专题01 空间向量的运算及基本定理的六种题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第一册

专题01 空间向量的运算及基本定理的六种题型 题型一：空间向量的概念 题型二：空间向量的加减运算 题型三：空间向量共线问题 题型四：空间向量数量积的应用 题型五：空间向量共面的判定 题型六：空间共面向量基本定理及应用 题型一：空间向量的概念 1．给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 3．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 4．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 5．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 7．下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 8．给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．在空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模，（表示向量的夹角）. 在正方体中，有以下四个结论，其中正确的个数是（    ）      ①；②； ③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 10．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 12．给出下列四个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，满足且，同向，则； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任意向量，必有. 其中真命题的序号为 . 13．如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空).    14．给出下列几个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，则或； ③对于任何向量，，必有． 其中正确命题的序号为 ． 15．给出下列命题： ①空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量没有方向； ⑤对于任意向量，必有. 其中正确命题的序号为 . 16．如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有 个. 题型二：空间向量的加减运算 1．如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 4．在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 5．在四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 6．在四面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知平行六面体中，点是侧面的中心，且，则（    ） A． B． C． D． 11．在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 12．如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ．    13．如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则 ， ． 14．如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 15．在四面体OABC中，，，，点M为棱BC的中点，则 （用表示） 题型三：空间向量共线问题 1．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．设向量不共面，已知， 若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 7．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 10．对空间任意两个向量、，的充要条件是存在实数，使得 ． 11．设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 12．已知，，不共面，若，，且三点共线，则 13．已知空间的一组基底为，且满足，则 ． 14．已知、、为不共面的三个空间向量，若与共线，则的值为 . 题型四：空间向量数量积的应用 1．已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 2．在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为1，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 5．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 6．在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 8．若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 9．在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 10．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 11．在平行六面体中，，，则的值为（   ） A．3 B．2 C．5 D．6 12．已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 13．如图所示，正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 14．三角形，，，为空间中一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 15．如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型五：空间向量共面的判定 1．若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 3．若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 5．设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 6．已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 8．如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、 ．（填“共面”或“不共面”）    9．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为 ． 10．已知、、是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是 ． ①，，； ②，，； ③，，． 题型六：空间共面向量基本定理及应用 1．如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 3．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，，则可以表示为（   ）    A． B． C． D． 5．在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，若，E为线段上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 8．在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是 9．已知为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数 . 10．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量 . 11．如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为 . 12．如图，木质正四棱锥模型，底面边长为，高为2．过点A作一个平面分别交于点，若，则的值为 ．    13．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为 ． 14．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则    15．设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的运算及基本定理的六种题型 题型一：空间向量的概念 题型二：空间向量的加减运算 题型三：空间向量共线问题 题型四：空间向量数量积的应用 题型五：空间向量共面的判定 题型六：空间共面向量基本定理及应用 题型一：空间向量的概念 1．给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 2．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 3．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 4．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 5．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 6．如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】根据模的定义，以及平行六面体的性质，即可求解. 【详解】由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量分别为： ，共7个. 故选：C． 7．下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【答案】C 【分析】对于A，由共线向量的定义分析判断，对于B，举例判断，对于C，根据数乘向量的意义分析判断，对于D，根据向量和加法法则判断. 【详解】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误， 对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B错误， 对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确， 对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误. 故选：C 8．给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相等向量的定义易判断①为假命题；对于②借助于正方体图形推理易得；对于③由空间向量的相等定义易得. 【详解】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题； 对于②，如图正方体中，且则得, 故有，,且方向一致，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题． 故选：B． 9．在空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模，（表示向量的夹角）. 在正方体中，有以下四个结论，其中正确的个数是（    ）      ①；②； ③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①由图结合外积定义分别计算与可判断正误；②通过判断与是否相等可得选项正误；③由向量外积定义可判断正误；④通过判断与是否相等可判断选项正误； 【详解】由题意，设正方体边长为，   ①由几何知识得，是全等的等边三角形，且边长为 ∴， ， ， ∴，①正确. ②由几何知识得，， ， 又由图可知， 则为一个与同向且模长为的向量. ， 又， ， 则，分别为与，向量同向且模长为的向量. 设，，由向量加法法则可知与同向， 其模， 则，故②正确； ③， ∴ ∵右手系叉乘具有方向， ∴， ， ∴，③ 错误； ④，，故④ 错误； 故选：B. 10．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案. 【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 11．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 12．给出下列四个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，满足且，同向，则； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任意向量，必有. 其中真命题的序号为 . 【答案】④ 【分析】根据向量的概念及相等向量、相反向量的概念，向量的加法运算及几何意义逐个判断即可. 【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误； 对于②，向量是不能比较大小的，故错误； 对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误； 对于④，若不共线时，设，以为邻边作一个平行四边形， 如图所示： 由平面向量的加法法则可知，根据三角形中三边关系可得； 若共线且同向时满足成立； 综上所述：对任意向量，，，正确. 故答案为：④ 13．如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空).    【答案】 相等 相反 【分析】根据给定的几何体，结合相等向量，互为相反向量的意义判断即得. 【详解】在三棱柱中，四边形是平行四边形，则，即与是相等向量； 四边形是平行四边形，，即与是互为相反向量. 故答案为：相等；相反 14．给出下列几个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，则或； ③对于任何向量，，必有． 其中正确命题的序号为 ． 【答案】③ 【分析】根据相反向量的定义可以判断①；两个向量模相等，这两个不一定是相等向量或相反向量可以判断②；通过对，同向，反向，不共线进行分类讨论，结合三角形法则和三边关系则可以判定③. 【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错； 对于②，若，则与的长度相等，但方向没有任何联系，故②不正确； 对于③，若与同向，则，若与反向，，若与不共线，结合三角形法则和三角形三边关系，两边之和大于第三边，所以，综上必有，所以③正确．      故答案为：③ 15．给出下列命题： ①空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量没有方向； ⑤对于任意向量，必有. 其中正确命题的序号为 . 【答案】⑤ 【分析】根据相等向量、相反向量、零向量、向量的模等知识对五个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，空间单位向量的模为，但方向不一定相同，所以①错误. ②，方向相反的两个向量模不一定相等，所以不一定是相反向量，所以②错误. ③，向量不能比较大小，所以③错误. ④，零向量的方向是任意的，所以④错误. ⑤，，， 由于， 所以， 所以，所以⑤正确. 故答案为：⑤ 16．如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有 个. 【答案】7 【分析】根据向量模长相等即可结合几何体特征求解. 【详解】与模长相等的向量有：共有7个. 故答案为：7 题型二：空间向量的加减运算 1．如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 2．如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】,， 所以， 所以， 所以 . 故选：A. 3．已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【详解】在平行六面体中，==. 故选：C 4．在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正四面体的性质可得为重心，则有，再借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】在正四面体中，为正三角形，则点为重心， 故，故， 故. 故选：B. 5．在四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用空间向量的加法减法法则，结合  线性运算的几何表示计算即可 。 【详解】在中，， 在中，， 故 . 故选：A. 6．在四面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】    在中，，在中，， 故 . 故选：A. 7．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示，然后由向量加减法运算可得结果. 【详解】因为是平行四边形，所以， 所以， 所以. 故选：B. 8．如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图及空间向量加减法可得答案. 【详解】由图可得： . 故选：C 9．如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：B 10．如图，已知平行六面体中，点是侧面的中心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】因为点是侧面的中心， 所以点是的中点， 则 . 故选：C. 11．在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体，空间向量的线性运算的几何意义，用已知向量表示出目标向量即可求解. 【详解】 . 故选：C. 12．如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ．    【答案】 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】； ； ； 故答案为：；；. 13．如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则 ， ． 【答案】 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求. 【详解】在中，，，则， 在中，，，则， ∵在中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 故答案为：，. 14．如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由图可得 . 故答案为：. 15．在四面体OABC中，，，，点M为棱BC的中点，则 （用表示） 【答案】 【分析】由向量的减法可得：，再利用为的中线即可求解. 【详解】    连接，所以， 又因为为的中点，所以， 所以，又，，， 所以， 故答案为：． 题型三：空间向量共线问题 1．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为 . 因为、、三点共线，所以. 所以 . 故选：D 3．设向量不共面，已知， 若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 4．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 5．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C.    6．已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 7．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 8．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 9．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 10．对空间任意两个向量、，的充要条件是存在实数，使得 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共线定理即可得到答案. 【详解】根据向量平行的充要条件可得. 故答案为：. 11．设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 12．已知，，不共面，若，，且三点共线，则 【答案】2 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以， 因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得， 所以． 故答案为：2 13．已知空间的一组基底为，且满足，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线列方程组，解方程求得，进而求得. 【详解】由题得存在实数满足，则． 又为空间的一组基底，则满足，解得则． 故答案为： 14．已知、、为不共面的三个空间向量，若与共线，则的值为 . 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】因为于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 题型四：空间向量数量积的应用 1．已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 【答案】C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 2．在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 3．已知正方体的棱长为1，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律和定义即可. 【详解】由题意可知，两两垂直，且其模长均为， . 故选：B    4．已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 5．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积运算律及定义计算求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动， 当为直径时，，所以的最大值为. 故选：A. 6．在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可求得，可判断AB；，可判断C；由，可得，进而计算可得，可判断D. 【详解】，故AB错误； 因为，所以，所以不一定等于，故C错误； 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 7．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 8．若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由是一个单位正交基底，得， 所以. 故选：A 9．在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可. 【详解】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 10．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 11．在平行六面体中，，，则的值为（   ） A．3 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平行六面体结合空间向量的运算可得 ，结合空间向量的数量积的运算即可得结论. 【详解】在平行六面体中，，，    则，， 则 . 故选：B. 12．已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可. 【详解】由得， 两边平方得， 又，所以， 所以. 故选：A 13．如图所示，正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O，整理可得，进而分析求解. 【详解】由正方体的棱长为2，可得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为． 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O， 则． 由于P为正方体表面上的动点，则，所以． 故选：B. 14．三角形，，，为空间中一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分析出三角形为直角三角形，建立空间直角坐标系，计算向量坐标求出最值. 【详解】因为中，，. 所以，所以为直角三角形，且. 所以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，以点竖直向上垂直于底面为轴，建立空间直角坐标系. 所以.设. ；；.. 即配方得：. 所以当且仅当时，取得最小值为. 故选：. 15．如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出，再对已知式子化简可得，，从而可得点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，进而可求出的最大值. 【详解】因为，，且两两所成的角均为60°， 所以， ． 由，得， 所以， 由，得， 所以，所以， 因此点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，两个球的半径分别为，， 设点，分别是AB，AC的中点，则， 所以DE的最大值为， 故选：A． 题型五：空间向量共面的判定 1．若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项：，所以，，是共面向量； B选项：，所以，，是共面向量； C选项：， 所以，，是共面向量； D选项：令，即， 则，显然方程组无解，故，，不是共面向量． 故选：D． 2．若构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理来进行判断，如果共面就不能构成空间基底. 【详解】因为，所以这三个向量共面，即不可以构成空间基底，故A错误； 因为，所以这三个向量共面，即不可以构成空间基底，故B错误； 因为，所以这三个向量共面，即不可以构成空间基底，故C错误； 假设，此时无解，所以这三个向量不共面，即可以构成空间基底，故D正确； 故选：D 3．若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理以及空间共面向量逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A，若，，共面，则， 使得， ，方程组无解，则，，不共面，故A不符合题意； 对于B，若，，共面，则， 使得， ，方程组无解，则，，不共面，故B不符合题意； 对于C，易知不能用与表示， 则，，不共面，故C不符合题意； 对于D，，则 ，，共面，故D符合题意． 故选：D． 4．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量定理和空间向量基底的定义逐一验证即可. 【详解】对于A：设，则，由无解， 故不存在，使得，所以不共面，故A错误， 对于B：，则，则， 不存在，使得所以不共面，故B错误； 对于C：，所以共面，故C正确； 对于D：设， 故不存在，使得， 所以不共面，故D错误. 故选：C. 5．设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可. 【详解】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 6．已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四点共面的结论运算求解即可. 【详解】因为，且四点共面， 则，解得. 故选：C. 7．有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 8．如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、 ．（填“共面”或“不共面”）    【答案】共面 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算，再利用共面向量定理判断即得. 【详解】依题意，， 所以向量与、共面. 故答案为：共面 9．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理可判断，，共面，又平面，所以. 【详解】因为， 所以，， 所以，，共面， 又，，为底面圆周上三点，所以点为平面上一点， 由已知平面， 所以， 又圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以， 所以的最小值为， 故答案为：. 10．已知、、是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是 ． ①，，； ②，，； ③，，． 【答案】①③ 【分析】利用向量共面定理即可判断出结论． 【详解】对于①， ，，是空间三个不共面的向量， ，，是不共面的向量，故①正确； 对于②，假设存在实数，，使得， 则，，，解得：，，因此，，是共面向量，故②不正确． 对于③，假设存在实数，，使得， 则，，，无解， 假设不成立，因此，，不共面，故③正确． 故答案为：①③． 题型六：空间共面向量基本定理及应用 1．如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用表示出. 【详解】 . 故选：D 2．如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 【答案】D 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：D. 3．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 4．如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，，则可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平行六面体的性质，根据空间向量的线性运算性质求解即可. 【详解】由题意可知，. 故选：B. 5．在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】因为点，分别为棱，的中点， 所以. 故选：A. 6．如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设，由，综合题目条件得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】假设， 因为， 因为，，所以，， 所以，又， 所以, 因为、、、四点共面，所以，解得， 所以. 故选：B. 7．在正方体中，若，E为线段上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定的基底，利用空间向量线性运算求得答案. 【详解】在正方体中，， 由，得. 故选：D 8．在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是 【答案】 【分析】由得，进而得，即，最后利用二次函数即可求解. 【详解】由题意有 由有， 所以， 所以， 所以 ， 当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 9．已知为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数 . 【答案】/0.25 【分析】根据四点共面的推论即可求解. 【详解】为空间中任意一点，三点不共线，且， 若四点共面，则，解得， 故答案为： 10．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量 . 【答案】 【分析】设，然后解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 11．如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的四点共面定理，得出关系. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以. 故答案为： 12．如图，木质正四棱锥模型，底面边长为，高为2．过点A作一个平面分别交于点，若，则的值为 ．    【答案】/0.75 【分析】设，则 ，结合四点共面，从而得到，即可求得答案． 【详解】因为，所以， 设， 则 ， 因为四点共面，可设， 故， 即， 故， 则，解得， 故答案为：． 13．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】因为． 由题意得，所以． 故答案为：. 14．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则    【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】连接，如下图所示：    因为为的中点，则，即， 所以，，故， 因为，则， 因此，. 故答案为：. 15．设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由点满足，且，所以点在平面内，当为正三棱锥O-ABC的高时最小. 【详解】点满足，且， 所以点在平面内，因为正三棱锥O-ABC的棱长都是2， 所以当点与点在平面内的射影重合时， 即长为正三棱锥O-ABC的高时，取到最小值， 此时的最小为：. 故答案为：. 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $