专题01 集合8大题型（高效培优期末专项训练）高一数学上学期人教B版2019

专题01 集合8大题型 考点01利用集合元素的互异性求参 考点02判断集合的子集个数 考点03根据集合的包含关系求参数 考点04交集运算 考点05并集运算 考点06交并补混合计算 考点07容斥原理 考点08集合新定义 考点01利用集合元素的互异性求参 1．已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 2．已知，则 3．已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 ． 4．已知，，若集合，则的值为 ． 5．已知全集，集合，若，则 . 考点02判断集合的子集个数 6．若集合，则有 个非空真子集.   7．集合的非空真子集个数为 ． 8．已知集合，、则集合的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．已知集合，则的真子集个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．15 10．（多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 11．已知集合，则集合的子集个数为 .（填数字） 考点03根据集合的包含关系求参数 12．（多选）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 13．设，若关于x的不等式的解集是区间的真子集，则a的取值范围是 ． 14．已知集合，. (1)若，求; (2)若 ，求的取值范围. 15．已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 16．已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 17．已知集合（m为实数）. (1)求； (2)若，求的值； (3)若，求实数的取值范围. 考点04交集运算 18．设集合 则（    ） A． B． C． D． 19．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 20．设集合，则等于（    ） A． B． C． D． 21．集合，若且，则的取值为 ． 22．已知集合，. (1)若，求； (2)若集合中恰有5个整数元素，求实数的取值范围. 23．设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 24．已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 考点05并集运算 25．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 27．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．已知集合，，则 29．已知集合.若，求实数m的取值范围. 30．已知集合或，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 31．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 考点06交并补混合计算 32．已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 33．设全集，，则使成立的集合B至多有 个． 34．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 35．已知全集，集合，或，其中 ． (1)若，求： (2)若，求实数的取值范围． 36．已知全集为，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 37．记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 考点07容斥原理 38．某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 39．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 40．现有20个函数，其中奇函数的个数为12，偶函数的个数为10，既不是奇函数也不是偶函数的函数个数为2，则既是奇函数又是偶函数的函数个数为 . 41．某班有学生56人，其中38人爱好体育，32人爱好科技，还有8人既不爱好体育也不爱好科技，则该班学生既爱好体育又爱好科技的有 人． 42．某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种. 考点08集合新定义 43．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 44．若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 45．用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，且，则的取值范围为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 46．记表示集合的元素个数，对于集合，定义．若集合满足，且，则的最小值为 ． 47．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 48．已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合8大题型 考点01利用集合元素的互异性求参 考点02判断集合的子集个数 考点03根据集合的包含关系求参数 考点04交集运算 考点05并集运算 考点06交并补混合计算 考点07容斥原理 考点08集合新定义 考点01利用集合元素的互异性求参 1．已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【答案】D 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 2．已知，则 【答案】或 【详解】当时，，，与集合元素的互异性矛盾； 当时，，，此时集合为，符合题意； 当时，显然，则，，，此时集合为，符合题意， 所以或. 故答案为：或. 3．已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 4．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 5．已知全集，集合，若，则 . 【答案】2 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 故答案为：2 考点02判断集合的子集个数 6．若集合，则有 个非空真子集.   【答案】 【详解】有个元素，有个非空真子集. 故答案为：. 7．集合的非空真子集个数为 ． 【答案】14 【详解】由，得， 由得，其元素个数为4， 故非空真子集个数为. 故答案为：14 8．已知集合，、则集合的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】当时，为奇数， ∴共2个元素， ∴集合的子集的个数个， 故选：C 9．已知集合，则的真子集个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．15 【答案】C 【详解】因为， 所以的值有：，，，， 由集合元素的互异性得：， 所以其真子集个数为. 故选：C. 10．（多选）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 11．已知集合，则集合的子集个数为 .（填数字） 【答案】16 【详解】由，即，解得， 所以，共4个元素， 所以集合A的子集个数为. 故答案为：16 考点03根据集合的包含关系求参数 12．（多选）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 13．设，若关于x的不等式的解集是区间的真子集，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】原不等式等价于， 当时，原不等式为，解集为，满足题意； 当时，原不等式解集为，不满足题意； 当时，原不等式解集为，要满足该解集是区间的真子集，只需，即 综上，的取值范围是 14．已知集合，. (1)若，求; (2)若 ，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）当时，即，解得，满足题意； 当时，因为，则，解得， 综上，的取值范围为. 15．已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题设，显然，又，所以， 所以，解得， 则，因此， 所以，解得， 则，此时，符合题意， 故. （2）若，则， 又，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 当时，，无解. 综上所述，的取值范围是. 16．已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）解：由集合， 可得，且或， 所以. （2）解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 17．已知集合（m为实数）. (1)求； (2)若，求的值； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）集合，则， 不等式，即，解得或， 所以. （2）由，且， 得n与6为方程的两根，则，解得， 所以. （3）由，得， 因此，即对成立， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 考点04交集运算 18．设集合 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 所以， 故选：A. 19．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：， 所以. 故选：B. 20．设集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 故， 故选：. 21．集合，若且，则的取值为 ． 【答案】 【详解】由集合， 因为，则或，解得或或， 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，满足. 故答案为：. 22．已知集合，. (1)若，求； (2)若集合中恰有5个整数元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 当时，， 所以； （2）由（1）知，包含共5个整数， 要使集合中恰有5个整数元素，则集合至少包含这5个整数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 23．设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为. （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或. 24．已知集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由已知得， 当时，， 则， 又，所以. 综上，，. （2）由（1）得，又， 当时，，满足题意，此时，解得； 当时，要使，则或， 解得或. 综上，的取值范围为. 考点05并集运算 25．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 26．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，，，则或， 若，则，集合中的元素不满足互异性，不符合题意， 所以，解得，故，因此. 故选：D. 27．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，所以且， 所以且，所以，即实数的取值范围为. 故选：A 28．已知集合，，则 【答案】 【详解】，， ，. 故答案为：. 29．已知集合.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解. 综上所述，实数的取值范围为. 30．已知集合或，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】 【详解】（1）若，则，则或， ，则或； （2）由，则，解得. 31．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 考点06交并补混合计算 32．已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 33．设全集，，则使成立的集合B至多有 个． 【答案】8 【详解】，根据，可知，即， 所以共有8种， 所以集合B至多有8个． 故答案为：8． 34．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， ，或， ， ， ； （2）由（1）可知， 当时，显然成立，此时，解得， 当时，此时，解得， 要想，只需，而，所以， 综上所述：实数a的取值范围为. 35．已知全集，集合，或，其中 ． (1)若，求： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【分析】 【详解】（1）（1）当时，或， ， ． ； （2）由已知可得， ，或， 或，又， 实数的取值范围为或. 36．已知全集为，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，．由，解得或， 所以或，所以， 所以． （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 37．记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【分析】 【详解】（1），则． 由，得，则， 所以． （2）依题意，， 因为，所以，解得， 故a的取值范围为． 考点07容斥原理 38．某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【答案】B 【详解】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 39．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 40．现有20个函数，其中奇函数的个数为12，偶函数的个数为10，既不是奇函数也不是偶函数的函数个数为2，则既是奇函数又是偶函数的函数个数为 . 【答案】4 【详解】既是奇函数又是偶函数的函数个数为. 故答案为：4 41．某班有学生56人，其中38人爱好体育，32人爱好科技，还有8人既不爱好体育也不爱好科技，则该班学生既爱好体育又爱好科技的有 人． 【答案】22 【详解】设既爱好体育又爱好科技的人数为人， 则仅爱好体育的人数为人；仅爱好科技的人数为人； 既不爱好体育又不爱好科技的人数为人， ∴，∴， 所以该班学生既爱好体育又爱好科技的有22人. 故答案为：22 42．某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种. 【答案】 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 考点08集合新定义 43．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 【答案】A 【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：， 集合的元素之和为， 所以集合的全部非空子集的厚度之和为：. 故选：A 44．若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【详解】时，则；时，则； 时，则；时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么，，，，， ，，，， ，，， ，，，共有15个. 故选：B 45．用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，且，则的取值范围为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】∵，∴， 又，根据定义得到或. 显然为的根，故 当时，方程有1解，不符合题意. 当时，由，得 由时，解得或有2个解， 由，∵，∴有2个不同的解， ，或，此时4个解两两相异. 故选：D 46．记表示集合的元素个数，对于集合，定义．若集合满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，由题意可得， 得到一个集合中的元素有两类方法： 第一类：由中任意两个不同元素求和可得，有个； 第二类：由中一个元素自身相加求和可得，有个； 当且仅当任意两个和都不相等时， 集合满足， 故集合中任意两个元素之和均不相同. 集合中的元素，不妨设， 由于； 可知“集合中任意两个元素之和均不相同”等价于“集合中的任意两个元素之差也均不相同”， 同理集合中的任意两个元素之差也均不相同. 要得到集合中的一个元素，其中. 需从集合中各取一个元素求和， 若任意两个元素之和不等，则中有个元素， 要使最小，则必须两元素之和重复的最多； 设， 不妨设，， 任取中两个元素， 其中，，设，则， 由于， 故中任意两数作差所得正数差（大减小）互不相同，共有个； 同理中所得正数差（大减小）也互不相同，共有个； 故最多有相等的正数差个，即两元素之和相等最多有组， 故. 由题意，则，可得. 构造集合， 由二进制数表示的唯一性可知， 则. 故答案为：. 47．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【答案】(1)是“坏集”，是“好集”，理由见解析 (2)且 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1），当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 48．已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性，理由见解析 (2)1 【分析】 【详解】（1）对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. （2）若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $