重难点03 二次函数的几何最值（4大类12种题型）（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数几何最值这一核心考点，涵盖线段最值、线段和最值、周长与面积最值及综合应用四大类12种题型，构建“深挖重难-分层锤炼”的复习框架，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破单动点线段、三角形面积等难点，体现复习的系统性与针对性。 特色在于“题型归类+通法提炼”的创新设计，如用“铅锤法”解决三角形面积最值，培养学生几何直观与推理能力。精选近三年中考真题，设置“固根基、拓能力”分层练习，配合即时反馈机制，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生建模意识与应考能力。

第三章 函数 重难点03 二次函数的几何最值问题 （4大类12种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 25 固·重难考点 拓·创新能力 与二次函数几何最值相关的问题是初中数学高频考点，常以填空、解答题（尤其是综合题）形式出现，核心考查函数建模与几何分析能力，重难点如下： 一、二次函数几何最值的基础类型 核心要求：结合二次函数的图像性质（开口方向、顶点坐标），分析几何图形中线段、面积等的最值情况。 关联难点： 1）单动点下的线段最值（如 “抛物线上一点到某直线的最短距离”）； 2）简单图形的面积最值（如 “抛物线上两点与坐标轴围成三角形的最大面积”）。 二、二次函数与三角形的几何最值 核心要求：利用二次函数表达式表示三角形的边长、面积，结合三角形的性质（如三边关系）推导最值。 关联难点： 1）定顶点 + 动顶点的三角形面积最值（通过 “铅锤法” 转化为函数最值）； 2）三角形周长最值（结合对称点转化为线段和的最值）。 三、二次函数与四边形的几何最值 核心要求：将四边形的边长、面积表示为二次函数，结合四边形的形状特征（如平行四边形、矩形）分析最值。 关联难点： 1）特殊四边形的面积最值（如 “抛物线上四点围成平行四边形的最大面积”）； 2）四边形周长最值（结合函数顶点与对称性质简化计算）。 四、二次函数几何最值的综合应用 核心要求：结合实际背景（如 “图形用料最省”“场地面积最大”），建立二次函数模型求解几何最值，同时验证解的合理性。 关联难点： 1）多限制条件下的最值（如 “动点在特定线段上时的面积最大值”）； 2）函数定义域对最值的影响（实际问题中自变量的取值范围需结合几何图形边界）。 题型01 二次函数中的线段最值问题 类型一 铅垂线段（横坐标相同） 1．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 2．（2025·海南·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； 类型二 水平线段（纵坐标相同） 1．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； 2．（2025·安徽滁州·二模）抛物线过点，点，C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)点P在抛物线上，且位于直线下方，过点P作平行于x轴交直线于点Q，求的最大值； 3．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； 类型三 斜线段求法（化斜为直） 1．（2024年甘肃省临夏州中考数学试卷）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． 2．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．    (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； 3．（2023年青海省西宁市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 类型四 距离最值问题 1．（2025·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点点在点的左侧，其顶点为，点是抛物线上一点，且点在第四象限． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，若抛物线与轴的交点为，求点到直线距离的最大值； 2．（2025·江苏淮安·二模）已知二次函数的图像与轴交于点，顶点为点．直线的表达式为：． (1)填空：________；（用含的式子表示） (2)若该二次函数图像与轴的另一个交点为，与直线交于、两点．点为二次函数图像上任意一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． ①若点是线段的中点，求点的坐标； ②设、的纵坐标分别为、，若，则的取值范围是_________； (3)若平移该二次函数图像，使其顶点落在直线上．设抛物线与直线的另一个交点为，点在直线l上方的二次函数图像上，求点到直线距离的最大值． 3．（2021·广东·模拟预测）如图①，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，将直线绕点A逆时针旋转，所得直线与x 轴交于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)如图②，若点P是直线上方抛物线上的一个动点， ①当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线的距离为时，求的值． 4．（2025·云南楚雄·模拟预测）我国著名的数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．数与形反映了事物两个方面的属性．数形结合思想是中学数学中一种重要的数学思想，用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化，抽象问题具体化．请用所学的数学知识来解决下列问题． 在平面直角坐标系中，设二次函数 的图象为图象． (1)求证：图象与轴只有一个交点． (2)若点在图象上，且，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，当取最大的整数时，在线段上方的图象上是否存在一点，使点到线段的距离最大？若存在，请求出点的坐标及点到线段的最大距离；若不存在，请说明理由． 类型五 线段比最值问题 1．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在B点左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； 2．（2021·四川内江·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； 3．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； 4．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； 题型02 线段和最值问题 类型一 求线段和的最值 可通过设动点坐标表示线段，再利用二次函数求最值. 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； 2．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． 类型二 将军饮马问题 1．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 3．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 4．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； 类型三 胡不归问题 1．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 2．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究：如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．是第四象限内抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)当的周长最大时，求点的坐标； (4)的最小值是_____． 6．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 类型四 阿氏圆问题 1．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 2．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标； (3)点D是线段上一点，且的面积是12． ①求点D的坐标； ②将线段绕点O逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值． 类型五 线段差问题 1．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； 2．（23-24九年级下·甘肃天水·期中）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； 3．（2025·安徽合肥·三模）抛物线顶点为，抛物线与y轴交于点B，直线经过点 (1)求b，c，d的值； (2)已知点和，且点P在抛物线上． （i）判断点是否在抛物线上，说明理由； （ii）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线于点D、E，当时，求的最大值． 4．（2025·广东·一模）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． 题型03 二次函数周长最值问题 类型一 三角形周长最值问题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； 2．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； ．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·江苏苏州·二模）如图①，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点，点是抛物线的顶点，对称轴与轴相交于点． (1)点的坐标是__________； (2)点是对称轴上的一动点，当的最小值为时，求的周长； 4．（2025·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为1． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接．设点的横坐标为． 当点在轴上方，为何值时，是等腰三角形； 当点在轴下方，为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 类型二 四边形周长最值问题 1．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； 2．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 3．（2025·安徽滁州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 题型04 二次函数面积最值问题 解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 3．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______． 4．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； 5．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 题型05 二次函数几何最值的综合应用 1．（2024·湖北·模拟预测）问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？ 2．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 3．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 4．（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？      1．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·山东聊城·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 1．（2025·湖南株洲·模拟预测）已知：二次函数与轴相交于、两点，与轴交于点，点是该二次函数图象上位于第一象限的动点． (1)求二次函数的表达式和直线的表达式； (2)连接，，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，，是轴上点右侧不与重合两个动点，在的左边，，连接交直线于点，连接交直线于点，求的最小值． 2．（2025·广东深圳·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点． (1)求抛物线的解析式； (2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积． ①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积； ②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______． 3．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是二次函数图象上的两点． (1)求，的值； (2)若点在直线下方的抛物线上，点在直线上方的抛物线上，问： ①求面积的最大值； ②当垂直平分线段时，求点的坐标； (3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，，求中边上的高的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点03 二次函数的几何最值问题 （4大类12种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 100 固·重难考点 拓·创新能力 与二次函数几何最值相关的问题是初中数学高频考点，常以填空、解答题（尤其是综合题）形式出现，核心考查函数建模与几何分析能力，重难点如下： 一、二次函数几何最值的基础类型 核心要求：结合二次函数的图像性质（开口方向、顶点坐标），分析几何图形中线段、面积等的最值情况。 关联难点： 1）单动点下的线段最值（如 “抛物线上一点到某直线的最短距离”）； 2）简单图形的面积最值（如 “抛物线上两点与坐标轴围成三角形的最大面积”）。 二、二次函数与三角形的几何最值 核心要求：利用二次函数表达式表示三角形的边长、面积，结合三角形的性质（如三边关系）推导最值。 关联难点： 1）定顶点 + 动顶点的三角形面积最值（通过 “铅锤法” 转化为函数最值）； 2）三角形周长最值（结合对称点转化为线段和的最值）。 三、二次函数与四边形的几何最值 核心要求：将四边形的边长、面积表示为二次函数，结合四边形的形状特征（如平行四边形、矩形）分析最值。 关联难点： 1）特殊四边形的面积最值（如 “抛物线上四点围成平行四边形的最大面积”）； 2）四边形周长最值（结合函数顶点与对称性质简化计算）。 四、二次函数几何最值的综合应用 核心要求：结合实际背景（如 “图形用料最省”“场地面积最大”），建立二次函数模型求解几何最值，同时验证解的合理性。 关联难点： 1）多限制条件下的最值（如 “动点在特定线段上时的面积最大值”）； 2）函数定义域对最值的影响（实际问题中自变量的取值范围需结合几何图形边界）。 题型01 二次函数中的线段最值问题 类型一 铅垂线段（横坐标相同） 1．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 2．（2025·海南·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)①，； 【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）①设，则，其中，确定，即可求解； 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 该抛物线的表达式为； （2）①当时，， ∴， 设直线的解析式是：， 则，解得：， ∴直线的解析式是：， 如图1，设，则，其中， 则， 当时，线段有最大值，为，， 此时点的坐标为． 类型二 水平线段（纵坐标相同） 1．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)（ⅰ）；【分析】（1）先求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，将点代入，求出，即可得出答案； （2）（ⅰ）过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，则点的横坐标也为，得出，，求出， 根据二次函数的最值，得出当时，取得最大值，求出结果即可； 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为，                                ， ， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：（ⅰ）如图，过点作轴于点，交直线于点． 设直线与轴交于点，则点的坐标为． ， ． ，， ， ， 设点的横坐标为，则点的横坐标也为， ，， ，         当时，取得最大值， ， 点的纵坐标也为． 令， 解得， 点的坐标为．                        2．（2025·安徽滁州·二模）抛物线过点，点，C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)点P在抛物线上，且位于直线下方，过点P作平行于x轴交直线于点Q，求的最大值； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解出解析式，进而出顶点坐标； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，求出，再求出，即可求解； 【详解】（1）解：根据题意：，解得：， ∴抛物线的表达式为； ∵， ∴抛物线的顶点C的坐标为； （2）解：如图， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， 则，解得， ∴， ∴， ∴，且， ∴当时，有最大值为； 3．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； 【答案】(1) (2)当时，的长的最大值为4 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； 【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，， 抛物线经过A、B两点． ， 解得， ； （2）设， 作x轴，与直线交于点C， ，解得， ， 当时，的长的最大值为4； 类型三 斜线段求法（化斜为直） 1．（2024年甘肃省临夏州中考数学试卷）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式直接求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴； （2）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； 2．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．    (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)取得最大值为， 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：将点，．代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为：， （2）∵与轴交于点，， 当时， 解得：， ∴, ∵． 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点，    设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，， ∴； 3．（2023年青海省西宁市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵  ，   ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 类型四 距离最值问题 1．（2025·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点点在点的左侧，其顶点为，点是抛物线上一点，且点在第四象限． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，若抛物线与轴的交点为，求点到直线距离的最大值； 【答案】(1)1 (2)点到直线距离的最大值为 【分析】（1）对，令，可得或，从而得，，由对称性可求出对称轴； （2）当时，二次函数表达式为，画出图象如图所示，作于点，即求的最大值．作轴交于点，由待定系数法可知直线的表达式为，，设，则，故的长度关系式为，从而知的最大值为，由等腰直角三角形的性质可知的最大值为； 【详解】（1）解：， 令， 得或， 即，， 对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：当时，二次函数表达式为，画出图象如图所示， 令，则， ， 作于点，作轴交于点， ，， 由待定系数法可知直线的表达式为，， 设，则， 故， 则，因为的最大值为， 的最大值为． 即点到直线距离的最大值为． 2．（2025·江苏淮安·二模）已知二次函数的图像与轴交于点，顶点为点．直线的表达式为：． (1)填空：________；（用含的式子表示） (2)若该二次函数图像与轴的另一个交点为，与直线交于、两点．点为二次函数图像上任意一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． ①若点是线段的中点，求点的坐标； ②设、的纵坐标分别为、，若，则的取值范围是_________； (3)若平移该二次函数图像，使其顶点落在直线上．设抛物线与直线的另一个交点为，点在直线l上方的二次函数图像上，求点到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2)①或；②或 (3) 【分析】（1）代入点到，即可求解； （2）①代入，利用待定系数法求出二次函数的解析式是，设点的坐标是，由点是线段的中点，表示出点的坐标，再代入点到直线的表达式，求出的值即可解答；②根据二次函数的性质可得当时，；当或时，，由可知或，分别求出对应的取值范围即可； （3）设点 ，得到平移后的二次函数解析式为，联立二次函数与直线的表达式，求出点，利用勾股定理得到，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，表示出，利用二次函数的性质求出的最大值，设点到直线距离为，利用等面积法表示出，结合的最大值即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于点， ， 整理得：． 故答案为：． （2）解：①由（1）知二次函数的解析式是， 二次函数图像与轴的另一个交点为， ， 解得：， 二次函数的解析式是， 设点的坐标是， 则点的坐标是， 点是线段的中点， 点的坐标是， 又点在直线上， ， 整理得：， 解得：，， 点的坐标是或； ②， 二次函数的图像开口向下， 二次函数的图像与轴的交点为和， 当时，；当或时，， ， 或， 当时，即， 不等式组无解，舍去； 当，即或， 解得：或； 综上所述，的取值范围是或． 故答案是：或． （3）解：顶点落在直线上， 设点 ， 平移后的二次函数解析式为， 联立， 解得：或， ， ； 过点作轴交直线于点， 设点的坐标为，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 设点到直线距离为， 则， 当取最大值时，有最大值，此时， 点到直线距离的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式、二次函数的平移、勾股定理、线段最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，同时涉及复杂的运算，适合有能力解决函数压轴题的学生． 3．（2021·广东·模拟预测）如图①，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，将直线绕点A逆时针旋转，所得直线与x 轴交于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)如图②，若点P是直线上方抛物线上的一个动点， ①当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线的距离为时，求的值． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为，最大距离为；②或． 【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点，从而得出，再结合旋转的性质，可得是等腰直角三角形，从而得出，再利用待定系数法求解即可； （2）①如图，过点作于点，轴交直线于点，则点P到直线的距离为，设，则，证明出是等腰直角三角形，从而得出，再利用二次函数的性质求最值即可； ②由①可知，，当点P到直线的距离为时，解得，，则点的坐标为或，分别求出的长度，再求正弦值即可． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B、C， 当时，； 当时，，解得，， ，，， ， ， 由旋转的性质可知，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， 则，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：①如图，过点作于点，轴交直线于点，则点P到直线的距离为， 点P是直线上方抛物线上的一个动点， 设， ， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，有最大值为，此时， 当点P到直线的距离最大时，点P的坐标为，最大距离为； ②当点P到直线的距离为时，如图， 由①可知，， ， 整理得， 解得：，， 点的坐标为或， 当点的坐标为时，， ； 当点的坐标为时，， ， 综上可知，当点P到直线的距离为时，求的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形的性质等知识，利用数形结合的思想解题是关键． 4．（2025·云南楚雄·模拟预测）我国著名的数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．数与形反映了事物两个方面的属性．数形结合思想是中学数学中一种重要的数学思想，用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化，抽象问题具体化．请用所学的数学知识来解决下列问题． 在平面直角坐标系中，设二次函数 的图象为图象． (1)求证：图象与轴只有一个交点． (2)若点在图象上，且，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，当取最大的整数时，在线段上方的图象上是否存在一点，使点到线段的距离最大？若存在，请求出点的坐标及点到线段的最大距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点的坐标为，点到线段的距离 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可证明； （2）将点，点代入 中，求出 ，根据，建立不等式求解即可； （3）由（2）可知，则当取最大的整数时，，求出点的坐标为．点的坐标为，直线的解析式为．过点分别作于点轴，与线段交于点，连接．设点P的坐标为，则点的坐标为，利用而阐述的性质求出点的坐标为．进而求出即线段的长度为定值面积的最大值为8，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 图象与轴只有一个交点； （2）解：将点代入 中， 得 ， 将点代入 中， 得 ． ， ， 解得， 的取值范围为； （3）解：存在． 由（2）可知，则当取最大的整数时，， 此时． 将点代入中， 得， 点的坐标为． 将点代入中， 得， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 如答图，过点分别作于点轴，与线段交于点，连接． 设点P的坐标为，则点的坐标为， 铅垂高 ． 点与点的水平宽为， 水平宽铅垂高 ； ， 当时，， 此时， 点的坐标为． ， 即线段的长度为定值面积的最大值为8， 点到线段的距离 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与不等式，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 类型五 线段比最值问题 1．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在B点左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)的最大值为，点P的坐标为 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． （1）根据抛物线，经过点，，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）过点P作交直线于点Q．设点，则点．根据平行线证明，列出比例式解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点，， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． （2）解：过点P作交直线于点Q． 设点，则点． ∵直线与轴交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ． ∵，且， ∴时，的值最大，最大值为． 把代入，得． ∴点P的坐标为． 2．（2021·四川内江·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，难度大，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点D作交于H，证明，则，再转化为二次函数求最值； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， 得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1中，过点D作交于H， 设， 设直线 ∵，， ∴， 解得， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴的最大值为1． 3．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； 4．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； 【答案】(1)； (2)最大值为，C的坐标为； 【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）根据题意证明，再设的解析式为，求出的解析式，再设，则，再表示出利用最值即可得到本题答案； 【详解】（1）解：，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M． ∴轴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． ∴的最大值为，此时点C的坐标为． 题型02 线段和最值问题 类型一 求线段和的最值 可通过设动点坐标表示线段，再利用二次函数求最值. 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，设，则，，得到，利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点 解得 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴点的坐标为； 答：的最大值为，点的坐标为； 2．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，，即可求得最大值； 【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为 对称轴为 与x轴另一交点为                                ∴设抛物线为 ∴抛物线的表达式为 （2）在抛物线上 ∴设 在第一象限                              ∴当时，有最大值为 类型二 将军饮马问题 1．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答； （3）先证明可得，设，则,可得，即，求得可得m的值，进而求得点P的坐标； （4）如图：将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形，可得,即，作关于对称轴的点,则，由两点间的距离公式可得，再根据三角形的三边关系可得即可解答． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴当时，，即；当时，，即； ∵， ∴设抛物线的解析式为， 把代入可得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵，， ∴, ∴， 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 综上，点D的坐标为． （3）解：如图：∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵设，则, ∴， ∴，解得：， 当时，， ∴． （4）解： ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图：将线段向右平移单位得到, ∴四边形是平行四边形， ∴,即, 作关于对称轴的点,则 ∴, ∵， ∴的最小值为． 故答案为． 3．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）根据顶点为．设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点C为的中点，得到，当时，，得到．结合，垂足为H，得到的长． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，设，结合点F落在抛物线上，得到，解得即可； ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为． 设抛物线， 把代入解析式，得， 解得， ∴． （2）∵顶点为．点C为的中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． （3）①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)； 故． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，， 则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 4．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； 【答案】(1)； (2)的最小值为； 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 类型三 胡不归问题 1．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解； （3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 即，则， 故抛物线的表达式为：①； （2）解：在中，， ， 则， 故设直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； （3）解：作，   设， ， 且相似比为， 则， 故当、、共线时，为最小， 在中，设边上的高为， 则， 即， 解得：， 则， 则， 过点作轴于点， 则， 即点的纵坐标为：， 同理可得，点的横坐标为：， 即点， 由点、的坐标得，， 即的最小值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数与面积综合、二次函数求最值等问题，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，令，代入表达式求出即可得到，再根据点与点关于抛物线的对称轴对称，即可求出，从而得到答案； （2）作轴交于，如图所示，设，数形结合，在平面直角坐标系中表示出的面积，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）作直线交于，使得，作于交于，如图所示，数形结合得，利用等面积法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1， 令，则，则， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ； （2）解：作轴交于，如图所示： 设， 直线的解析式为， ， ， ， 抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时； （3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示： 由（2）知点，， ， ， ，此时的值最小， ， ， 的最小值为． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； （3）存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究：如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．是第四象限内抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)当的周长最大时，求点的坐标； (4)的最小值是_____． 【答案】(1) (2)，， (3)点的坐标为 (4) 【分析】（1）利用待定系数法将点和代入即可求得抛物线的解析式； （2）由抛物线的解析式求得点C，分两种情况：当以为边时，平行四边形，设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可；同理可得四边形为平行四边形时，求得点；当以为对角线时，求得点即可； （3）利用待定系数法求直线直线的解析式为，根据点坐标求得为等腰直角三角形，则，可求得的周长为，那么，当最大时的周长最大，设点，则点，有，当时的周长最大，求得点的坐标即可； （4）连接CD，过点B作，且过点D作，在中，，则，当点G、点D和点C共线时取得最小值，有，求得，和，结合计算即可． 【详解】（1）解：将点和代入得 ，解得， 则抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的解析式为， 令，得， 则点， 当以为边时，如图，存在点和， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， 则点； 同理可得四边形为平行四边形时，点； 当以为对角线时，如图，存在点， 同理可得四边形为平行四边形时，点； 故点，，； （3）解：设直线直线的解析式为， 将点和代入得 ，解得， 则直线直线的解析式为， ∵， ∴， ∵轴，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则的周长为， 那么，当最大时的周长最大， 设点，则点， ∴， ∴当时， 的周长最大， 则点的坐标为； （4）解：连接，过点B作，且过点D作，如图， 在中，， 则， 当点G、点D和点C共线时取得最小值，此时， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、中点坐标公式、等腰直角三角形的判定和性质、二次函数的最值和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键熟悉二次函数的性质刚和直角三角形的性质，掌握分类讨论方能求的全部的解． 6．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可； （2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A在负半轴， ∴点A的左边为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接， 则， 又∵，， ∴， ∴, 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴点C，N，B共线， ∴当时，最小为， 这时， ∴， ∴， 解得，（负值舍去） 即的最小值为． 类型四 阿氏圆问题 1．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)①； 或 (3)最小值为 【分析】（1）由，，求得点坐标为，代入，解方程组即可求解； （2）①连接，作交于点，作轴于点，证明，得，，进而可得，设直线为，代入，求得，联立得，解之得答案；②过点作直线，由，得出点是直线与抛物线的交点，设直线的解析式为，将，代入得直线的解析式为，进而得直线的解析式为，联立方程，解之得解； （3）取，连接，，由，，，，可证明，得，即，由，，即可求得的最小值． 【详解】（1）解： ，， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得，； （2）解：①如图，，连接，作交于点，作轴于点， ，，， ， ， ， ， ，， ，， 时，， ，，     ，，， ， 设直线为， 代入，得，， 解得， ， 联立，， 得， 解得或（舍去）， ； ②过点作直线， ， 点是直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立方程， 解得，或， 或； （3）解：如图，取，连接，， 则，，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． 【点睛】本题主要涉及二次函数的性质，直线方程的求解，相似三角形的性质、判定以及最值问题的求解．通过代入已知点求解参数，利用几何关系求解点的坐标以及通过相似三角形的性质求解最值是正确解答此题的关键． 2．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标； (3)点D是线段上一点，且的面积是12． ①求点D的坐标； ②将线段绕点O逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)①；②的最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）分两种情况：点在上方和点在下方分别进行解答即可； （3）①根据求出即可得到答案；②在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得．证明，得到．得到，此时最小（两点间线段最短，共线时），即可求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ，解得． 抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴， ①当点在上方时，如图2， ， ∵点的纵坐标相等， 点的纵坐标为4，令，则， 解得：（舍）或， ； ②当点在下方时，如图3， 设交轴于点， ， ． 设， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． ． ， 解得：（舍），， ． 综上：点的坐标为或． （3）解：①， ， ， ， ②如图，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得． ， ， ， 又， ， ． ． ， 此时最小（两点间线段最短，共线时）， 的最小值． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理等知识，分情况讨论是关键． 类型五 线段差问题 1．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在最大值；最大值为 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． 2．（23-24九年级下·甘肃天水·期中）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． 3．（2025·安徽合肥·三模）抛物线顶点为，抛物线与y轴交于点B，直线经过点 (1)求b，c，d的值； (2)已知点和，且点P在抛物线上． （i）判断点是否在抛物线上，说明理由； （ii）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线于点D、E，当时，求的最大值． 【答案】(1)，， (2)（i）在；见解析；（ii） 【分析】（1）由二次函数的顶点得，，求出、，再用待定系数法求出直线的解析式，即可求解． （2）（i）将的坐标代入，求出、的关系，将代入，即可求解； （ii），，设直线与抛物线的另一个交点为，联立二者解析式可求，当时，解得，此时与重合，分类讨论：①当时， ②当时，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ，， 解得：，， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式， 当时，， ， 抛物线与y轴交于点B， ， 故：，，； （2）解：（i）在，理由如下： 由（1）得， ， 点P在抛物线上， ， 当时， ， ， 点在抛物线上； （ii）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线于点D、E， 当时， ， ，， 设直线与抛物线的另一个交点为， 联立， 解得：或， ， 当时，解得：， 此时与重合， ①当时，如图 ， ， ， ，， 当时， 的最大值为：； ②当时，如图 ， ， ， ， 此时的最大值小于； 综上所述：的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，待定系数法，掌握二次函数的性质，能熟练利用待定系数法求解，并能根据线段的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 4．（2025·广东·一模）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①当时，的值最大，最大值为；②能， 【分析】（1）把代入，根据待定系数法可求抛物线的解析式； （2）①由三角形的三边关系可知，，当P、A、C三点共线时，的值最大，为的长度，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 求得，根据勾股定理可得的长．根据待定系数法可求直线的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解； 【详解】（1）把代入， 得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）①由三角形的三边关系可知，， ∴当三点共线时，的值最大，且等于的长度， ∴如图，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 解，得 ， ∴． 当时，， ∴， 则有， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点， ∵点P在直线上， ， ∴当时，的值最大，最大值为； 题型03 二次函数周长最值问题 类型一 三角形周长最值问题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； 2．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴，抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴； ．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2） ， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 4．（2025·江苏苏州·二模）如图①，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点，点是抛物线的顶点，对称轴与轴相交于点． (1)点的坐标是__________； (2)点是对称轴上的一动点，当的最小值为时，求的周长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及到抛物线与坐标轴交点，线段和最值，面积与二次函数综合，相似三角形的判定与性质； （1）由，即可求出，，； （2）连接，根据对称性得到，则，由的最小值为，得到，结合，，利用勾股定理计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∵抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点， ∴，，， 故答案为：； （2）解：连接， ∵点是对称轴上的一动点，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、， ∴， ∴， ∴的最小值为的长 ∵的最小值为， ∴， ∵，， ∴, ∵， ∴， 解得， ∵为大于1的常数， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴的周长为； 4．（2025·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为1． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接．设点的横坐标为． 当点在轴上方，为何值时，是等腰三角形； 当点在轴下方，为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)①当时，是等腰三角形；②当时，的周长最大，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点M的坐标，用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立的周长关于的函数关系式，确定出最大值即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， 将点，代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设，则，当点M在x轴上方时，，，是钝角， ∵过点M作x轴的平行线，与直线交于点N， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴当时，是等腰三角形； ②设，则，当点M在轴下方时，，， ∵过点M作x轴的平行线，与直线交于点N， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 类型二 四边形周长最值问题 1．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； 2．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 3．（2025·安徽滁州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形周长有最大值且最大值为 【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点B的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴点C的坐标为， ∴将点C坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，点C的纵坐标为， ∴矩形的周长 ， ∵ ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； 题型04 二次函数面积最值问题 解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 3．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式，然后过点P作轴交于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令，则，解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点D， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴， ∴， ∴最大为， ∴． 4．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； 【答案】(1)①，；②，最大值是 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． 5．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 题型05 二次函数几何最值的综合应用 1．（2024·湖北·模拟预测）问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？ 【答案】（1）（2）（3）绿化改造所需费用至少为 【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键． （1）由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案； （2）由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题； （3）由二次函数的性质求出矩形面积的最大值即可解决问题； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵ ∴， ∴和的相似比是， ∴与的高之比等于相似比是． 故答案为：． （2）作于N，交于M， ∵， ∴， ∴， ∵的面积，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大； （3）延长交于E，作于F，交于点G，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 当矩形的面积最大时，费用最小， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为，则花卉的面积最小值为， 所以，绿化改造所需费用至少为元 2．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 3．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 4．（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？      【答案】当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米 【分析】连接，分别交于点，交于点，先判断出四边形是矩形，从而可得，再判断出四边形和四边形都是矩形，从而可得米，，然后设矩形的面积为平方米，米，则米，米，利用矩形的面积公式可得关于的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接，分别交于点，交于点，   ， ， 米， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形都是矩形， 米，， 和都是等腰直角三角形， ， ， 设矩形的面积为平方米，米，则米，米， 米， 米， ， 又，与之间的距离为2米，米， ， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 1．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 2．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先根据题意求出点A，C的坐标，再运用待定系数法利用交点式求出抛物线函数关系式； （2）由于的长度保持不变，所以当最小时，周长最小，应用轴对称性质可知，连接交对称轴于点M，由三角形三边的关系可知此时周长最小，运用待定系数法求出直线的函数关系式，把代入，即可求得点M的坐标； （3）设点P的坐标为，由，可得：，再分两种情况：当点P在x轴上方时或当点P在x轴下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设抛物线的函数表达式为（）． 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和， ∴的长度保持不变， ∴当最小时，周长最小， ∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称， 故连接AC交对称轴于点M， 由三角形三边的关系可知此时周长最小， 设直线的函数关系式为（）， 把代入直线的函数关系式，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴所求点M的坐标为； （3）解：存在，设点P的坐标为， ∵， ∴， ①当点P在x轴上方时， 则， 解得：， ∴或； ②当点P在x轴下方时， 则， 解得：， ∴或； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论，是解题的关键． 3．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 4．（2025·山东聊城·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为8 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，再求出直线的表达式为：，过点作轴的垂线交于点，设点，则点，求出，进而得到，利用二次函数的性质即可解答； （3）过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M，易证，推出，再求出，设点，则点，进而得到，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： 将点代入得， ∴表达式为：； （2）解：当时，， 得，， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为：， 过点作轴的垂线交于点， 设点，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当是，的面积有最大值；最大值为8； （3）解：过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 设点，则点， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，． 1．（2025·湖南株洲·模拟预测）已知：二次函数与轴相交于、两点，与轴交于点，点是该二次函数图象上位于第一象限的动点． (1)求二次函数的表达式和直线的表达式； (2)连接，，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，，是轴上点右侧不与重合两个动点，在的左边，，连接交直线于点，连接交直线于点，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则的面积，求出的值即可求点坐标； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，，由平行可得， ，求得，当时，有最小值． 【详解】（1）解：将、代入， ， 解得， ； 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （2）解：连接，， 点是该二次函数图象上位于第一象限的动点， 设，，， 的面积， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， 设，， ， ， ，， 轴，轴， ， ， 同理，， ， 当时，取最大值， 此时有最小值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，平行线的性质等，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 2．（2025·广东深圳·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点． (1)求抛物线的解析式； (2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积． ①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积； ②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______． 【答案】(1)； (2)①，81；②． 【分析】（1）将点和代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）①将抛物线化为顶点式，可得到顶点坐标；连接抛物线和直线，得到，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，根据轴对称的性质，得到，从而得到，即可求出矩形的面积； ②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，求出，再根据平行设直线的解析式为，根据边与心形图的左、右边缘各相切于一点，利用，求出，进而得出，求出，从而得到，同理可求，，即可求出矩形的面积． 本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，一次函数的图象和性质以及一次函数的平移，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】（1）将点，代入， ， 解得， ； （2）①， 顶点C的坐标为； 抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点， 联立，解得：或（舍）， ， 分别过点、作轴、轴的平行线相交于点， 当时，，则， ， ， 点D与点C关于直线对称， ， ， ∴，， 矩形的面积； ②如图，作直线分别交于点、，令直线与的交点为，则， 由①可知，， ， 由题意可知，， 则， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 边与心形图的左、右边缘各相切于一点， 即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可求， ， 矩形的面积为． 故答案为：． 3．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是二次函数图象上的两点． (1)求，的值； (2)若点在直线下方的抛物线上，点在直线上方的抛物线上，问： ①求面积的最大值； ②当垂直平分线段时，求点的坐标； (3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，，求中边上的高的最大值． 【答案】(1)， (2)①，② (3) 【分析】将点坐标代入抛物线的解析式，从而求得的值，进而求得的值； 作轴，交于，设，可求得直线的解析式，从而表示出点坐标，从而表示出，进而表示出，从而得出结果； 设，根据垂直平分线的性质，得，故，解得即可； 过点B作于点G，设直线的解析式为，根据题意，得，设，，则是方程的两个根，根据根与系数关系定理得，过点B作轴，过点E作于点N，过点F作于点M，，证明，，故直线过定点，故，根据直角三角形的斜边大于直角边，当点G与R重合时，取得最大值． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 作轴，交于， 设，则，故， ∴， ∵ ∴当时，面积取得最大值，且． 设，根据垂直平分线的性质，得，故， ， 整理，得， 解得（舍去）， 故， 故点． （3）解： 过点B作于点G， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 得， 设，， 则是方程的两个根， ∴， 过点B作轴，过点E作于点N，过点F作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵E，B，F是不同点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 故 ∴， 故直线过定点， 故， ∵边上的高， 根据直角三角形的斜边大于直角边， 当点G与R重合时，取得最大值， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，构造二次函数求最值，三角形相似的判定和性质，公式法解一元二次方程，直线过定点，一元二次方程根与系数关系定理，直角三角形的性质，熟练掌握最值，直线过定点，一元二次方程的解法，根与系数关系定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $