精品解析：江苏省泰州市靖江市滨江学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学2025.12.16 （考试用时：120分钟 满分： 150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐项判定即可． 【详解】解：A．是二次函数，故符合题意； B．是一次函数，故不符合题意； C．是一次函数，故不符合题意； D．不是二次函数，故不符合题意； 故选：A． 2. 已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（ ） A. 外 B. 上 C. 内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为5，， ∴， ∴点A在内． 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程 的两根之和为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之和． 【详解】解：∵一元二次方程的系数，， ∴两根之和． 故选：A． 4. 已知圆内接四边形中，， 则的大小是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合给定角度比例求解即可． 【详解】解：∵圆内接四边形对角互补， ∴，． ∵， 设，，． ∴， 解得． ∴°． ∴， 故选：D． 5. 如图，将直角三角板角的顶点A放到上，并将三角板绕点A旋转，当的两边与分别交于B，C两点时，若，则n的值不可能为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，余弦的定义，等边三角形的判定与性质等知识，分三种情况讨论：经过点O；经过点O；、都不经过点O，根据直径所对的圆周角是直角，含的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，余弦的定义等求出n的取值范围，则可得出答案． 【详解】解：当经过点O时，如图，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； 当经过点O时，如图，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 当、都不经过点O时，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过O作于D， 则，， ∴， ∵， ∴，即， 又， ∴， 综上，， 观察各选项，只有A选项符合题意， 故选：A． 6. 如图，中，D、E分别是、边上的点，与交于点F，且，，若，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答的关键． 过E作交于H，先证明得到，再证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：如图，过E作交于H，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 故选：C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 在中，，那么锐角的度数是_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，可得出的度数． 【详解】解：∵，为锐角，， ∴． 故答案为：． 8. 将抛物线 向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，抛物线平移遵循“上加下减”的规律，向上平移时在函数表达式中直接加上平移单位数即可． 【详解】解：抛物线 向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是． 故答案为：． 9. 若的半径为．则其内接正六边形的周长等于_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，根据正六边形是的内接正六边形，可知是等边三角形，从而可知正六边形的边长为，所以正六边形的周长为． 【详解】解：如下图所示，正六边形是的内接正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， 正六边形的周长为． 故答案为： ． 10. 某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为49元．设平均每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为x，根据连续两次降价后的价格关系列出方程求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元． 根据题意，得． 方程两边同时除以100，得． 得， 解得，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 11. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积为___. 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】底面圆的半径为2，则底面周长=4π，侧面面积=×4π×4=8πcm2． 故答案是：. 【点睛】考查圆锥的计算，关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 12. 抛物线 与y轴的交点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，根据y 轴上的点的横坐标均为0，因此令代入抛物线方程计算值即可求解． 【详解】解：令，代入，得， 故抛物线与轴的交点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，在中， ，，以为直径作，交于点E． 图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，正确作出辅助线是解决本题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆周角定理可得：，，最后由面积和即可解答． 【详解】解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 14. 如图，等边的边长为6，点P从A出发，沿边以每秒1个单位向点B运动，设运动时间为t秒（），当以P为圆心，为半径的圆与的一边相切时，t的值为_____． 【答案】2或4 【解析】 【分析】先利用等边三角形的性质和勾股定理求得，再用t分别表示出与，然后分圆P与相切、圆P与相切两种情况，利用三角函数求解． 【详解】解：作于点D， ​∵等边的边长为6， ∴， ∴， ∴​． ∵点P从A出发，沿边以每秒1个单位向点B运动，设运动时间为t秒（）， ∴点P在上，，， ∴圆心P在上， ∴圆与不可能相切． 当圆P与相切时​作于M， ∵是等边三角形，圆P半径为​， ∴，， ∵， ∴， ∴． 当圆P与相切时​作于N， ∵是等边三角形，圆P半径为​， ∴，， ∵， ∴​， ∴， ∴． 综上，满足条件的t值为2或4​． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，用勾股定理解三角形，切线的性质定理，解直角三角形的相关计算，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 15. 如图，在中， ， ，点M为的重心， 若 那么的长等于_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先利用三角形的重心的性质得出，，，再，，列出比例式求出、，结合，求得，然后利用勾股定理求得，从而可求得，进而求得，再利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得． 【详解】解：延长交于点E，延长交于点F，过点M分别作，的垂线，垂足分别是G，D， ∵点M为的重心，， ∴，，， 又， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了重心的有关性质，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，已知正切值求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 16. 如图，、为中的两条弦，且，，、所夹锐角为，则的半径的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键． 如图，在优弧上取一点E，使得，连接，，，，，设与交点为Q，利用弧与弦关系和圆周角定理可得，，，根据已知，结合三角形的外角性质可求得，根据等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理可得，；过E作交延长线于F，利用等腰三角形的判定与性质，结合勾股定理求得即可解答． 【详解】解：如图，在优弧上取一点E，使得，连接，，，，，设与交点为Q， 则，，，， ∵、所夹锐角为， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 过E作交延长线于F，则， 在中，， ∴为等腰直角三角形，则； 在中，， ∴， ∴， 即的半径的值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1） 计算： ； （2） 解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解一元二次方程，解题的关键是： （1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的乘法等计算即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， 或， ∴，． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）证明：对于任意实数m，方程总有实数根； （2）若方程两根异号，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，解题的关键掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）根据根与系数的关系得出，然后结合已知得出关于m的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴ ， ∴对于任意实数m，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：设方程两根为，， 由根与系数的关系得， ∵方程两根异号， ∴， ∴． 19. 如图，用不含刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留痕迹） （1）画出图①中弧所在圆的圆心O； （2）过图②中上的点P作的切线 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，基本作图，线段的垂直平分线，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． （1）在弧上取A、B、C三点，并连接、，利用弦的垂直平分线经过圆心的性质，分别作出线段，的垂直平分线，它们的交点即为圆心； （2）作射线，以点P为圆心，任意长为半径画弧，交射线于A、B两点，再分别以A、B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点M，作直线，则直线为所求作的的切线． 【小问1详解】 解：如图所示，点O为所求作的圆心． 画法如下： ①连接，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线． ②连接，分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点P，Q，作直线，交于点O，则点O为所求作的圆心． 【小问2详解】 解：如图所示，直线为所求作的的切线． 画法如下： 作射线，以点P为圆心，任意长为半径画弧，交射线于A、B两点，再分别以A、B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点M，作直线，则直线为所求作的的切线． 20. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件．已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 【答案】70元或80元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是利用已知条件建立等式关系，列出方程求解． 设这种服装每件售价是元，利用等量关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这种服装每件售价是元． 由题意，得， ， 解得，， 答：这种服装每件售价是元或80元． 21. 如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米．求： （1）路灯高度； （2）树与路灯相距多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数、相似三角形的应用，熟练掌握反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质的应用是解题的关键． （1）由，可得，则有，代入，，的值即可求解． （2）由灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，可设点的坐标为，则可表示出点与点的坐标，利用反比例函数的性质可求出函数关系式，再设，则可表示出，再由，可得，则有，代入相应数值即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， ∴， ∴，即， 解得． ∴路灯高度是7米． 【小问2详解】 解：设点的坐标为，则，， ∵点，在反比例函数图像上， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 设反比例函数为，把代入得：， 解得， ∴反比例函数关系式为， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得． ∴树与路灯相距6米． 22. 如图，是的直径，为弦，D为弧的中点，过D作于点 E． （1）求证：为的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，则，然后由平行线的性质得到，进而利用切线的判定可得结论； （2）先根据圆周角定理得到，再证明，利用相似三角形的性质求得即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵D为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 则半径． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的性质是解答的关键． 23. 已知抛物线过点． （1）求这个抛物线的函数关系式； （2）写出该抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； （3）若点和在该抛物线上，请利用函数增减性比较和的大小（写出比较过程）； （4）直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 （3），比较过程见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴得到函数的增减性，结合点A、B离对称轴的距离求解即可； （4）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴这个抛物线的函数关系式是； 【小问2详解】 解：由得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点和在该抛物线上，， ∴； 【小问4详解】 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，， ∴当时 ，y有最小值1， 当时，y有最大值，最大值为5， ∴当时，y的取值范围为． 24. （1）如图①，四边形与四边形均为正方形，点G在上，则与的数量关系是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 °． （2）将图①中的正方形绕点C 旋转到图②的位置，直线与直线交于点H．求的度数． （3）将图①中的正方形绕点C旋转，当点F在边上时，如图③．连接交于M，若，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先说明点E在上，从而可得与的最小夹角度数，再利用勾股定理求解即可； （2）先证明与相似，从而可得，再结合对顶角相等、三角形内角和定理，可得，然后利用对顶角相等可得，即； （3）先证明，可得，从而可求得，再利用，可得，结合，求得． 【详解】（1）解：连接，， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∵点G在上， ∴点在上， ∴， ∴直线与直线 相交所成的较小角的度数是， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）连接、，交于点J， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵在正方形中，是对角线，， ∴， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 即； （3）如图，连接交于O， ∵四边形是正方形，与是对角线， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 与（2）同理可得：， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），用勾股定理解三角形，根据正方形的性质证明，根据旋转的性质求解，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 25. 如图，的直径，为弦，点P是上一动点，过点P作弦， 延长、交于点Q． （1）①若，则 ； ②若，则的长度 ．（结果保留） （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）①；② （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①先根据垂径定理得出，再利用勾股定理求得即可求得；②先利用三角函数求得，从而可得，再利用弧长公式求解； （2）先根据圆内接四边形的性质得出，再根据邻补角的意义得出，从而可得，再证明，结合，可得； （3）先证明，从而可得，根据正弦的定义，可得，从而可求得，再根据，从而可得，根据正弦的定义，可得，求得，然后利用勾股定理分别求得，，即可利用求得，即可得的长． 【小问1详解】 解：①如图，连接．在中，是直径，于P， ∴（垂径定理），． 在中，，， 由勾股定理得： ， ∴． 故答案为：12； ②​在中，，， 则， ∴， ∴． ∴的长度为：​． 故答案为：； 【小问2详解】 如图，连接． ∵四边形内接于， ∴， 又， ∴， ∵，是的直径， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 连接，，过点C作于点G，过O作于点F， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，利用邻补角互补求角度，利用垂径定理求值，求弧长，相似三角形的综合问题，已知正弦值求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 26. 已知，矩形中，，，E是边上的动点． （1）如图①，当点F在边上时，若，求的值； （2）如图②，当点F在边上时，若，求证：是一个定值； （3）当点F为矩形某边上一点，若四边形的对角线，且，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故是一个定值，定值为16； （3）1或或或 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，解答的关键是利用相似三角形的性质解决问题． （1）根据矩形的性质和相似三角形的判定证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可； （2）同理，证明，利用相似三角形的对应边成比例得到，可证明结论； （3）分点F在上和点F在上，结合（1）（2）结论、勾股定理以及一元二次方程的解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 当点F在上时，如图， 由（1）得， ∴， 设，则， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴，解得，， ∴或， ∴或； 当点F在上时，如图，过E作于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，； 同理（2），， 设，则， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴； 当点F在上时，如图，过E作于H， 同理，，， 设，则， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 综上，的值为1或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学2025.12.16 （考试用时：120分钟 满分： 150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（ ） A. 外 B. 上 C. 内 D. 不能确定 3. 关于x的一元二次方程 的两根之和为（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 已知圆内接四边形中，， 则的大小是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，将直角三角板角的顶点A放到上，并将三角板绕点A旋转，当的两边与分别交于B，C两点时，若，则n的值不可能为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 6. 如图，中，D、E分别是、边上的点，与交于点F，且，，若，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 在中，，那么锐角的度数是_______． 8. 将抛物线 向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是_____． 9. 若的半径为．则其内接正六边形的周长等于_________ 10. 某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为49元．设平均每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是_____． 11. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积为___. 12. 抛物线 与y轴的交点坐标为_____． 13. 如图，在中， ，，以为直径作，交于点E． 图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，等边的边长为6，点P从A出发，沿边以每秒1个单位向点B运动，设运动时间为t秒（），当以P为圆心，为半径的圆与的一边相切时，t的值为_____． 15. 如图，在中， ， ，点M为的重心， 若 那么的长等于_____． 16. 如图，、为中的两条弦，且，，、所夹锐角为，则的半径的值为_____． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1） 计算： ； （2） 解方程：． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）证明：对于任意实数m，方程总有实数根； （2）若方程两根异号，求m的取值范围． 19. 如图，用不含刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留痕迹） （1）画出图①中弧所在圆的圆心O； （2）过图②中上的点P作的切线 20. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件．已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 21. 如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米．求： （1）路灯高度； （2）树与路灯相距多少米？ 22. 如图，是的直径，为弦，D为弧的中点，过D作于点 E． （1）求证：为的切线； （2）若，，求半径的长． 23. 已知抛物线过点． （1）求这个抛物线的函数关系式； （2）写出该抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； （3）若点和在该抛物线上，请利用函数增减性比较和的大小（写出比较过程）； （4）直接写出当时，y的取值范围． 24. （1）如图①，四边形与四边形均为正方形，点G在上，则与的数量关系是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 °． （2）将图①中的正方形绕点C 旋转到图②的位置，直线与直线交于点H．求的度数． （3）将图①中的正方形绕点C旋转，当点F在边上时，如图③．连接交于M，若，请直接写出的值． 25. 如图，的直径，为弦，点P是上一动点，过点P作弦， 延长、交于点Q． （1）①若，则 ； ②若，则的长度 ．（结果保留） （2）求证：； （3）若，求的长． 26. 已知，矩形中，，，E是边上的动点． （1）如图①，当点F在边上时，若，求的值； （2）如图②，当点F在边上时，若，求证：是一个定值； （3）当点F为矩形某边上一点，若四边形的对角线，且，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $