第五章一元一次方程动点问题专项训练2025-2026学年北师大版数学七年级上册

一元一次方程应用题专项分类训练（附答案） -----------动点方程压轴问题 1.已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒。 （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 　 　 ． （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发。求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ ③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”。求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”？ 2.在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0． (1)a=　 　 , b=　 　 , c=　 　 ; （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数　 　 对应的点重合； （3）若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒。 ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值。 3.如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒。 （1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； （2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t； （3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t． 4.如图所示，在数轴上原点O表示数0，点A在原点的右侧，表示的数是a，点B在原点的左侧，表示的数是b，并且关于x的多项式（b+3）x3﹣5xa+3﹣7是五次二项式。动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒。 (1)a=　 　 ; b=　 　 ; （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于2； （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，直接写出多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于2． 5.如图，已知点A，B在数轴上表示的数分别为﹣20和10．若数轴上有一动点P从点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为ts． （1）线段AB的长度为　 　 ； （2）若M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，当点P在线段AB上运动时，线段MN的长度是否发生变化？请说明理由； （3）若当点P从点A出发的同时，有一动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动。 ①在运动过程中，点P表示的数为　 　 ，点Q表示的数为　 　 ；（用含t的代数式表示） ②求运动多少秒时，点P与点Q相距3个单位长度？ 6.如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足（b﹣9）2+|c﹣12|＝0，且BC＝CD． （1）a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ；d＝　 　 ；线段BC＝　 　 ； （2）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值。 7.数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，b满足|a+10|+（b﹣2）2＝0，点C在点B的右侧，且点C到点B的距离为16个单位长度。 （1）求a，b，c的值； （2）动点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点Q从点C出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒。 ①当点P与点Q相遇时，求t的值； ②点P与点Q之间的距离表示为PQ，若PQ＝6，求t的值； ③点P与点B之间的距离表示为PB，点Q与点B之间的距离表示为QB，若PB+QB＝8，求点P表示的数。 8.【知识引导】 在数轴上，两点之间的距离可以用右侧的点所对应的数减去左侧的点所对应的数来表示，例：点M、N在数轴上对应的数分别为2、﹣1，则点M在点N的右侧，所以点M、N之间的距离为2﹣（﹣1）＝3． 【初步探究】 如图，在一条数轴上，从左往右的点A，B，C对应的数分别是﹣3，b，6． （1）点A到原点的距离是　 　 ，A、C两点之间的距离是　 　 ； （2）已知点B和点C之间的距离是2，数轴上一动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴的负半轴匀速运动，当运动时间为6秒时，求点P对应的数及A、P两点之间的距离； 【拓展提升】 （3）已知数轴上的动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，同时数轴上的动点N从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，设点M和点N的运动时间均为t秒。 ①当点M、N相遇时，求出t的值； ②当点M、N相距3个单位长度时，求出t的值。 9.如图，在数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，其中数b、c满足|b+2|+（c﹣4）2＝0，且AB＝2，CD＝4，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动。 （1）由题意可得：b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）请求出运动多少秒时，线段BC的长为2个单位长度； （3）请求出线段AB与线段CD从相遇到完全离开共经过多长时间； （4）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP＝3PC，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由。 10.在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是[B，A]的暗点，例如，如图1，在数轴上A、B、C、D分别表示数，﹣1，2，1，0，则的点C是[A，B]的亮点，又是[A，D]的暗点；点D是[B，A]的亮点，又是[B，C]的暗点。 （1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为﹣2，点N表示的数为4，则[M，N]的亮点表示的数是　 　 ，[N，M]的暗点表示的数是　 　 ； （2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为﹣20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒。 ①求当t为何值时，P是[B，A]的暗点； ②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点。 11.如图，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+10）2+|b﹣8|＝0，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍。 （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）如图，若点A、B、C分别同时以每秒3个单位长度、2个单位长度和m（m＞3）个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD． ①t为何值时，AD＝2BD？ ②当t＝4时，A、C两点相距2个单位长度，求m． 12.如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知（b+4）2+|a+16|+（c﹣16）2＝0．直接写出a，b，c的值：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M度为4个单位长度/秒，点N速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒。运动过程中，是否存在线段AM的中点E到点CN的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由。 （3）在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段PM＝2，线段QN＝4（点P在M的左边，点Q在N的右边）。当点M运动到点C时，线段PM立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段PM和QN立即同时停止运动。在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为PM的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由。 13.如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处都折一下，得到一条“折线数轴”。图中点A表示﹣8，点B表示12，点C表示20，点D表示28，我们称点A与点D在数轴上的“路程”为36个单位长度，并表示为36． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动。当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍，经过点C后立刻恢复初始速度。 （1）动点P从点A运动至点D需要多少时间？ （2）动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示），并求当点P表示的数为16时t的值。 （3）动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足时，求动点P运动时间t的值。 14.如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，点C是AB的中点。已知a＝﹣10，c＝2，请回答下列问题： （1）填空：b＝　 　 ； （2）现有两动点P，Q在数轴上同时开始运动，其中点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度从点B出发向左匀速运动。 ①求几秒后，P，Q之间相距2个单位长度； ②若点Q运动到C后，立刻以每秒1个单位的速度向相反方向运动，在此运动过程中，是否会存在P、Q、C三点中，有一点到其他两点的距离相等？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在请说明理由。 15.如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝5OB． （1）求a，b的值。 （2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝3． （3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后点M就停止运动。求点M停止时，点M在数轴上所对应的数。 16.如图，数轴上原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足（a﹣1）2+|b+4|＝0，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t＞0）。 （1）A、B两点间的距离是　 　 ；动点M对应的数是　 　 （用含t的代数式表示）；动点N对应的数是　 　 ；（用含t的代数式表示） （2）几秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON？ （3）若M，N开始运动的同时，R从﹣1.5出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求的值。 17.【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点。 （1）如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM＝2AM，若AB＝9cm，则AM＝　 　 cm； 【类比迁移】 （2）如图2，已知AB＝9cm，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒。当t为何值时，点C是线段AB的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为﹣8、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 18.材料一：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为MN＝|m﹣n|； 材料二：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，若点P是线段MN的中点，则此时点P所对应的数为； 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别是a，b，c，且a，c满足|a﹣8|+（c+3）2＝0，点B是线段AO的中点（其中O是原点）。 （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）点P是数轴上一动点，若点P到点A，B，C的距离之和为13，求点P对应的数是多少？ （3）点M从点B出发，以每秒v1个单位长度的速度匀速向左运动；点N从点A出发，以每秒v2个单位长度的速度匀速向左运动；点Q是线段CN的中点，若点M，N运动过程中，点Q到点M的距离始终是定值，请直接写出的值。 19.通过研究发现，数轴上的点A和点B分别表示有理数a和b，那么线段AB的中点表示的数为，点A、B之间的距离AB＝|a﹣b|。 如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数﹣3，9，点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且OC＝2． （1）直接写出线段AB的中点表示的数为　 　 ，线段BC＝　 　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒： ①若PC＝3CQ，求t的值； ②若动点M同时从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回。在此过程中，当t为何值时，点M恰好是线段PQ的中点？ 20.数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合。如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧。已知a，b满足（a+8）2+|b﹣16|＝0． (1)a=　 　 , b=　 　 ; （2）如图2，动点P，Q分别从点A，B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒。 ①当t＝　 　 s，点P，Q重合； ②在运动过程中，当点P是线段BQ中点时，求运动时间t． （3）如图3，点M是AB中点，动点P，Q分别从点A，B处同时向右移动，若点P的速度为m个单位长度/秒，点Q的速度为n个单位长度/秒（m＜n），设运动时间为t秒。在运动过程中，试判断PQ﹣2PM的值能否是定值？如果是定值，求此时m，n的数量关系。 21.【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想。研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：|a﹣b|，若点A在B的右侧，即a＞b，则A，B两点之间的距离为：a﹣b； ②线段AB的中点表示的数为； ③点A向右运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a+m，点A向左运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a﹣m． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题。 【问题情境】 如图：在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）。 （1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为 　 　 ，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为 　 　 ；运动t秒后，点A表示的数为 　 　 （用含t的式子表示）； （2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由。 22.【问题背景】 在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离为|a﹣b|。例如：数轴上表示2和10的两点之间的距离是8． 【问题解决】 （1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离是 　 　 ，数轴上表示﹣5和﹣12的两点之间的距离是 　 　 ，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是 　 　 ； 【关联运用】 （2）如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12，设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段AB的中点，则x＝ 　 　 ； ②若点P为线段AB上的一个动点，化简|x+10|+|x﹣12|； ③动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向点B运动，同时动点N从B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动。设运动时间为t秒，请直接写出使得OM＝ON时t的值。 23.如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足|a+16|+（c﹣5）2＝0，点B在A、C之间，且AB＝2BC．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒。 （1）直接写出：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）若当运动时间为t秒时，线段CP的中点M与线段BQ的中点N的距离为2，请求出t的值； （3）若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发。当点P追上点D后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动。在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内2AP﹣k•BP为定值，请求出这个时间段和k的值。 参考答案与试题解析 1.已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒。 （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 　1　 ． （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发。求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ ③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”。求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”？ 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10， ∴得B点表示的数为﹣4， 当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1． 故答案为：﹣4、1； （2）①根据题意，得： 6t﹣2t=10, 解得t＝2.5， 答：当P运动2.5秒时，点P追上点Q． ②根据题意，得： 当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度： 2t+(10﹣6t)=8, 解得t＝0.5； 当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度： (6t﹣10)﹣2t=8, 解得t＝4.5． 答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度。 ③根据题意，当点B为PQ的中点： (﹣4)﹣(﹣4﹣2t)=(6﹣6t)﹣(﹣4) 解得t＝1.25； 当点P为BQ的中点： (﹣4)﹣(6﹣6t)=(6﹣6t)﹣(﹣4﹣2t) 解得：t＝2； 当点Q为BP的中点： (﹣4)﹣(﹣4﹣2t)=(﹣4﹣2t)﹣(6﹣6t), 解得：t＝5； 答：当点P运动1.25秒，2秒，或5秒时，点P，点Q，点B是一组“幸福点”。 2.在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0． (1)a=　﹣3　 , b=　﹣1　 , c=　9　 ; （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数　7　 对应的点重合； （3）若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒。 ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值。 【解答】解：（1）数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．则： ∵b是最大的负整数， ∴b=﹣1, ∵|a+3|+(c﹣9)2=0, ∴a+3=0, c﹣9=0, ∴a=﹣3, c=9, 故答案为：﹣3，﹣1，9； （2）设点B与数x表示的点对应，则： , 解得x＝7， 故答案为：7； （3）①情况1：P点在 B点右侧时， (9﹣2t)﹣(﹣1)=5, 解得t＝2.5； 情况2：P点在 B点左侧时， (﹣1)﹣(9﹣2t)=5, 解得t＝7.5． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得|9﹣（﹣3+t）|＝2|（9﹣2t）﹣（﹣1）|， 整理得|12﹣t|＝2|10﹣2t|， ∴12﹣t＝2（10﹣2t）或12﹣t＝﹣2（10﹣2t）， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 3.如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒。 （1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； （2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t； （3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t． 【解答】解：（1）点M表示的数是﹣t，点N表示的数是10﹣3t； (2)∵AN=10﹣3t+6=16﹣3t, AM=﹣t+6, ∴16﹣3t=2(﹣t+6), 解得t＝4， 答：运动时间t为4秒； （3）由中点公式可得点P表示的数是（﹣t﹣6）t﹣3， 点Q表示的数是（10+10﹣3t）＝10t， 所以PQ＝|（t﹣3）﹣（10t）|＝|t﹣13|，AM＝|﹣t+6|， 所以|t﹣13|+|﹣t+6|＝17， 解得t＝18或1． 当PQ+AM＝17时，t＝18或1． 4.如图所示，在数轴上原点O表示数0，点A在原点的右侧，表示的数是a，点B在原点的左侧，表示的数是b，并且关于x的多项式（b+3）x3﹣5xa+3﹣7是五次二项式。动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒。 (1)a=　2　 ; b=　﹣3　 ; （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于2； （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，直接写出多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于2． 【解答】解：（1）由题意可得：a+3＝5，b+3＝0， 解得：a＝2，b＝﹣3， 故答案为：2，﹣3； （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 点P表示的数为2﹣2t，点Q表示的数为﹣3+t， ①点P、Q相遇之前，由题意得： 2﹣2t﹣（﹣3+t）＝2，解得t＝1； ②点P、Q相遇之后，由题意得： ﹣3+t﹣（2﹣2t）＝2，解得． 答：若点P、Q同时出发，1或秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点P表示的数为2﹣2t，点Q表示的数为﹣3﹣t， ①点P追上点Q之前，由题意得： 2﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2，解得t＝3； ②点P追上点Q之后，由题意得： ﹣3﹣t﹣（2﹣2t）＝2，解得t＝7． 答：若点P、Q同时出发，3或7秒时P、Q之间的距离恰好等于2． 5.如图，已知点A，B在数轴上表示的数分别为﹣20和10．若数轴上有一动点P从点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为ts． （1）线段AB的长度为　30　 ； （2）若M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，当点P在线段AB上运动时，线段MN的长度是否发生变化？请说明理由； （3）若当点P从点A出发的同时，有一动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动。 ①在运动过程中，点P表示的数为　﹣20+1.5t ，点Q表示的数为　10﹣3t ；（用含t的代数式表示） ②求运动多少秒时，点P与点Q相距3个单位长度？ 【解答】解：（1）根据题意得：线段AB的长度为|﹣20﹣10|＝30． 故答案为：30； （2）当点P在线段AB上运动时，线段MN的长度不变，理由如下： ∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点， ∴MPAP, PNPB, ∴MN=MP+PNAPPBAB=15, ∴当点P在线段AB上运动时，线段MN的长度不变； （3）①当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣20+1.5t，点Q表示的数为10﹣3t． 故答案为：﹣20+1.5t，10﹣3t； ②根据题意得：|﹣20+1.5t﹣（10﹣3t）|＝3， 即30﹣4.5t＝3或4.5t﹣30＝3， 解得：t＝6或t． 答：运动6或秒时，点P与点Q相距3个单位长度。 6.如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足（b﹣9）2+|c﹣12|＝0，且BC＝CD． （1）a＝　﹣1　 ；b＝　9　 ；c＝　12　 ；d＝　15　 ；线段BC＝　3　 ； （2）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值。 【解答】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴a=﹣1, ∵(b﹣9)2+|c﹣12|=0, ∴b﹣9=0, c﹣12=0, ∴b=9, c=12, ∴BC=12﹣9=3, ∵BC=CD, ∴d=12+3=15, 故答案为：﹣1；9；12；15；3； （2）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动， 由题意得：运动t秒后点A表示的数为﹣1﹣3t，点C表示的数为12﹣5t，则： ∴|﹣1﹣3t﹣(12﹣5t)|=11, ∴﹣13+2t＝11或﹣13+2t＝﹣11， 解得t＝12或t＝1， ∴t的值为12或1． 7.数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，b满足|a+10|+（b﹣2）2＝0，点C在点B的右侧，且点C到点B的距离为16个单位长度。 （1）求a，b，c的值； （2）动点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点Q从点C出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒。 ①当点P与点Q相遇时，求t的值； ②点P与点Q之间的距离表示为PQ，若PQ＝6，求t的值； ③点P与点B之间的距离表示为PB，点Q与点B之间的距离表示为QB，若PB+QB＝8，求点P表示的数。 【解答】解：（1）∵|a+10|+（b﹣2）2＝0， ∴a+10=0, b﹣2=0, ∴a=﹣10, b=2． 又∵点C在点B的右侧，且点C到点B的距离为16个单位长度， ∴c=b+16=2+16=18． 答：a的值为﹣10，b的值为2，c的值为18； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数为18﹣4t． ①根据题意得：﹣10+2t＝18﹣4t， 解得：t． 答：t的值为； ②根据题意得：|﹣10+2t﹣（18﹣4t）|＝6， 即28﹣6t＝6或6t﹣28＝6， 解得：t或t． 答：t的值为或； ③根据题意得：|﹣10+2t﹣2|+|18﹣4t﹣2|＝8， 当0≤t≤4时，12﹣2t+16﹣4t＝8， 解得：t， ∴﹣10+2t=﹣10+2; 当4＜t≤6时，12﹣2t+4t﹣16＝8， 解得：t＝6， ∴﹣10+2t=﹣10+2×6=2; 当t＞6时，2t﹣12+4t﹣16＝8， 解得：t＝6（不符合题意，舍去）。 答：点P表示的数为或2． 8.【知识引导】 在数轴上，两点之间的距离可以用右侧的点所对应的数减去左侧的点所对应的数来表示，例：点M、N在数轴上对应的数分别为2、﹣1，则点M在点N的右侧，所以点M、N之间的距离为2﹣（﹣1）＝3． 【初步探究】 如图，在一条数轴上，从左往右的点A，B，C对应的数分别是﹣3，b，6． （1）点A到原点的距离是　3　 ，A、C两点之间的距离是　9　 ； （2）已知点B和点C之间的距离是2，数轴上一动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴的负半轴匀速运动，当运动时间为6秒时，求点P对应的数及A、P两点之间的距离； 【拓展提升】 （3）已知数轴上的动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，同时数轴上的动点N从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，设点M和点N的运动时间均为t秒。 ①当点M、N相遇时，求出t的值； ②当点M、N相距3个单位长度时，求出t的值。 【解答】解：（1）根据题意得：点A到原点的距离是0﹣（﹣3）＝3； A.C两点之间的距离是6﹣（﹣3）＝9． 故答案为：3，9； （2）∵点B在点C的左侧，点C对应的数为6，且BC＝2， ∴点B对应的数为6﹣2＝4， ∴当运动时间为6秒时，点P对应的数为4﹣1×6＝﹣2， ∴A、P两点之间的距离是﹣2﹣（﹣3）＝1． 答：当运动时间为6秒时，点P对应的数是﹣2，A、P两点之间的距离是1； （3）①当运动时间为t秒时，点M对应的数是﹣3+t，点N对应的数是6﹣2t， 根据题意得：﹣3+t＝6﹣2t， 解得：t＝3． 答：当点M、N相遇时，t的值为3； ②当运动时间为t秒时，点M对应的数是﹣3+t，点N对应的数是6﹣2t， 根据题意得：|﹣3+t﹣（6﹣2t）|＝3， 即6﹣2t﹣（﹣3+t）＝3或﹣3+t﹣（6﹣2t）＝3， 解得：t＝2或t＝4． 答：当点M、N相距3个单位长度时，t的值为2或4． 9.如图，在数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，其中数b、c满足|b+2|+（c﹣4）2＝0，且AB＝2，CD＝4，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动。 （1）由题意可得：b＝　﹣2　 ，c＝　4　 ； （2）请求出运动多少秒时，线段BC的长为2个单位长度； （3）请求出线段AB与线段CD从相遇到完全离开共经过多长时间； （4）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP＝3PC，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由。 【解答】解：（1）∵|b+2|+（c﹣4）2＝0， ∴b+2=0, c﹣4=0, ∴b=﹣2, c=4． 故答案为：﹣2，4； （2）当运动时间为t秒时，点B表示的数为﹣2+3t，点C表示的数为4﹣t， 根据题意得：|﹣2+3t﹣（4﹣t）|＝2， 即6﹣4t＝2或4t﹣6＝2， 解得：t＝1或t＝2． 答：当运动为1或2秒时，线段BC的长为2个单位长度； （3）设线段AB与线段CD从相遇到完全离开共经过x秒， 根据题意得：（3+1）x＝2+4， 解得：x. 答：线段AB与线段CD从相遇到完全离开共经过秒； （4）存在，设PC＝m，则AP+BC＝2﹣m， 根据题意得：4﹣BC﹣AP＝3PC， 即4﹣（2﹣m）＝3m， 解得：m＝1， ∴PD=m+4=1+4=5． 答：存在关系式BD﹣AP＝3PC，线段PD的长为5． 10.在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是[B，A]的暗点，例如，如图1，在数轴上A、B、C、D分别表示数，﹣1，2，1，0，则的点C是[A，B]的亮点，又是[A，D]的暗点；点D是[B，A]的亮点，又是[B，C]的暗点。 （1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为﹣2，点N表示的数为4，则[M，N]的亮点表示的数是　2　 ，[N，M]的暗点表示的数是　﹣8　 ； （2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为﹣20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒。 ①求当t为何值时，P是[B，A]的暗点； ②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点。 【解答】解：（1）根据题意，[M，N]的亮点表示的数在线段MN上，即：﹣2＜亮点表示的数＜4 ∵ ∴[M，N]的亮点表示的数是：2； 根据题意，[N，M]的暗点表示的数在线段NM延长线上，即：暗点表示的数＞4，或暗点表示的数＜﹣2 ∵ ∴[N，M]的暗点表示的数是：﹣8； 故答案为：2，﹣8； （2）数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为﹣20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，则： ①根据题意，点P是[B，A]的暗点，即点P在线段BA的延长线上， ∴PB=2t, PA=2t﹣[40﹣(﹣20)]=2t﹣60, ∵PB=2PA, ∴2t=2(2t﹣60), ∴t=60; ②当点P为[A，B]亮点时，即P在线段AB上， ∴PB=2t, PA=60﹣2t, ∴60﹣2t=2×2t, ∴t=10, 当点P为[B，A]亮点时，即P在线段AB上， ∴2(60﹣2t)=2t, ∴t=20; 当点A为[P，B]亮点时，即A在线段PB上， ∴AP=2t﹣60, AB=60, ∴2t﹣60=2×60, ∴t=90, 当点A为[B，P]亮点时，即A在线段BP上， ∴2t＞40﹣（﹣20），即t＞30， ∴AP=2t﹣60, AB=60, ∴2(2t﹣60)=60, ∴t=45, ∴当点P为[A，B]亮点时，t＝10；当点P为[B，A]亮点时，t＝20；当点A为[P，B]亮点时，t＝90；当点A为[B，P]亮点时，t＝45． 11.如图，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+10）2+|b﹣8|＝0，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍。 （1）填空：a＝　﹣10　 ，b＝　8　 ，c＝　16　 ； （2）如图，若点A、B、C分别同时以每秒3个单位长度、2个单位长度和m（m＞3）个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD． ①t为何值时，AD＝2BD？ ②当t＝4时，A、C两点相距2个单位长度，求m． 【解答】解：（1）∵（a+10）2+|b﹣8|＝0， ∴a+10=0, b﹣8=0, ∴a=﹣10, b=8, ∵点C到原点距离是点B到原点距离的2倍， ∴c=2b=16, 故答案为：﹣10，8，16； （2）①由题意知，t秒后，点A、B、C对应的数分别为：﹣10﹣3t，8﹣2t，16﹣mt， ∴AD=34+3t, BD=16+2t, 当AD＝2BD时，34+3t＝2（16+2t）， 解得t＝2； ②当t＝4时，点A对应的数为：﹣10﹣3×4＝﹣22 点C对应的数为：16﹣4m， 由条件可知﹣22﹣（16﹣4m）＝2或16﹣4m﹣（﹣22）＝2， 解得m＝10或m＝9． 12.如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知（b+4）2+|a+16|+（c﹣16）2＝0．直接写出a，b，c的值：a＝　﹣16　 ，b＝　4　 ，c＝　16　 ． （2）若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M度为4个单位长度/秒，点N速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒。运动过程中，是否存在线段AM的中点E到点CN的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由。 （3）在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段PM＝2，线段QN＝4（点P在M的左边，点Q在N的右边）。当点M运动到点C时，线段PM立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段PM和QN立即同时停止运动。在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为PM的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由。 【解答】解：（1）∵（b+4）2+|a+16|+（c﹣4）2＝0， ∴a+16=0, b+4=0, c﹣16=0, ∴a=﹣16, b=﹣4, c=16． 故答案为：﹣16，﹣4，16； （2）存在， 点M对应的数为﹣16+4t，点N对应的数为﹣4+t． 线段AM的中点E对应的数为： , 线段CN的中点F对应的数为：， ∴点E与点F的距离为：， ∴, 解得：或， 故存在这样的t，值为或； （3）存在， 点P对应数M﹣2，点Q对应数N+4． 分段讨论： 当0≤t≤5时， M=﹣16+4t, N=﹣4+t, P=﹣18+4t, Q=t． 重叠部分左端点为P，N中的最大值，右端点为M，Q中的最小值， 当时，重叠长度为M﹣N＝﹣12+3t，令其为1得t， 当5＜t≤7.5时， M=44﹣8t, N=﹣4+t, P=42﹣8t, Q=t, 当时，重叠长度为 M﹣N＝48﹣9t，令其为1得， 综上，存在或． 13.如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处都折一下，得到一条“折线数轴”。图中点A表示﹣8，点B表示12，点C表示20，点D表示28，我们称点A与点D在数轴上的“路程”为36个单位长度，并表示为36． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动。当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍，经过点C后立刻恢复初始速度。 （1）动点P从点A运动至点D需要多少时间？ （2）动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示），并求当点P表示的数为16时t的值。 （3）动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足时，求动点P运动时间t的值。 【解答】解：（1）根据时间等于路程除以速度可得： =8÷2+12÷1+8÷4+8÷2 ＝22（秒）， 答：需要22秒。 （2）动点P从点A运动至点B需要的时间为： （秒）， 动点P从点A运动到点C需要的时间为： 16+（20﹣12）÷（2×2）＝18（秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数： 12+(t﹣16)×(2×2)=4t﹣52, 所以当16＜t＜18，点P表示的数为4t﹣52， 当点P表示的数为16时，4t﹣52＝16， 解得：t＝17； 答：动点P运动至点B和点C之间时，点P表示的数为（4t﹣52）；当点P表示的数为16时，t＝17秒。 (3)∵20﹣0=20,20﹣12=8,28﹣12=16, 16共有两种情况。 当点P在点O和点B之间， 即4＜t＜16时，点P表示的数为：， ∴12﹣(t﹣4)=16﹣t,20﹣(t﹣4)=24﹣t, ∴16﹣t+24﹣t=16, 解得：t＝12； 当点P在点C的右侧，即t＞18时，点P表示的数为20+2（t﹣18）＝2t﹣16， 2t﹣16﹣12=2t﹣28,2t﹣16﹣20=2t﹣36, 2t﹣28+2t﹣36=16, 解得：t＝20， 答：动点P的运动时间是12秒或20秒。 14.如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，点C是AB的中点。已知a＝﹣10，c＝2，请回答下列问题： （1）填空：b＝　（1）14　 ； （2）现有两动点P，Q在数轴上同时开始运动，其中点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度从点B出发向左匀速运动。 ①求几秒后，P，Q之间相距2个单位长度； ②若点Q运动到C后，立刻以每秒1个单位的速度向相反方向运动，在此运动过程中，是否会存在P、Q、C三点中，有一点到其他两点的距离相等？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在请说明理由。 【解答】解：（1）由题意可得：2﹣（﹣10）＝12， ∴b=2+12=14, 故答案为：14； （2）①设运动时间为t秒，则点P表示的数为﹣10+3t，点Q表示的数为14﹣4t， 由题意可得： 当点Q在点P的右侧时，则14﹣4t﹣（﹣10+3t）＝2， 解得秒； 当点P在点Q的右侧时，则﹣10+3t﹣（14﹣4t）＝2， 解得秒； ∴或秒后，P，Q之间相距2个单位长度； ②若点Q运动到C后，立刻以每秒1个单位的速度向相反方向运动， 根据题意，当点Q运动到点C时，即14﹣4t＝2， 解得t＝3， 即此时点Q和点C重合，点P到点Q和点C的距离相等； ∴当0＜t＜3时，此时点C在点P和点Q之间， 若点C到点P和点Q的距离相等，则有2﹣（﹣10+3t）＝14﹣4t﹣2， 解得t＝0（不在范围内，舍去）； ∵点Q运动到C后，立刻以每秒1个单位的速度向相反方向运动， ∴t＞3时，点Q表示的数2+（t﹣3）＝t﹣1， 当点P运动到点C时，即﹣10+3t＝2， 解得t＝4， 即此时点P和点C重合，点Q到点P和点C的距离相等； ∴当3＜t＜4时，此时点C在点P和点Q之间， 若点C到点P和点Q的距离相等，则有2﹣（﹣10+3t）＝t﹣1﹣2， 解得， ∴当，点C到点P和点Q的距离相等； 当点P运动到点Q时，即﹣10+3t＝t﹣1， 解得， 即此时点P和点Q重合，点C到点P和点Q的距离相等； ∴当时，此时点P在点C和点Q之间， 若点P到点C和点Q的距离相等，则有﹣10+3t﹣2＝t﹣1﹣（﹣10+3t）， 解得， ∴当，点P到点C和点Q的距离相等； 当时，此时点Q在点C和点P之间， 若点Q到点C和点P的距离相等，则有t﹣1﹣2＝﹣10+3t﹣（t﹣1）， 解得t＝6， ∴当t＝6，点Q到点C和点P的距离相等； 综上所述，当运动时间为3或或4或或或6秒时，在P、Q、C三点中，有一点到其他两点的距离相等。 15.如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝5OB． （1）求a，b的值。 （2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝3． （3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后点M就停止运动。求点M停止时，点M在数轴上所对应的数。 【解答】解：（1）∵AB＝12，AO＝5OB， ∴AO=10, OB=2, ∴A点所表示的数为﹣10，B点所表示的数为2， ∴a=﹣10, b=2． 故答案为：﹣10；2； （2）当0＜t＜5时，如图1， AP=2t, OP=10﹣2t, BQ=t, OQ=2+t, ∵2OP﹣OQ=3, ∴2(10﹣2t)﹣(2+t)=3, 解得t＝3， 当点P与点Q重合时，如图2， 2t=12+t, 解得t＝12， 当5＜t＜12时，如图3， OP=2t﹣10, OQ=2+t, 则2（2t﹣10）﹣（2+t）＝3， 解得t＝8， 综上所述，当t为3或8时，2OP﹣OQ＝3； （3）设点M运动的时间为t秒， 点M追上点Q， 3(t)=2+t, 解得t＝6， ∴OP=2(t﹣5)=2, 此时OM＝3（t）＝8； 点P与点M相遇时， 2t+3t=6, 解得t＝1.2， 此时OM＝8﹣3×1.2＝4.4． 故点M停止时，点M在数轴上所对应的数是4.4． 16.如图，数轴上原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足（a﹣1）2+|b+4|＝0，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t＞0）。 （1）A、B两点间的距离是　5　 ；动点M对应的数是t+1　 （用含t的代数式表示）；动点N对应的数是　3t﹣4　 ；（用含t的代数式表示） （2）几秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON？ （3）若M，N开始运动的同时，R从﹣1.5出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求的值。 【解答】解：（1）由题意可得： a﹣1=0, b+4=0, ∴a=1, b=﹣4, ∵点 A对应的数是 1，点 B 对应的数是﹣4， ∴AB=1﹣(﹣4)=5． 当运动时间为t秒时，动点M对应的数是t+1，动点N对应的数是3t﹣4． 故答案为：5；t+1；3t﹣4． （2）由（1）中M，N所对应的数可得，OM＝t+1，ON＝|3t﹣4|， ∵3OM=2ON, ∴3(t+1)=2|3t﹣4|, ∴①3（t+1）＝2（3t﹣4），解得； ②3（t+1）＝﹣2（3t﹣4），解得； 综上，秒或秒后，线段 OM与线段 ON恰好满足3OM＝2ON． （3）若M，N开始运动的同时，R从﹣1.5出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时 由题意得，动点R所对的数为﹣1.5+2t， 当R与M不重合时，﹣1.5+2t≠t+1即， ∴RN=|(﹣1.5+2t)﹣(3t﹣4)|=|2.5﹣t|, RM=|﹣1.5+2t﹣(t+1)|=|t﹣2.5| 当时，， 当时，， 综上所述，的值为1 17.【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点。 （1）如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM＝2AM，若AB＝9cm，则AM＝　3　 cm； 【类比迁移】 （2）如图2，已知AB＝9cm，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒。当t为何值时，点C是线段AB的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为﹣8、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【解答】解：（1）点M是线段AB的一个三等分点，满足BM＝2AM，若AB＝9cm， ∵AB=9cm, BM=2AM, ∴AB=AM+BM=3AM=9(cm), 解得AM＝3cm， 故答案为：3； （2）当；AB＝9cm，则AC＝3cm， ∴, 解得， 当；AB＝9cm，则AC＝6cm， ∴, 解得t＝9， 综上，或t＝9． （3）数轴上点A表示﹣8，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：﹣8+t（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：10+2t（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是CD的三等分点， B在线段CD上，且或． CD=(10+2t)﹣(﹣8+t)=t+18; CB=(10)﹣(﹣8+t)=18﹣t． 若， 解得t＝9； 若， 解得． 情况2：点C在BD的三等分点时 C在线段BD上，且或． BD=2t; CB=﹣8+t﹣10=t﹣18． 若，解得t＝54； 若，解得t＝﹣54（舍去）。 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点。 18.材料一：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为MN＝|m﹣n|； 材料二：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，若点P是线段MN的中点，则此时点P所对应的数为； 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别是a，b，c，且a，c满足|a﹣8|+（c+3）2＝0，点B是线段AO的中点（其中O是原点）。 （1）填空：a＝　8　 ，b＝　4　 ，c＝　﹣3　 ； （2）点P是数轴上一动点，若点P到点A，B，C的距离之和为13，求点P对应的数是多少？ （3）点M从点B出发，以每秒v1个单位长度的速度匀速向左运动；点N从点A出发，以每秒v2个单位长度的速度匀速向左运动；点Q是线段CN的中点，若点M，N运动过程中，点Q到点M的距离始终是定值，请直接写出的值。 【解答】解：（1）由题意可得： ∴a﹣8=0, c+3=0, ∴a=8, c=﹣3, ∴, 故答案为：8；4；﹣3； （2）设点P表示的数为x， ∵点P到点A，B，C的距离之和为13， ∴|x﹣8|+|x﹣4|+|x﹣（﹣3）|＝13，即|x﹣8|+|x﹣4|+|x+3|＝13 当x＜﹣3时，x﹣8＜0，x﹣4＜0，x﹣（﹣3）＜0， ∴﹣x+8﹣(x﹣4)﹣(x+3)=﹣x+8﹣x+4﹣x﹣3=﹣3x+9=13, 不符合题意，舍去； 当﹣3＜x＜4时，x﹣8＜0，x﹣4〈0，x+3〉0， ∴﹣x+8﹣(x﹣4)+(x+3)=﹣x+8﹣x+4+x+3=﹣x+15=13, x＝2，符合题意； 当4＜x＜8时，x﹣8〈0，x﹣4〉0，x+3＞0， ∴﹣x+8+(x﹣4)+(x+3)=﹣x+8+x﹣4+x+3=x+7=13, x＝6，符合题意； 当x＞8时，x﹣8＞0，x﹣4＞0，x+3＞0， ∴x﹣8+(x﹣4)+(x+3)=x﹣8+x﹣4+x+3=3x﹣9=13, ∴，舍去； P对应的数为6或2； （3）设运动时间为t， ∴点M表示的数为4﹣v1t，点N表示的数为：8﹣v2t， ∴点C表示的数为﹣3， ∴点Q表示的数为， ∴, 由题意可得：2v1﹣v2＝0， ∴． 19.通过研究发现，数轴上的点A和点B分别表示有理数a和b，那么线段AB的中点表示的数为，点A、B之间的距离AB＝|a﹣b|。 如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数﹣3，9，点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且OC＝2． （1）直接写出线段AB的中点表示的数为　3　 ，线段BC＝　7　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒： ①若PC＝3CQ，求t的值； ②若动点M同时从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回。在此过程中，当t为何值时，点M恰好是线段PQ的中点？ 【解答】解：（1）∵A，B两点在数轴上分别表示有理数﹣3，9， ∴线段AB的中点表示的数为3， ∵点C在数轴上O，B两点之间，且OC＝2， ∴C表示的数为2， ∴线段BC＝9﹣2＝7； 故答案为：3，7； （2）①根据题意，P表示的数为2﹣t，Q表示的数为9﹣2t， ∴PC=t, CQ=|9﹣2t﹣2|=|7﹣2t|, ∵PC=3CQ, ∴t=3|7﹣2t|, ∴t＝3（7﹣2t）或t＝﹣3（7﹣2t）， 解得t＝3或t＝4.2， ∴t的值为3或4.2； ②根据题意，M，Q经过2（秒）相遇， 当t≤2时，M表示的数是﹣3+4t， ∴﹣3+4t, 解得t； 当t＞2时，M表示的数为﹣3+4×2﹣4（t﹣2）＝13﹣4t， ∴13﹣4t, 解得t＝3， ∴当t为秒或3秒时，点M恰好是线段PQ的中点。 20.数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合。如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧。已知a，b满足（a+8）2+|b﹣16|＝0． (1)a=　﹣8　 , b=　16　 ; （2）如图2，动点P，Q分别从点A，B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒。 ①当t＝　12　 s，点P，Q重合； ②在运动过程中，当点P是线段BQ中点时，求运动时间t． （3）如图3，点M是AB中点，动点P，Q分别从点A，B处同时向右移动，若点P的速度为m个单位长度/秒，点Q的速度为n个单位长度/秒（m＜n），设运动时间为t秒。在运动过程中，试判断PQ﹣2PM的值能否是定值？如果是定值，求此时m，n的数量关系。 【解答】解：（1）∵a、b满足（a+8）2+|b﹣16|＝0． ∴b﹣16=0, a+8=0, ∴a=﹣8, b=16, 故答案为：﹣8；16． （2）①由题意得：点P表示的数为﹣8+4t，点Q表示的数为16+2t， 当点P、Q重合时，即﹣8+4t＝16+2t， 解得t＝12， ∴当t＝12s，点P、Q重合， 故答案为：12； ②由题意得：点P表示的数为﹣8+4t，点Q表示的数为16+2t， 当P为BQ中点时，BQ＝2BP， 即2t＝2[（﹣8+4t）﹣16]， 解得t＝8； （3）∵AB＝16﹣（﹣8）＝24，M为AB中点， ∴AM=AB÷2=12, ∴点M表示的数为：﹣8+12＝4， 当点P在M的右侧时， ∵PQ﹣2PM=16+nt﹣(﹣8+mt)﹣2[(﹣8+mt)﹣4]=48+nt﹣3mt=48+(n﹣3m)t, ∴当n＝3m时，代数式48+（n﹣3m）t的值与t无关， 当点P在M的左侧时， ∵PQ﹣2PM=16+nt﹣(﹣8+mt)﹣2[4﹣(﹣8+mt)]=nt+mt=(n+m)t, ∵n>m>0, t>0, ∴代数式（n+m）t的值会随t的增大而增大，不可能为定值； 当点P与M重合时，PQ﹣2PM＝16+nt﹣4﹣2×0＝12+nt，m、n的关系无法确定该代数式的值； 综上，当点P运动到点M右侧且n＝3m时，PQ﹣2PM的值是定值48． 21.【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想。研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：|a﹣b|，若点A在B的右侧，即a＞b，则A，B两点之间的距离为：a﹣b； ②线段AB的中点表示的数为； ③点A向右运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a+m，点A向左运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a﹣m． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题。 【问题情境】 如图：在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）。 （1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为 　4　 ，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为 　3　 ；运动t秒后，点A表示的数为 　﹣3﹣2t （用含t的式子表示）； （2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由。 【解答】解：（1）∵A点表示数﹣3，B点示数1， ∴AB的距离为：1﹣（﹣3）＝4； 又∵点A表示数﹣3，点C表示数9，点D为AC中点， ∴点D表示的数为 ； ∵A点表示数﹣3，以每秒2个单位长度向左运动， ∴运动t秒后，点A表示的数为：﹣3﹣2t． 故答案为：4；3；﹣3﹣2t； （2）由题意可知，t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，B点所在的数为：1﹣t，C点所在的数为：9﹣4t． 分三种情况： ①若B为AC中点，则 ． 解得t＝1； ②若C为AB中点，则 ． 解得t＝4； ③若A为BC中点，则 ． 解得t＝16． 综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； （3）存在。 ∵点C在点B右侧，点B在点A右侧， ∴BC=9﹣4t﹣(1﹣t)=8﹣3t, AB=1﹣t﹣(﹣3﹣2t)=4+t, ∴mBC﹣2AB=m(8﹣3t)﹣2(4+t)=8m﹣3mt﹣8﹣2t=8m﹣8﹣(3m+2)t． 当3m+2＝0，即 时，结果与t无关， 即 为定值， ∴存在常数 使mBC﹣2AB的值为定值。 22.【问题背景】 在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离为|a﹣b|。例如：数轴上表示2和10的两点之间的距离是8． 【问题解决】 （1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离是 　7　 ，数轴上表示﹣5和﹣12的两点之间的距离是 　7　 ，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是 　|x+2|　 ； 【关联运用】 （2）如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12，设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段AB的中点，则x＝ 　1　 ； ②若点P为线段AB上的一个动点，化简|x+10|+|x﹣12|； ③动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向点B运动，同时动点N从B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动。设运动时间为t秒，请直接写出使得OM＝ON时t的值。 【解答】解：（1）根据距离公式可得： 数轴上表示﹣2和5两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|＝7， 数轴上表示﹣5和﹣12的两点之间的距离是|﹣5﹣（﹣12）|＝7， 数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是|x﹣（﹣2）|＝|x+2|， 故答案为：7，7，|x+2|； （2）①∵点P为线段AB的中点， ∴x﹣(﹣10)=12﹣x, 解得：x＝1， 故答案为：1； ②∵点P为线段AB上的一个动点， ∴﹣10≤x≤12, ∴|x+10|+|x﹣12| =x+10﹣x+12 =22; ③由题意得：点M表示的数为﹣10+2t，点M从A到B需要（秒），点N从B到A需要（秒）， ∴当时，点N表示的数为12﹣3t，当1时，点N从A到B运动，此时点N表示的数为， ∵OM=ON, ∴当时，|﹣10+2t|＝|12﹣3t|， 解得：t＝2或t＝2； 当时，|﹣10+2t|＝|3t﹣32|， 解得：或t＝22（舍去）， 综上可知：当OM＝ON时，t的值为或2或． 23.如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足|a+16|+（c﹣5）2＝0，点B在A、C之间，且AB＝2BC．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒。 （1）直接写出：a＝　﹣16　 ，b＝　﹣2　 ，c＝　5　 ； （2）若当运动时间为t秒时，线段CP的中点M与线段BQ的中点N的距离为2，请求出t的值； （3）若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发。当点P追上点D后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动。在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内2AP﹣k•BP为定值，请求出这个时间段和k的值。 【解答】解：（1）∵|a+16|≥0，（c﹣5）2≥0，|a+16|+（c﹣5）2＝0， ∴|a+16|=(c﹣5)2=0, ∴c﹣5=0, a+16=0, ∴a=﹣16, c=5, ∵点B在A、C之间，且AB＝2BC， ∴b﹣(﹣16)=2(5﹣b), 解得b＝﹣2， 故答案为：﹣16，﹣2，5； （2）由题意得，运动t秒时，点P表示的数为﹣16+3t，点Q表示的数为5+t， ∵点N为BQ的中点，点M为CP的中点， ∴点N表示的数为，点M表示的数为， ∵点M和点N的距离为2， ∴, ∴|t﹣7|=2, ∴t﹣7＝2或t﹣7＝﹣2， 解得t＝5或t＝9； （3）运动t1秒时，点P追上点D， 由题意得，﹣16+3t1＝2t1， 解得t1＝16， ∴运动16秒时，点P追上点D，此时点P表示的数为﹣16+3×16＝32， ∴在点P返回的过程中，点P表示的数为32﹣3（t﹣16）＝80﹣3t，且点P从出发到回到点A的时间为16+16＝32秒， ∴BP=|80﹣3t﹣(﹣2)|=|82﹣3t|, AP=80﹣3t﹣(﹣16)=96﹣3t, 当82﹣3t≥0，即时，BP＝|82﹣3t|＝82﹣3t， ∴2AP﹣k•BP =2(96﹣3t)﹣k(82﹣3t) =192﹣6t﹣82k+3kt =(3k﹣6)t+192﹣82k, ∵2AP﹣k•BP为定值，即2AP﹣k•BP的值与t无关， ∴3k﹣6=0, ∴k=2, ∴当时，k＝2； 当82﹣3t＜0，即时，BP＝|82﹣3t|＝3t﹣82， ∴2AP﹣k•BP =2(96﹣3t)﹣k(3t﹣82) =192﹣6t+82k﹣3kt =(﹣3k﹣6)t+192+82k, ∵2AP﹣k•BP为定值，即2AP﹣k•BP的值与t无关， ∴﹣3k﹣6=0, ∴k=﹣2, ∴当时，k＝﹣2； 综上所述，当时，k＝2；当时，k＝﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $