专题08 整式的乘法（高频考点归纳+解析+单元检测）2025-2026学年人教版八年级数学上册期末冲刺专题

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题08 整式的乘法（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版） 考点01 同底数幂乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 多项式除以单项式 考点05同底数幂的除法 考点06应用平方差公式的计算 考点07应用完全平方公式计算 考点08平方差公式在几何图形中的应用 考点09完全平方公式在几何图形中的应用 考点10求完全平方公式中的字母系数 考点11整式乘法的混合运算 考点01 同底数幂乘法 一、单选题 1．（24-25 八年级上·山西晋中·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的法则，当底数相同时，指数相加，解答即可． 【详解】解： 故选：A 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）若，，则（   ） A．15 B．30 C．45 D．75 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用、幂的乘方的逆用，根据运算法则将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级下·山西运城·期末）已知，，则 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算． 根据同底数幂乘法的逆运算法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：40． 6．（24-25七年级下·广东佛山·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂乘法的逆运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：8． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法得到，，求出，，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：7． 考点02 幂的乘方与积的乘方 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛期末）已知，，，那么，，从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，乘方，幂的乘方逆用， 通过观察指数55、44、33的最大公因数为11，将每个数表示为11次幂的形式，从而比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， 即． 故选项：A． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方．根据积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了积的乘方，根据即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：10． 6．（24-25八年级上·重庆万州·期末）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，通过将转化为，并利用积的乘方法则进行化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 7．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查幂的运算法则．本题可先将等式中的数都转化为以2为底的幂的形式，再根据幂的运算法则对等式进行化简，最后根据指数的性质求出x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：1． 三、解答题 8．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 考点03 整式的乘法 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的运算法则，将单项式与多项式每一项分别相乘即可求解． 【详解】解：， 故选： B． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）若的展开式中不含的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，展开多项式并令一次项系数为0，解方程求的值即可得答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：C． 二、填空题 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 由题意易得且，然后将原式变形为后两边同乘以即可求得答案． 【详解】解：， 且，， 将两边同乘以得， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若，则的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值．先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，然后整体代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 【答案】3 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 三、解答题 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查积的乘方，整式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方，单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则计算后再合并同类项即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算后再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式乘法运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 考点04 多项式除以单项式 一、填空题 1．（24-25八年级上·广东茂名·期末）一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式为，将其计算即可． 【详解】解：， 即这个长方形的长为， 故答案为： 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法．利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的应用，根据长方形的长等于面积除以宽，列出式子后运用多项式除以单项式的计算法则计算即可． 【详解】解：这个长方形的长为：． 故答案为： 二、解答题 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算． （1）按照多项式乘多项式计算即可； （2）按照多项式除单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级上·吉林·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，合并同类项，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用幂的乘方化简，再合并同类项； （2）利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先计算多项式除单项式，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 7．（24-25八年级上·福建三明·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 考点05同底数幂的除法 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂乘除法、积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据幂的运算规则逐一验证即可． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：，正确，故此选项符合题意． B． 同底数幂相除，底数不变，指数相减：，原计算错误，故此选项不符合题意． C． 幂的乘方，底数不变，指数相乘：，原计算错误，故此选项不符合题意． D． 积的乘方，各因子分别乘方：，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，利用同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算把代数式转化为，进而将已知代入计算即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·山东聊城·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法及乘法法则，逐一分析各选项的运算是否正确，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、与次数不同，不是同类项，无法合并为，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的除法、积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方等基本法则．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：．（同底数幂相除，底数不变，指数相减），运算正确，故该选项符合题意； ．（积的乘方等于各因式乘方的积），但选项中结果为，错误，故该选项不符合题意； ．（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），但选项中结果为，错误，故该选项不符合题意； ．（幂的乘方，底数不变，指数相乘），但选项中结果为，错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据同底数幂除法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25八年级上·陕西·期中）（1）已知，求t的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）（2）2 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法，正确理解题意是解题的关键： （1）根据题意得出，求解即可得出答案； （2）根据题意得出，代入即可得出答案 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以， 所以． （2）因为，， 所以． 7．（24-25八年级上·北京·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算；根据同底数幂乘除法法则，积的乘方及合并同类项法则直接计算即可求解． 【详解】解： 考点06应用平方差公式的计算 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列各式中能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【详解】解：A．第二个括号提取负号，得，原式化简为，不符合平方差公式的形式，故不符合题意； B．第二个括号可变形为，原式化简为，不符合平方差公式的形式，故不符合题意； C．，故符合题意； D．不符合平方差公式的形式，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的运用，先将式子变为，再利用平方差公式计算即可 【详解】解：， 故选：A 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．先根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，先把原式变形为，然后利用平方差公式计算，即可得出答案．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 6．（24-25八年级下·广东佛山·期末）代数推理是通过观察数与数之间、数与式之间的内在联系，利用数学的基本性质和运算法则进行推理或证明的过程．代数推理包括演绎推理与合情推理，其中合情推理包括归纳推理与类比推理． (1)求证：两个连续奇数的平方差能被8整除； (2)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．如，，，，……，3，5，7，8就是“智慧数． ①9 “智慧数”（填“是”或“不是”），写出判断的理由； ②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①是，理由见解析；②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703． 【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差． （1）设两个连续奇数分别为，，其中m为正整数，利用平方差公式整理得，则两个连续奇数的平方差能被8整除； （2）设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】（1）解：设两个连续奇数分别为，，其中m为正整数， 两个连续奇数的平方差为 ， ∵m为正整数， ∴能被8整除， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除； （2）解：①∵，∴， ∴； ∴9是“智慧数”， 故答案为：是； ②设两个数分别为，k，其中，且k为整数． 则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数． 则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可得左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， ∵， ∴第2025个智慧数在（组），并且是第2个数，即． 将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703． 7．（24-25八年级上·福建宁德·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及多项式乘法、平方差公式以及合并同类项，解题的关键是熟练运用相关运算算则逐步计算． （1）先运用多项式乘多项式法则展开，再与进行合并同类项运算即可； （2）先利用平方差公式计算，再展开，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（24-25八年级上·江苏常州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （2）根据底数幂的乘法以及幂的乘方，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， （2） 考点07应用完全平方公式计算 一、单选题 1．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）下列式子：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 利用平方的性质：任何数的平方都等于其相反数的平方，即，对每个式子进行变形验证． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，且， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确． ∴①②③均正确， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式． 利用完全平方公式展开并代入已知条件即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）若，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】将利用完全平方公式展开，再将，代入计算即可。本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：6． 三、解答题 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； （2）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 先根据完全平方公式与平方差公式化简，然后去括号，合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期末）小端同学在计算：时，解答过程如下． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)小端同学的解答从第______步开始出错． (2)请写出正确的解答过程．并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)一 (2)计算过程见解析；8 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据单项式乘以多项式、完全平方公式进行化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据完全平方公式即可判断； （2）根据完全平方公式和单项式乘多项式去掉括号，再合并即可． 【详解】（1）解：小端的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误； （2）解：原式 ， 当时，原式． 7．（23-24九年级上·北京海淀·期末）已知，求代数式的值． 【答案】8 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值及完全平方公式，正确变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 8．（24-25八年级上·北京昌平·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及乘法公式，单项式乘多项式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据整式的乘法化简，由得到，再代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 原式． 考点08平方差公式在几何图形中的应用 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 计算图1中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即计算图2中拼成的平行四边形面积，其长为宽为面积为由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 【详解】： 图1中，阴影部分是从边长为a的大正方形中挖去边长为b的小正方形， 因此阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即． 图2中，阴影部分被拼成一个平行四边形，其一边长为该边上的高为 因此该平行四边形的面积为底乘高，即． 由于阴影部分的面积在裁剪和拼接过程中不变，即 所以． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为27的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为8，则正方形的面积为（   ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式． 设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为11， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，由题意得，根据，，，即可求解； 【详解】解析：大正方形与小正方形的面积之差是， ， ∵，， 由图可得： ． 故选：B 二、填空题 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 三、解答题 5．（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 6．（24-25七年级下·广东河源·期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）． (1)通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ； (2)小芳在计算时利用了（1）中的公式： ； （请你将以上过程补充完整） (3)利用以上的结论和方法，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）配上因式后，连续利用平方差公式即可； （3）配上因式，再连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 7．（23-24八年级上·福建漳州·期末）临近期末，爱思考的李红同学在翻阅错题集时，摘录了以下三道试题并反思． 归类摘录 ．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把阴影部分剪拼成一个长方形（如图），则上述操作能验证的公式是① ． ．如图，在中，，，，，则点到的距离为② ． ．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，求线段的长． 摘录反思 以上三题，都是利用相等的③ 确定等量关系，以达问题解决，它是一种不错的解题方法． 任务： (1)填空：①：______，②：______，③：______； (2)请完整解答第3题． 【答案】(1)① ；② ；③面积； (2)，过程见解析； 【分析】本题考查了等面积法，平方差公式，三角形的面积公式，以及角平分线的性质，熟练掌握相关知识，运用等面积法是解题的关键． （1）①分别求出图1中的阴影面积为，图2中的阴影面积为，根据图1和图2中阴影面积相等，即可得解；②设点到的距离是，利用三角形面积相等可得，代入即可求解；③ 根据题意可知，以上三题都是利用相等的面积确定等量关系； （2）过点作于点，由于为角平分线，利用角平分线性质可得，再利用，即，代入即可求出线段的长． 【详解】（1）① 图1中的阴影面积为，图2中的阴影面积为，两图的阴影面积相等， ， 故上述操作能验证的公式是． ② 设点到的距离是，则利用三角形面积相等可得， ，即， 解得． 故点到的距离为． ③ 根据题意可知，以上三题都是利用相等的面积确定等量关系． （2）过点作于点，如图， 为角平分线， ， ，即， 又，，， ， ． 答：线段的长为． 8．（24-25八年级上·山东东营·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是___________； (2)已知，，则___________； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）把利用（）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 考点09完全平方公式在几何图形中的应用 一、填空题 1．（24-25八年级上·北京·期末）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 故答案为： ． 二、解答题 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．阅读下列问题并完成相应任务． 问题一： ． 问题二：． 任务： (1)问题一中，若，则__________；问题二中，__________． (2)如图，在边长为a的大正方形中，阴影部分的面积为12，边长为的小正方形的周长为16，求的值． 【答案】(1)；2xy (2)28 【分析】本题考查平方差公式与完全平方差公式，熟练掌握平方差公式与完全平方差公式的变形是解题的关键，注意数形结合思想的应用． （1）把看做一个整体，即可将原式变形为，据此可得答案； （2）先根据题意得到，，再由进行代值计算即可. 【详解】（1）解：问题一中， 若，则 问题二中， 故答案为： ；． （2）解：∵边长为的小正方形的周长为16， ∴， ∴ ． ∵阴影部分的面积为12， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是________． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】________；【方法2】_________；； (3)若，且，，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，求一个数的平方根，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）观察图意直接得出正方形的边长是； （2）利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方形的面积； （3）把（2）中的两个代数式联立得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：由图形可得：图2的阴影部分的正方形的边长是； 故答案为：； （2）解：方法1：利用正方形面积面积公式可得； 方法2：利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，可得； 故答案为：，； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空①若，则______； ②若，则______． (3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）将两边同时平方并利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可； （2）①设，则，，利用完全平方公式求得的值即可；②设，，则，，利用完全平方公式求得的值即可； （3）由题意易得，，则，设，，那么，，利用完全平方公式求得的值即可． 本题主要考查了完全平方公式的灵活应用，熟练掌握完全平方公式的变形（如、等），并能结合题目条件准确代入计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：①设，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； ②设，，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：，，， ，， ， 设，， 那么，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积和为． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【知识生成】 （1）利用图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式：______，______； 【直接应用】 （2）已知：，，求和的值： 【问题解决】 （3）如图②所示，四边形是长方形，分别以为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为57，求长方形的面积： 【拓展应用】 （4）若，求的值． 【答案】（1），（2），（3）12（4）13 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用正方形的面积公式以及分割法求面积两种方法即可得出结论； （2）利用完全平方公式变形计算即可； （3）设，进而得到，利用完全平方公式求出的值即可得出结果； （4）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由第1个图可知，大正方形的面积； 由第2个图可知：大的阴影正方形的面积； 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴； ∴， ∴； （3）设，由题意，得：，， ∴， ∴； ∴长方形的面积为12； （4）∵，， ∴． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）小明有若干个长为，宽为的小长方形，现将其中4个小长方形按照如图①所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40．将其中5个小长方形按照如图②所示的方式摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠且不留空），求每个小长方形的面积． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式运算的几何应用，正确理解题意是解题关键．根据图①，图②，结合正方形和长方形的面积公式可得，求解即可获得答案． 【详解】解：根据图①，得，即， 根据图②，得，即， 所以， 所以，即小长方形的面积为5． 考点10求完全平方公式中的字母系数 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）已知多项式是完全平方式，则k的值为（       ） A．3 B．9 C．9或 D．9或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式，解题关键是正确配方．由多项式是完全平方式，可得，即可得或． 【详解】解：由多项式是完全平方式， 得，即或． 故选：C． 二、填空题 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如果（是常数），那么的值为 ． 【答案】36 【分析】本题考查完全平方公式，先由完全平方公式得，然后由常数项可得答案． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：36． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项，即可求解． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）已知多项式恰好是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的结构特征，在已知首尾的两项的情况下，对中间项积的2倍要分正负两种情况．根据完全平方公式解答，即可求解． 【详解】解：∵多项式恰好是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为： 5．（24-25八年级上·河北石家庄期末）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：， ， 或， 解得或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知多项式是一个完全平方式，则实数m的值是 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是明确完全平方公式的形式． 根据完全平方公式的形式，确定出一次项系数与常数项的关系，进而求出的值． 【详解】∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即， 解得：或， 故答案为：7或． 考点11整式乘法的混合运算 一、解答题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查零次幂，乘方，整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算出零次幂，乘方的结果，再计算加减即可； （2）运用乘法公式，整式的除法运算去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）（1）计算： ①； ②；（用乘法公式简便计算） （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）①；②1；（2）；4 【分析】本题主要考查整式的混合运算、有理数的混合运算，熟记完全平方公式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；②根据平方差公式进行计算即可； （2）根据整式混合运算法则结合平方差公式和完全平方公式进行计算化简，再代值求解即可． 【详解】解：（1）①原式 ； ②原式 ； （2）原式 ， 当，时，原式． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式　　　⋯⋯第一步　　 　　　　　　　　　⋯⋯第二步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　⋯⋯第三步 ． 任务： (1)运算从第________步开始出错，这一步出现错误的原因是________； (2)请写出正确的化简步骤，并求值． 【答案】(1)一，完全平方公式用错 (2)，20 【分析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则． （1）观察解答过程可得答案； （2）先算括号内的，再算除法，化简后将x，y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：运算从第一步开始出错，出现错误的原因是完全平方公式用错； 故答案为：一，完全平方公式用错； （2）解： ∴原式． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和多项式除以单项式法则．根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和多项式除以单项式法则进行化简，再把，的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 5．（24-25八年级上·北京通州·期末）先化简，再求值 (1)已知：，求代数式的值． (2)已知：，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的混合运算及代数式求值，正确化简是解答的关键． （1）先化简所求代数式得到，再根据非负数的性质求得a、b，进而代值求解即可； （2）先利用完全平方公式和多项式乘多项式化原式，再代指求解即可． 【详解】（1）解： ， 原式； （2）解： ， ∴， ． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，直接利用乘法公式将原式变形后再计算得出结果 ． 【详解】解： ． 当时，原式． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故错误，故该选项不符合题意； B. ，故正确，故该选项符合题意； C. ，故错误，故该选项不符合题意； D. ，故错误，故该选项不符合题意； 故选：B ． 2．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 3．若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． 或5 D． 或3 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，对于一个具有若干个简单变元的整式，如果存在另一个实系数整式，使，则称是完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：或． 故选：D． 4．若，，则代数式的值是（      ） A．1 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，平方差公式，利用平方差公式直接代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 5．有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，先观察图形，根据总面积不变，进行列式计算，然后分析，即可作答． 【详解】解：方案一，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 方案二，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个梯形的面积 即； 方案三，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 综上：小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是 故选：C． 6．已知，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方，同底数幂，熟练掌握以上知识是解题的关键． 左边表示个3相乘，即，右边表示个3相加，即，根据等式关系求解． 【详解】解：∵左边，右边，且等式成立， ∴， 代入，得， ∴， ∴的值为． 故选：C． 7．有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 8．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式与几何图形，阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此列等式即可． 【详解】解：图中大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，阴影部分的面积为：， 由此可得， 故选：A． 9．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【详解】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 10．实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据所给等式整理推出，再结合幂的乘方，同底数幂的乘法将整理为，最后将代入求解，即可解题． 【详解】解：， ， 即， 整理得， ； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是零指数幂，解题关键是熟练掌握零指数幂法则． 根据零指数幂的法则，任何非零数的次幂都等于即可得解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12．如果，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算．由条件可得 ，再将转化为，利用同底数幂乘法法则计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 则， 故答案为：9． 13．如图，小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，小亮根据小明的拼图过程，写出多项式因式分解的结果为，这个解题过程体现的数学思想主要是 思想．（分类讨论、数形结合、公理化．三个思想中选择一个填在横线上） 【答案】数形结合 【分析】本题考查了因式分解及数形结合思想，根据三种数学思想的定义，结合题目中多项式因式分解与图形的关系来确定体现的数学思想即可． 【详解】解：在本题中，小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，这是一个直观的几何图形，小亮根据这个拼图过程，写出多项式因式分解的结果为，也就是从图形的面积关系得到了多项式的因式分解结果，这里将抽象的多项式与直观的长方形图形结合起来，通过图形的面积计算来理解多项式的因式分解，体现的是“数形结合”的思想． 故答案为：数形结合． 14．已知，那么 ． 【答案】17 【分析】本题考查了平方差公式的应用，求代数式的值，利用换元法，设，将原方程转化为关于的方程，进而求解的值，即可得解，正确利用换元法是解此题的关键． 【详解】解：设，则， 代入原方程可得， 整理得：， ∴， ∴，即， 故答案为：． 15．如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【详解】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂运算和多项式除法： （1）根据同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方的运算法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算方法即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17．（8分）若，，求： (1)， (2)． 【答案】(1)37 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据代入求值即可； （2）先根据求出，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 18．（8分）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由，可得，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 19．（9分）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，，，为正整数，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1），1；（2）；（3）27 【分析】本题考查整式的运算、代数式求值，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）利用平方差公式、多项式乘多项式的运算法则去括号展开，再加减运算化简原式，然后代值求解即可； （2）先由已知得到，再化为，然后代值求解即可； （3）先根据幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则得到，然后代值求解即可． 【详解】解：（1） ， 把，代入，得 原式； （2） 因为， 所以． （3） 因为， 所以． 20．（10分）通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的 两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（    ） A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想   D．转化思想 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为 ． 【答案】（1）；A；（2）28；（3）；（4）6 【分析】本题考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式变形计算是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）设，，再用计算即可． （4）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：，A； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：28； 设，， 则，， ∵， 即， ∴． （4）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为9，的面积为3， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴（取正值）， 即． 故答案为：6． 21．（8分）【阅读思考】 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 【方法应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，求的值； 【拓展探究】 （2）如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是2，分别以为边作正方形，设阴影部分的面积为S，求的值． 【答案】（1）17；（2）9 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式计算． （1）因为，设，，求出，，； （2）因为：，正方形ABCD的边长为x，，，求出，，设，，，所以，因为长方形AEGF的面积是2，所以，推出以，所以，． 【详解】（1）因为， 设，， 则， ， ； （2）因为：， 因为正方形ABCD的边长为x，，， 所以， ， 因为长方形AEGF的面积是2， 所以， 所以设，， 所以有， ， ， 所以， ， ， 22．【（12分）综合与实践】数学兴趣小组利用纸板制作有盖长方体纸箱．下面是两个小组的实践过程，请你完成下列问题． (1)“巧手”小组将长和宽分别是、的矩形纸片折成一个无盖的长方体纸盒，方案是在矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形，如图1所示． ①用含、、的代数式表示纸片剩余部分的面积； ②当，，且剪去部分正方形的边长为最小正整数时，求无盖长方体纸盒的底面积； ③请你说出折成长方体纸盒的棱（长方体相邻两个线的交线）与棱之间有哪些位置关系． (2)“善思”小组的同学准备了一张边长为的正方形纸板，先在正方形纸板四个角剪去四个同样大小且宽为的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖的长方体纸箱，如图2所示．则该长方体的底面中，边______，边______（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①；②48；③平行或垂直 (2)； 【分析】本题考查了整式的混合运算及代数式的含义，正确表示出纸盒的长、宽、高是解决此题的关键． （1）①纸片剩余部分的面积等于长方形的面积减去4个小正方形的面积； ②用含、、的代数式表示出无盖长方体纸盒的底面面积，再计算； ③由长方体的棱长位置关系可得结果； （2）由正方形的边长为，可得，长度为的边折叠前后的长度不变可得，求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，纸片剩余部分的面积是：； ②由题知剪去正方形边长为， 当，时，无盖长方体纸盒的底面积： ， 无盖长方体的底面积是48． ③平行或者垂直． （2）解：如图所示： 则，， ． 故答案为：；． 23．(12分)图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． (1)【问题发现】利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为_________________________； (2)【类比探究】已知x满足，则_________________； (3)【拓展延伸】学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以、为边的正方形，且两正方形的面积和，点是线段上的点，若，求用来种花的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)5 (3)6 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，把公式变形是解题的关键． （1）根据正方形面积的不同算法求解即可； （2）先把完全平方公式变形，再整体代入求解； （2）利用完全平方公式变形，再整体代入求解． 【详解】（1）解：根据面积的不同算法得：； 故答案为：． （2）解：∵满足， 令，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． （3）解：由题意得：，， 则， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 典型考题解析 单元过关检测 高频考点归纳 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题08 整式的乘法（高频考点归纳+解析+单元检测） 考点01 同底数幂乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 多项式除以单项式 考点05同底数幂的除法 考点06应用平方差公式的计算 考点07应用完全平方公式计算 考点08平方差公式在几何图形中的应用 考点09完全平方公式在几何图形中的应用 考点10求完全平方公式中的字母系数 考点11整式乘法的混合运算 考点01 同底数幂乘法 一、单选题 1．（24-25 八年级上·山西晋中·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）若，，则（   ） A．15 B．30 C．45 D．75 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·山西运城·期末）已知，，则 ． 6．（24-25七年级下·广东佛山·期末）计算： ． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，则 ． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若，，则 ． 考点02 幂的乘方与积的乘方 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛期末）已知，，，那么，，从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）计算的结果等于 ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末） ． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若，，则 ． 6．（24-25八年级上·重庆万州·期末）计算： ． 7．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知，则的值为 ． 三、解答题 8．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）计算： (1)； (2)． 考点03 整式的乘法 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）计算：等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）若的展开式中不含的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若，则的值是 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 三、解答题 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： (1)； (2)． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 考点04 多项式除以单项式 一、填空题 1．（24-25八年级上·广东茂名·期末）一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 ． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）计算： ． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 二、解答题 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）化简： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·吉林·期末）计算： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·北京顺义·期末）计算：． 7．（24-25八年级上·福建三明·期末）先化简，再求值：，其中，． 考点05同底数幂的除法 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东聊城·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若，，则 ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·陕西·期中）（1）已知，求t的值； （2）已知，，求的值． 7．（24-25八年级上·北京·期末）计算： 考点06应用平方差公式的计算 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列各式中能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）计算的结果是 ． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期末）计算： ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算：． 6．（24-25八年级下·广东佛山·期末）代数推理是通过观察数与数之间、数与式之间的内在联系，利用数学的基本性质和运算法则进行推理或证明的过程．代数推理包括演绎推理与合情推理，其中合情推理包括归纳推理与类比推理． (1)求证：两个连续奇数的平方差能被8整除； (2)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．如，，，，……，3，5，7，8就是“智慧数． ①9 “智慧数”（填“是”或“不是”），写出判断的理由； ②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少？说明理由． 7．（24-25八年级上·福建宁德·期末）化简： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·江苏常州·期末）计算： (1) (2) 考点07应用完全平方公式计算 一、单选题 1．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）下列式子：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．② D．① 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）若，，则的值为 ． 三、解答题 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中，． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期末）小端同学在计算：时，解答过程如下． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)小端同学的解答从第______步开始出错． (2)请写出正确的解答过程．并求出当时，该代数式的值． 7．（23-24九年级上·北京海淀·期末）已知，求代数式的值． 8．（24-25八年级上·北京昌平·期末）先化简，再求值：，其中． 考点08平方差公式在几何图形中的应用 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为27的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为8，则正方形的面积为（   ） A．7 B．10 C．11 D．14 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 二、填空题 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 三、解答题 5．（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 6．（24-25七年级下·广东河源·期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）． (1)通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ； (2)小芳在计算时利用了（1）中的公式： ； （请你将以上过程补充完整） (3)利用以上的结论和方法，计算：． 7．（23-24八年级上·福建漳州·期末）临近期末，爱思考的李红同学在翻阅错题集时，摘录了以下三道试题并反思． 归类摘录 ．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把阴影部分剪拼成一个长方形（如图），则上述操作能验证的公式是① ． ．如图，在中，，，，，则点到的距离为② ． ．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，求线段的长． 摘录反思 以上三题，都是利用相等的③ 确定等量关系，以达问题解决，它是一种不错的解题方法． 任务： (1)填空：①：______，②：______，③：______； (2)请完整解答第3题． 8．（24-25八年级上·山东东营·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是___________； (2)已知，，则___________； (3)应用所得的公式计算：． 考点09完全平方公式在几何图形中的应用 一、填空题 1．（24-25八年级上·北京·期末）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 二、解答题 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．阅读下列问题并完成相应任务． 问题一： ． 问题二：． 任务： (1)问题一中，若，则__________；问题二中，__________． (2)如图，在边长为a的大正方形中，阴影部分的面积为12，边长为的小正方形的周长为16，求的值． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是________． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】________；【方法2】_________；； (3)若，且，，求的值． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空①若，则______； ②若，则______． (3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【知识生成】 （1）利用图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式：______，______； 【直接应用】 （2）已知：，，求和的值： 【问题解决】 （3）如图②所示，四边形是长方形，分别以为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为57，求长方形的面积： 【拓展应用】 （4）若，求的值． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）小明有若干个长为，宽为的小长方形，现将其中4个小长方形按照如图①所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40．将其中5个小长方形按照如图②所示的方式摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠且不留空），求每个小长方形的面积． 考点10求完全平方公式中的字母系数 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）已知多项式是完全平方式，则k的值为（       ） A．3 B．9 C．9或 D．9或3 二、填空题 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如果（是常数），那么的值为 ． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）若是一个完全平方式，则 ． 4．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）已知多项式恰好是一个完全平方式，则 ． 5．（24-25八年级上·河北石家庄期末）若是一个完全平方式，则 ． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知多项式是一个完全平方式，则实数m的值是 ． 考点11整式乘法的混合运算 一、解答题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）（1）计算： ①； ②；（用乘法公式简便计算） （2）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式　　　⋯⋯第一步　　 　　　　　　　　　⋯⋯第二步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　⋯⋯第三步 ． 任务： (1)运算从第________步开始出错，这一步出现错误的原因是________； (2)请写出正确的化简步骤，并求值． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中，． 5．（24-25八年级上·北京通州·期末）先化简，再求值 (1)已知：，求代数式的值． (2)已知：，求代数式的值． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中，． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 3．若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． 或5 D． 或3 4．若，，则代数式的值是（      ） A．1 B． C．6 D． 5．有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（   ） A． B． C． D． 6．已知，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 8．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（   ） A． B． C． D． 9．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 10．实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算： ． 12．如果，那么的值为 ． 13．如图，小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，小亮根据小明的拼图过程，写出多项式因式分解的结果为，这个解题过程体现的数学思想主要是 思想．（分类讨论、数形结合、公理化．三个思想中选择一个填在横线上） 14．已知，那么 ． 15．如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1)； (2)． 17．（8分）若，，求： (1)， (2)． 18．（8分）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 19．（9分）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，，，为正整数，求的值； （3）若，求的值． 20．（10分）通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的 两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（    ） A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想   D．转化思想 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为 ． 21．（8分）【阅读思考】 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 【方法应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，求的值； 【拓展探究】 （2）如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是2，分别以为边作正方形，设阴影部分的面积为S，求的值． 22．【（12分）综合与实践】数学兴趣小组利用纸板制作有盖长方体纸箱．下面是两个小组的实践过程，请你完成下列问题． (1)“巧手”小组将长和宽分别是、的矩形纸片折成一个无盖的长方体纸盒，方案是在矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形，如图1所示． ①用含、、的代数式表示纸片剩余部分的面积； ②当，，且剪去部分正方形的边长为最小正整数时，求无盖长方体纸盒的底面积； ③请你说出折成长方体纸盒的棱（长方体相邻两个线的交线）与棱之间有哪些位置关系． (2)“善思”小组的同学准备了一张边长为的正方形纸板，先在正方形纸板四个角剪去四个同样大小且宽为的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖的长方体纸箱，如图2所示．则该长方体的底面中，边______，边______（用含，的式子表示）． 23．(12分)图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． (1)【问题发现】利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为_________________________； (2)【类比探究】已知x满足，则_________________； (3)【拓展延伸】学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以、为边的正方形，且两正方形的面积和，点是线段上的点，若，求用来种花的阴影部分的面积． 典型考题解析 高频考点归纳 单元过关检测 学科网（北京）股份有限公司 $