差公式（"基石公式"） 公式名称 公式内容 记忆要点 余弦和角 "余余正正，符号相反" 余弦差角 "余余正正，符号相同" 正弦和角 "正余余正，符号相同" 正弦差角 "正余余正，符号相反" 正切和角 分子同号，分母异号 正切差角 分子异号，分母同号 推导关系：由单位圆旋转对称性证明→→公式用诱导公式转换→公式由导出 2.二倍角公式（"核心应用公式"） 公式 标准形式 变形形式(降幂公式) 正弦二倍角 余弦二倍角 正切二倍角 推导：在和角公式中令即可 3.辅助角公式（"化简神器"） ，其中 应用：求三角函数的最值、周期，将不同名三角函数化为同名 三、易错点辨析（避坑指南） 1.公式结构混淆（高频错误） 错误：（漏掉负号） （漏掉） 辨析：理解公式推导过程，利用"口诀记忆法"： 正弦公式："正余余正，符号相同"（展开项符号与一致） 余弦公式："余余正正，符号相反"（展开项符号与相反） 2.角的范围忽略（致命错误） 错误：已知，直接得出（忽略可能在第二象限） 辨析： 求值后必须判断角所在象限，确定三角函数符号 角范围分析三步法： 1.确定角的大致范围（如） 2.选择适当公式（如） 3.根据角范围确定符号（"一全正，二正弦，三正切，四余弦"） 3.恒等变换过度或不足 错误：化简直接展开为，不进一步用降幂公式 辨析：建立公式使用优先级： "次数优先降幂"：优先使用降幂公式降低次数 "同名优先和差化积"：同名三角函数优先考虑和差化积 注意公式可逆性：逆用即升幂公式 4.忽略定义域限制 错误：计算时不考虑且 辨析：使用相关公式前必须检查： 分母不为零 角不在使无定义的位置 特殊值计算时优先考虑和，再求 四、概念比较（深入理解） 1.同角三角函数关系vs诱导公式vs和差公式 关系类型 核心功能 公式特点 应用场景 同角关系 同角不同名函数转换 已知一角三角函数值求其他值 "弦化切"或"切化弦" 诱导公式 不同角但终边有对称关系的函数转换 "奇变偶不变，符号看象限" 任意角→锐角 简化计算 和差公式 两角和差与单角函数关系 等 求值、化简、证明 角的变换 联系：诱导公式可视为和差公式的特例（如） 2.二倍角公式vs降幂公式vs半角公式 公式类型 转换方向 核心公式 应用价值 二倍角 单角→倍角 角的倍数转换 周期变换 降幂 高次→一次 化简、积分 消除平方项 半角 倍角→半角 角的细分 积分计算 本质联系：三者可相互推导，核心都是角的倍数关系转换，体现"角变则函数变"的基本思想 五、重点记忆内容（必背清单） 1.公式记忆核心组块 基础组：（所有公式的起点） 和角组：（正弦"正余余正"） 倍角组：（三种形式） 辅助角： 2.角变换技巧（秒杀关键） 拆角/拼角策略： （灵活拆分） 特殊角组合： （利用特殊值简化） 互余角：与（） 互补角：与（） 六、常考结论（高分必备） 1.求值问题通用结论 已知，则（平方关系） 与：平方和为2，平方差为 （倒数关系变形） 2.三角函数性质结论 的最大值：，最小值： 周期结论：周期为；周期为 对称性：；； 3.三角形中的恒等式（拓展应用） 在中： （时） 七、解题方法模板 1.化简求值通用步骤 1.角分析：观察角之间的关系（如和差、倍角），确定变换方向 2.名统一：将不同名函数化为同名（如用辅助角公式） 3.幂降低：利用降幂公式消除平方项 4.形简化：整理成标准形式（如） 5.代入计算：注意角范围对结果符号的影响 2.证明恒等式策略 从左到右：将复杂一边化简到简单一边 左右归一：两边分别化简到同一形式 变更命题：证明等价命题（如移项证差为0） 切割化弦：将化为（通法） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：给角求值（两角和差公式直接应用+逆应用）】 【解题策略】 直接应用题型特征 已知非特殊角（如、、），需拆分为两个特殊角的和/差，利用两角和差公式计算三角函数值. 答题模板 1.拆角：将非特殊角表示为两个特殊角的和/差（如、）； 2.选公式：根据拆分形式（和/差）及所求函数名，选择对应的两角和差公式； 3.代值计算：代入特殊角的三角函数值，化简得出结果. 名师方法总结 ·常见特殊角组合：、、； ·优先拆成“小角度+小角度”，减少计算误差；计算时注意符号与特殊值的精准性. 两角和差公式逆应用专项方法总结 核心价值：两角和差公式的逆应用是三角恒等变换的“化简利器”，能快速将复杂的乘积、和差形式转化为单一角的三角函数，大幅降低计算量.高一期末高频考查，尤其在化简求值、恒等式证明题型中占比极高. 一、核心公式逆用形式（必背清单） 1.正弦和差公式逆用 ·正向： ·逆用： ·记忆口诀：“正余余正，符号相同”（逆用符号与括号内“”一致） 2.余弦和差公式逆用 ·正向： ·逆用： ·记忆口诀：“余余正正，符号相反”（逆用符号与括号内“”相反） 3.正切和差公式逆用 ·正向： ·逆用： ·适用条件：（），避免正切无定义 二、逆应用适用场景（快速识别） 1.正弦逆用场景 ·题干出现“”形式（直接匹配逆用结构）； ·出现“”（提取系数2后匹配，可结合二倍角公式）； ·化简含“异角正弦余弦乘积±同角正弦余弦乘积”的表达式. 2.余弦逆用场景 ·题干出现“”形式（符号是关键识别点）； ·出现“”（可视为，逆用，即二倍角公式的本质是余弦和差公式逆用）； ·证明含“异角余弦乘积与正弦乘积加减”的恒等式. 3.正切逆用场景 ·题干同时出现“”和“”（两者成对出现，优先逆用）； ·出现“”（虽为正向形式，但可转化为，本质是逆用的变形）； ·三角形内角问题（如，则，可结合逆用）. 三、逆应用答题模板（三步秒杀） 通用模板（适用于所有逆用题型） 1.识别结构：观察题干表达式，匹配对应的逆用公式结构（重点看函数名、运算符号、角的关系）； 2.变形匹配：若表达式有系数（如），先提取系数（3），转化为“系数×（逆用结构）”；若角不直接匹配（如），将“”视为整体角，匹配逆用形式； 3.代入逆用：套用对应逆用公式，将表达式转化为单一角的三角函数，再结合其他公式（如诱导公式、特殊角值）进一步化简求值. 逆应用核心技巧（名师总结） 1.整体角思想：将“”视为一个整体角（如），避免被“两个角”的表象干扰，快速匹配逆用结构； 2.系数处理技巧：遇到含系数的表达式（如），先提取系数，再逆用，即； 3.符号优先判断：逆用前先确定表达式的符号，再匹配对应公式（如“”对应，符号为“+”时括号内是“-”）； 4.公式联动技巧：逆用后常结合诱导公式（如）、特殊角值（如）化简，形成“逆用+收尾”的完整解题链； 5.正切逆用速记：记住“和加积乘（1减积），差减积乘（1加积）”，快速对应的逆用形式. 【多选题】（25-26高三上·四川遂宁·期中）下列各式的值为的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：AB. 【多选题】（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D. 【详解】对于A：因为， 则， 所以，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD （25-26高三上·重庆南岸·期中）（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式可得，结合两角和公式运算求解. 【详解】因为， 所以原式. 故选：A. （25-26高三上·广东·期中）计算的值为 .小试牛刀2 【答案】/ 【分析】利用降幂公式及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】 故答案为： 【多选题】（24-25高一下·江苏镇江·月考）下列等式正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】拆角后由两角差的正切公式可判断A；由二倍角的余弦公式结合余弦值可得B错误；由二倍角的正弦公式和诱导公式可得C正确；由二倍角的正弦和辅助角公式可得D错误. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，， 故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC 【题型2：给值求值（单角→同角/倍角）】 【解题策略】 题型特征 已知一个角的某三角函数值（如、、），求该角的同角其他函数值或倍角函数值（、等）. 答题模板 1.定范围：根据题干条件（象限、角度区间）确定角的范围； 2.求同角值：利用同角关系（、）求缺失的函数值，结合范围判断符号； 3.选倍角公式： 求：用； 求：优先选与已知条件匹配的形式（已知用，已知用）； 4.代入计算：分步化简，确保符号正确. 名师方法总结 ·核心技巧：“先定范围再判符号”，避免因符号错误丢分； ·倍角公式选择优先级：“已知什么用什么”，减少额外计算（如已知，求直接用正切二倍角公式）. （25-26高三上·山东济宁·月考）已知，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，利用二倍角公式可求得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由题意，因为，所以， 所以. 故选：A. （2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】以为整体，根据同角三角关系求，结合倍角公式可得，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可得， ， 则， 所以. 故答案为：. （25-26高三上·重庆·期中）已知，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式、二倍角余弦公式求函数值即可. 【详解】由. 故选：D （25-26高三上·湖南·期中）已知则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的正弦公式以及商数关系求解出与的值，继而逆运用两角差的正弦公式求出，再运用余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即. 又因为， 所以.所以， 所以， 故选：D. （2025·四川泸州·一模）若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 ，联立，解出的值，再利用诱导公式以及倍角公式即得. 【详解】令 ，则 ， 由 ，可得 ，进而 ， 因此，， 利用诱导公式，， 联立 ，解得： 或. 当时， ， ， 则， 代入得； 当时， ， ， . 故选：B 【题型3：给值求值（复角→单角/其他复角，角拼凑法）】 【解题策略】 题型特征 已知、等复角函数值，求、等相关值（名师高频强调的“核心题型”，关键是“角的拼凑”）. 答题模板 1.凑角（核心）：将所求角拆分为已知复角与已知角/特殊角的和差，如： 、、； 2.定范围：根据、的范围，推导拼凑后复角的范围； 3.求中间值：利用已知复角函数值，求拼凑过程中所需的其他函数值（注意范围与符号）； 4.代公式：代入两角和差公式展开，化简求解. 名师方法总结 ·凑角口诀：“未知角=已知角±已知角”，打破“复角是两个角”的惯性思维，将视为“一个整体角”； ·关键提醒：拼凑后复角的范围必须精准，否则会导致中间值符号判断错误（如、为锐角，则，再结合符号可进一步缩小范围）. （25-26高三上·四川广安·月考）已知，满足 ，则值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，结合两角和的正弦公式求出，再根据，展开后即可求得答案. 【详解】由题意知，即， 而，故， 故， 故选：B （25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知为锐角，且，，则 ．经典例题2例题 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再由两角差的正弦公式求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，， 因为，，则， 所以， 所以 . 所以. 故答案为： （25-26高三上·江苏无锡·月考）已知，那么等于（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知角和未知角的关系，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 因此 ， 故选：B （25-26高三上·四川广安·月考）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上.小试牛刀2 (1)求cos 2α的值； (2)若，求sin(α－2β)的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由条件利用任意角的三角函数的定义可得＝2，再利用二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得的值． (2)利用同角三角函数基本关系式求得再利用两角差的正、余弦公式求得继而根据二倍角公式求得进而利用两角差的正弦公式即可求的值． 【详解】（1）依题意，故. （2）由 (1)知， ，， ，， ， ， ∴ . （25-26高三上·河北保定·月考）已知均为锐角，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倍角公式得出进而得出的范围，，再计算的范围，进而得出，最后利用两角和差的余弦公式计算即可. 【详解】因，则， 因为为锐角，则， 又，则，所以， 又为锐角，，则， 因，所以，所以， 所以 ， 故选：B. 【题型4：给值求角】 【解题策略】 题型特征：已知三角函数值（单角/复角），求指定区间内角的大小（名师强调“易丢分题型”，核心是“范围缩小”）. 答题模板 1.求参考角：根据已知函数值的绝对值，求出对应的锐角（参考角）； 2.定象限：根据已知函数值的符号，判断角可能所在的象限； 3.缩范围：结合题干给出的区间（如、），双重缩小角的范围，确保唯一性； 4.写结果：根据参考角和象限，写出符合条件的角（如、、）. 名师方法总结 ·函数选择技巧：范围在选余弦（单调性好，符号唯一），范围在选正弦/正切； ·避坑关键：“范围缩小不彻底不罢休”，避免因范围过宽导致多解错误. （24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，是方程的两根，且，则的值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出韦达定理，利用和角的正切公式求出的值，结合角的范围确定的值即可. 【详解】由题意，， 则，且一正一负， 因，则，故. 故选：C. （24-25高一下·江苏苏州·月考）已知为三角形的两个内角，，则＝（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知数据可得和的值，而 ，代入值计算可得． 【详解】因为三角形的两个内角，且， 则，， 因，， 得， 则， 故， 因，，则． 故选：B． （24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D （24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. （24-25高一上·山西·期末）若，则 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】为求角的大小，只需算出的三角函数值. 【详解】， 故由，得. 又， 又， 则 ， 又，所以. 故答案为：. 【题型5：三角函数化简（含辅助角公式应用）】 【解题策略】 题型特征 将含高次、不同名、复角的三角函数表达式，化简为“一角一函数”标准形式（如），常涉及辅助角公式、降幂公式的应用. 答题模板 1.降幂优先：用降幂公式（、）消除高次项； 2.展开复角：将、等复角公式展开，合并同类项； 3.统一函数名：“切割化弦”（），将不同名函数化为正弦/余弦； 4.辅助角化简：对形式，化为，确定及象限； 5.整理规范：化为最简形式（无同类项、系数最简）. 名师方法总结 ·辅助角公式速算技巧：最大值直接为，最小值为，无需完整化简即可判断最值； ·化简优先级：“降幂→展开→统一名称→辅助角”，按步骤来避免混乱. （24-25高一·全国·假期作业）已知函数 的最小正周期为π．经典例题1例题 (1)求ω的值； (2)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程． 【答案】(1) (2)单调递增区间为 ，对称轴方程为 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用周期公式列式得解. （2）利用正弦函数的单调性及对称轴列式求解. 【详解】（1）依题意，， 由的最小正周期为π，得，所以. （2）由（1）知， 令 ，解得 ， 因此函数的单调递增区间为 ； 令 ，解得 ， 所以函数图象的对称轴方程为 ． 【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数，则（    ）经典例题2例题 A．的值域为 B．当时，图象的对称中心为， C．当时，图象的对称轴方程为， D．当，的值域为时，的值为 【答案】AC 【分析】利用三角恒等变换先化简得，再逐项验证即可求解. 【详解】由题意可得．因为， 所以的值域为，故A正确； 当时，，令，， 解得，，所以图象的对称中心为，，故B错误； 当时，，令，， 解得，，所以对称轴方程为，，故C正确； 当时，则，此时的值域为．由，可知，且， 可得，，则，解得，可得，， 由，可得解得，且或，解得或， 所以的值为或，故D错误． 故选：AC. （2025·浙江台州·一模）已知函数.小试牛刀1 (1)求的最小正周期； (2)若函数为偶函数，其中，求的最小值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）化简得到，从而求出最小正周期； （2）求出，根据函数的奇偶性得到方程，求出，结合，得到答案. 【详解】（1）由， 得的最小正周期为； （2）， 因为函数为偶函数，所以， 解得， 又因为，所以当时，取到最小值. （24-25高三上·天津武清·月考）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．对于下列四种说法，正确的是（   ）小试牛刀2 ①函数的图象关于点成中心对称 ②的图象关于对称 ③函数在区间上的最大值为，最小值为 ④函数在区间上单调递增 A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】先根据三角恒等变换公式化简，再根据函数的伸缩变换得到，进而根据正弦函数的性质求解判断各选项即可. 【详解】由， 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图象. 对于①，因为， 所以函数的图象不关于点成中心对称，故①错误； 对于②，因为， 所以的图象关于对称，故②正确； 对于③，当时，， 则，即， 所以的最大值为，最小值为，故③正确； 对于④，当时，， 因为函数在上不单调， 所以函数在区间上不单调，故④错误. 故选：B． （25-26高一上·浙江·期末）已知函数.小试牛刀3 (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，即可利用整体法求解单调性， （2）根据五点作图法即可求解， （3）根据，利用和差角公式以及辅助角公式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1） ， 令，解得， 故单调递增区间为 （2） 0 0 1 0 0 故在区间内的图象如下所示： （3）由可得， 由于，则，故，故， 因此， 由于，则， 故当，即时，取最大值为. 【题型6：三角恒等式证明（无条件/条件型）】 【解题策略】 题型特征 证明等式两边三角函数表达式恒等，分为“无条件证明”（无额外条件）和“条件证明”（已知某三角条件，证明结论成立）. 答题模板 1.无条件证明： 选方向：从复杂的一边向简单的一边化简（左推右/右推左），或“左右归一”（两边化简为同一形式）； 用技巧：展开复角、降幂、切割化弦，逐步消除差异（角、函数名、次数）； 2.条件证明： 找关联：分析已知条件与结论的角、函数名关联（如角互补、互余）； 转结论：用已知条件转化结论中的角（如）或函数值（如）； 再化简：按无条件证明方法推导，验证等式成立. 名师方法总结 ·核心思想：“化异为同”（角同、函数名同、次数同）； ·常用技巧：“1的代换”（）、公式逆用（如逆用降幂）. （2025高三·全国·专题练习）在中，求证：.经典例题1例题 【答案】证明见解析 【分析】对左边先后运用降幂公式、同角基本关系式、和差化积公式、三角形内角和及诱导公式、两角和与差的余弦公式，进行化简后可得到右侧 【详解】左边 . ∴原等式成立. （22-23高一·全国·随堂练习）求证：经典例题2例题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 (4)证明见详解 【分析】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证； （2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明； （3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证； （4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证. 【详解】（1）因为左边， 右边， 所以左边=右边，原等式成立. （2）因为左边右边， 所以，原等式成立. （3）因为左边右边， 所以，原等式成立. （4）因为左边右边， 所以，原等式成立. （23-24高三上·四川广安·月考）在中，下列等式错误的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. （25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立．小试牛刀2 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【详解】（1）； （2）； （3）. （24-25高一下·江西萍乡·期末）（1）求证：；小试牛刀3 （2）已知，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用两角和的正切公式以及二倍角的正弦、余弦公式可证得结论成立； （2）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）等式左边， 等式右边，即左边右边，故等式成立． （2）由，可得：， 解得，， 即． 【题型7：正切恒等式问题（切弦互化+和差公式）】 【解题策略】 题型特征 含、的恒等式证明或求值，常涉及公式的逆用，或“切化弦”转化. 答题模板 1.观察结构：若含、，优先联想公式（）； 2.选方法： 能直接用和差公式逆用的，直接变形代入； 无法直接用的，进行“切化弦”，转化为正弦、余弦表达式，再用和差公式化简； 3.化简求解/证明：逐步推导，验证结果或等式成立. 名师方法总结 ·典型模型：（时成立），可直接记忆应用； ·避坑提醒：使用正切和差公式前，需验证、、不为（无定义情况） （23-24高一下·四川成都·期中）已知斜三角形.经典例题1例题 (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，①，②； (2) 【分析】（1）由内角和及诱导公式得到，然后根据两角和的正切公式即可得证；然后根据结论即可求出①②的值； （2）可得出，然后根据基本不等式即可得出关于的一元二次不等式，从而得出的最小值． 【详解】（1）， ， ， ， ； ① ； ②； （2），则，，且， 所以，， ， ， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号 的最小值为． （23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知为斜三角形．经典例题2例题 (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立； （2）推导出，利用（1）中的结论结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）证明：，所以． 因为，所以，所以． 由，可得． （2）解：因为， 所以，可得． 由（1）得 ． 因为为锐角三角形，由可知， 设，则， 当且仅当时取等号，再由（1）可得， 此时，解得或时， 即当或时，等号成立， 故的最小值为. （24-25高一下·上海·月考）在中，若，则角的取值范围是 .小试牛刀1 【答案】 【分析】由题意可知均为锐角，则分类讨论，若均为钝角，不妨设，则与矛盾，若均为锐角，则利用以及基本不等式可得. 【详解】，则均为锐角， 若，不妨设，则，则， 即，从而，与矛盾， 所以，由得， 所以， 又因为， 则， 所以，，，所以. 故答案为：. （23-24高一下·江苏镇江·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    )小试牛刀2 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. （23-24高一·全国·课后作业）在中，已知，求角C的大小．小试牛刀3 【答案】 【分析】由条件利用两角和的正切公式求得，可得的值，从而求得的值． 【详解】解：中，已知， 若，则，不合题意； ，， ， ，，因为 ，． 【题型8：和差化积与积化和差问题】 【解题策略】 题型特征 已知同名三角函数的和/差（如、），需转化为乘积形式化简求值；或已知三角函数的乘积（如、），需转化为和/差形式求解（高一期末高频考点，常结合其他公式综合应用）. 答题模板 1.核心公式回顾（名师必背）： 和差化积： ； ； 积化和差： ； ； 2.识别形式：判断题干是“和差→积”还是“积→和差”，明确目标； 3.匹配公式：根据已知函数名（正弦/余弦）、运算形式（和/差/积），选择对应的和差化积或积化和差公式； 4.代入化简：将已知角代入公式，整理后结合其他公式（如辅助角、降幂）进一步化简； 5.求解结果：根据题干要求（求值/化简/证明），得出最终答案. 名师方法总结 ·公式记忆技巧：和差化积口诀“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”，对应公式中函数名和符号规律； ·应用场景：和差化积常用于同名三角函数和差的化简、三角形内角相关问题（如时，的转化）；积化和差常用于乘积形式的降次、求值； ·避坑关键：和差化积仅适合同名三角函数的和/差，不同名需先统一函数名；注意公式中“”和“”的书写，避免角的倍数关系错误；积化和差公式中系数“”和符号（如前的负号）不可遗漏. 1.角变换核心：“见角拆角，无角凑角”，优先用已知角表示所求角，避免新增未知角； 2.公式应用技巧： 正用：直接展开计算；逆用：简化表达式（如）； 牢记符号口诀：正弦和差“正余余正，符号相同”，余弦和差“余余正正，符号相反”； 3.速算工具：辅助角公式、降幂公式优先用，减少计算量；万能公式（用表示、）可用于快速判断符号； 4.避坑关键： 任何求值、求角问题，先定角的范围，再判符号； 化简问题“降幂优先”，证明问题“化异为同”； （2025高三上·内蒙古包头·专题练习）已知函数．若有两个零点和，则 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可求出的值，代入可得，并求出，从而得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 令， 当时，，则，此时无解， 当时，，则，则或，解得或， ， ， 设，即，两边取余弦，得 ， 其中 ， 所以， 整理方程，得， 故， ， ，，， ，解得， ，， . 故答案为：. （25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ）经典例题2例题 A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】使用和差化积公式化简分子即可代值求解． 【详解】， ， 代入，． 故选：A． （25-26高三上·湖南·月考）设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则角 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式、和差化积公式，结合诱导公式得，再分类讨论求解. 【详解】由，得， 即，则， 在中，，于是， 则或， 当时，，则与矛盾， 当时，，，又，则， 即，解得或，于是或，符合题意， 所以. 故答案为： 【多选题】（25-26高三上·广东湛江·月考）已知函数在内的三个零点分别为，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用两角和差的正弦公式化简得，可计算出三个零点判断A，B，利用二倍角公式结合积化和差化简计算可判断C，利用诱导公式结合积化和差公式、二倍角公式计算可判断D. 【详解】对于A，B，， 令，因为，所以， 所以，所以， 又，所以，，， 解得，，，故A错误，B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为， ， 其中，，. 因为 ， ， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：BCD. （2025高三·全国·专题练习）求的值.小试牛刀3 【答案】 【分析】解法1：根据所求式子画出相应的图形，结合图形根据余弦定理和正弦定理可求出结果；解法2：根据诱导公式、二倍角公式和积化和差角的公式对原式进行化简求解即可. 【详解】解法1：构造下图，设圆的直径， 则，，. 由余弦定理得： ， 由正弦定理得：， 所以，即原式. 解法2： . 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】由二倍角公式得. 故选：D. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】直接利用三角函数的二倍角公式以及两角差的正弦对原式进行变换即可求出的值. 【详解】解：， 即 . 故. 故选：C 3．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二倍角公式，同角三角函数关系可得，据此可得答案. 【详解】因，则. . 则. 故选：C 4．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用辅助角公式求解即可. 【详解】 . 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏苏州·期中）若，，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将和平方后相加，结合的已知值，建立方程求解. 【详解】设，已知，令， 根据三角恒等式可得： 代入已知条件，， 得：， 计算得： ，即. 由于，均为非负数，故，即. 故选：B 6．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 7．（24-25高三上·河北石家庄·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式化简计算即得. 【详解】因为，同理可得， . 故选：D. 8．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【详解】由和差化积公式得， 欲求，则求即可， 因为是锐角，所以，且， 故求即可，解得， 则，当时，， 而，得到，故B正确. 故选：B 二、填空题 9．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据，由二倍角正切公式及两角差的正切公式计算即可. 【详解】由， 所以， 故答案为：. 三、解答题 10．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系及诱导公式化简求值即可； （2）利用倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）因为，，所以， 所以. （2）由（1）知， ， 又，， 所以 . 11．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）已知，，求，； （2）已知，，求； （3）已知，，且，求的值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【分析】（1）由，求出，利用倍角公式求和； （2），由两角差的正切公式计算； （3）由和，求出和，再由，利用两角差的余弦公式计算，可得的值. 【详解】（1）由，有， 已知，则， ， ； （2）已知，， 则； （3）由，得，，， 由，得， 由，得，，， 由，得， ， ， 所以. 12．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化简函数的解析式，根据周期求，再利用代入法求函数的值域； （2）根据（1）的结果，代入求得，再利用换元，以及二倍角公式，两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1） ， 因为函数的最小正周期为，所以，得， 所以， ，则，所以， 所以函数的值域是； （2）， 设，，则，，所以， 所以， . 13．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）设，都是锐角，且， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)-5 (2)或 【分析】（1）方法一：首先根据平方关系求得的值，再将待求式子分子分母同乘，然后根据正弦二倍角及其降幂扩角公式进行化简整理，最后代入数值求解即可； 方法二：首先根据半角公式求解及的值，然后代入待求式子中进行求解即可. （2）首先根据，利用平方关系求得的值，然后根据凑角得，最后根据余弦的差角公式展开求解即可. 【详解】（1）方法一，因为是锐角，，所以. . 方法二，因为，所以，， . （2）因为，所以， 若， 则 . 若， 则 . 故或. 14．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【分析】（1）①由，，再结合余弦的和差公式即可得证； ②由题意得，由（1）的结论和二倍角公式化简得，再用和差化积公式计算得，结合即可证明； （2）同理①可计算得，由题意得，，两式相除可得，再运用化弦为切得即可求解. 【详解】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $