1.1三角形内角和定理第2课时（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、特征及性质，从三角形内角和定理证明情境引入外角概念，通过问题链引导学生探究外角关系，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以探究式教学为主线，通过画图分析、多法证明培养学生几何直观与推理意识，典例和分层练习强化应用意识，助力学生用数学语言表达推理过程，既提升学生思维能力，也为教师提供清晰教学路径。

1.1 三角形内角和定理 第一章 三角形的证明及其应用 第2课时 学 习 目 标 1.了解并掌握三角形的外角的定义；（重点） 2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．（难点） 知识回顾 3.全等三角形的 相等， 相等. 对应边 对应角 符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C = . A B C 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 . 180° 180° 2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 (AAS). 全等 情境引入 在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． A B C D E 新知探究 探究一：三角形的外角 △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫作△ABC 的外角。 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 问题1：画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？ 如图，△ABC所有的外角有6个，分别是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6. D A B C 外角的定义： 问题2：△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系） 新知探究 ∠1和∠4是对顶角，相等； ∠2和 ∠5是对顶角，相等； ∠3和∠6是对顶角，相等. 新知探究 三角形的外角的特征： 知识归纳 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. C B A D ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 每一个三角形都有6个外角． 新知探究 F A B C D E 1.如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC和△BEF的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. （1）如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ D A B C 新知探究 探究二：三角形外角的性质 （2）如图,△ABC 的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？ ∠ACD与∠ACB互补. ∠A+∠B=∠ACD. 相邻的内角 不相邻的内角 （3）请证明你的结论，并与同伴进行交流. 新知探究 D A B C 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 方法一： 证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， （三角形内角和定理） ∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质） ∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义） ∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质） ∴∠A+∠B=∠ACD（等量代换） 有没有其他证明方法？ 新知探究 D A B C 方法二： 证明：过C作CE∥AB， ∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. 1 2 E 推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 新知探究 D A B C (4)△ABC的外角∠ACD与它不相邻的两个内角（∠A、∠B）的大小关系如何呢？ 解：∵∠ACD=∠A+∠B, ∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B. 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论. 推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 新知探究 三角形内角和定理的推论1： 知识归纳 A B C D ( ( ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形内角和定理的推论2： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B. 新知探究 2.点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是（ ） A.∠A＞∠1＞∠2 B.∠A＞∠2＞∠1 C.∠2＞∠1＞∠A D.∠1＞∠2＞∠A D 如图，在△ABC中，∠B= ∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 例1 A C D B E 典例分析 ∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C=∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 还有其他证法吗？ 提示：还可以利用“同位角相等”或“同旁内角互补”来证明. 已知: 如图,P 是△ABC内一点,链接PB，PC . 求证: ∠ BPC ＞ ∠A. 例2 A B C P 典例分析 ∵ ∠ BPC是△PDC的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵ ∠ PDC是△ABD的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ PDC ＞ ∠ A （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ A. 还有其他证法吗？ D 证明：如图，延长BP，交AC于点D. 提示：还可以连接AP并延长交BC于点E，利用推论2证明. E 巩固练习 1.如图所示，AB∥CD，∠A = 45°，∠C=28°,则∠AEC的大小为( ) A.17° B.62° C63° D.73° D 2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) A.120° B.115° C.110° D.105° F E D C B A B 3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ） A.26° B.63° C.37° D.60° F A B E C D A 巩固练习 4.将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示,若∠1=40°，则∠2= . 5.如图所示，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与△ACB 的外角∠ACE的平分线交于点D，则∠D的度数为 . 6.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是 . ∠A < ∠1 < ∠2 85° 25° 巩固练习 7.（1）如图，∠BDC是________的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. A B C D E △ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 巩固练习 8.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE． 求证：∠1>∠2． 证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）. ∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）， ∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， ∴∠1>∠2（不等式的性质）. 巩固练习 9.如图所示，∠B=20°，∠C=30°，∠A =95°，求∠BDC的度数. E 如图，延长BD交AC于E. ∵∠A =95°，∠B=20°， ∴∠1=∠A +∠B=115°， 又∵∠C=30°， ∴∠BDC=∠C +∠1=145°.（方法不唯一） 课堂小结 三角形内角和定理2 三角形的外角 定义:△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角。 三角形内角和定理的推论 特征:角的顶点是三角形的顶点；角一边必须是三角形的一边；另一边必须是三角形另一边的延长线. 推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角. 作业布置 1.必做题：习题1.1第3，4，17题。 2.探究性作业：习题1.1第18题。 感谢聆听! $