7.4三角函数的应用【四大考点+四大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

本讲义聚焦三角函数的应用这一核心知识点，基于三角函数图像与性质（如y=Asin(ωx+φ)参数物理意义），系统梳理模型解决实际问题的步骤，通过物理、生活、几何等场景题型构建从理论到应用的学习支架。 资料以弹簧振子、摩天轮等真实情境为例，引导学生用数学眼光观察周期现象，通过例题与变式训练数学思维，培养建模能力。课中辅助分层教学，课后助力巩固应用，有效弥补知识盲点，提升数学语言表达与问题解决素养。

7.4三角函数的应用 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：三角函数的应用 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 考点二：　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 【题型归纳】 题型一：三角函数在物理中的应用 【例1】．（24-25高一下·江西上饶·月考）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【变式1】．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式2】．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 题型二：三角函数在生活中的应用 【例2】．（24-25高一下·江西·期中）如图，某摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点处进舱，转动后距离地面的高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·四川成都·月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·安徽·月考）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 题型三：几何下的三角函数模型 【例3】．（24-25高一下·四川成都·月考）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【变式1】．（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【变式2】．（22-23高一下·河南漯河·月考）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 题型四：三角函数的应用 【例4】．（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【变式1】．（24-25高一下·陕西渭南·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 【变式2】．（22-23高一下·四川成都·期中）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【变式3】．（24-25高一下·陕西·期中）如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·宁夏·月考）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为，当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·吉林白城·月考）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 4．（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 5．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 二、多选题 9．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 10．（24-25高一下·山东临沂·期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 11．（24-25高一下·辽宁大连·月考）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）表示在时间t（单位：s）时．过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面．最低点Q距离地平面．入口处M距离地平面．当时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点Q．设，下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面是 D．一个周期内过山车距离地平面高于的时间是 12．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒 三、填空题 13．（2025高一·全国·专题练习）如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为 ． 14．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为 ． 15．（24-25高一下·云南昭通·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为 . 16．（24-25高一下·广东广州·期中）某摩天轮最高点距离地面高度米，转盘直径为米，设置有个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在后距离地面的高度，则的函数解析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有 距离地面超过米.    四、解答题 17．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 18．（2025高一上·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 19．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．    (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 20．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为，其纵坐标满足. (1)求函数的解析式. (2)当时，求点P到x轴的距离的最大值. (3)当时，求的大小. 21．（24-25高一下·天津·期中）“天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 (1)的解析式； (2)甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4三角函数的应用 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：三角函数的应用 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 考点二：　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 【题型归纳】 题型一：三角函数在物理中的应用 【例1】．（24-25高一下·江西上饶·月考）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期故选：A. 【变式1】．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】因为小球1s内运动4次，即小球运动的频率为4，所以，则. 故选：D. 【变式2】．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得.由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 题型二：三角函数在生活中的应用 【例2】．（24-25高一下·江西·期中）如图，某摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点处进舱，转动后距离地面的高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由题意可得，解得， 函数的最小正周期为，则， 因为游客从最低点处进舱，可取， 所以， 故选：A. 【变式1】．（24-25高一下·四川成都·月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A 【变式2】．（24-25高一下·安徽·月考）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 题型三：几何下的三角函数模型 【例3】．（24-25高一下·四川成都·月考）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【详解】    如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 【变式1】．（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】(1)； (2)详见解析；元. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，，则 ，则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 【变式2】．（22-23高一下·河南漯河·月考）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 【答案】(1) (2) （2）由（1）分析可表示出t秒钟后，点P的横坐标，然后可得答案. 【详解】（1）因运动速度为2秒一周，则每秒钟运动角度为. 初始位置为，与x轴正方向夹角为，则一秒后对应角度为. 则此时P的坐标为：，则横坐标为. （2）由（1）分析可得：t秒钟后，点P的横坐标为. 则t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式为：. 题型四：三角函数的应用 【例4】．（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】(1) (2)，4秒 【详解】（1）由，得， ， ，又由，则， 故. （2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，， 即可得 故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 【变式1】．（24-25高一下·陕西渭南·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 【答案】(1)； (2)6. 【详解】（1）由题意，，则， 由题意，即，又，则. . （2）由（1）知， 当时，， ，故， 点到轴的距离的最大值为6. 【变式2】．（22-23高一下·四川成都·期中）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】，矩形的面积最大，为． 【详解】在中，，， 在中，， 所以， 所以， 设矩形的面积为，则 ， 由，得， 所以当，即时，， 因此，当时，矩形的面积，最大面积为. 【变式3】．（24-25高一下·陕西·期中）如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意知，，解得. 又，，即. 又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即， ，即，∴. 又，, ，. （2）由（1）知，. 从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌， ∴令，得，即， 解得，即， 又， 游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·宁夏·月考）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为，当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设函数的初相为，初始位置可知，，，则，排除BC， 函数的最小正周期为60秒，且秒针为顺时针，所以，，所以， 且振幅为1，所以满足条件的解析式为. 故选：D 2．（25-26高二上·吉林白城·月考）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得该函数的周期，，又当时，， 设，令，得由，得，在一个周期内可得，， 又需满足，故， . 故选：D 3．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 4．（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】根据条件，求得或，再根据条件得或，利用的性质，即可求解. 【详解】因为中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即， 又，由，得到， 因为最低点到地面距离为，所以，得到， 又，则， 若，则， 由，得到， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 若，则， 由，得到，即， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 故选：B. 5．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且，又因为，则，， 函数的最小正周期为，所以，所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 7．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：，由题意得：，又，即，故，， 所以所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以，即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则，由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误；故选：B. 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 【答案】D 【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断A；依题意，分别求出得解析式，判断B，C；根据提议，令，求出的取值范围，判断D. 【详解】对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误； 对于B，设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，故B，C错误 ； 对于D，， 当距地面高度超过38m时，即，即， 即，解得， 又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确， 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 【答案】ABD 【详解】，由，得， 令，则， 所以，或，， 解得，或，，结合，取时，；时，或.所以或或. 故选：ABD 10．（24-25高一下·山东临沂·期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 【答案】ACD 【详解】在函数中，，则周期，所以A选项正确. 在函数中，初相，所以B选项错误. 对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离.在函数中，，则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确. 振子到达平衡位置时，，即，则（）. 解这个方程可得： ， 因为，当时，，所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·辽宁大连·月考）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）表示在时间t（单位：s）时．过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面．最低点Q距离地平面．入口处M距离地平面．当时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点Q．设，下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面是 D．一个周期内过山车距离地平面高于的时间是 【答案】AC 【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD. 【详解】由题意可知，周期满足，得，故A正确； 所以，得， 又，解得，， 所以， 又，即， 得，因为，所以，故B错误； 所以. 则，故C正确； 对于D，由，得，即， 则，，解得，， 所以一个周期内过山车距离底面高于20m的时间是，故D错误. 故选：AC. 12．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒 【答案】ABD 【详解】由题意得，的最大值为，最小值为， ∴，解得，选项A正确. 设函数的最小正周期为，由筒车按逆时针方向每分钟转圈可得，故， ∴， ∵时，，∴， ∵，∴，选项B正确. 由B得，， 令，得，故， ∴，故， 令得，，故盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，选项C错误. 由，得，得， ∴， 解得， ∴盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．（2025高一·全国·专题练习）如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为 ． 【答案】（） 【分析】由题可设，再求相关参数即可. 【详解】设， 则，，所以，即． 又函数过点，所以，得，． 故（）． 故答案为：  ． 14．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】求出时刻点M所在射线为终边的角，再利用正弦函数的定义求解. 【详解】依题意，以射线为终边的角， 时刻点M所在射线为终边的角为， 由三角函数定义得. 故答案为：. 15．（24-25高一下·云南昭通·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为 . 【答案】． 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为50m，得， 由最低点距离地面高度为10m，得，解得． 由转一周大约需要30min，得，解得． 又当时，，即，而，解得， 因此． 故答案为：. 16．（24-25高一下·广东广州·期中）某摩天轮最高点距离地面高度米，转盘直径为米，设置有个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在后距离地面的高度，则的函数解析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有 距离地面超过米.    【答案】 或 【详解】摩天轮转一周需要分钟，所以周期，又，则，解得， 摩天轮最高点距离地面高度米，则，又转盘直径为120米， 所以摩天轮最低点距离地面高度为米，所以， 由，解得， 所以的函数解析式为， 因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，所以时，， 则，所以，又，所以， 则. 在摩天轮转动的一周内，距离地面超过米的时间，即，所以， 则，所以， 所以在摩天轮转动的一周内，有分钟距离地面超过米， 故答案为：或；. 四、解答题 17．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) (2)5s 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，易知OP在xs内所转过的角为，   故点P的纵坐标为，则，当时，，可得，所以， 则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而，故点P在水中的时间是s． 18．（2025高一上·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）依题意知， 故． 所以． 又因为时，，所以， 所以，所以． （2）时， ． （3）令， 有， 因此． 所以． 所以． 令，得；令，得． 故这一天共有水深低于． 19．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．    (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 【答案】(1)①，；②或. (2). 【详解】（1）①由题意得， ②由题意，， 即，化简得， 则或， 解得或 又由于，所以或. （2）由（1）得，， 由题意得，当时，恒成立， 即，化简得， 故，解得， 所以，即，解得 由于，则，因此. 20．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为，其纵坐标满足. (1)求函数的解析式. (2)当时，求点P到x轴的距离的最大值. (3)当时，求的大小. 【答案】(1) (2)6 (3) 【详解】（1）由题意，，，， 点,代入可得，，．所以； （2），当时，,， ，所以点到轴的距离的最大值为6； （3）当时，，的纵坐标为6，点, 则. 21．（24-25高一下·天津·期中）“天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 (1)的解析式； (2)甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，设函数解析式为， 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以，由题意可得，，所以，解得，当时，，即，可取，所以， （2）由（1）知，当时，， （3）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，经过后，乙距离地面的高度， 点相对于始终落后，甲距离地面的高度为， 令，， 即，， 由，可得：， 经验证符合， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $