山东省济南市天桥区宝华中学2025-2026学年上学期八年级12月“扬华杯”素养大赛数学试题

学校 班级 姓名 准考证号 所有注意事项同答题卡1 注意事项 条形码黏贴区 准考证号条形码粘贴区 24。（12分) (1) R (2) N B 图3 三解答题 三解答题 (3) H B 图4 数学试题答题卡 第3页（共3页 25。(12分) (一)猜测探究 （1) (2) B M D E 图2 (二)解决问题 D 图3 A (三)拓展应用 C B 图4宝华中学2025年“扬华杯”八年级素养大赛（2025.12) 数学试题参考答案 一、选择题： B B D A A C D C B 二、填空题： 11.< 12.乙13.=3 X=-2 14. 30 15.√10 三、解答题 16.解：(1)原式=42-2√2+√2-3分 =3√2： ---4分 (2)原式=3-26+2+3-4 ---6分 =4-2√6. -8分 17.①×2，得4x-2y=2③， ----2分 ②+③，得9x=9, ----3分 解得x=1, 代入x=1到①得2-y=1, 解得y=1, -----5分 x=1 .方程组的解为 ----6分 y=1 18.证明：：D为BC的中点， ∴.BD=CD, ----1分 DE⊥AB,DF⊥AC, .∠BED=∠CFD=90°， .△BED和△CFD是直角三角形.---2分 在Rt△BED和Rt△CFD中， BD=CD BE=CF' 1 .RtABED=Rt△CFD(HL),---4分 ∴.∠B=∠C, --5分 .AB=AC, ----6分 △ABC是等腰三角形， ---7分 19.解：(1)如图，△AB,C即为所求.------2分 y (2)（-2,-4). --4分 ----6分 (3)10+32. ----8分 20.(1)证明：：AB//DG, .∠BAD=∠1， --2分 ∠1+∠2=180°， .∠BAD+∠2=180°， --3分 ∴.AD//EF; -----4分 (2)解：1+∠2=180°，∠2=142°， .1=38°， ---5分 :DG是∠ADC的平分线， ∴.∠CDG=1=38°， AB//DG, .∠B=∠CDG=38°.---8分 2 21.(1)86.5,85,20: -4分：第一空2分 (2)144°； --6分 (3)900× 6 +1200×20%=510（名). 20 .估计对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数为510名.------9分 22.解：(1)设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 2x+3y=90 根据题意得： 3分 3x+2y=85 解得 x=15 ----5分 y=20 答：每辆A型汽车的进价为15万元，每辆B型汽车的进价为20万元： (2)设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：15m+20n=125, ----6分 .n= 25-3m ---7分 4 又.m,n均为正整数， 或m=7 「=3 ---9分 (n=4n=1' .共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进3+4=7（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进7+1=8（辆）， 7<8, .当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，购进的车辆最多，最多可以购进8辆.---10分 23.解：（1)60：360；------4分 (2)甲车比乙车晚1.5小时到达C地， .点E(8.5,0), --5分 乙的速度为360×2÷10-0.5-1.5)=90（千米/小时），则360÷90=4， ∴.M(4,360),N(4.5,360), 3 设NE表达式为y=+b,将N和E代入， [0=8.5k+b 「k=-90 360=4.5k+b ,解得： b=7651 ∴y(千米)与x(小时)之间的函数关系式为：y=-90x+765;-----7分 (3)设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米， ①在乙车到B地之前时，600-S-S2=15,即600-60x-90x=15,解得：x= 39 10 ②当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，15÷(90-60)+4.5=5（小时）： ③当乙车追上甲车并超过15a1时，(30+15)÷(90-60)+4.5=6（小时)： ④乙到达B地停留时，15÷60+4=17 (小时)（不符合题意行驶中舍弃，） ⑤乙到达C地时，(600-15÷60=39（小时）（不符合愿意行驶中舍弃） 综上：出发时间为39小时或5小时或6小时. 10 ----10分：每种结果1分，多答扣分 24.(1)(2,0),(0,4),(6,2): ---4分，最后一空2分 (2)当x=0时，y=10,.A(0,10),.AO=10, 当y=0时，x=10,.B10,0),.OB=10,---5分 当AN⊥OM时，AN的值最小，.∠ANO=90°， ∠AON+∠NAO=90°，∠BOM+∠AON=90°， ∴.∠NAO=∠BOM, ∴.△AON=△OBM(AAS9, ---6分 ∴.AN=OM, 在Rt△OMB中，OB=10,BM=6,.∴OM=8, .∴.AN=8, .AN的最小值为8： ---8分 (3)当x=0时，y=-5,∴.C(0,-5), 过点B作BF⊥OH交于F点，过点B作PQ//y轴，过点C作CP⊥PQ交于P点，过点F 作Q⊥PQ交于Q点， ,∠BOH=45°， 4 .BC=BF, .∠CBF=90°， .△BFO=△CBP(AAS), --9分 .CP=BO=10,BP=FO=5, .F(5,10), ----11分 .直线CH的解析式为y=x-5. 12分其他解法也可，如夹角公式、12345模型. Q B H x Gx M 图2 图3 图4 25.(1)∠NAB=∠MAC,BN=CM.-----2分 (2) B C E M 图2 ,∠MAN=∠CAB, .∠WAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC, .∠NAB=∠MAC, ---3分 .AB=AC,AN=AM, ∴.△NAB=△MAC(SAS), -4分 .BN=CM. ---5分 (二)如图3，以AD为边，构造等边三角形ADE,连接DE,过点B作BF⊥DE,交ED的 延长线于点F,则DE=AD=3,∠EDA=60°，∠BFE=90°， -----6分 :∠ADB=75°， ∴.∠BDF=180°-∠ADE-∠ADB=45°， ∴.∠DBF=90°-∠BDF=45°， .DF=BF, 在直角三角形BDF中，由勾股定理得：BD=VDF2+BF2=√2DF=4V2,--7分 .DF=BF=4, .EF=DE+DF=7, 在直角三角形BEF中，由勾股定理得：BE=√BF2+EF2=√42+72=√65，----8分 :△ABC,△ADE均为等边三角形，AD=3, ∠EAD=∠BAC=60°，AE=AD=3,AC=AB, ∴.∠EAD+∠BAD=∠BAC+∠BAD, D .∠EAB=∠DAC, 在△ACD和△ABE中， AC=AB ∠DAC=∠EAB, 图4 AD=AE △ACD=△ABE(SAS),----9分 ∴CD=BE=√65. ----10分 法二：过F向BD作垂直 (三)43-4. ----12分 6宝华中学2025年“扬华杯”八年级素养大赛(2025.12) 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分.考试时间为120分钟 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、 姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上. 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5黑色签字笔在答题卡上题号所提 示的答题区域作答.答案写在试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回」 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。) 1.4的算术平方根是 A.±2 B.2 C.4 D.-2 2.在平面直角坐标系中，点P(-2,3)位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列命题中，是真命题的为 A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.如果两个角相等，那么它们是对顶角 C.正十边形每个内角120° D.直角三角形的两锐角互余 4.下列计算中正确的是 A.V18÷√2=3B.√5+2=5 C.V-3)2=±3 D.22-√2=2 5.甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量 是甲的2倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币， 则可列方程组为 x+y=100 A. B. x+y=100 0D.x+y=100 2(x-10)=y+10 2(x+10)=y- 0C/+=10o x-10=2(y+10)x+10=2y-10) 6.一次函数y=-2x+b的图象上三个点的坐标分别为(-1y.(22,),则y,,为 的大小关系是 A.y<y2<3 B.y,<y<y3 C.y3<y2< D.y3<y<2 数学试题第1页（共8页） 7.下面是根据八年级2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的 115 132136144 162 lmin跳绳次数 A.下四分位数 B.中位数 C.最大值 D.平均数 8.如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若正五边形有两个顶点恰好落在直尺的边上，且 ∠2=52°，则∠1的度数为 A.35° B.30° C.20° D.18° 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12.按如图所示作图痕迹作图，在BC上 得点D,在AC上得点E,则DE的长为 A.4 B.15 0 4 c. 3 D. 3 10.某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持 接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记 过桥较慢的人的时间)，要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游 戏结束.已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1,2， 3,5,该组同学完成项目所需的最短时间为分钟. A.10 B.12 C.14 D.15 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效， 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 数学试题第2页（共8页） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 11.比较大小：1√2.（填“>”“<”或“=”） 12.为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100 米自由泳训练，他们成绩的平均数x及其方差s2如下表所示： 甲 乙 丙 x 1'0533 1'04"261'04"26 1'07"29 s2 1.1 1.1 1.3 1.6 如果选拔一名学生去参赛，应派 去 13.如图，己知函数y=+b和y=cx+d的图象交于点M,则根据图象可知，关于x,y的 二元一次方程组 y=ax+b 的解为 y=cx+d ◆s/km 100 y=ax+b 80 60 /3 40 30 .20 y=cx+d 2 t/h 第13题图 第14题图 第15题图 14.A,B两地相距100，甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都 保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(a)与骑车时间t()的关系如图所示，则他们 相遇时距离A地al. 15。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点E在AC上，且AE=1,连接BE, ∠BEF=90°，且BE=FE,连接CF,则CF的长为 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤。） 16.(本小题满分8分) 计算：④@8+2及(2)5+5+25-习. 数学试题第3页（共8页） 17.(本小题满分6分) 解方程组： 「2x-y=1① 5.x+2y=7② 18.(本小题满分7分) 如图，己知D为BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,点E、F为垂足，且BE=CF.求 证：△ABC是等腰三角形. 19.(本小题满分8分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,1),C(-1,2). (1)作出△ABC关于y轴对称的△AB,C: (2)A(-2,4)关于x轴的对称点坐标为 (3)△ABC的面积为 (4)若x轴上存在一点P,使得△BCP周长最短，周长最小值为 2 B -5=4-3-2-0 .23.45 0 2 」-4 数学试题第4页（共8页） 20.(本小题满分8分) 如图，AB/DG,∠1+∠2=180°. (1)试说明：AD//EF; (2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=142°，求∠B的度数. E 2 F D 21.(本小题满分9分) 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得 分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为 四组，A:60<x≤70，B:70<≤80，C:80<x≤90，D:90<≤100，下面给出了部分信息. 甲款人工智能软件得分数据： 64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,95,98,98,99,100 乙款人工智能软件在C组内(80<x≤90)的所有得分数据： 85,86,87,88,88,88,90,90. 乙款人工智能软件得分扇形统计图 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 10 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 30% m% B 甲 86 85.5 6 96.6 D 乙 86 a 88 69.8 C 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a=一，b=一，m=一； (2)在扇形统计图中，C组所对应的圆心角度数是： (3)若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款 人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意(90<x≤100)的总用 户数. 数学试题第5页（共8页） 22.(本小题满分10分) 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某 汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车 的进价共计90万元：3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元 (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若汽车销售公司正好用125万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型 号汽车均购买)国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 23.(本小题满分10分) 在一条公路上依次有A,B,C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出 发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车 晚1.5小时到达C地.两车距各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系 如图所示.请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车行驶速度是千米/时，B,C两地的路程为千米： (2)求乙车从B地返回C地的过程中，y(千米)与x(小时)之间的函数关系式（不需要 写出自变量x的取值范围)； (3)出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案. (千米) 600 MN 360 E10 x(小时) 数学试题第6页（共8页） 24.(本小题满分12分) 数学建模 【模型建立】如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线 三垂直”型.这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用， 【模型探索】 (1)如图2，一次函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于P,Q两点.以线段PQ为 直角边在PQ的右边作等腰直角△PQR,直接写出点的坐标：P,O,R一· (2)如图3，一次函数y=-x+10的图象与x轴、y轴分别交于B,A两点，M,N是直线 y=上的两动点，连接BM,AN.若BM⊥MN,BM=6,求AN长的最小值 【模型应用】 (3)如图4，在(2)的情况下，经过点B的直线y=二x-5与y轴交于点C,H为线段OB 上的一点，作射线CH.若∠BCH=45°，求直线CH的函数解析式： B B E M C 图1 图2 图3 图4 数学试题第7页（共8页） 25.(本小题满分12分) 小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究. D A B C M C B B 图1 图2 图3 图4 (一)清测探究 在△ABC中，AB=AC,M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与 ∠BAC相等的角度，得到线段AN,连接NB. (1)如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠WAB与∠MAC的数量关系 是 ,NB与MC的数量关系是 (2)如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC, 试证明（1)中的结论. (二)解决问题 如图3，点D是等边△ABC外一点，若AD=3,BD=4W2,∠ADB=75°，求线段CD的长. (三)拓展应用 如图4，在△AB,C中，AB=8,∠AB,C=60°，∠B,AC1=75°，P是B,C1上的任意点，连 接AP,将AP绕点A按顺时针方向旋转75°，得到线段AQ,连接B,Q,直接写出线段B,Q 长度的最小值. 数学试题第8页（共8页） 宝华中学2025年“扬华杯”八年级素养大赛（2025.12） 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．4的算术平方根是 A． B．2 C．4 D． 2．在平面直角坐标系中，点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列命题中，是真命题的为 A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．如果两个角相等，那么它们是对顶角 C．正十边形每个内角120° D．直角三角形的两锐角互余 4．下列计算中正确的是 A． B． C． D． 5．甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的2倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有枚纪念币，乙原有枚纪念币，则可列方程组为 A． B． C．D． 6．一次函数的图象上三个点的坐标分别为，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 7．下面是根据八年级2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的 A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 8．如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若正五边形有两个顶点恰好落在直尺的边上，且，则的度数为 A． B． C． D． 第8题图 第9题图 9．如图，在△中，，，．按如图所示作图痕迹作图，在上得点，在上得点，则的长为 A．4 B． C． D． 10．某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束．已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，该组同学完成项目所需的最短时间为　　分钟． A．10 B．12 C．14 D．15 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11．比较大小：1　　．（填“”“ ”或“” 12．为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数及其方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 1.1 1.1 1.3 1.6 如果选拔一名学生去参赛，应派　　 去． 13． 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可知，关于，的二元一次方程组的解为 　　 ． 第13题图 第14题图 第15题图 14．，两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离地　　 ． 15． 如图，在中，，，点在上，且，连接，，且，连接，则的长为　　 ． ( O x y )三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16．(本小题满分8分) 计算：（1）；（2）． 17．(本小题满分6分) 解方程组：． 18．(本小题满分7分) 如图，已知为的中点，，，点、为垂足，且．求证：是等腰三角形． 19．(本小题满分8分) 如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出△关于轴对称的△； （2）关于轴的对称点坐标为　　 ． （3）△的面积为　　 ； （4）若轴上存在一点，使得△周长最短，周长最小值为　　 ． 20．(本小题满分8分) 如图，，． （1）试说明：； （2）若是的平分线，，求的度数． 21．(本小题满分9分) 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，，，，，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在组内的所有得分数据： 85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 96.6 乙 86 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： 　　， 　　，　　； （2）在扇形统计图中，组所对应的圆心角度数是　　 ； （3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数． 22．(本小题满分10分) 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计90万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计85万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若汽车销售公司正好用125万元资金，购进型汽车、型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 23．(本小题满分10分) 在一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，驶向地，同时乙车从地出发驶向地，到达地停留0.5小时后，按原路原速返回地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达地．两车距各自出发地的路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车行驶速度是　　 千米时，，两地的路程为　　 千米； （2）求乙车从地返回地的过程中，（千米）与（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案． 24.（本小题满分12分） 数学建模 【模型建立】如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用． 【模型探索】 （1）如图2，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．以线段为直角边在的右边作等腰直角△，直接写出点的坐标：　　 ，　　 ，　　 ． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，，是直线上的两动点，连接，．若，，求长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，在（2）的情况下，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式． 25.（本小题满分12分） 小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． （一猜测探究 在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　　 ，与的数量关系是　　 ； （2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，试证明（1）中的结论． （二）解决问题 如图3，点是等边△外一点，若，，，求线段的长． （三拓展应用 如图4，在△中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，直接写出线段长度的最小值． 数学试题第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2013～2014学年度第一学期 初一 数学 答题卡 宝华中学2025年“扬华杯”八年级素养大赛（2025.12） 数学试题答题卡1 学校 班级 姓名 准考证号 注意事项 1. 答题前请考生务必在每张答题卡的规定位置认真填写学校、班级、姓名、考号。 2. 请认真核对条形码上的姓名、考号，确认无误后粘贴在考号条形码粘贴区内，并将考号填写在相应的位置，每个书写框内只能填写一个阿拉伯数字。 3. 答题卡中选择题请务必用2B铅笔规范填涂，其它试题用0.5毫米黑色签字笔作答。 4. 请按题号在规定答题区域内作答，未在对应答题区域内作答，或超出答题区域作答，均不得分。 5. 修改时，请用橡皮擦干净，不得使用涂改液、涂改带。 6. 请保持卡面清洁，不要折叠。 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考教师用 2B铅笔填涂缺考标记 准考证号条形码粘贴区 一 选择题 正确填涂 选择题须用2B铅笔填涂 1 ［A］［B］［C］［D］ 2 ［A］［B］［C］［D］ 3 ［A］［B］［C］［D］ 4 ［A］［B］［C］［D］ 5 ［A］［B］［C］［D］ 6 ［A］［B］［C］［D］ 7 ［A］［B］［C］［D］ 8 ［A］［B］［C］［D］ 9 ［A］［B］［C］［D］ 10 ［A］［B］［C］［D］ 二 填空题 11．（4分）__________________. 12．（4分）__________________. 13．（4分）__________________. 14．（4分）__________________ . 15．（4分）__________________. 三 解答题 16.（8分）计算：（1）； （2）． 17．（6分）解方程组：． 三 解答题 18.（7分） 19.（8分） （1） （2）　　 ． （3）　　 ； （4）　　 ． 20.（8分） （1） （2） 21.（9分） （1）　　 ， 　　 ，　　 ； （2）　　 ； （3） 三 解答题 22．（10分） （1） （2） 23.（10分） （1）　　 ，　　 ； （2） （3）　　 . - 3 - 北京教育学院丰台分院监制 - 4 - 技术支持：达睿思服务 www.k12media.cn 数学试题答题卡 第 2 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $宝华中学2025年“扬华杯"八年级素养大赛(2025.12)数学试题答题卡1 学校 班级 姓名 准考证号 1.答题前请考生务必在每张答题卡的规定位置认真填写学校、班级、姓名、 考号。 2.请认真核对条形码上的姓名、考号，确认无误后粘贴在考号条形码粘贴区 内，并将考号填写在相应的位置，每个书写框内只能填写一个阿拉伯数字。 注意事项 3.答题卡中选择题请务必用2B铅笔规范填涂，其它试题用0.5毫米黑色签字 准考证号条形码粘贴区 笔作答。 4.请按题号在规定答题区域内作答，未在对应答题区域内作答，或超出答题 区域作答，均不得分。 考生禁填 缺考标记 5.修改时，请用橡皮擦干净，不得使用涂改液、涂改带。 缺考考生由监考教师用 6.请保持卡面清洁，不要折叠。 2B铅笔填涂缺考标记 ▣ 选择题须用2B铅笔填涂 正确填涂 1[A][B][c][D] 5[A][B][c][D] 9【A][B][c][D] 选择题 2[A][B][c][D] 6[A][B][c][DJ 10[A][B][c][D] 3[A][B][c][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][c][D] 11。(4分) 12。(4分) 填空题 13。(4分) 14。(4分) 三解答题 15。(4分) 16(8分)计算：1)反-+25： (2)(W5-)2+(5+25-2). 三解答题 数学试题答题卡第1页（共3页 17。(6分)解方程组： 2x-y=1① 5x+2y=7② 18.(7分) D 19.(8分) y不 (1) A 4 (2) 3- (3) h (4) 5-4-3-2-P1.23..5 3 宝华中学2025年“扬华杯"八年级素养大赛(2025.12)数学试题答题卡1 20.(8分) (1) E 2 B D (2) 21.(9分) 三解答题 (1)a= b=m= (2) 乙款人工智能软件得分扇形统计图 10% (3) 30% m% B D 数学试题答题卡 第2页（共3页 22。 （10分) (1) (2) 23.(10分) (1) (千米) 600 (2) 360 MN E10 x小时 (3) 丰台区2013～2014学年度第一学期 初一 数学 答题卡 学校 班级 姓名 准考证号 注意事项 所有注意事项同答题卡1 ( 条形码黏贴区 准考证号条形码粘贴区 ) 三 解答题 24．（12分） （1） 　　 ，　　 ，　　 ． （2） （3） 三 解答题 25．（12分） （一猜测探究 （1）　　 ，　　 ； （2） （二）解决问题 （三拓展应用 　　 - 3 - 北京教育学院丰台分院监制 - 4 - 技术支持：达睿思服务 www.k12media.cn 数学试题答题卡 第 3 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝华中学2025年“扬华杯”八年级素养大赛（2025.12）数学试题参考答案 一、选择题： B B D A A C D C C B 二、填空题： 11． 12．乙 13． 14． 15. 三、解答题 16.解：（1）原式------3分 ； ------4分 （2）原式 ------6分 ． ------8分 17．①，得③， ---------2分 ②③，得， ------------3分 解得， ------------4分 代入到①得， 解得， ------------5分 方程组的解为． ------------6分 18．证明：为的中点， ， ------------1分 ，， ， 是直角三角形. ------------2分 在和中， ， ， ------------4分 ， ------------5分 ， ------------6分 是等腰三角形． ------------7分 19．解：（1）如图，△即为所求． ------------2分 （2）． ------------4分 （2）． ------------6分 （3）． ------------8分 20．（1）证明：， ， ------------2分 ， ， ------------3分 ； ------------4分 （2）解：，， ， ------------5分 是的平分线， ， ------------6分 ， ． ------------8分 21．（1）86.5，85，20； ------------4分：第一空2分 （2）； ------------6分 （3）（名． 估计对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数为510名． ------------9分 22．解：（1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元， 根据题意得：， ------------3分 解得：． ------------5分 答：每辆型汽车的进价为15万元，每辆型汽车的进价为20万元； （2）设购进辆型汽车，辆型汽车， 根据题意得：， ------------6分 ， ------------7分 又，均为正整数， 或， ------------9分 共有2种购进方案， 方案1：购进3辆型汽车，4辆型汽车，共购进（辆； 方案2：购进7辆型汽车，1辆型汽车，共购进（辆， ， 当购进7辆型汽车，1辆型汽车时，购进的车辆最多，最多可以购进8辆． ------10分 23．解：（1）60；360； ------------4分 （2）甲车比乙车晚1.5小时到达地， 点， ------------5分 乙的速度为（千米小时），则， ，， 设表达式为，将和代入， ，解得：， （千米）与（小时）之间的函数关系式为：； ------------7分 （3）设出发小时，行驶中的两车之间的路程是15千米， ①在乙车到地之前时，，即，解得：， ②当乙车从地开始往回走，追上甲车之前，（小时）； ③当乙车追上甲车并超过时，（小时）； ④乙到达地停留时，（小时）（不符合题意行驶中舍弃， ⑤乙到达地时，（小时）（不符合题意行驶中舍弃） 综上：出发时间为小时或5小时或6小时． ------------10分：每种结果1分，多答扣分 24.（1），，； ------------4分，最后一空2分 （2）当时，，，， 当时，，，， ------------5分 当时，的值最小，， ，， ， △△， -----------6分 ， 在△中，，，， ， 的最小值为8； -----------8分 （3）当时，，， 过点作交于点，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， △△， -----------9分 ，， ， -----------11分 直线的解析式为．-----------12分 其他解法也可，如夹角公式、12345模型. 25.（1），．-----------2分 （2） ， ， ， -----------3分 ，， ， -----------4分 ． -----------5分 （二如图3，以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，则，，， -----------6分 ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：，-----------7分 ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， -----------8分 △，△均为等边三角形，， ，，， ， ， 在△和△中， ， △△， -----------9分 ． -----------10分 法二：过F向BD作垂直 （三． -----------12分 6 学科网（北京）股份有限公司 $