专题11 平行线中的拐点模型之羊角模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

该初中数学讲义以平行线拐点模型中的羊角模型为核心，通过图示直观呈现两种基本结构，梳理“见拐点作平行线”的转化方法，结合模型证明过程与中考真题引入，构建“模型来源-核心方法-真题应用”的知识脉络，突出几何直观与逻辑推理的重难点。 讲义亮点在于真题与分层例题结合，精选中考及校考期中、期末题，从选择到多问解答题覆盖不同难度，培养推理能力与创新意识。形象命名助于理解记忆，配套证明过程与方法总结，基础生掌握技巧，优秀生深化应用，为教师提供精准分层复习支持。

专题11 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 9 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（24-25八年级下·贵州黔西·期末）如图，直线，则等于（   ） A． B． C． D． 例2（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后平行地面射出，已知，，则的度数为 ． 例3（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，则下列关系式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）如图，若，做辅助线． (1)（图一）利用辅助线，试说明，与的数量关系 (2)若将点移到图二的位置，此时，与有什么关系，请说明理由； (3)若将点移动到图3的位置，此时若等于60度，度，则等于多少？ 例5（24-25下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例6（24-25七年级下·江西南昌·期中）（1）【问题发现】①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 1．（24-25上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 4．（24-25下·重庆·七年级统考期末）如图，与分别相交于点B、F，连接．给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判断的条件的个数为（ ）    A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25下·重庆沙坪坝·七年级校考期中）如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，，，，则 ． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，，则 ． 8．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 ． 9．（25-26·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 10．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）如图，已知，，求的度数．    11．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 12．（24-25下·山西吕梁·七年级校考期末）如图1，点D是的边AB上一点，过点D作直线，是的平分线，以点D为端点作线段，连接．    (1)在图1中，若是的平分线，试探究：与的数量关系； (2)如图2，若是的平分线，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由； (3)如图3，若是的平分线，，请求出的度数． 13．（24-25·广西河池·七年级校考阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数； （2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，． ①求的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．    14．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 15．（24-25七年级下·北京房山·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小．②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 16．（24-25下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）已知，为直线，所确定的平面内一点．    (1)如图①，，，之间的数量关系为______；(2)如图②，求证：； (3)如图③，点在直线上，若，，过点作，作，的平分线交于点，直接写出的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 9 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设和交于点F， ∵，∴，∴，故选：D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ，，故选：． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（24-25八年级下·贵州黔西·期末）如图，直线，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵，∴， ∵∴．故选C． 例2（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后平行地面射出，已知，，则的度数为 ． 【答案】/36度 【详解】解：由题意可得，如图，∴， ∵，∴，故答案为：． 例3（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，则下列关系式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，设交于点F， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：D 例4（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）如图，若，做辅助线． (1)（图一）利用辅助线，试说明，与的数量关系 (2)若将点移到图二的位置，此时，与有什么关系，请说明理由； (3)若将点移动到图3的位置，此时若等于60度，度，则等于多少？ 【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3) 【详解】（1）证明：，∴；； ∵，∴； （2）解： 理由；，∴， ∵，， ； （3）解：∵，∴， ∵，∴． 例5（24-25下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交于F，如图所示：    ∵，，∴， ∵，∴， ∴，故选：C． 例6（24-25七年级下·江西南昌·期中）（1）【问题发现】①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【详解】（1）①证明：过点作，则， ，，，，． ②过点作，则， ，，，．故答案为：． （2）如图， 的角平分线与的角平分线交于点设，， 则，，，，， ，，即， ，由（1）知， ． （3）        由（1）可得， ，， 设，，则，， ∴，，， ∴，． 1．（24-25上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， ∵，， ∴．故选：B 2．（2025·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，故选：C． 3．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中，，，∴， ∵，∴， ∴，故选：A． 4．（24-25下·重庆·七年级统考期末）如图，与分别相交于点B、F，连接．给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判断的条件的个数为（ ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：①当时，根据同位角相等，两直线平行可得，故①符合题意； ②当时， ∵，∴，∴，故②符合题意； ③当时，无法判断，故③不符合题意； ④当时，无法判断，故④不符合题意； ⑤当时，根据内错角相等，两直线平行得，故⑤符合题意． 则符合题意的有①②⑤，共3个．故选：B． 5．（24-25下·重庆沙坪坝·七年级校考期中）如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，与交于点，与交于点，，，    ，，， ，，，， 是的角平分线，， ．故选：． 6．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，，，，则 ． 【答案】118 【详解】解：延长交于点F，如图所示， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴．故答案为：118． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，，则 ． 【答案】/25度 【详解】过点E作，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 8．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 ． 【答案】40°． 【详解】如图，∵直线a∥b，∴∠4＝∠1＝75°， 由三角形的外角性质得，∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°．故答案为40°． 9．（25-26·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【答案】见解析 【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 10．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）如图，已知，，求的度数．    【答案】 【详解】解：，， ，，的度数为． 11．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：因为，，所以， 因为平分， 所以，因为，所以， 因为，所以． 12．（24-25下·山西吕梁·七年级校考期末）如图1，点D是的边AB上一点，过点D作直线，是的平分线，以点D为端点作线段，连接．    (1)在图1中，若是的平分线，试探究：与的数量关系； (2)如图2，若是的平分线，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由； (3)如图3，若是的平分线，，请求出的度数． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）∵∴ ∵是的平分线，是的平分线 ∴∴ ∴∴ （2），理由：∵∴ ∵是的平分线，是的平分线 ∴∴∴∴ （3）延长交于点G ∵是的平分线 ∴ ∵∴ ∵是的平分线∴ ∴ ∵∴∴∴ ∵∴    13．（24-25·广西河池·七年级校考阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数； （2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，． ①求的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．    【答案】（1）；（2）①；②， 【详解】解：（1）如图1，过点E作．       ∵，∴．∵，，∴． ∴．∴． （2）①∵，∴． 又∵，，∴． ②如图3，∵，∴． 又∵平分，∴．∴． ∵平分于，∴．∴． ∵，∴．∴． 又∵，∴，． 14．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)不成立，，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下，过点作， ，，，， ，． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作．，∴， ，，即． 15．（24-25七年级下·北京房山·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小．②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵，∴，即，解得， ∴的“3系数补角”是；故答案为： （2）①设， 如图，设与相交于点H，    ∵，，∴， ∴，即①， ∵是的“6系数补角”，∴，即② 联立①②得，解得即是； ②∵是的“2系数补角”，∴∴ 如图1，∵与两个角的平分线交于点M．∴，            ∵， 过点H作，∵，∴ 则 ∴∴ 如图2，同理可得，， 则 如图3，∵，∴∴，∴，∴ 如图4，同理可得，， ∴ 如图5，同理可得，， ∴ 如图6，同理可得，， ∴       综上可知，的大小为或或或 16．（24-25下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）已知，为直线，所确定的平面内一点．    (1)如图①，，，之间的数量关系为______；(2)如图②，求证：； (3)如图③，点在直线上，若，，过点作，作，的平分线交于点，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3)25° 【详解】（1）解：． 理由：过点作，如下图：∵，∴，          ∴，，∴； （2）证明：如图，过点作．∵，∴ ∵，，∴∴ ∵，∴． （3）解：的度数为， ∵，，如图：，∵，∴， ∵，的平分线交于点，∴，， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $