专题02 全等三角形（3个知识点+9个核心考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材人教版

专题02 全等三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 全等三角形及其性质】 【全等形的概念】 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 【全等三角形的概念和表示方法】 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 3.全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 【全等三角形的性质】 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【知识点2 三角形全等的判定】 【判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点3 角的平分线】 【作已知角的平分线】 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 考点一：全等三角形的性质的应用 例1．如图，已知，的延长线交于点F，交于点G，，，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据可得，求得，根据等量变换，然后即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【变式1-1】如图， ，B，C，D三点共线，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质，可知为等腰三角形，得出，根据三角形内角和，可得出，即可求解． 【详解】解： ， ，，， ，， ， ． 故答案为： 【变式1-2】如图，，，与，分别相交于点M，D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等；由可得，，进而得到，再根据，可得，即可求解. 【详解】解：∵， ， ， ，， ， ， ∵，， ． 【变式1-3】如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，得出因为，故，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 考点二：全等三角形的性质解动点问题 例2.如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 【变式2-1】如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为 cm/s． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：5或． 【变式2-2】如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，    ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 【变式2-3】如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当 为何值时，与全等． 【答案】1或或6 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ∵， ∴点P运动3秒到达点C，点Q运动2秒到达点C； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； 综上所述：当或或时，与全等． 故答案为：1或或6． 考点三：全等三角形的判定 例3.如图，、交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：由题意可知：， 当添加时，则根据“”判定；故符合题意； 当添加时，无法得到，故不符合题意； 当添加时，则有或，则根据“或” 判定；故符合题意； 当添加时，则可根据“”判定，故符合题意； 故答案为：①③④． 【变式3-1】如图，，有下列条件：①，②，③，④．补充其中一个条件后，不能直接判定的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，利用可以证明； 当时，利用可以证明； 当时，利用可以证明； 当时，无法判定； 综上只有②不能直接判定； 故答案为：②． 【变式3-2】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．根据得出，结合，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边． 【详解】解：∵， ∴， 又， 则添加①，； 添加②，与不全等； 添加③，； 添加④，． 则能使的条件是①③④． 故选：D． 【变式3-3】根据下列条件，能画出唯一三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的唯一性判定，灵活运用三角形的基本性质与全等判定定理是解题的关键．根据三角形的构成条件（三边关系）、“大边对大角”原则，以及全等三角形的判定定理（、等），逐一分析各选项是否能唯一确定三角形． 【详解】项：，，，，不满足三角形三边关系，不能画出三角形； 项：，，，为钝角，其对边应最大，但，矛盾，不能构成三角形； 项：，，，两边及其夹角对应相等，能画出唯一三角形； 项：，，，仅三个角相等，不能确定边长，不能画出唯一三角形． 故选：． 考点四：全等三角形的性质与判定综合 例4. 如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）过作的延长线于点，可证，得到，再证明，得到，即可求证； （）由全等三角形的性质得，，即得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：过作的延长线于点， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）证明：由（）得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-1】问题背景： 如图，在和中，与交于点，且、、、位于同一条直线上．已知，，，平分交于点． 【问题探究】 (1)试说明：； (2)若，求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）结合题干，证明即可； （2）先根据三角形内角和定理，求出，再由（1）中，可得，从而求得．由平分，得到的值． （3）在（2）的基础上，先证明，可得．根据线段关系得，，从而得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴． 【变式4-2】【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 【变式4-3】如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）由（1）得，那么，进而得出，证明，则，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， 在和中， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 考点五：全等与角平分线的性质综合 例5. 如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ． 【变式5-1】，直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理， （1），先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而根据角平分线的判定定理得出答案； （2）过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得，可知，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据角平分线的判定定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）解：成立，理由：过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N， 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴平分． 【变式5-2】已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图①，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图②，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； 【详解】（1）猜想， 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； 【变式5-3】在中，，、分别是的平分线、相交于点． (1)如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． (2)如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 【答案】(1) 证明过程见解析； ②，证明见解析； (2)（1）中所得结论仍然成立，理由见解析． 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质，即可证得结论；过点作于点，由角平分线的性质，等量代换可得，可证明，即可得与之间的数量关系； （2）由角平分线的定义，结合三角形的内角和定理，可得，过点作于.作于，连接，同（1）可得，，是的平分线，可得，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 、分别是的平分线， ，， ，， ． 解：， 证明：过点作于点， 、分别是的平分线， 于，于 ，， ， 又，， ， ． （2）解：（1）中所得结论仍然成立， 理由如下： 、分别是的平分线， ，， ， 过点作于.作于，连接， 同（1）可得，，是的平分线， ， ， ， 又， ， ． 考点六：全等三角形中的多结论问题 例6. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 由证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，结合对顶角相等及三角形内角和定理得出，②错误；作于于，如图所示，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，③正确；由，得出当时，平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，④错误；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ，①正确； 由可知，， 如图所示： 在和中，，则由三角形内角和定理可得， ，， ，②错误； 作于于，如图所示： 则， 在和中， ， ， ， ∴平分，③正确； ， ∴当时，平分， 假设， ， ， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，与矛盾， ∴④错误； 综上所述，正确的有①③； 故选：A． 【变式6-1】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是（    ） ①平分；②；③；④ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作于D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴点P在的角平分线上，所以结论①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，所以结论②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，所以结论③正确； ④由②可知，， ∴， ∴，所以结论④正确， 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：C． 【变式6-2】如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．①根据于点及三角形高的定义可对结论①进行判断；②根据点为的中点得，再根据的边上的高与的边上的高相同，则可对结论②进行判断；③先证明，再根据平分得，则，然后根据于点得，则，由此可对结论③进行判断；④根据平分得，根据于点得，由此可依据“”判定和全等，则，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①于点， 线段为的高， 故结论①不正确； ②点为的中点， ， 的边上的高与的边上的高相同， 与面积相等， 故结论②正确； ③，， ， 平分， ， ， 于点， ， ， 故结论③正确； ④平分， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是②③④，共3个． 故选：D． 【变式6-3】如图，在中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，给出下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断①；证明，推出，再证明，即可判定③，进而得出可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴故③正确， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； 所以，正确的结论有4个， 故选：D． 考点七：倍长中线构全等 例7. （1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【变式7-1】【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    (1)的取值范围是________； (2)【灵活运用】如图3，和中，，，，．点为的中点，试说明； (3)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)，，证明见解析 【分析】（1）延长到，使，连接，构造，则可得．在中，根据三角形三边之间关系可得，进而可得． （2）延长至点，使，连接．构造，则可得，，进而可得，．再根据可得，则可得． （3）在的延长线上截取，连接，构造，则可得，，则可得，，进而可得．再根据证明，则可得，，故． 【详解】（1）解：如图2，延长到，使，连接， ∵点为的中点， ∴ 在和中 ∴， ∴ 在中， ∴ 即 ∴ 即； （2）证明：延长至点，使，连接． ∵点为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：，． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 【变式7-3】八年级数学兴趣小组在一次活动中对“倍长中线法”进行了探究试验活动，请你和他们一起参与本次探究活动吧． 【探究与发现】 （1）如图，在中，是的中线，小聪同学表示：延长至点，使，连接，就可以求证，请你帮助他写出证明过程． 【理解与应用】请你运用类似方法解决下列问题： （2）请你运用如图，在中，为中线，为上一点，、交于点，且．求证：； （3）如图，是的中线，且，求证：． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）证明见详解． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，“倍长中线法” 是解决此类三角形线段关系问题的核心方法，熟练构造全等三角形并运用全等性质转化线段、角的关系是解题关键． （1）利用中线的定义得到线段相等，结合对顶角相等，通过判定定理证明三角形全等； （2）通过 “倍长中线” 构造全等三角形，将转化为等长线段，再利用等腰三角形的角相等关系完成线段等量代换； （3）同样借助 “倍长中线法” 构造全等三角形，结合已知边的等量关系，通过证明三角形全等，进而将转化为倍长后的中线线段，得出结论． 【详解】（1）证明：是的中线，延长至点， 使， ， 在和中， ， ； （2）证明：在中，为中线，如图，延长至点，使， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，即； （3）证明：是的中线，如图，延长至点，使， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ，即． 考点八：截长补短构全等 例8. 综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），过程见解析 （2），，图见解析 （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至M，使，连接，先证明 继而证明，可推导出，，则有，即可解答． 【详解】（1） 证明：如图2， 平分， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． （2）， 辅助线如图3 （3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ． 【变式8-1】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式8-2】四边形中，，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用． （1）连接，证明，得到，，即可证明； （2）延长到，使，连接，得到，根据得到，证明，得到，，，即，，证明，得到，即可证明； （3）作交于，可知，证明，得到，证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （2）证明：延长到，使，连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（），     ∴，， 即，， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即； （3）证明：如图，作交于， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即平分． 【变式8-3】如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， 由（2）得， ∴， 的周长为：， 故答案为：或 ． 考点九：垂直模型 例9. 如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）方法证明即可； （3）同（2）方法求解． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ， ； ，， ． （2），证明如下， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即 【变式9-1】【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 【变式9-2】（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式9-3】已知：在平面直角坐标系中，的顶点、分别在轴、轴上，且， ． (1)如图1，，，当点B在第四象限时，求点B的坐标； (2)如图2，若平分，交于，过作轴于点，证明：； (3)如图3，当点C在轴正半轴上运动，点在轴正半轴，点在第四象限时，作轴于点，试判断，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质： （1）过点作于，由“”可证得，根据全等三角形对应边相等，即可得到答案； （2）延长，交于点，利用“”证得，进而证得，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）作于，则，利用“”可证得，可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作于，   ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点B坐标为； （2）证明：延长，交于点，   ，， ， 平分， ， ， 又， ， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下：作于，则， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 1．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查四边形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，根据，得到，，证得，从而得到，，再推导，证得，进而得到，故，完成求解． 【详解】解：延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，正确地作出辅助线并且证明△△是解题的关键． 由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，△与△也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明△△，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明△△，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， △△的另一个条件是， 与不一定相等， △与△不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：． 4．已知中，，，现有以下这些条件：①；②；③；④．要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】此题考查了全等三角形判定和三角形内角和定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：边是的对边， 当，时，再知道或的度数，根据就可确定的形状和大小， ，， 或必须小于， 要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是， 故答案为：①②③． 5．如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 6．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）过点作于，如图所示： ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． （3）在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 7．如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据全等三角形性质得出，再根据角平分线的判定进行证明； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分； （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 8．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）由（1）得，那么，进而得出，证明，则，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， 在和中， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 9．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3） 【分析】本题考查“全等三角形的判定与性质”，灵活运用中点构造出全等三角形进行线段转换和计算是解题关键． （1）延长，构造全等三角形，将，，放在同一个三角形的三边中，利用三角形三边关系即可找出的范围； （2）先延长，构造全等三角形，再借助这个全等三角形，得到与全等的三角形，从而得到与的关系； （3）延长到，使，同（1）可证，得出，，利用角的和差关系及外角性质得出，利用证明，即可得． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使得， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可知，， ∴，即， ∵， ∴； （2）证明：如图，延长至点E，使得， 同（1）理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∴， 同（1）可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 全等三角形及其性质】 【全等形的概念】 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 【全等三角形的概念和表示方法】 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 3.全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 【全等三角形的性质】 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【知识点2 三角形全等的判定】 【判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点3 角的平分线】 【作已知角的平分线】 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 考点一：全等三角形的性质的应用 例1．如图，已知，的延长线交于点F，交于点G，，，，则 度． 【变式1-1】如图， ，B，C，D三点共线，连接，若，则 ． 【变式1-2】如图，，，与，分别相交于点M，D，求的度数． 【变式1-3】如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 考点二：全等三角形的性质解动点问题 例2.如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为 ． 【变式2-1】如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为 cm/s． 【变式2-2】如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 【变式2-3】如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当 为何值时，与全等． 考点三：全等三角形的判定 例3.如图，、交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有 ．（填写序号） 【变式3-1】如图，，有下列条件：①，②，③，④．补充其中一个条件后，不能直接判定的是 （填序号）． 【变式3-2】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式3-3】根据下列条件，能画出唯一三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点四：全等三角形的性质与判定综合 例4. 如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 【变式4-1】问题背景： 如图，在和中，与交于点，且、、、位于同一条直线上．已知，，，平分交于点． 【问题探究】 (1)试说明：； (2)若，求的度数； (3)若，，求的长． 【变式4-2】【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【变式4-3】如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 考点五：全等与角平分线的性质综合 例5. 如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 【变式5-1】，直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【变式5-2】已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图①，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图②，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 【变式5-3】在中，，、分别是的平分线、相交于点． (1)如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． (2)如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 考点六：全等三角形中的多结论问题 例6. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【变式6-1】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是（    ） ①平分；②；③；④ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【变式6-2】如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6-3】如图，在中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，给出下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点七：倍长中线构全等 例7. （1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【变式7-1】【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【变式7-2】【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    (1)的取值范围是________； (2)【灵活运用】如图3，和中，，，，．点为的中点，试说明； (3)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【变式7-3】八年级数学兴趣小组在一次活动中对“倍长中线法”进行了探究试验活动，请你和他们一起参与本次探究活动吧． 【探究与发现】 （1）如图，在中，是的中线，小聪同学表示：延长至点，使，连接，就可以求证，请你帮助他写出证明过程． 【理解与应用】请你运用类似方法解决下列问题： （2）请你运用如图，在中，为中线，为上一点，、交于点，且．求证：； （3）如图，是的中线，且，求证：． 考点八：截长补短构全等 例8. 综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【变式8-1】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【变式8-2】四边形中，，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 【变式8-3】如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 考点九：垂直模型 例9. 如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 【变式9-1】【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【变式9-2】（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【变式9-3】已知：在平面直角坐标系中，的顶点、分别在轴、轴上，且， ． (1)如图1，，，当点B在第四象限时，求点B的坐标； (2)如图2，若平分，交于，过作轴于点，证明：； (3)如图3，当点C在轴正半轴上运动，点在轴正半轴，点在第四象限时，作轴于点，试判断，与之间的关系，并说明理由． 1．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 2．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 4．已知中，，，现有以下这些条件：①；②；③；④．要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是 ．（写出所有正确结论的序号） 5．如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 6．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 7．如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 8．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 9．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 10．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $