江苏省连云港市东海县白塔高级中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期第二次学情检测 高一数学试题 时间：120分钟 满分150分 命题人：房磊 审核人：朱加祝、陈斌、张建桥 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是(    ) A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 在定义域上单调递减 2.角是第二象限的角，则所在的象限为(    ) A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、四象限 D. 第三、四象限 3.如果点位于第四象限，那么角所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.函数的图象大致为    A. B. C. D. 5.设，，，则a、b、c的大小关系为(    ) A. B. C. D. 6.函数的单调递减区间为(    ) A. B. C. D. 7.已知定义在R上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为，若存在，，满足，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分。) 9.下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4 10.已知，下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 11.下列说法正确的是(    ) A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 C. 函数在区间单调递增 D. 若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知角的终边经过点，且，则x的值为          . 13.若函数且的图象恒过定点，则          . 14.已知是上的减函数，那么实数a的取值范围是           .(用区间表示) 四、简答题(本题共5题，15题13分，16-17每题15分，18-19每题17分，共77分) 15.本小题13分 已知，在第二象限，求，的值； 已知，求的值. 16.本小题分已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． 若，，求扇形的弧长； 已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； 若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 17.本小题15分已知函数且，若函数在区间上的最大值与最小值之和为 求函数解析式，并求出关于x的不等式的解集； 求函数，的值域，并求出取得最值时对应的x的值. 18.本小题17分已知定义域为R的函数是奇函数． 求a，b的值； 判断的单调性，并用定义证明； 若存在，使成立，求k的取值范围． 19.本小题17分已知函数； 判断并证明函数的奇偶性； 判断函数在上的单调性，并用定义证明； 若，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次学情检测 高一数学试题 时间：120分钟 满分150分 命题人：房磊 审核人：朱加祝、陈斌、张建桥 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是(    ) A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 在定义域上单调递减 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了幂函数的函数值或解析式，幂函数的定义域与值域，幂函数的图像与性质，属于基础题． 由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断即可． 【解答】 解：因为幂函数的图象过点， 设，则，即，所以，解得， 所以，其定义域为，故B错误； 因为函数的定义域关于原点不对称， 所以是非奇非偶函数，故A错误； 因为函数的定义域为，， 所以的值域是，故C错误； 因为，所以在定义域上单调递减，故D正确． 故选： 2.角是第二象限的角，则所在的象限为(    ) A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、四象限 D. 第三、四象限 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了象限角的定义，属于基础题． 根据象限角的定义求解． 【解答】 解：角是第二象限的角， ，， ，， 所在的象限为第一、三象限． 故选： 3.如果点位于第四象限，那么角所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查象限角、轴线角，三角函数值的符号特征，属于基础题． 直接由点位于第四象限求出和的符号，则答案可求． 【解答】 解：点位于第四象限， ， 角所在的象限是第二象限． 故选： 4.函数的图象大致为    A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数图象的识别，属于基础题． 根据函数的奇偶性和时函数值的正负即可判断． 【解答】 解：函数，定义域为，关于原点对称， 由， 则函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，D； 当时，，，故排除 故选 5.设，，，则a、b、c的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查利用指数函数的图象与性质比较大小，利用对数函数的图象与性质比较大小，属于基础题． 根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小． 【解答】 解：因为，即， ， ， 所以 故选： 6.函数的单调递减区间为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查对数函数的单调性与最值，复合函数的单调性，对数型函数的定义域、值域，一元二次函数的图象与性质，属于基础题． 先求定义域，然后由一元二次函数和对数函数性质即可求解． 【解答】 解：由，解得， 所以函数的定义域为， 令，对称轴为， 则在上单调递增， 在上单调递减， 为减函数， 在上单调递减． 故选： 7.已知定义在R上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查函数单调性、奇偶性的综合应用，利用函数的单调性解不等式，属于基础题． 由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可． 【解答】 解：函数为偶函数， ， 即， 函数的图象关于直线对称， 又函数定义域为R， 在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， 由， 得，解得 故选： 8.已知函数的定义域为，若存在，，满足，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查对数的运算性质及对数函数的性质在函数值域求解中的应用，属于中档题． 由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解． 【解答】 解：令在单调递减，所以u的最小值为，可得， 且， 令在单调递减，所以， 因为存在，，满足， 则， 又， 由题意可得，解得 故选： 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分。) 9.下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4 【答案】AB  【解析】【分析】 本题主要考查了弧长公式，角的正余弦求值，属于基础题． 利用角度制与弧度制的定义以及它们之间的关系对A选项判断即可求解，利用角的正余弦定义式即可求解BC选项(也可以利用诱导公式求解)；由已知先求出圆心角，然后结合弧长公式即可判断 【解答】 解：对于A，，故A正确； 对于B，，故选项B正确； 对于C，，故选项C错误； 对于D，由题意得， 解得或， 当时，，， 当时，，，故D错误． 故选： 10.已知，下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】本题主要考查了同角基本关系的应用，利用与间的关系求值，属于中档题． 选项A对已知等式两边平方，结合同角平方关系即可求解； 选项B结合选项A即可求解； 选项C，结合选项A对所求式子两边平方即可求解； 选项D，结合选项C即可求解． 对于A，，，，；故选项A正确； 对于B，，，，， 故选项B正确； 对于C， ，，，， ，；故选项C错误； 对于D，，， 故选项D正确； 11.下列说法正确的是(    ) A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 C. 函数在区间单调递增 D. 若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的定义域、不等式恒成立问题，对数型复合函数的单调性、值域等问题，属较综合的中档题. 利用复合函数定义域求解判断A；对k分类讨论判断B；利用定义域排除C；由值域为R，则内层函数值域的一个子集为，结合不等式恒成立问题求解判断 【解答】 解：A，令，解得， 故若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A正确； B，当时，不等式恒成立， 时，恒成立， 时，，解得， 综上，k的取值范围为故B错误； C，，解得， 故定义域为， 故在上单调递增是错误的，故C错误； D，若函数的值域为R， 则的值域的一个子集为， 时，，符合题意； 时，则且，解得， 综上，a的取值范围为，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知角的终边经过点，且，则x的值为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查任意角三角函数的定义，属基础题. 根据任意角的三角函数的定义得出关于x的方程，解方程即得，注意不要产生增根. 【解答】 解：因为， 所以， 解得 故答案为 13.若函数且的图象恒过定点，则          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数函数图象过定点问题，属于基础题. 由条件，结合对数函数性质列方程求，解方程求，由此可得 【解答】 解：因为函数的图象恒过定点， 所以，， 所以，， 所以 故答案为： 14.已知是上的减函数，那么实数a的取值范围是          . 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数单调性的应用，根据函数的单调性建立不等式关系是解决本题的关键，属于中档题. 根据函数单调性建立不等式关系进行求解即可． 【解答】 解：因为是上的减函数， 所以满足条件， 得，得， 即实数a的取值范围是 故答案为 四、简答题(本题共5题，15题13分，16-17每题15分，18-19每题17分，共77分) 15.本小题13分 已知，在第二象限，求，的值； 已知，求的值. 【答案】解：，在第二象限， ，················3分 ；····················6分 由， ·····································9分  ·······················13分 【解析】本题主要考查由一个三角函数值求其他三角函数值，正余弦齐次式的计算，属于基础题． 根据三角函数的基本关系式即得； 弦化切即可． 16.本小题分 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． 若，，求扇形的弧长； 已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； 若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】解：，··············2分 ；··············4分 由题意得，···············5分 解得 舍去，································7分 故扇形圆心角为；····················9分 注：没舍去这种情况的，扣1分 由已知得， 所以 ，·····11分 所以当时，取得最大值，················13分 此时，．·····················15分  注：学生利用与的关系求的，的表达式正确，得11分，求出结果的得满分 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题15分已知函数且，若函数在区间上的最大值与最小值之和为 求函数解析式，并求出关于x的不等式的解集； 求函数，的值域，并求出取得最值时对应的x的值. 【答案】解：函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为2， 得，即，解得，·······2分 于是； ，··········4分 解，得或；··················5分 解，即，得或，·············6分 因此或， 所以不等式的解集或··············7分 注：学生得到后，直接解得或，不扣分 由知，，················9分 令，由，得，···········10分 ，·············12分 当时，，此时；·········13分 当时，，此时，·········14分 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时·······15分  【解析】本题考查对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出a，再利用单调性解不等式. 由的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 18.本小题17分 已知定义域为R的函数是奇函数． 求a，b的值； 判断的单调性，并用定义证明； 若存在，使成立，求k的取值范围． 【答案】解：由题意知，，所以，····2分 所以， 因为，所以，化简得， 所以，即，所以········4分 注：学生利用特殊值解方程组得到结果没有检验的，扣1分 证明：在R上单调递减，················5分 证明过程如下： 由知，， 任取，·······················6分 则，·····8分 因为，所以，，，···9分 所以，即， 所以在R上单调递减．·················10分 解：因为是奇函数， 所以不等式 可化为，·········11分 又因为在R上单调递减， 所以，即， 原问题等价于存在，使，·············13分 设，是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上递减，在上递增， 所以，·················15分 所以， 故k的取值范围为 ···················17分 【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性解决参数问题，判断或证明函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 由，可得，再利用，代入化简运算，求得b的值； 分离常数可得，再任取，作差可证，得证； 利用的单调性与奇偶性，可将原问题转化为存在，使，设，求得的最小值，即可． 19.本小题17分 已知函数； 判断并证明函数的奇偶性； 判断函数在上的单调性，并用定义证明； 若，求实数m的取值范围. 【答案】解：函数为奇函数.证明如下： 因为，所以或 则函数的定义域为，定义域关于原点对称，···2分 又，············4分 所以函数为奇函数;······················5分 注：未求解定义域的扣2分 函数在上单调递增.·················6分 证明：任取、，且 ···············7分 又 因为所以 所以 即，则，···········10分 所以········11分 故函数在上单调递增；·················12分 因为， 所以·······································14分 解得，·················16分 则实数m的取值范围为 ·········17分 【解析】本题考查判断函数的单调性及奇偶性，同时考查利用函数的性质解不等式，属于中档题. 利用奇函数的定义可得判断函数为奇函数; 先判断函数的单调性，再利用单调性定义证明函数的单调性； 利用单调性得到关于m的不等式即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $