专题01 平行线的拐点5大经典模型 重难点培优 讲义 2025-2026学年华东师大版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学平行线的拐点5大经典模型，系统梳理过拐点作平行线的辅助线核心方法，角度转化规律及内外拐点的和差关系，构建从单拐点到多拐点的递进式知识支架。 资料以模型分类为框架，结合机器人、手推车等生活情境例题培养数学眼光，通过严谨证明过程和变式训练发展逻辑推理能力，同步练习覆盖选择填空及解答题，助力课中高效教学与课后查漏补缺。

专题01 平行线的拐点5大经典模型 1.辅助线核心：过每个拐点作平行线，利用“平行传递性”拆分复杂角为内错角、同位角或同旁内角。 2.角度转化：优先使用“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”进行角的转化。 3.规律总结：外拐点多为“角的差”，内拐点多为“角的和”，多拐点按“奇偶位角之和相等”规律解题。 4.易错提醒：拐点位置（内侧/外侧）决定角的和差关系，避免混淆猪蹄模型与鹰嘴模型的结论。 【题型1】猪蹄模型（M型） 1.模型使用场景 两条平行线间有一个凹向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。 常考题型：求未知角的度数、证明角的和差关系，是期中/期末及中考基础常考模型。 2.模型证明 已知：，点是、之间的拐点，连接、。 证明：过点作。 因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 由得（两直线平行，内错角相等）；由得（两直线平行，内错角相等）。 所以。 3.模型结论 核心结论： 拓展结论：若有个连续凹向拐点，则 【例题1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，请在下列选项中①平分，②平分，③，选择两个作为条件，另一个作为探索的结果，并说明理由． 我选的是_______为条件，选_______为探索结果（填序号） 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·期末）综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【题型2】铅笔头模型 1.模型使用场景 两条平行线间有一个凸向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。 常考题型：求多个角的和、结合角平分线求角的度数，高频出现在选择填空压轴题。 2.模型证明 已知：，点是、之间的拐点，连接、。 证明：过点作。 因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 由得（两直线平行，同旁内角互补）；由得（两直线平行，同旁内角互补）。 所以，即。 3.模型结论 核心结论： 拓展结论：若有个连续凸向拐点，则 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，．求的度数． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 【变式题2-2】.（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为 ． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·广东茂名·月考）【模型初探】 （1）如图1，，，，求的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答； 【实际应用】 （2）某小区为了方便管理，对小区地下车库加装智能识别系统，小区车库栏杆的平面图如图3所示，，，若，则_____； 【拓展推广】 （3）如图4，点A、B在射线上，点C、D在射线上，，点P在射线上运动（点P与A、B、O三点不重合）．当点P在射线上运动时，判断与、之间的数量关系，并说明理由． 【题型3】锯齿模型（多拐点连续模型） 1.模型使用场景 两条平行线间有两个及以上交替凹向、凸向的拐点，形成类似锯齿的折线，求折线各角之间的数量关系。 常考题型：结合平行线性质求未知角、规律探究题，近3年江苏、浙江期末真题高频出现。 2.模型证明 已知：，拐点、在、之间，连接、、。 证明：过点作，过点作。 因为，所以（平行传递性）。 得，，（两直线平行，内错角相等）。 所以，即。 3.模型结论 核心结论：凹向角之和=凸向角之和 简化结论：有个拐点时， 【例题3】.（24-25七年级下·河南开封·期末）已知是是一条折线段，且，E为平行线间的一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，，求证：． 【变式题3-1】.（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）问题背景 如图1，已知，写出、与之间的数量关系，并说明理由． （2）知识迁移 如图2，，若，，求的度数． （3）方法应用 如图3，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破， 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则 ． （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ． 【题型4】鹰嘴模型（外拐点模型） 1.模型使用场景 拐点在两条平行线的外侧，连接拐点与平行线端点形成的角的数量关系，与猪蹄模型形成对比。 常考题型：求角的差、结合角平分线或垂直条件解题。 2.模型证明 已知：，点是、外侧的拐点，连接、，交于点。 证明：因为，所以（两直线平行，同位角相等）。 又因为是的外角，所以（三角形外角等于不相邻两内角和）。 故。 3.模型结论 核心结论： 常见形式：（可根据拐点位置灵活调整角的对应关系） 【例题4】.（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【变式题4-2】.（23-24七年级下·广西河池·期末）已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【题型5】三角尺与平行线组合模型 1.模型使用场景 将含、、的直角三角尺与平行线结合，利用三角尺固定角度求未知角。 常考题型：选择填空基础题、操作探究题，近3年全国中考基础题必考题型之一。 2.模型结论 核心结论：三角尺已知角=平行线间对应内错角（或同位角）之和/差 常用固定结论： 三角尺类型 常见结论 含、 （或、） 含、 （或） 双三角尺组合 对应角之差为、等固定角度 【例题5】.（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起放置，其中，，，． (1)求证； (2)试判断与之间的数量关系，并证明； (3)将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点重合．当三角板的边与平行或和重叠时，三角板可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一种，并求出此时的度数． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·河南漯河·期末）数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（，）”为主题开展数学活动，已知点E，F中只有一个点落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为________； (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E落在和之间，且AB与EF所夹锐角，则的度数为________； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若（），请求出的度数． 【变式题5-3】.（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转． (1)如图2，当边落在内， ①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由； ②过点A作射线，，若，，求的度数； (2)设的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值． 【题型6】蛇形模型（“5”字模型） 1.模型使用场景 两条平行线（）间有一个拐点，形成类似“5”字的折线结构，探究拐点角与平行线两侧角的和差关系。 常考题型：已知两个角求第三个角、证明角的和差等式，是单元测试及期末真题中高频出现的基础模 型。 2.模型证明 已知：，点为拐点，连接、（分两种折线方向，如图1、图2）。 证明（图1，折线凹向与平行线延伸方向一致）： 过点 作辅助线核心：过拐点作平行线）。 由得（两直线平行，内错角相等）。 因为，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 由得（两直线平行，同旁内角互补）。 又因为（角的和差定义），代入、，得，整理得。 同理可证图（2） 3.模型结论 核心结论：无论折线凹向如何， 【例题6】.（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【变式题6-2】.（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 同步练习 一、单选题 1．（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（18-19七年级下·山东淄博·月考）如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 7．（25-26八年级上·全国·期末）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 三、解答题 8．（20-21七年级下·江西上饶·期中）已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 9．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 10．（17-18七年级下·全国·月考）如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． (1)结论： ； ； ； ． (2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明． 如图，平分，平分，且． 求证：．证明：平分（已知）， （　　　　　　）． 平分（已知）， 　　　　　　（角平分线的定义）． （）． （已知）， （　　　　　　）． ∴（　　　　　　）． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）（1）如图1，，． ①与平行吗？为什么？ ②试说明：； （2）一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．      13．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线的拐点5大经典模型 1.辅助线核心：过每个拐点作平行线，利用“平行传递性”拆分复杂角为内错角、同位角或同旁内角。 2.角度转化：优先使用“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”进行角的转化。 3.规律总结：外拐点多为“角的差”，内拐点多为“角的和”，多拐点按“奇偶位角之和相等”规律解题。 4.易错提醒：拐点位置（内侧/外侧）决定角的和差关系，避免混淆猪蹄模型与鹰嘴模型的结论。 【题型1】猪蹄模型（M型） 1.模型使用场景 两条平行线间有一个凹向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。 常考题型：求未知角的度数、证明角的和差关系，是期中/期末及中考基础常考模型。 2.模型证明 已知：，点是、之间的拐点，连接、。 证明：过点作。 因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 由得（两直线平行，内错角相等）；由得（两直线平行，内错角相等）。 所以。 3.模型结论 核心结论： 拓展结论：若有个连续凹向拐点，则 【例题1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，请在下列选项中①平分，②平分，③，选择两个作为条件，另一个作为探索的结果，并说明理由． 我选的是_______为条件，选_______为探索结果（填序号） 【答案】①②，③；理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质及判定，角平分线的定义．熟悉平行线的性质及判定，角平分线的性质是关键． 选①②为条件③为结果；根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质得到，，即可证出结论． 【详解】解：选①②为条件③为结果 理由：因为，所以， 因为平分，平分 所以，， 所以． 选①③为条件②为结果 理由：因为，所以， 因为平分，所以， 所以 因为，所以，所以， 所以平分． 选②③为条件，①为结果， 因为，所以， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可解决问题； （2）根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据平行线的性质即可解决问题； （4）根据平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴．， ∵， ∴； （4），理由如下： 过点F作， 由（1）知，， ∴， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·期末）综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的性质求和的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：已知：如图①，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明： ， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ； 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在中，， ． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 【题型2】铅笔头模型 1.模型使用场景 两条平行线间有一个凸向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。 常考题型：求多个角的和、结合角平分线求角的度数，高频出现在选择填空压轴题。 2.模型证明 已知：，点是、之间的拐点，连接、。 证明：过点作。 因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 由得（两直线平行，同旁内角互补）；由得（两直线平行，同旁内角互补）。 所以，即。 3.模型结论 核心结论： 拓展结论：若有个连续凸向拐点，则 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，．求的度数． 【答案】 【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的性质，分别得出与相关的角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质进行角的计算是解题的关键． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点O作，则，由平行线的性质可得，，从而可得，即可得解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可得，，设，，计算得出，由平行线的性质可得，，，由此计算即可得解； （3）设直线与交于点K，与交于点H，由平行线的性质可得，求出，再结合，在内，．得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：过点M作，过点N作，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴ ， 故的值为； （3）解：如图，设直线与交于点K，与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，在内，． ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得． 【变式题2-2】.（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴，而， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·广东茂名·月考）【模型初探】 （1）如图1，，，，求的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答； 【实际应用】 （2）某小区为了方便管理，对小区地下车库加装智能识别系统，小区车库栏杆的平面图如图3所示，，，若，则_____； 【拓展推广】 （3）如图4，点A、B在射线上，点C、D在射线上，，点P在射线上运动（点P与A、B、O三点不重合）．当点P在射线上运动时，判断与、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点在线段上时，；当在延长线时，；当在之间时，，见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，添加平行线作辅助线是解题的关键． （1）过作，根据两直线平行内错角相等即可得到结论； （2）过点作，求出，，即可得到答案； （3）分情况添加平行线作为辅助线，根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：（1）过作， ∵， ， ， ； （2）过点作， ∴ ∵， ∴, ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为： （3）当点在线段上时，； 理由：如图，过作交于， ， ， ，， ； 当在延长线时，； 理由：如图，过作交于， ， ， ，， ； 当在之间时， ． 理由：如图，过作交于， ， ， ，， ． 综上所述，当点在线段上时，； 当在延长线时，； 当在之间时，． 【题型3】锯齿模型（多拐点连续模型） 1.模型使用场景 两条平行线间有两个及以上交替凹向、凸向的拐点，形成类似锯齿的折线，求折线各角之间的数量关系。 常考题型：结合平行线性质求未知角、规律探究题，近3年江苏、浙江期末真题高频出现。 2.模型证明 已知：，拐点、在、之间，连接、、。 证明：过点作，过点作。 因为，所以（平行传递性）。 得，，（两直线平行，内错角相等）。 所以，即。 3.模型结论 核心结论：凹向角之和=凸向角之和 简化结论：有个拐点时， 【例题3】.（24-25七年级下·河南开封·期末）已知是是一条折线段，且，E为平行线间的一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）结合图形，先求出，，即可得到的度数； （2）根据题意，求出，的度数，结合已知条件，得到，证得结论． 【详解】（1）解：如图1，过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题3-1】.（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）问题背景 如图1，已知，写出、与之间的数量关系，并说明理由． （2）知识迁移 如图2，，若，，求的度数． （3）方法应用 如图3，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等成为解题的关键． （1）如图：过点G作，利用平行线的性质即可解答； （2）由邻补角的性质可得，由（1）可知：，且，可得，最后根据对顶角相等即可街道； （3）如图：过作，由平行线的性质可得，进而得到，然后再根据平行线的性质即可求得∠C的度数． 【详解】解：（1）问题背景：，理由如下： 如图：过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）知识迁移：∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知：，且， ∴， ∴． （3）如图：过作 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ 故答案是：140°． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质，正确进行角的计算是解题的关键． （1）结合图形，可得，，两式相加，得，结合已知条件，得到结果； （2）①通过作辅助线，得到同旁内角互补，得到，，，三式相加，得到结果； ②结合图形，利用两直线平行，内错角相等，依次求出，，，得到结果． 【详解】（1）如图1，作， ， ， ，， ， 即， ， ； （2）①如图2，过P作，过Q作， ， ， ， ， ， 三式相加，可得； ②如图3，过点P作，过点Q作， ， ， ， ， 同理， ， ． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破， 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则 ． （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ． 【答案】问题解决：两直线平行，内错角相等；；105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以， 所以．（根据两直线平行，内错角相等） 因为， 所以， 所以． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【题型4】鹰嘴模型（外拐点模型） 1.模型使用场景 拐点在两条平行线的外侧，连接拐点与平行线端点形成的角的数量关系，与猪蹄模型形成对比。 常考题型：求角的差、结合角平分线或垂直条件解题。 2.模型证明 已知：，点是、外侧的拐点，连接、，交于点。 证明：因为，所以（两直线平行，同位角相等）。 又因为是的外角，所以（三角形外角等于不相邻两内角和）。 故。 3.模型结论 核心结论： 常见形式：（可根据拐点位置灵活调整角的对应关系） 【例题4】.（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 【变式题4-2】.（23-24七年级下·广西河池·期末）已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加平行线是解答的关键． （1）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：，此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （3）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型5】三角尺与平行线组合模型 1.模型使用场景 将含、、的直角三角尺与平行线结合，利用三角尺固定角度求未知角。 常考题型：选择填空基础题、操作探究题，近3年全国中考基础题必考题型之一。 2.模型结论 核心结论：三角尺已知角=平行线间对应内错角（或同位角）之和/差 常用固定结论： 三角尺类型 常见结论 含、 （或、） 含、 （或） 双三角尺组合 对应角之差为、等固定角度 【例题5】.（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起放置，其中，，，． (1)求证； (2)试判断与之间的数量关系，并证明； (3)将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点重合．当三角板的边与平行或和重叠时，三角板可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一种，并求出此时的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)，证明见解析 (3)三角板可以有4种不同的放置位置，图见解析，分别为、、、 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据即可得解； （2）根据，并结合计算即可得解； （3）分四种情况，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：三角板可以有4种不同的放置位置， 如图，当时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当和重合时，过点作， 则，， ∴， ∴； 如图，当和重合时，过点作， 则，， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，分类讨论画出图形求解即可． 【详解】解：存在． ①当时，如图1， ， ； ②当时，如图2， ， ， ； ③当时，如图3，过点作， ，， ， ，， ， ； ④当时，如图4， ， ， ； ⑤当时，如图5， ， ， ； 综上分析可知，的度数可能是或或或或． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·河南漯河·期末）数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（，）”为主题开展数学活动，已知点E，F中只有一个点落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为________； (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E落在和之间，且AB与EF所夹锐角，则的度数为________； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若（），请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线，利用平行线的判定与性质解题是关键． （1）根据平行线的性质直接求解即可； （2）过点E作，根据平行线的性质求得，再证明，求得，即可求得答案； （3）分点E在上方和下方两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：设，则， 当点E在上方时， ， ， 解得， 当点E在下方时， ， ， 解得， 综上所述，的度数为或． 【变式题5-3】.（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转． (1)如图2，当边落在内， ①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由； ②过点A作射线，，若，，求的度数； (2)设的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值． 【答案】(1)①（或），理由见解析；② (2)5或15或35或45或50 【分析】（1）①由角的和差关系可得，，再把两式相减即可得到结论；②先求解，-，结合， ，从而可得答案； （2）分5种情况讨论：如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，再结合平行线的性质可得答案． 【详解】（1）解：①（或）； 理由如下：， ， 两式相减得：， ② ∵，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ； （2）如图，当时， ∴，， ∴； 如图，当时， ∴，则， 此时， ∴； 如图，当时， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴，即，，共线， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的倍分关系，角的旋转定义的理解，平行线的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【题型6】蛇形模型（“5”字模型） 1.模型使用场景 两条平行线（）间有一个拐点，形成类似“5”字的折线结构，探究拐点角与平行线两侧角的和差关系。 常考题型：已知两个角求第三个角、证明角的和差等式，是单元测试及期末真题中高频出现的基础模 型。 2.模型证明 已知：，点为拐点，连接、（分两种折线方向，如图1、图2）。 证明（图1，折线凹向与平行线延伸方向一致）： 过点 作辅助线核心：过拐点作平行线）。 由得（两直线平行，内错角相等）。 因为，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 由得（两直线平行，同旁内角互补）。 又因为（角的和差定义），代入、，得，整理得。 同理可证图（2） 3.模型结论 核心结论：无论折线凹向如何， 【例题6】.（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴. （3）解：过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． 【变式题6-2】.（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 【变式题6-3】.（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 同步练习 一、单选题 1．（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（18-19七年级下·山东淄博·月考）如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 7．（25-26八年级上·全国·期末）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 三、解答题 8．（20-21七年级下·江西上饶·期中）已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 9．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 10．（17-18七年级下·全国·月考）如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． (1)结论： ； ； ； ． (2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明． 如图，平分，平分，且． 求证：．证明：平分（已知）， （　　　　　　）． 平分（已知）， 　　　　　　（角平分线的定义）． （）． （已知）， （　　　　　　）． ∴（　　　　　　）． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）（1）如图1，，． ①与平行吗？为什么？ ②试说明：； （2）一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．      13．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $