7.3.3：函数y＝Asin(ωx＋φ)【七大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版必修第一册）

本高中数学讲义聚焦函数y=Asin(ωx＋φ)的图像变换，系统梳理A、ω、φ对图像的相位、周期、振幅影响规律，构建从基础正弦函数到复杂三角函数图像转化的学习支架，衔接图像变换与解析式求解的核心脉络。 资料以题型归纳为主线，涵盖相位变换、伸缩变换等七类题型及高分达标训练，通过例题与变式题的递进设计，培养学生用数学眼光观察图像特征、用数学思维推理变换逻辑的能力，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升三角函数综合应用素养。

7.3.3：函数y＝Asin(ωx＋φ) 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01；A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 知识点02：y＝Asin(ωx＋φ)平移变换 【题型归纳】 题型一：正（余）型函数图像的相位变换 【例1】．（24-25高一下·山西吕梁·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换可得结论. 【详解】因为， 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度. 故选：D. 【变式1】．（24-25高三上·陕西西安·期末）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合诱导公式，利用平移规律求平移后的函数解析式. 【详解】由题意得 故选：C 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质即可求解. 【详解】的图象向左平移个单位长度，得到函数， 故， 故选：A 题型二：正（余）型函数图像的伸缩变换 【例2】．（22-23高一上·浙江湖州·期末）为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解. 【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像. 故选：B 【变式1】．（22-23高一上·云南昆明·期末）为得到函数的图象，只需将函数的图象（　　） ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度． A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【分析】利用三角函数图象的平移变换、周期变换进行判断. 【详解】因为， 对于①，函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，故①正确； 对于②，函数的图象向右平移个单位长度，得到， 再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到，故②错误； 对于③，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到， 再向右平移个单位长度，得到，故③错误； 对于④，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到， 再向左平移个单位长度，得到，故④正确．故B，C，D错误. 故选：A. 【变式2】．（22-23高一上·江苏常州·期末）将函数的图像向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图像则的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得函数的图像上各点的横坐标变为原来的倍，再将图像向左平移个单位得到函数的图像， 的图像上各点的横坐标变为原来的倍， 得到函数的图像，再向左平移个单位得到函数的图像， 所以. 故选：C 题型三：正（余）弦型函数图像的变换过程描述 【例3】．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 【答案】C 【分析】根据三角函数平移伸缩转换即可判断. 【详解】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到. 故选：C 【变式1】．（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【分析】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【详解】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. 【变式2】．（24-25高一上·北京·期末）函数的图象上所有点经过合适的变换，得到函数的图象，则这个变换可以为（    ） A．横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将所得的图象向左平移 B．横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将所得的图象向左平移 C．横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移 D．横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将所得的图象向右平移 【答案】B 【分析】利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可. 【详解】为了得到函数的图象， 先把函数图像的纵坐标不变， 横坐标缩短到原来的倍到函数的图象， 再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到的图象. 故选：B． 题型四：求图像变化前后的解析式 【例4】．（25-26高三上·山西大同·月考）将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 【答案】/ 【分析】根据三角函数的图象的周期变换和平移变换可得，进而可得函数值. 【详解】因函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）， 再向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以，得. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高三上·北京·月考）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为 . 【答案】 【分析】根据函数图象的平移过程写出解析式即可. 【详解】由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到， 再向左平移个单位长度，得到. 故答案为： 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则的解析式为 ，若在区间上单调递增，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象的伸缩变换以及平移变换得函数解析式为，由函数在区间上单调递增，列不等式即可求解. 【详解】把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象，再把的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，即．由于在上单调递增， 所以时，， 因此， 即且，则且， 可得，由于，故当时，取到最小值． 故答案为：，. 题型五：求图像解析式及其性质问题 【例5】．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【答案】B 【详解】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：B. 【点睛】思路点睛：求解曲线与直线的所有交点中相邻交点距离的最小值时树形结合根据图象性质即可求解. 【变式1】．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】D 【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D. 【详解】对于选项A，由题意，可得， 故A错误； 对于选项B，令，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故， 在上的最小值为0，故C错误； 对于选项D，函数的对称轴方程为， 化简可得，取，可得， 所以是图象的一条对称轴，故D正确. 故选：D. 【变式2】．（23-24高三下·青海西宁·月考）若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数的单调递增区间为， D．函数是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项，从而得出结论. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得， 时，，为的最大值，所以选项A正确； 时，，所以选项B正确； 令，则 ，所以选项C错误； 为奇函数，所以选项D正确. 故选：C. 题型六：函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω的求值问题 【例6】．（25-26高三上·山东·月考）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出后，利用三角函数对称性计算即可得. 【详解】， 由为偶函数，则，解得， 当时，，故的值可以是. 故选：D. 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由函数伸缩变换得，进一步由得即可求解. 【详解】因为将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象， 所以. 因为，所以， 即，所以正数的最小值为6. 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移可得，即可由对称性求解． 【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以． 因为与的图象关于原点对称，函数的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为 所以， 即， 所以， 所以， 又，所以． 故选：A 题型七：y＝Asin(ωx＋φ)型三角函数综合问题 【例7】．（24-25高二上·贵州遵义·月考）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合余弦函数进行求解； （2）先由平移变换求出函数的解析式，结合余弦型函数的单调性和最值性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. （2）函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 【变式1】．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数且. (1)求的最小正周期T和的值； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 (3)单调递增区间为 【分析】（1）由求出，根据正弦函数的性质求出最小正周期； （2）根据正弦函数的性质求出最值； （3）先由三角函数图象的变换求出函数，再根据正弦函数的性质求出单调递增区间. 【详解】（1）由，得，， 所以，，又，所以， 所以，则的最小正周期为. （2）当时，， 所以当，即时，取得最大值1， 当,即时，取得最小值为， 即在区间上的最大值为1，最小值为. （3）若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数， 再将所得的图象向右平移个单位长度，得到， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【变式2】．（2025·山东聊城·模拟预测）已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且为偶函数. (1)求及的值； (2)求图象的对称中心的坐标； (3)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦函数相邻对称轴间距离确定周期后可得，再由图象平移的性质和偶函数的性质求出； （2）由余弦函数的对称中心可得； （3）利用正弦函数的单调性可得. 【详解】（1）根据题意可得的最小正周期，所以 则. 因为为偶函数，所以，解得. 因为，所以. （2）由（1）知， 令， 解得， 所以图象的对称中心的坐标为. （3）由，得， 则， 解得. 因为，所以或， 即不等式的解集为. 【高分达标】 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【分析】根据图像求出正弦型函数，再结合平移的内容判断. 【详解】由题图象知， 所以．所以， 又图象过点，由五点法知，所以， 所以． 故将函数的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不度），可得函数的图象． 故答案为：A. 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据图象变换可得，结合函数奇偶性可得，运算求解即可. 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 故选：B. 3．（2025·四川达州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的解析式，对四个选项逐一判断或用整体法求得对称轴的方程. 【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. (法一)当时，，A不正确； 当时，，B不正确； 当时，，C不正确； 当时，，D正确. 故选：D. （法二）令，解得，即函数图象的对称轴方程为. 当时，；当时，；当时，， 所以的图象在上只有两条对称轴，分别为和， 故选：D. （法三）前同法二，对于A，令，解得，排除A； 对于B，令，解得，排除B； 对于C，令，解得，排除C； 对于D，令，解得，符合题意. 故选：D. 4．（25-26高一上·北京·开学考试）要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 5．（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性求解判断. 【详解】依题意，， 对于A，，则不是函数图象的对称中心，A不是； 对于B，，则不是函数图象的对称中心，B不是； 对于C，，则不是函数图象的对称中心，C不是； 对于D，，则是函数图象的对称中心，D是. 故选：D 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于直线对称，则的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由对称性列方程求出取值，再结合取值范围得到函数解析式，接着令，解该不等式即可分析求解. 【详解】由题意得，解得， 因为，所以，，故， 令，解得， 当时，，经检验，其余选项无法满足. 故的一个单调递减区间为. 故选：A 7．（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移过程写出对应解析式. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，即的图象， 再把图象上各点的横坐标放大到原来的2倍，得的图象． 故选：B. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由平移变换知识得到函数的图象，再由的取值范围和的单调性即可得到函数在所给区间上的单调性，从而得到最值. 【详解】函数的图象先向左平移个单位长度后得到函数的图象， 再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 当时，，因为在上单调递增， 则在上单调递增， 故. 故选：D 9．（2025高一上·全国·专题练习）设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到，求解即可. 【详解】因为，所以. 的部分图象如图所示，    要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心， 则，解得，即. 故选：C. 10．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得即可. 【详解】函数的图象向右平移， 得到， 由于偶函数，所以，即， 由于，所以取，得. 故选：A 11．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出，代入求值，即可判断. 【详解】由图知，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 则，则，结合，则， 故，A错误； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则， 即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则， 则， 故，D正确， 故选：D 二、多选题 12．（2025·山东·三模）将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 【答案】ACD 【分析】通过图像变换得到的解析式，再分别分析其周期、对称轴、不等式解集及方程根的分布情况. 【详解】先求的解析式： 将横坐标缩短为原来的，得； 向左平移个单位，得. 选项A：的最小正周期，正确. 选项B：对称轴满足（），不满足，错误. 选项C：， 解得（），正确. 选项D：当时，， 令（）， 在递增、递减，，. 所以，当时，有两个不等实根，正确. 故选：ACD. 13．（25-26高一上·山东青岛·月考）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数为奇函数 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 【答案】AD 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用三角函数图象变换求出函数的解析式，结合正弦型函数的奇偶性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图象可知，， 函数的最小正周期满足， 所以，故，此时， 因为，可得， 因为，所以，则，解得，A对； 对于B选项，由A选项可知， 由三角函数图象变换可得， 所以函数为非奇非偶函数，B错； 对于C选项，对于函数， 由，可得， 所以函数的图象的对称轴为直线，C错； 对于D选项，对于函数， 由得， 所以函数的单调递增区间为，D对. 故选：AD. 14．（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 【答案】AB 【分析】根据选项中的平移单位和平移方向，进行验证即可. 【详解】，； 因为，所以将函数的图象右移个单位可得的图象，A正确； 因为，所以将函数的图象左移个单位可得的图象，B正确； 将函数的图象右移个单位, 得到的图象，C不正确； 将函数的图象左移个单位， 得到的图象，与目标函数的图象不符，D不正确； 故选：AB 15．（25-26高三上·河北·月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B．在区间上的最小值为 C．是图象的一个对称中心 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BCD 【分析】根据图象求得的解析式，结合三角函数周期、最值、奇偶性、对称性、图象变换等知识确定正确答案. 【详解】对于A，由题图可知，的最小正周期，所以，故A错误； 对于B，由题图可知，，且函数图象过点， 当时，，解得，所以. 当时，，由正弦函数的单调性知，函数在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为，故B正确； 对于C，因为，所以点是函数图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，因为，所以平移后得到的图象关于轴对称，故D正确. 故选：BCD. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（    ） A．最大值为3 B．最小值为 C．图象的一个对称中心为 D．图象的一条对称轴为 【答案】BD 【分析】利用平移变换求得的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 又再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以， 当时，，故A错误； 当时，，故B正确； 由，得，所以函数的对称中心为， 当时，的一个对称中心为，故C错误； 由，得，所以的对称轴为， 当时，函数的一条对称轴为，故D正确. 故选：BD. 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象在区间上有且仅有3个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．的值可能是3 B．在区间上单调递减 C．图象的对称轴可能是 D．若将函数的图象沿轴平移个单位长度，则不可能得到奇函数的图象 【答案】AB 【分析】由题意，结合角的范围可得，求出的范围可判断A；利用三角函数的性质可判断B和C；利用函数的图形变换结合三角函数的奇偶性的图像性质可判断D. 【详解】对于A，当时，， 因为函数的图象在区间上有且仅有3个对称中心， 所以，解得．的值可能是3，故A正确； 对于B，当时，， 由A知，，所以， 所以函数在区间上单调递减．故B正确； 对于C，因为，所以， 所以图象的对称轴不可能是．故C不正确； 对于D，若将函数的图象沿轴向左平移个单位长度， 则得到的图象对应的函数为， 若此函数为奇函数，则，即， 又，则，解得，所以不存在对应的满足题意； 若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度， 则得到的图象对应的函数为， 若此函数为奇函数，则，即， 又，即，解得， 故存在，，使得将函数的图象沿轴平移个单位长度，则可能得到奇函数的图象．故D不正确. 故选：AB. 18．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．函数在的最小值为 D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数是奇函数 【答案】AD 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；由可求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可判断C选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为， 故的图象不关于直线对称，B错； 对于C选项，当时，， 所以，C错； 对于D选项，函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 则，该函数为奇函数，D对. 故选：AD. 三、填空题 19．（25-26高一上·全国·课前预习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的平移规则可得函数解析式. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象． 故答案为： 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的部分图像如图所示，则 ． 【答案】4 【分析】由五点法求函数解析式再计算函数值. 【详解】由函数过点和，由五点作图法可知，解得. 又函数的图象过点，则，解得． 所以，则． 故答案为：4. 21．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值： ． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据图象变换可得，结合奇函数性质可得，即可得结果. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象， 又因为函数为奇函数，则，解得， 故可取的一个值为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 22．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴， 则，其中，所以，，， 因为函数在区间上单调，则，所以，. 所以，的可能取值有：、. 当时，，， 所以，，则， ，，所以，， 当时，，所以， 函数在上单调，符合题意； 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围，再进行检验即可. 四、解答题 23．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 【答案】(1)单调增区间为：，，单调递减区间为：，零点为，，； (2)答案见解析； (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据“五点法”画出函数图象，由图象可得单调区间，零点； （2）根据平移伸缩变换的概念直接求解即可； （3）由得，令，得，，结合三角函数性质求解即可. 【详解】（1）由得，即函数在内为一个完整周期的图象， 列表如下： 其函数图象如下： 由图象，函数在定义域上的单调增区间为，，单调递减区间为， 函数在定义域上的零点为，，； （2）将函数的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得， 再将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得， 再将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象； （3）因为，所以， 令，即，， 所以，当时，由最大值为，此时， 当时，由最小值为，此时， 综上：当时，；当时，. 24．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的图象为. (1)若将上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平移伸缩变换即可求解； （2）根据三角函数的平移变换，结合正弦型函数的对称性即可求解. 【详解】（1）将上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象； 再向右平移个单位长度，得到的图象，故. （2）由（1）得，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象. 因为的图象关于轴对称，所以，解得. 又，所以的最小值为. 25．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 【答案】(1)答案见解析(2)(3) 【详解】（1）方法一：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象向左平移个单位可得的图象， 再将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； 方法二：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 再将的图象向左平移个单位可得函数的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； （2）法一：因为，所以， 因为y＝sinx在上单调递减，在和上单调递增， 令，可得， 所以函数在上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） 法二： 由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，， 因为，所以，， 即函数f（x）在[0，π]上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） （3）因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以， 即，所以． 26．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（其中）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的最小正周期为，由图象可得，， 所以，所以， 又， 所以，即， 又，所以，所以． （2）由题意有：． 由任意的，都有成立， 即时，， 由可得，此时， 由可得，此时． 所以，解得， 即实数的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.3：函数y＝Asin(ωx＋φ) 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01；A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 知识点02：y＝Asin(ωx＋φ)平移变换 【题型归纳】 题型一：正（余）型函数图像的相位变换 【例1】．（24-25高一下·山西吕梁·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【变式1】．（24-25高三上·陕西西安·期末）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型二：正（余）型函数图像的伸缩变换 【例2】．（22-23高一上·浙江湖州·期末）为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【变式1】．（22-23高一上·云南昆明·期末）为得到函数的图象，只需将函数的图象（　　） ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度． A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【变式2】．（22-23高一上·江苏常州·期末）将函数的图像向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图像则的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 题型三：正（余）弦型函数图像的变换过程描述 【例3】．（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 【变式1】．（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【变式2】．（24-25高一上·北京·期末）函数的图象上所有点经过合适的变换，得到函数的图象，则这个变换可以为（    ） A．横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将所得的图象向左平移 B．横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将所得的图象向左平移 C．横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移 D．横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将所得的图象向右平移 题型四：求图像变化前后的解析式 【例4】．（25-26高三上·山西大同·月考）将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 【变式1】．（25-26高三上·北京·月考）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为 . 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则的解析式为 ，若在区间上单调递增，则的最小值为 ． 题型五：求图像解析式及其性质问题 【例5】．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【变式1】．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 【变式2】．（23-24高三下·青海西宁·月考）若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数的单调递增区间为， D．函数是奇函数 题型六：函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω的求值问题 【例6】．（25-26高三上·山东·月考）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型七：y＝Asin(ωx＋φ)型三角函数综合问题 【例7】．（24-25高二上·贵州遵义·月考）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 【变式1】．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数且. (1)求的最小正周期T和的值； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 【变式2】．（2025·山东聊城·模拟预测）已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且为偶函数. (1)求及的值； (2)求图象的对称中心的坐标； (3)当时，求不等式的解集. 【高分达标】 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·四川达州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京·开学考试）要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于直线对称，则的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025高一上·全国·专题练习）设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 二、多选题 12．（2025·山东·三模）将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 13．（25-26高一上·山东青岛·月考）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数为奇函数 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 14．（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 15．（25-26高三上·河北·月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B．在区间上的最小值为 C．是图象的一个对称中心 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 16．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（    ） A．最大值为3 B．最小值为 C．图象的一个对称中心为 D．图象的一条对称轴为 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象在区间上有且仅有3个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．的值可能是3 B．在区间上单调递减 C．图象的对称轴可能是 D．若将函数的图象沿轴平移个单位长度，则不可能得到奇函数的图象 18．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．函数在的最小值为 D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数是奇函数 三、填空题 19．（25-26高一上·全国·课前预习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则 ． 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的部分图像如图所示，则 ． 21．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值： ． 22．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为 ． 四、解答题 23．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 24．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的图象为. (1)若将上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，求的最小值. 25．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 26．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（其中）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $