第六章 平面向量初步（高效培优单元测试·提升卷）数学人教B版2019高一必修第二册

第六章 平面向量初步（高效培优单元测试卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，则与同向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 3．若，为非零向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 6．若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 11．若正方形，O为所在平面内一点，且，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示平面内任意一个向量 B．若，则O在直线BD上 C．若，，则 D．若，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 13．在中，点满足，当点在线段（不含端点）上移动时，若，则 ． 14．如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）在直角坐标系中，向量，，，，其中，，. (1)若 ，，三点共线，求实数的值； (2)若四边形为菱形，求的值. 16．（15分）如图，在四边形中，是的中点. (1)用向量表示向量； (2)若为上一点，且，求的值. 17．（15分）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 18．（17分）如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)设，求，的取值范围． 19．（17分）在平面直角坐标系中，从原点出发，每次只能走一步或，有两种路径可以选择，如图所示：    若某点可以表示为（为整数），则称为可达点． 已知：向量的加法：；向量的数乘：． (1)分析可达点中、满足的函数关系，判断是否为可达点，并说明理由． (2)证明：若是可达点，则也是可达点． (3)若某些可达点满足，求在所有满足条件的可达点中，最小的点及此时的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章平面向量初步（高效培优单元测试卷·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.已知ā=（1,5)，则与a同向的单位向量的坐标是() A. 1V3 31 22 22 【答案】A 【详解】 由题a=2,则与a同向的单位向量是 0 对应坐标是 15 2’2 故选：A 2.已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上，且AP=2PB,则点P的坐标为() A.(0,9 B.(6,-9 D.6-或g- 【答案】B 【详解】由题意得，点B为AP中点，设点Px,y),则 x+2 =4 x=6 ,解得 y+3 2 =-3 y=-9' 所以点P的坐标为6，-9) 故选B 3.若a,为非零向量，则“a= 五共线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若a= 5,则a,洪线，所以充分性成立： 1/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a,共线可能同向共线、也可能反向共线， 所以a,共线得不出ā= , 所以必要性不成立 故选：A. 4.如图，在重100N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子 拉力的大小分别为() A.503N,50W3N B.50N,100N C.505N,50N D.100N,50V5N 【答案】C 【详解】解：如图所示： 设两根绳子的拉力分别为OA,OB 作口0ACB,使∠A0C=30°，∠B0C=60° 在口0ACB中，LAC0=∠B0C=60°， 所以∠0AC=90°， 所以0A=0Ccos30°=50v5N,AC=0Csin30°=50N, 所以OB=AC=50N, 故两根绳子拉力的大小分别为50√3N,50N 故选：C 5.己知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=CD=L,AD=√5，若BD=xBC+yBA,则x-y=() 2/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.1 D. 2 【答案】B 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， A(0,0),B1,0),C(1,1),则BC=(0,1),BA=(-1,0) 因为BD=xBC+yBA=x(0,1)+y(-1,0)=(-y,x), AD=AB+BD=(1,0)+(←y,x)=1-y,x,AD=V5,V-y)2+x2=V5, 化简(1-y)2+x2=3,即y2+x2=2+2y CD=CB+BD=(0,-1)+(-y,x)=(-y,x-1),:CD=1,.V(-y)2+(x-1)2=1 化简得y2+(x-1)2=1,即y2+x2=2x 所以2+2y=2x,即x-y=1, 故选：B YA D B 6.若向量a、满足日=22，且向量a与向量a+6的夹角为工，则同的最小值是() A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】C 【详解】设AB=ā，BC五，利用向量的加法的三角形法则得到AC=a+b,从而将的最小值问题转化为 ABC中BC的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【分析】 【详解】如图示，以B为原点，BC为x轴正方向，BA为y轴正方向建立平面直角坐标系 D P 3/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则B0,0,A0,2,C(2d,0),Dd,2),P(p,0)0≤p≤2d), 所以PC=(2d-p,0),PD=(d-p,2). 所以PC+3PD=(5d-4p,6), 所以PC+3PD=V(5d-4p)+62≥6（当且仅当5d=4p时等号成立）. 所以PC+3PD的最小值是6. 故选：D 知O是ABC内一点，20A+30B+m0C=0,若A0B与ABC的面积之比为，则实数m的雅 () A.10 10 20 B. 3 C.-20 D. 3 3 【答案】D 【详解】由204+30B=-m0c得20A+30B=-m0C, 5 设-m0C=0D,则0D=201+20B 5 5 5 由于2+1，所以4，B,D三点共线，如图所示 m OD m OD :0C与OD反向共线，m>0,· 5 s、m oc CD +1m+5' 5 SAAOB OD 4 20 CD m+57→m 3 故选：D 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 4/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行，且方向相反的向量ā可能是() A.a=(-1,-2)B.a=(9,3) C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8) 【答案】AD 【详解】已知两点A(2,-1),B(3,,则AB=(1,2), 对于A,ā=(-1，-2)=-AB,所以a=(-1,-2)符合题意，A是： 对于B,9×-2)-3×(-1=-15≠0，所以=(9,3)不符合题意，B不是； 对于C,（-)×2-2×1=4≠0，所以ā=(-1,2)不符合题意，C不是： 对于D,ā=(-4，-8)=-4AB,所以ā=(-4，-8)符合题意，D是 故选：AD 1O.如图，在ABC中，点O是BC的上一点（不包括端点），过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的 两点M,N,且AB=mAM,AC=nAN,则下列结论正确的是() A.BC=mAM-nAN B.若0是BC的中点，则40号西+4衣 C.若O是BC的中点，则m+n=2 1 BO 3n=3,则 1 D.若m 【答案】BCD 【详解】解：BC=AC-AB=nAN-mAM,A错误； 若0是8c的巾点，则0=B+c=mW+孤， 由M,O,N三点共线可设MO=uMW(u∈R),则AO-AM=uAN-AM）, .AO=(1-μ)AM+4AN, 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 六2m+2n=l,得m+n=2,B,C正确： 设B0=元BC,则40=1-刘AB+24C=-刘4M+3AN, :M,0N三点共线号-2刘+3以=1，有入=子D正偏 故选：BCD 11.若正方形ABCD,O为ABCD所在平面内一点，且AO=xAB+yAD,x,y∈R,则下列说法正确的是() A.AO可以表示平面内任意一个向量 B.若x+y=1,则O在直线BD上 C.若x=y=分，币0，则D丽：-和+0 3 3 3 D.若0A+20B+30C=0,则S.4BC=6S.B0c 【答案】ABD 【详解】A:由题意AB⊥AD,又AO=xAB+yAD,x,y∈R,以{AB,AD}为基底的坐标系中， 根据平面向量基本定理易知AO可以表示平面内任意一个向量，对： B:由向量共线的推论知：x+y=1,则O在直线BD上，对； C:由题设A0=(AB+AD),则AP=AD+DP=(AB+AD), 所以DP=B-D,错： 6 6 D:由0A+20B+30C=0,则3(0B+0C)=0B-0A=AB, 若E为BC中点，则6O正=AB,即O正11AB且OE=AB引，如下图示， 所以S.4Bc=6S。B0c,对 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 6/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.在ABC中，E为AC上一点，AC=2AE,P为线段BE上任一点，若AP=xAB+yAC,则三+二的最 x V 小值是」 【答案】8 【详解】因为AC=2AE,所以AP=xAB+yAC=xAB+2yAE. 因为B,P,E三点共线，所以x+2y=1, 所以2+12+x+2=2+2+4y+≥4+2，.=8. x y Vx y 1 4y x X= 当且仅当xy,即 2时， 等号成立. 1 x+2y=1 y= 4 21 所以二+二的最小值是8 x y 故答案为：8 13.在ABC中，点D满足4BD=3BC,当点E在线段AD(不含端点A,D)上移动时，若 AE=入AB+和AC,则片=一 入 【答案】3 【详解】如图所示，在48C中，由已知80-8C,所以D-B+C, 4 又点E在线段AD上移动，设正=kD,0<k<1,所以正=B+3头4C, 4 4 又征=西+C,所以云-亭=普，所以发3， 入 故答案为：3. E B D 14.如图，在ABC中，P为AC的中点，AB=4AF,Q为BC上一点，且满足CB=4C0,PQ∩CF=E.若 CE=元CA+μCB,则1+4= 7/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】204 【详解】因为AB=4AF, 所以F=C+=C+}=+-C-C+c历 设C正=mCF0<m<1,所以G=沙a+C丽@ 因为P为AC的中点，所以CA=2CP 设PE=nPQ(0<n<1),又CB=4Cg, 所以CE=CP+PE=CP+nPg=CP+nC0-CP) =1-mCP+nC0=1-nCa+”CB② (3m=11-m 2 m= 由①②可得 42 5 ，解得 m n 2 44 n= 5 所以CE= 3C+CB,所以+u=0+05 3.12 10 10 做答案为：号 四、解答题：（本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在直角坐标系x0y中，向量OA=(1,-),OB=(8,m,OC=(7,3),OD=(x,y),其中m,x ,y∈R (I)若A,B,C三点共线，求实数m的值； (2)若四边形ABCD为菱形，求x+y的值 【答10片 (2)7 【分析】 【详解】(1)由已知得AB=OB-OA=(7,m+1),AC=0C-OA=(6,4), 8/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为A,B,C三点共线，AB,AC共线， 所以7x4=6m+小m=号 (2)AD=OD-OA=(x-1,y+1,AC=(6,4), 由四边形ABCD为菱形得AB=AD,即、49+(m+12=√x-)+y+1, 即49+m+1=(x-1)2+(y+1)2①， x-1+7=6 由菱形得AC=AB+AD, x=0 y+1+m+1=4y=-m+2 y=-m+2代入0，解得m:-5, 将 x=0 所以x+y=-m+2=7 16.(15分)如图，在四边形ABCD中，AD11BC,AD=2BC,E是AB的中点 0 (I)用向量AB,AD表示向量DE,DC; (②)若F为EC上一点，且DF=xAB+yAD,求x-y的值， 【答案】0DE=-0+孤，Dc-0+丽， ②)x-y=2 【分析】 【详解】(1)因为E是AB的中点，由向量的线性运算法则， 可得：D正=D1+征=D1+=-D+AB, C-1+B+C=而+B+号而=号0+服 (2)由F,E,C三点共线，DF=xAB+yAD, 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为D死-0+.0c-D+,所以-0E-Dc-0,报DE-Dc=B 所以m=aa+a=报E-c】(呢-0c》 （je+仔x+jnc 由EC三点共线所以（号小传+号小 2 所以x-y=2 17.(15分)如图所示，在ABC中，AD是边BC边上中线，E为AD中点，过点E点直线交边AB,AC于 M,N两点，设AB=AM,AC=μAN,(M,N与点B,C不重合) B (1)证明：入+4为定值： 回球行中2的最小值，并求此时倒，“的能 【答案】(1)证明见解析 24,入=53 24=2 【分析】 【详解】(1)因为AD是边BC边上中线，所以AD=AB+AC) 又E是AD的中点，AB=入AM,AC=μAN, 所以AE=AD=}AB+}AC=2AM+业AN 4 4 因为E,M,N三点共线，所以2+丛=1且元>0,4>0 44 所以入+4=4，即元+4为定值： (2)由(1)元+4=4→元+1+u+2=7 所21*+22 导+哥周号 10/14