专题10 平行线中的拐点模型之牛角模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

本初中数学讲义以平行线拐点模型中的牛角模型为核心，通过“模型来源-核心结论-证明思路”的框架系统梳理知识，结合图示呈现两种基本模型（∠1=∠2+∠3和∠1+∠3-∠2=180°），突出“见拐点作平行线”的通用解法，清晰展现重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于“真题现模型-模型运用”的递进式练习设计，如结合“抖空竹”现实情境的例题，培养几何直观与模型意识。通过基础结论应用、综合角度计算等分层题型，帮助学生掌握等角转化推理方法，既支持基础薄弱学生巩固方法，也助力优秀学生提升探究能力，为教师精准教学提供有效素材。

专题10 平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，，∴， ∵，∴，故选：B． （2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， 已知，，，， ∵，∴．故答案为：C． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 例2（24-25下·重庆巴南·七年级阶段练习）如图，，，则 ． 【答案】/40度 【详解】解：延长交于F，∵，，∴， ∴．故答案为：． 例3（24-25七年级下·陕西西安·期末）星期六上午，小红同学看到王大妈在广场上“抖空竹”，如图是王大妈“抖空竹”时的一个瞬间，小红把它抽象成如图的数学问题：已知，，，则的度数为 ． 【答案】/32度 【详解】解：延长交于点，，， 由外角的性质得，，．故答案为：． 例4（24-25·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，，点C在直线上方，连接，．若，，则的度数为 ．    【答案】 【详解】解：延长交于点F，如下图：    ，，， ，，，． 例5（24-25·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______． 【答案】∠P＝360°﹣2a 【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H， ∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3， ∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG， ∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°， ∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3， ∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a． 例6（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作， ，，又，， ，，，故答案为：． 例7（24-25七年级下·河南许昌·期中）两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．已知直线为平面内一点，连接． 【问题情境】（1）如图1，已知，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求． 按照小明的思路，易求得的度数为___________； 【类比探究】（2）如图2，设，猜想之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】（3）如图3，平分交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【详解】解：（1）过点作， ∵，，∴， ∵，∴， ∴；故答案为： （2），证明如下：过点P作， ，，，， ，， ，； （3）∵，∴，由（2）可知， ∵，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴． 1．（24-25上·山东·八年级专题练习）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于．，；    ，；，； 等于180度的是．故选：D． 2．（24-25七年级下·北京·期末）如图，将直角三角板的两个顶点和分别放在直线和直线上，已知直线，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，根据题意得：，∵，，∴， ∵，∴．故选：B 3．（24-25下·重庆九龙坡·七年级校考期中）如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过E作，过H作，    ∵，∴，∵， ∴，， ∴， 同理∵，∴，， ∴， ∵，，∴， ∴ ．故选：B． 4．（2025·河南周口·模拟预测）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，，，， ，，故选：B． 5．（26-25下·湖北武汉·七年级期末）如图，，，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点F作，延长交于点G，    ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∴， ∵，∴，∴．故选：B 6．（24-25七年级下·广东广州·期末）抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，则的度数为 ． 【答案】/30度 【详解】解：如图，延长交于，，，， ，，即的度数为，故答案为：． 7．（24-25·江苏·七年级假期作业）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180° 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，， ，；故答案为180°． 8．（24-25七年级下·北京海淀·阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    【答案】/147度 【详解】解：，，，． 平分，．，， ．故答案为：． 9．（24-25·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，，，则 ． 【答案】/20度 【详解】解：延长交于点，延长交于点， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴．故答案为：． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究：如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移：如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展：在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1)(2)，(3) 【详解】（1）如图，过点C作，则， ∴，∴， ∴． （2）．理由如下：如图，过点F作，过点C作， 则，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，，∵，∴．故答案为：． 11．（24-25下·山东青岛·七年级统考期末）某种零件的形状如图所示，现要判断与是否平行，工人师傅分别测量了，和的度数后，就做出了判断．试猜想，和之间满足什么关系时，并证明你的猜想．    【答案】当时，，证明见解析 【详解】解：当时，，证明如下： 如图，过点作，，    ，， ，，． 12．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．(1)请对说明理由；(2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）解：理由如下：∵，，∴，∴； （2）解：∵与底座都平行于地面，∴，∴， ∵，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴． 13．（24-25七年级下·北京丰台·期末）阅读下列材料： 如图，点是线段，所在直线之间的一点，且，连接，． 小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是： 如图1，过点作，由，可得．根据平行线的性质，可得，，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题 (1)如图2，点是线段，所在直线上方的一点，且，连接，．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；(2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)，证明见解析 (2)图见详解，（或） 【详解】（1）解：过点P作，∴ ∵，∴ ∴， ∵∴，即． （2）根据题意，补全图形如下： ∵平分，平分，∴，， ∵，， 且 ∴，∴， ∴， 由（1）知，∴，即 14．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，，，，平分，平分，的反向延长线交于点G． (1)若，则_______； (2)请探索与之间满足的数量关系？说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：过点E作，过点F作，如图， ∵，∴，∵，且，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴；故答案为：； （2）解：，理由如下：过点E作，过点F作，如图， ∵，∴，∵，且，∴， ∵，∴，∵，且，∴， ∵，， 又∵，∴，即； （3）解：延长交于点R，延长交于点Q，如图， ∵，∴ ∵，∴， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴． 15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：过点作， ∵∴∴ ∵∴， ∵∴，即，故答案为：． （2）①，理由如下：过点作，则， ∴，∴， ∵，∴，∴； ②，理由如下：过点作，则， ∴∵ ∴∴． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】（1）如图①，，，，求的度数；（2）如图②，，点在直线上，点在直线上方，连接，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，，点在直线上，点在直线上方，连接，，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图①，过点作． 因为，，所以，． 所以． 因为，，所以． （2），理由如下： 如图②，过点作． 因为，所以．所以，． 所以．即．所以 （3）如图③，过点作． 因为，，所以．所以，． 所以． 所以． 又因为，分别是与的平分线， 所以，．所以． 由（2）知，，所以． 所以． 即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． （2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是 ． 例2（24-25下·重庆巴南·七年级阶段练习）如图，，，则 ． 例3（24-25七年级下·陕西西安·期末）星期六上午，小红同学看到王大妈在广场上“抖空竹”，如图是王大妈“抖空竹”时的一个瞬间，小红把它抽象成如图的数学问题：已知，，，则的度数为 ． 例4（24-25·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，，点C在直线上方，连接，．若，，则的度数为 ．    例5（24-25·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______． 例6（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，，则 ． 例7（24-25七年级下·河南许昌·期中）两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．已知直线为平面内一点，连接． 【问题情境】（1）如图1，已知，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求． 按照小明的思路，易求得的度数为___________； 【类比探究】（2）如图2，设，猜想之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】（3）如图3，平分交于点，请直接写出的度数． 1．（24-25上·山东·八年级专题练习）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（  ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期末）如图，将直角三角板的两个顶点和分别放在直线和直线上，已知直线，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25下·重庆九龙坡·七年级校考期中）如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 4．（2025·河南周口·模拟预测）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（26-25下·湖北武汉·七年级期末）如图，，，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东广州·期末）抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，则的度数为 ． 7．（24-25·江苏·七年级假期作业）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 8．（24-25七年级下·北京海淀·阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    9．（24-25·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，，，则 ． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究：如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移：如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展：在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 11．（24-25下·山东青岛·七年级统考期末）某种零件的形状如图所示，现要判断与是否平行，工人师傅分别测量了，和的度数后，就做出了判断．试猜想，和之间满足什么关系时，并证明你的猜想．    12．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．(1)请对说明理由；(2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 13．（24-25七年级下·北京丰台·期末）阅读下列材料： 如图，点是线段，所在直线之间的一点，且，连接，． 小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是： 如图1，过点作，由，可得．根据平行线的性质，可得，，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题 (1)如图2，点是线段，所在直线上方的一点，且，连接，．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；(2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 14．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，，，，平分，平分，的反向延长线交于点G． (1)若，则_______； (2)请探索与之间满足的数量关系？说明理由； (3)求的度数． 15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】（1）如图①，，，，求的度数；（2）如图②，，点在直线上，点在直线上方，连接，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，，点在直线上，点在直线上方，连接，，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $