7.2.3 三角函数的诱导公式【六大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版必修第一册）

本讲义聚焦三角函数诱导公式核心知识点，通过表格系统归纳六组公式的角、三角函数值及“函数名改变或不变，符号看象限”口诀，明确各公式转化角的作用，梳理记忆与化简方法，搭建从公式理解到应用的学习支架，衔接前后三角函数定义与恒等变换知识。 该资料以结构化设计与分层题型为亮点，表格对比公式强化数学思维的逻辑联系，口诀记忆培养数学眼光的抽象能力。题型从单一公式应用到综合证明，如例5结合终边求三角函数值，提升推理能力。高分达标练习多样化，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺，用数学语言规范表达解题过程。

7.2.3 三角函数的诱导公式 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01：诱导公式归纳 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点02.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为0～之间的角求值 知识点03.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 知识点04.用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名． 【题型归纳】 题型一：诱导公式一的应用 【例1】．（24-25高一下·福建·期中）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】. 故选：C 【变式1】．（24-25高一下·江西赣州·期中）（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式及特殊角的余弦值计算. 【详解】. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一上·广东东莞·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】 故选： 题型二：诱导公式二、三、四应用 【例2】．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【详解】因且，则， 则. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高一上·陕西·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式即得. 【详解】因且，则， 则. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高一·全国·假期作业）已知，且为第一象限角，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系求得，再用诱导公式计算求解. 【详解】为第一象限角， ， ． 故答案为：. 题型三：诱导公式五、六应用 【例3】．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/ 【详解】因为角的终边经过点，所以，. 故答案为： 【变式1】．（25-26高一上·全国·月考）已知，且，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以，由，得， 所以． 故答案为： 【变式2】．（25-26高三上·上海嘉定·期中）若角的终边过点，则= ． 【答案】/ 【详解】已知角的终边过点， 由三角函数的定义得：， 由诱导公式得：. 故答案为： 【变式3】．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】观察可得，故，结合诱导公式求结论. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 题型四：正切函数的诱导公式的应用 【例4】．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的商数关系与诱导公式计算即可. 【详解】由题意得，即， 由正切函数诱导公式可得，由， 解得，故. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）设，则的值为（   ） A． B． C．-1 D．1 【答案】A 【分析】根据题意结合诱导公式可得，再利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简，即可得解. 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：A. 【变式2】．（24-25高一下·北京房山·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解. 【详解】. 故选：D 题型五：诱导公式求值化简综合问题 【例5】．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知. (1)若角的终边过点，始边为非负半轴，求； (2)若，分别求和的值. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）因为， 又因为角的终边过点，所以，则； （2）因为，即，则， 所以， . 【变式1】．（25-26高一上·河南·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)3 (2) (3) （2）方法一：由（1）知. 由题意知角的终边在第一象限，所以， 所以. 方法二：由任意角三角函数的定义得， . 所以. （3）由（2）知，. 所以 . 【变式2】．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知是第二象限角，且. (1)求的值； (2)先化简，再求值：. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）是第二象限角，所以，又，，则. （2） 由（1）知， ∴原式. 题型六：利用诱导公式证明恒等式 【例6】．（21-22高一上·全国）（1）求证：； （2）设，求证. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 【变式1】．（2021高一·全国·专题练习）求证：． 【详解】左边==–tanα=右边， ∴等式成立． 【变式2】．（25-26高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，则下列结论正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 则，A错误； ，B错误； ，C错误 ； ，D正确. 故选：D 2．（25-26高一·全国·假期作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式化简得解． 【详解】原式 故选：B. 3．（25-26高三上·山西·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】因为角的终边上有一点，则， 所以. 故选：A. 4．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知点是角终边上的一点，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式求出，再根据角终边上点的坐标计算，代入即可. 【详解】由诱导公式可知，又因为是角终边上的一点， 所以，所以. 故选：D 5．（2025·浙江温州·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 6．（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，应用诱导公式及已知即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：B 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得．所以，A错误； ，B错误；，C正确；，D错误． 故选：C 8．（2025高一·全国·专题练习）已知，则等于（    ）． A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，又， 当在第二象限时，，此时；当在第四象限时，，此时． 综上，.故选：A． 二、多选题 9．（24-25高一下·贵州遵义·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合选项，利用诱导公式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，故A错误， 对于B，因为，故B正确， 对于C，， 故C错误， 对于D，因为，故D正确， 故选：BD. 10．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．. D． 【答案】AC 【分析】先利用同角三角函数的基本关系可求与值，进而利用诱导公式逐项判断. 【详解】由，得，. 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：AC 11．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用三角函数定义结合诱导公式逐项判断即可. 【详解】由三角函数定义可得，，， 对于A选项，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 12．（24-25高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数定义计算可得A错误，将代入计算可判断BD正确，再由诱导公式化简计算即可得出C正确. 【详解】对于A，由三角函数定义可知，即A错误； 对于B，易知，所以，即B正确； 对于C，化简，即C正确； 对于D，将代入可得： 原式，可得D正确. 故选：BCD 13．（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若是第三象限角，且，则 D．若角的终边过点，则 【答案】ABD 【分析】由已知结合诱导公式对已知函数进行化简，然后结合同角基本关系，诱导公式检验各选项即可判断. 【详解】，A正确； 若，则，即，B正确； 若是第三象限角，且，则， 所以， 所以，C错误； 若角的终边过点，则， ，D正确. 故选： 三、填空题 14．（25-26高一·全国·假期作业）若，且α是第四象限的角，则 ， ． 【答案】 / / 【详解】因为α是第四象限的角，所以，所以． 于是. 答案：； 15．（25-26高一上·福建南平·月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 16．（25-26高一上·全国·期末）已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得：点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 故答案为：. 17．（24-25高一下·北京·期中）若为第二象限角，且，则的值是 ． 【答案】 【详解】由得， 因为为第二象限角，则，则 ． 故答案为：． 四、解答题 18．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以 （2）== 19．（25-26高一上·重庆江北·月考）已知，求下列式子的值. (1)为第二象限角，求； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用给定条件，利用诱导公式、同角公式求解. （2）由（1）中信息，利用齐次式法，转化为关于的式子求解. 【详解】（1）由，得，即，又， 由为第二象限角，得，因此， 所以. （2）由（1）知， 所以. 20．（25-26高一上·北京·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，已知角，再从条件①、条件②中选择一个作为已知， (1)求的值； (2)求的值. 条件①：；条件②：. 【答案】(1)选①，或；选②，(2)选①，或；选②， 【详解】（1）若选条件①，， ，解得：或， 又，与均满足题意； 或. 若选条件②，，，，. （2），若选条件①，由（1）知：或； 当时，； 当时，；或. 若选条件②，. 21．（25-26高一上·全国·月考）（1）已知是第二象限角，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据平方关系先计算出的值，再根据商数关系计算出的值； （2）先根据诱导公式化简原方程，再根据商数关系计算出的值，最后根据齐次式的运算求解出结果； （3）先将原方程平方可计算出的值，再根据的正负判断出的正负，最后采用先平方再开方的方法计算出结果. 【详解】（1）是第二象限角， ，． （2）， 由诱导公式得，即，， （3），等式两边同时平方，得， 又，， 又，，，则， ， . 22．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值； (3)若，化简并求值. 【答案】(1)， (2) (3)4 【详解】（1）由角为第二象限角，且，所以，. （2） . （3）. 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3 三角函数的诱导公式 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01：诱导公式归纳 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点02.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为0～之间的角求值 知识点03.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 知识点04.用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名． 【题型归纳】 题型一：诱导公式一的应用 【例1】．（24-25高一下·福建·期中）（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·江西赣州·期中）（   ） A．1 B． C．0 D． 【变式2】．（24-25高一上·广东东莞·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 题型二：诱导公式二、三、四应用 【例2】．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知，，则 ． 【变式1】．（25-26高一上·陕西·期末）已知，，则 ． 【变式2】．（25-26高一·全国·假期作业）已知，且为第一象限角，则 ． 题型三：诱导公式五、六应用 【例3】．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知角的终边经过点，则 ． 【变式1】．（25-26高一上·全国·月考）已知，且，则 ． 【变式2】．（25-26高三上·上海嘉定·期中）若角的终边过点，则= ． 【变式3】．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则 ． 题型四：正切函数的诱导公式的应用 【例4】．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知，则（   ） A． B． C．5 D．10 【变式1】．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）设，则的值为（   ） A． B． C．-1 D．1 【变式2】．（24-25高一下·北京房山·期中）（   ） A． B． C． D． 题型五：诱导公式求值化简综合问题 【例5】．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知. (1)若角的终边过点，始边为非负半轴，求； (2)若，分别求和的值. 【变式1】．（25-26高一上·河南·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【变式2】．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知是第二象限角，且. (1)求的值； (2)先化简，再求值：. 题型六：利用诱导公式证明恒等式 【例6】．（21-22高一上·全国）（1）求证：； （2）设，求证. 【变式1】．（2021高一·全国·专题练习）求证：． 【变式2】．（25-26高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，则下列结论正确的是（   ） A．B． C． D． 2．（25-26高一·全国·假期作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 4．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知点是角终边上的一点，则（ ）. A． B． C． D． 5．（2025·浙江温州·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）已知，则等于（    ）． A． B． C．或 D． 二、多选题 9．（24-25高一下·贵州遵义·月考）（   ） A． B． C． D． 10．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．. D． 11．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若是第三象限角，且，则 D．若角的终边过点，则 三、填空题 14．（25-26高一·全国·假期作业）若，且α是第四象限的角，则 ， ． 15．（25-26高一上·福建南平·月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 . 16．（25-26高一上·全国·期末）已知角终边上一点，则 ． 17．（24-25高一下·北京·期中）若为第二象限角，且，则的值是 ． 四、解答题 18．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知 (1)求的值； (2)求的值. 19．（25-26高一上·重庆江北·月考）已知，求下列式子的值. (1)为第二象限角，求； (2)． 20．（25-26高一上·北京·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，已知角，再从条件①、条件②中选择一个作为已知， (1)求的值； (2)求的值. 条件①：；条件②：. 21．（25-26高一上·全国·月考）（1）已知是第二象限角，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 22．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值； (3)若，化简并求值. 6 学科网（北京）股份有限公司 $