专题3.1 空间向量的运算及基本定理（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第一册

专题3.1 空间向量的运算及基本定理 教学目标 1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义． 2．掌握空间向量的线性运算． 3．掌握空间向量的数量积及运算规则，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 教学重难点 1.重点 空间向量的基本定理及空间向量的数量积 2.难点 空间向量基本定理及数量积的应用 知识点01 空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 【即学即练】 1．关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 2．下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 3．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 4．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 知识点02 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. 推论　如图所示，点P在l上的充要条件是 ＝＋ta ① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝ ＋t或＝(1－t)＋t. (2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底. 【即学即练】 1．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 3．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 4．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【即学即练】 1．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 2．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 3．在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 4．已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 题型01 空间向量的概念 【典例1】下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【变式1】在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列命题中，假命题是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【变式4】在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 题型02 空间向量的加减运算 【典例1】在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】在空间四边形PABC中，（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 题型03 空间向量共线问题 【典例1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【变式2】在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3】在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 题型04 空间向量数量积的应用 【典例1】在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【变式3】已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【变式4】如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 题型05 空间向量共面的判定 【典例1】若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【变式4】已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 题型06 空间共面向量基本定理及应用 【典例1】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在平面ABC内，，则下列选项中可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】正四棱锥中，点在线段上，且，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在三棱锥中，，，，点在线段上，且，为线段的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 1．已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知空间四点，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 9．直三棱柱中，点为的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 11．定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 . 12．如图，在四面体中，为的中点，，且为的中点，设，用表示，则 . 13．在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为 ． 14．在三棱锥中，为的中点，则等于 ． 15．在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为 .    16．已知直三棱柱的每条棱长均为2，为棱的中点，点满足，则的最小值为 ． 17．已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 空间向量的运算及基本定理 教学目标 1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义． 2．掌握空间向量的线性运算． 3．掌握空间向量的数量积及运算规则，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 教学重难点 1.重点 空间向量的基本定理及空间向量的数量积 2.难点 空间向量基本定理及数量积的应用 知识点01 空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 【即学即练】 1．关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 2．下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 3．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 4．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 知识点02 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. 推论　如图所示，点P在l上的充要条件是 ＝＋ta ① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝ ＋t或＝(1－t)＋t. (2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底. 【即学即练】 1．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点． 【详解】对于A，， ，不共线，即三点不共线，故A错误； 对于B，， ，不共线，即三点不共线，故B错误； 对于C，， ，则共线，即三点共线，故C正确； 对于D，， ，不共线，即三点不共线，故D错误； 故选：C． 2．如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 3．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，再利用共面定理，即可得解. 【详解】取，，， 所以，， ，则 ，， 设， 又， 所以， 由于共面，故存在使得 ， 所以，解得， 故. 故选：A. 4．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 知识点03 空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【即学即练】 1．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为 . 故选：B 2．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】由向量数量积的定义即可求解. 【详解】在棱长为2的正方体中， ，， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为， · =. 故选：B 3．在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 4．已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 题型01 空间向量的概念 【典例1】下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 【变式1】在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的性质及相反向量的定义，再结合选项，即可求解. 【详解】如图连接，因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以与向量相反的向量是，    故选：A. 【变式2】在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案. 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C 【变式3】下列命题中，假命题是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：由空间向量的定义知，空间向量具有大小和方向， 所以任意两个空间向量不能比较大小，故A为真命题； 选项B：两个向量模长相等，方向不一定相同，充分性不成立， 两个相等向量模长一定相等，必要性成立，故B为真命题； 选项C：长度为0的向量叫做零向量，只有零向量的模长等于0，故C为真命题； 选项D：共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题； 故选：D 【变式4】在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 题型02 空间向量的加减运算 【典例1】在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 【变式1】在空间四边形PABC中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 【变式2】已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合空间向量的线性运算计算即可求解． 【详解】因为是平行四边形，且， 则 ．显然A正确. 故选：A． 【变式3】在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 【变式4】如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的三角形法则，将所求向量分解为已知向量或可转化为已知向量的组合，再根据向量的线性运算规则进行计算即可. 【详解】由已知. 故选：D. 题型03 空间向量共线问题 【典例1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式1】设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 【变式2】在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 【变式3】在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据正方体的性质可解. 【详解】如图，在正方体中， . 故选：A. 【变式4】下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确； 故选：D. 题型04 空间向量数量积的应用 【典例1】在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 【变式1】已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【详解】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 【变式2】三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 【变式3】已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据数量积的定义及数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 故选：C. 【变式4】如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【答案】C 【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以 . 故选：C. 题型05 空间向量共面的判定 【典例1】若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 【变式1】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据空间向量基底的判定，即向量组是否共面，若不共面则构成空间的一组基底. 【详解】设，即， ，此方程组无解， ，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 【变式2】已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【详解】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 【变式3】若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理逐项判断即可． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 【变式4】已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 题型06 空间共面向量基本定理及应用 【典例1】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在平面ABC内，，则下列选项中可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【详解】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是， 即若点M在平面ABC内，则且. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点共面； 对C，因为，所以四点不共面； 对D，因为，所以四点不共面. 故选：B 【变式1】正四棱锥中，点在线段上，且，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则，结合条件，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意 . 故选：D 【变式2】已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得. 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且. 对于A，由，得，点不共面，故A不合题意； 对于B，由，得，点不共面，故B不合题意； 对于C，由，得，点不共面，故C不合题意； 对于D，由，得，点共面，故D符合题意. 故选：D. 【变式3】如图，在三棱锥中，，，，点在线段上，且，为线段的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：B 【变式4】已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 1．已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】因为， 所以,， 则,所以, 故选：B 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在四棱锥中，平面，且，若， 则 . 故选：A. 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法运算法则，以，，为基底表示出即可. 【详解】如图：    ， 又， 所以 ， 故选： 4．已知空间四点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则，根据起点相同的原则，首先计算，再计算，即可得出正确答案. 【详解】； 故选：. 5．如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 6．在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案. 【详解】 故选：A 7．如图，在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 8．如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由图可得：， 故选:A． 9．直三棱柱中，点为的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算法则，作为基底表示即可. 【详解】∵在直三棱柱中，点为的中点， ，，， ∴ ，A正确. 故选：A. 10．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 11．定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 . 【答案】 【分析】先由向量在基底下的坐标，写出关于的线性组合，再整理成关于的一个线性组合，即得向量在基底下的坐标. 【详解】因向量在基底下的坐标是， 则， 故向量在基底下的坐标是. 故答案为： 12．如图，在四面体中，为的中点，，且为的中点，设，用表示，则 . 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以 故答案为： 13．在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，延长、、至点、、，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到、、、四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的，结合正三棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长、、至点、、，使得，，， 所以， 又由，所以、、、四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为，则点到平面的距离是点到平面的距离的， 又因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接、，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故答案为：. 14．在三棱锥中，为的中点，则等于 ． 【答案】1 【分析】以为基底向量，由题意可得，结合空间向量数量积的运算律代入求解即可. 【详解】由题意可知：，， 因为，， 所以 . 故答案为：1. 15．在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为 .    【答案】 【分析】设，点P是平面FAB内一点，则，点P是平面DBC内一点，则，点P是平面EAC内一点，则，即 ，解出即可求解. 【详解】设， 因为，，， 点P是平面FAB内一点，则，且， 点P是平面DBC内一点，则，且， 点P是平面EAC内一点，则，且， 联立，解得，所以. 故答案为: . 16．已知直三棱柱的每条棱长均为2，为棱的中点，点满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由共面定理得点在平面内，则的最小值为点到平面的距离．求得点面距后可得结论. 【详解】，点在平面内，的最小值为点到平面的距离． 如图，设，的中点分别为，，连接，，，． 由题意，又平面 平面，平面 平面 ，平面， 所以平面，因为，平面，．，，又，平面． 而平面，所以，所以， 的最小值为． 故答案为：.    17．已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据点共面，系数相加为1的性质即可求 【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $