专题2.7 曲线与方程（高效培优讲义）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题2.7 曲线与方程 教学目标 1.了解曲线与方程的对应关系，学会利用方程研究曲线的性质 2.掌握求动点轨迹放的方法 3.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线 、圆和圆锥曲线的参数方程 4.了解极坐标的定义，会用直线和圆的极坐标方程，掌握极坐标和直角坐标的互化 教学重难点 1.重点 （1）求动点的轨迹方程 （2）常见的参数方程和极坐标方程 2.难点 （1）分析曲线与方程的关系； （2）极坐标和直角坐标的互化 知识点01 曲线与方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 【即学即练】 1．已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是（   ） A．曲线是方程的解 B．不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解 C．凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 【答案】C 【分析】利用曲线的意义判断A；利用互逆关系、互逆否关系命题的真假关系判断BCD. 【详解】对于A，曲线是点的集合，集合中的每个元素对应的坐标是方程的解， 不能说成曲线是方程的解，A错误； 对于BD，不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解，等价于方程的解 为坐标的点都在曲线上，它是命题“曲线上点的坐标都是方程的解”的逆命题， 而互逆的两个命题不一定同真同假，BD错误； 对于C，坐标不满足方程的点都不在曲线上，等价于 “曲线上点的坐标都是方程的解”，C正确. 故选：C 2．下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据方程判断其中的范围及化简后关系式是否相同，即可得答案. 【详解】A：过原点，而不过原点，不是同一曲线； B：，显然与不是同一曲线； C：由，即有，故为同一曲线； D：由，而中，故不是同一曲线. 故选：C 3．如果曲线上的任意一点的坐标都是方程的解，那么下列命题正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线上的点都在方程的曲线上 C．方程的曲线是 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 【答案】B 【分析】由曲线方程的定义，结合集合的包含关系进行逻辑判断即可. 【详解】设所有在曲线上的点构成集合，所有以方程的解为坐标的点构成集合，则原题等价于. A选项等价于，不正确； B选项等价于，正确； C选项等价于，不正确； D选项等价于，不正确. 故选：B. 4．已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 【答案】C 【分析】举例判断ABD,利用反证法可判断C. 【详解】根据题意可以令方程为，曲线为单位圆， 可知方程表示的曲线为曲线的一部分，不正确. 假设命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为假命题， 则存在不在上的点，其坐标满足方程， 由题干可知“坐标满足方程的点都在曲线上” 即点在曲线上，与假设矛盾，故假设不成立， 即命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为真命题，C正确. 故选：C. 知识点02 求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式——列出动点P所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 【即学即练】 1．已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再根据两圆恰有三条公切线可得两圆外切，从而得，化简即可. 【详解】由两圆的标准方程分别为和，得圆心分别为和，半径分别为1和3， 又两圆恰有三条公切线，所以两圆外切， 所以，则，即， 故选：C 2．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】， 【分析】设，，由此能求出动点的轨迹方程． 【详解】设，则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 3．已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是 【答案】 【分析】设点，利用中点坐标公式得，解得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，所以①， 又，代入①有：，解得， 故答案为：. 4．已知圆经过点和，且圆心在直线上，过点的动直线与圆交于两点，线段中点为为坐标原点. (1)求圆的标准方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求直线的方程及三角形面积. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）设圆心为，由，求出的值，即可得答案； （2）由题意可得，从而得轨迹为以线段为直径的圆上，即可得答案； （3）由，可得在的圆上，由圆与圆相交，即可得直线的方程，再由三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）根据题意，设圆心为， 由， 可得， 解得， 所以，圆心为， 半径为， 因此，圆的方程为. （2）因为是线段中点， 所以， 所以点轨迹为以线段为直径的圆上， 故轨迹为以为圆心，半径为的圆， 故的轨迹方程：. （3）因为， 所以在以为圆心，半径为5的圆上， 即在的圆上， 又因为在上， 两圆相减可得：，    因为到的距离， 所以面积为. 知识点03 两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 【即学即练】 1．已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先根据对称性分析可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，再说明若曲线在坐标轴上有交点，则交点也为4个，不会出现2个，并举例说明4个交点的可能. 【详解】对于， 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于x轴对称； 综上所述：曲线关于x、y轴对称； 同理可知：曲线关于x、y轴对称； 且，可知原点不为公共点， 结合对称性可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，故AC错误； 根据对称性：不妨假设， 若曲线在第一象限内有交点，根据对称性可知：每个象限内均有交点，即交点个数为4的倍数； 若曲线在坐标轴上有交点，不妨设为曲线的公共点， 则，解得， 此时曲线，曲线， 显然也为曲线的公共点， 结合对称性可知：此时至少有4个公共点，即曲线不可能有2个交点，故B错误； 例如， 则曲线，曲线， 令，则，解得， 即，解得或或或， 即交点为，为4个，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：分析方程的对称性，结合对称性可知交点个数必为偶数. 2．曲线与的交点个数是 ，曲线上的点到点的距离的最小值为 . 【答案】 2 【分析】联立曲线方程和直线方程，整理为一元二次方程，通过判别式判断方程的根的个数，从而知道交点个数；整理曲线方程得到两条直线方程，由点到直线的距离，得到曲线上的点到定点距离的最小值. 【详解】联立方程组，整理得，， 方程有两个不同的解，即曲线与直线的交点个数为2； 曲线可化为两条直线：和：， 则点到直线的距离， 点到直线的距离， ∴曲线上的点到点的距离的最小值为. 故答案为：2； 3．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，为坐标原点，直线的斜率为，则 ． 【答案】 【分析】设点，根据直线的斜率公式得到；联立两方程解出，，即可代入得出答案. 【详解】设点，根据直线的斜率公式得到， 联立方程与消去y， 得：，解得，即， 代入解得：，即， ， 故答案为：. 4．已知曲线. (1)证明：曲线关于轴对称； (2)求直线与曲线的交点个数，并求出所有交点的横坐标； (3)若直线与曲线有三个不同的交点，且，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)3；横坐标分别为 (3)5 【分析】（1）设是曲线上任意一点，将代入方程化简即可得证； （2）联立直线方程和曲线方程，消去，然后因式分解即可得解； （3）联立方程消去，根据的关系可得，用表示出，利用换元法结合导数求出的最大值即可得解. 【详解】（1）设是曲线上任意一点，则有， 容易知道，即点关于轴的对称点也在曲线上. 所以曲线关于轴对称. （2）联立，消去，可得， 即，即 因为是方程的根，所以方程有因式， 所以. 于是或，解得或. 所以交点个数为3，横坐标分别为. （3）联立，消去，可得， 即. 于是或，方程的两个根的乘积是， 由此可知，，，且，则 又因为，所以. 因为是方程的正根，所以. 设，则，于是. 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以. 所以的最小值为5. 知识点04 参数方程 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．几种常见曲线的参数方程 (1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 (t为参数)． (2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是，其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程 (3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是，其中φ是参数． 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是，其中φ是参数． (4)抛物线：抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程是(t为参数)． 【即学即练】 1．若点在曲线（为参数）上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，代入目标函数，整理化简，求出三角函数的值域即可. 【详解】由题可得， . 故选：C. 2．曲线的参数方程为（为参数），则曲线的离心率 ． 【答案】 【分析】消参得出曲线的普通方程，进而由双曲线的性质得出离心率. 【详解】由题意可得，两式相减得 即曲线的离心率 故答案为： 3．已知曲线C的参数方程为则曲线C的直角坐标方程为 ． 【答案】， 【分析】由三角恒等变换消元可得．利用两角差的正弦公式及正弦函数性质得的范围． 【详解】， 又， 所以曲线方程为：． 故答案为：． 4．直线（为参数，）和曲线，（为参数，）交于、两点，则 . 【答案】/ 【分析】将参数方程化为直角坐标方程，再求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理、垂径定理计算可得. 【详解】直线（为参数，），即， 曲线，（为参数，），即，表示圆心为坐标原点，半径的圆， 其中坐标原点到直线的距离， 所以. 故答案为： 知识点05 极坐标系与极坐标方程 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 2.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ(－≤θ<) 圆心为(r，)，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 (1) θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a(－<θ<) 过点(a，)，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π) 【即学即练】 1．在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为(   ) A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】将直线和圆的极坐标方程转化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离等于半径，得到答案. 【详解】将直线化为直角坐标方程为，即； 将圆化为直角坐标方程为，其圆心坐标为，半径为． 又圆心到直线的距离为，等于圆的半径， 所以直线与圆相切， 所以直线与圆只有一个公共点． 故选：A 2．在极坐标系中，若圆的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系，则在直角坐标系中，圆心的直角坐标是 . 【答案】 【分析】应用差角余弦公式及公式法将极坐标方程化为直角坐标方程，进而确定圆心坐标. 【详解】因为， 所以，即， 因此圆心坐标为. 故答案为： 3．在极坐标系中，曲线与曲线的交点的极坐标为 ． 【答案】 【分析】由 可得，将代入结合二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】解：因为，所以. 因为，， 所以， 所以交点的极坐标为. 故答案为:. 4．在直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线被曲线截得的弦的长为 . 【答案】8 【分析】将参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程，联立后由弦长公式求解 【详解】∵直线的参数方程为（为参数）， ∴直线的直角坐标方程为， ∵曲线的极坐标方程为，即 ， ∴曲线的直角坐标方程为， 联立后化简得 设直线与抛物线交于则 ， 直线被曲线截得的弦的长： 故答案为：8 知识点06 极坐标与直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． (2)互化公式：如图所示，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2， tan θ＝(x≠0) 【即学即练】 1．点的极坐标及直角坐标分别是及．求的值．（　　） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据极坐标与直角坐标相互转换公式进行求解即可. 【详解】已知的极坐标为，直角坐标为， 因此可得：，解得：，. 故选：B 2．在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l与圆相交于A、B两点，若，则直线l的极坐标方程为 ． 【答案】 【分析】将极坐标转化成直角坐标结合圆的知识求解即可. 【详解】则 由直线垂直于极轴且相交， 令直线方程为，则 则则 故答案为： 3．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l与曲线C相交于M，N两点，且线段MN的中点坐标为，则直线l的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】由已知，先把曲线C的极坐标方程化为平面直角坐标方程，根据直线l经过的定点坐标和圆心坐标，先计算，然后得到直线l的斜率，从而计算出直线l的倾斜角. 【详解】由得， 则，∴， ∴曲线C的直角坐标方程为， 设点，曲线C的圆心为， 由题意直线l经过点P，∴， ∵，∴，∴直线l的倾斜角为． 故答案为：（或写成）. 4．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为：（为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：． (1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)在曲线和曲线上分别取点P，Q，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）消参法得到曲线的普通方程；利用公式得到曲线的直角坐标方程； （2）设曲线上的点，利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】（1）∵曲线的参数方程为：（为参数，）， ∴． ∴曲线的普通方程为． ∵曲线的极坐标方程为：，即， 根据，可得， ∴曲线的直角坐标方程为：； （2）∵曲线的直角坐标方程为：， ∴曲线的参数方为：（为参数）． 故可设曲线上的点， ∴点Q到直线的距离， 当，即时，， ∴的最小值为 题型01 根据方程判断表示的曲线及曲线性质 【典例1】2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo．新Logo将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线，则下列有关曲线的说法中错误的是（    ）    A．对任意的且，曲线总关于原点成中心对称 B．当时，曲线上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C．当时，曲线围成的图形面积可以为2 D．当时，曲线上的点到原点最近距离为 【答案】C 【分析】对于A利用曲线对称性质判断；对于B直接求出曲线过四个整点，即可判断；对于C先判断出与坐标轴围成的面积为，再判断出在内部,即可判断；对于D表示出距离.令,利用基本不等式求出最小值. 【详解】对于A：在曲线中,以替换,以替换,方程不变,则曲线关于原点成中心对称，故A正确； 对于B：当时,令,得；令,得.曲线总过四个整点，故B正确； 对于C：当时,由，得：，且等号不同时成立， ∴.又与坐标轴围成的面积为，且在内部，则曲线围成图形的面积小于2，故C错误. 对于D：当时,曲线的方程为：，不妨令均大于0，曲线化为，即，则，令，则，当且仅当且，即时等号成立，结合对称性可知，曲线上点到原点距离的最小值为，故D正确. 故选：C 【变式1】方程表示的曲线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式可得或，，据此可排除错误答案. 【详解】因，则，或，. 对于，若，则， 表示直线或，故可排除A； 若，表示焦点在x轴上，左右顶点为的双曲线， 若，表示焦点在y轴上，上下顶点为的双曲线； 对于，因， 则时表示以原点为圆心，半径为的一系列同心圆，则可排除B； 注意到，则半径最小的圆在双曲线内部，据此可排除C. 故选：D 【变式2】已知曲线：，：，中.①当时，曲线与有个公共点；②当时，第一象限内，曲线位于曲线的下方；③存在实数，使得曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积；④曲线围成的区域内（不含边界）的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数不多于曲线围成的区域内（不含边界）的整点的个数.其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】当时，由可解得交点坐标，即可判断①；令可得在第一象限内，，即可判断②；当时，可知，，取同一个值时，当满足，有，即可判断③；分别讨论当和时的整数点比较可判断④，进而可得正确答案. 【详解】对于①：当时，曲线：，：， 令可得，当时，，当时，， 所以与有个公共点分别为，，，，共个，故①正确； 对于②：当时，曲线，， 当时，：，：，所以， 在第一象限内，，所以曲线位于曲线的下方不正确，故②错误； 对于③：当时，由曲线和的方程可知，， 当取同一个值时，：，：， 当时，曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积，故③正确； 对于④：当时，曲线围成的区域内整点个数等于曲线围成的区域内整点个数， 当时，取同一个大于的数，可得，此时曲线围成的区域内整点个数较多， 所以曲线围成的区域内整点个数不多于曲线围成的区域内整点个数，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论和时，当取同一个值时，两个曲线方程中的大小的比较，此类多采用数形结合的思想. 【变式3】已知曲线C的方程是，给出下列三个结论： ①曲线C与两坐标轴有公共点； ②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点P，Q在曲线C上，则的最大值是. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】②③ 【分析】对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，即可判定①错误，②正确，结合对称性判断③. 【详解】当，时，方程， 当，时，方程， 当，时，方程， 当，时，方程， 作出图象： 由于，，所以①错误. 曲线既是中心对称，又是轴对称图形， 对称中心为，对称轴为轴，②正确. 点，在曲线上，当且仅当，与圆弧所在的圆心共线时取得最大值， 的最大值为圆心距加两个半径，③正确. 故答案为：②③ 【变式4】已知曲线． (1)证明：关于直线对称; (2)判断直线与的交点个数，并证明； (3)证明：是某个函数的图象． 【答案】(1)证明见解析 (2)1；证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）只需证明曲线上任一点关于对称的点为也在曲线上即可； （2）将两方程联立，消去，求方程解的个数即可； （3）判断对任意实数，只有一个与之对应，即关于的方程只有一解，设，只需判断有且只有一根即可. 【详解】（1）点关于对称的点为， 若点在曲线上，即， 所以， 即也在曲线上，故关于直线对称. （2）直线与的交点个数为1. 联立即，化简得，故， 所以直线与的交点个数为1. （3）固定，设，则， 当时，恒成立，此时至多有一个零点； 当时，令，设，则， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以有且仅有一根，即对任意实数，关于的方程只有一解，即对任意实数，只有一个与之对应， 同理可知对任意实数，只有一个与之对应，所以是某个函数的图象． 题型02 曲线的交点问题 【典例1】曲线与的交点是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立方程直接求解可得. 【详解】直接联立方程，消去得， 解得或（舍去）， 所以或，即两曲线的交点为和. 故选：D 【变式1】已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】B 【分析】首先根据条件求出圆的方程，再与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可求出的值. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线的方程为，所以圆. 联立方程得，消元得，即，所以，所以或(不合题意，舍去)，即，所以，所以点的坐标为或，所以或2. 故选：B. 【变式2】曲线与曲线的公共点的个数是 ． 【答案】 【分析】联立两曲线方程，消去，得到关于的一元二次方程，解方程并验证即可求解.. 【详解】曲线与曲线联立得： ，即，解得：或, 当时，，解得：， 点也在曲线上，满足条件； 当时，，此方程无解； 综上曲线与曲线的公共点为，即公共点的个数是； 故答案为： 【变式3】已知曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分析得出曲线，的图像关于轴对称，则在其中一个交点在轴上，在轴上方恰好有一个交点，当时，曲线的方程，则在上恰好有一个实数根，从而得出答案. 【详解】曲线，用代替可得，可得曲线的图像关于轴对称. 曲线用代替可得，从而曲线的图像关于轴对称. 曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则在其中一个交点在轴上，在轴上方恰好有一个交点. 曲线的方程为，所以曲线的图像与曲线的图像必相交于点， 当时，曲线的方程，则，即在上恰好有一个实数根. ,解得 或 所以，解得 故答案为： 【变式4】如图，已知点到两点，距离的乘积为8，点的轨迹记为曲线，与轴交点分别记为．    (1)求曲线的方程； (2)求的周长的取值范围； (3)过作直线分别交于两点，且，若的面积为18，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设，根据已知及两点距离公式得到方程，进而整理可得； （2）令，且，，则，进而得到关于的表达式，应用导数研究单调性求值域，即可得三角形周长的范围； （3）设，由已知得，曲线得，令，结合基本不等式及一元二次不等式的解法求参数范围，即可得. 【详解】（1）设，则，得， 所以； （2）由（1）知，令， 由（1），以为主元直接求根公式知，则， 则，且， ， 令， 则，其中， 所以时，时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，而， 所以的周长的取值范围为；    （3）设，则，则， 由题知，则，代入曲线得：， 令，则 ①当时，，解得，则； ②当时，，解得，则． 综上所述：的最小值为. 题型03 求点的轨迹 【典例1】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【分析】根据关系式的几何意义即可得解. 【详解】由点的运动轨迹方程为:， 表示点到点的距离之和为6，又， 所以的轨迹为线段， 故选：A. 【变式1】已知双曲线的两焦点分别为，为双曲线上一动点，过点作平分线所在直线的垂线，则垂足的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点Q,可知，结合双曲线定义可知，再利用三角形中位线可知，可知为圆的方程. 【详解】不妨假设在双曲线左侧， 延长交于点Q，因为,, 由双曲线定义可知：,可知, 又因为为的中点，为的中点，所以为中位线， 所以，的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆， 所以的轨迹方程为： 故选：A 【变式2】在三棱锥中，，，，直线与平面所成角为60°，直线PB与平面ABC所成角为30°，则点P在所在平面内的射影的轨迹长为 . 【答案】 【分析】过P作平面ABC垂足为H，得，，，进而得到H点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆）. 【详解】过P作平面垂足为H，则，， 因为，，所以， 如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则，， 设，因为，可得， 整理得，即， 所以H点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆），即轨迹长为    故答案为： 【变式3】已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设点，根据两点斜率公式直接列式即可求解. 【详解】设点，则，整理得，显然. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式4】已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为. (1)求的中垂线的一般方程； (2)求底边的另一个端点的轨迹. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）求出中点坐标，由的斜率得到中垂线的斜率，即可写出方程； （2）由已知，可知，则，利用两点间距离公式可得端点的轨迹方程，即可得到答案. 【详解】（1）因为,，则中点为， 则，， 的方程为：，即. （2）设底边的另一个端点的坐标为， 为等腰三角形，， 则，又,， ， 又，，不能共线，所以去掉和这两个点， ∴点的轨迹方程为：，（去掉点和）. 即点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，并去掉和这两个点. 题型04 直线与圆的参数方程 【典例1】直线（t为参数）被曲线截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将直线的参数方程化为标准形式，代入曲线，利用参数几何意义求弦长． 【详解】直线l的参数方程化为标准形式：（t为参数）， 代入，可得， 设方程的根为，，， ∴曲线C被直线l截得的弦长为 故选：A． 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|； (2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0； (3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求|M2M|及中点坐标)． 【变式1】曲线（为参数）与曲线（为参数）的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 【答案】B 【分析】将两圆的参数方程化为普通方程，再利用两圆的位置关系判断. 【详解】（为参数）可化为， （为参数）可化为， 圆心距为， ∴两圆相外切. 故选：B 【变式2】直线是参数上与点距离等于4的点Q的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，设点，结合，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】由直线的参数方程是参数， 设点，因为且，所以， 解得，所以或 故答案为：或 【变式3】在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为 【答案】 【分析】根据题意确定的轨迹，数形结合及扇形的面积公式求动线段AP所形成图形的面积. 【详解】由题意，动点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆弧，如下图示， 其中，而，易知， 所以动线段AP所形成图形的面积. 故答案为：. 【变式4】已知曲线 ​的参数方程为​(​为参数). (1)求曲线​的轨迹方程，并判断轨迹的形状; (2)设​为曲线​上的动点，且有​，求​的取值范围. 【答案】(1)​，轨迹是以​为圆心，​为半径的圆. (2) 【分析】（1）消参即可求得曲线的轨迹方程； （2）设，结合三角函数值域的求法即求解. 【详解】（1）消去参数，有， 则曲线的轨迹方程为， 轨迹是以为圆心，为半径的圆. （2）设的坐标为， 则 而，其中为锐角，且， 故的取值范围为. 题型05 圆锥曲线的参数方程 【典例1】已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．点，为上一点，若，则的面积为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】消参得抛物线的方程，可知M为焦点，根据抛物线的定义可得P的坐标，从而可得面积． 【详解】由得，∴为抛物线的焦点，其准线为， 设，根据抛物线的定义得， ∴，， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程，考查抛物线定义，面积公式，属中档题． 【变式1】点到曲线（其中是参数，且）上的点的最小距离为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】消去参数可得曲线即：，原问题等价于抛物线上的点到准线距离的最小值，结合抛物线的性质确定最小值即可. 【详解】消去参数可得曲线（其中是参数，且）即：， 则点P为抛物线的焦点，原问题等价于抛物线上的点到准线距离的最小值， 很明显抛物线的顶点到准线的距离最小，其最小值为：. 本题选择B选项. 【点睛】本题主要考查参数方程化为直角坐标方程的方法，抛物线的定义及其性质的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【变式2】圆锥曲线的焦点坐标是 ． 【答案】和 【分析】根据参数方程得到圆锥曲线方程为，再计算焦点得到答案. 【详解】，则，， 故，焦点坐标为和，即和. 故答案为：和. 【变式3】将参数方程（为参数），转化成普通方程为 ． 【答案】 【分析】将参数方程变形为，两式平方再相减可得出曲线的普通方程. 【详解】将参数方程变形为，两等式平方得， 上述两个等式相减得，因此，所求普通方程为， 故答案为. 【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题. 【变式4】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． (1)求和的普通方程； (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 【答案】(1)；当时，的普通方程为，当时，直线的普通方程为； (2). 【分析】（1）根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况； （2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率． 【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），由，，根据，可得：， 整理得曲线的普通方程为； 直线的参数方程为（为参数）， 当时，由得，代入得：， 即直线的普通方程为； 当时，直线的普通方程为； （2）设直线与曲线的交点为，，因为中点坐标为，所以，， 将、两点坐标代入曲线的方程：， 两式相减得：， 因式分解并整理：， 代入，得：， 化简得：， 即，而直线的斜率，故. 题型06 直线与圆的极坐标方程 【典例1】如图，射线与圆，当射线从开始在平面上按逆时针方向绕着原点匀速旋转（、分别为和上的点，转动角度不超过）时，它被圆截得的线段长度为，则函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用极限的思想判断即可. 解法二：根据题意，由直线与圆的位置关系求出 【详解】解法一：当时，，可排除A，B，D. 解法二：由圆可得圆的极坐标方程为， 化简得到，联立方程组， 得到方程， 则， 故选：C. 【变式1】在极坐标系中，圆：上到直线：距离为1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，再判断圆心到直线的距离，即可得解. 【详解】由，则直线：，即直线：， 圆：，即， 即，所以， 即，所以圆的方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，因为， 故圆上有2个点到距离为1， 故选：B． 【变式2】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（），曲线的参数方程为（为参数），若直线与曲线相切，则 . 【答案】 【分析】将极坐标方程和参数方程均化为平面直角坐标方程和普通方程，联立之后利用根的判别式等于0得到方程，求出. 【详解】因为，故，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为， 变形为，两边平方后相加得， 联立与得，， 由，解得. 故答案为： 【变式3】在极坐标系中，直线与圆交于 两点，则 . 【答案】 【分析】只需将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程都化为直角坐标方程，再利用圆中的弦长公式即可求得弦长． 【详解】直线转换为直角坐标方程为：， 圆转换为直角坐标方程为：， 转换为标准方程为：，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 所以． 故答案为：． 【变式4】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为． (1)求曲线的直角坐标方程； (2)若直线的极坐标方程为（为参数），它与曲线分别相交于，两点，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系，即可求解； （2）利用极径的几何意义及韦达定理，即可求解． 【详解】（1）曲线的极坐标方程为， 又，，即， 曲线的直角坐标方程为； （2）联立，可得， 由，则， 设，两点对应的极径分别为，， 则，， ， ， ， ，又， 又由（1）的直角坐标方程可知的终边只可能在第一或二象限， 或， 或． 题型07 极坐标与直角坐标的互化 【典例1】某人工岛，呈双鱼环抱圆形，半径840米，从空中俯视，像是太极图（由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，它展现了一种相互转化，相对统一的和谐美）．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，若极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，建立极坐标系，则下列有关命题中： ①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数； ②函数是圆的一个太极函数； ③直线（t为参数）所对应的函数一定是圆（为参数，）的太极函数； ④若函数是圆的太极函数，则． 其中正确命题为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】对于①，根据题意圆，根据太极函数的定义作图判断即可，对于②，根据题意得，圆心为，的图象也过，从而可进行判断，对于③，直线恒过定点，圆的圆心为，再根据对称性判断，对于④，根据题意可得，函数为奇函数，求出其与圆的交点，再将两方程联立，分析方程根的个数判断. 【详解】对于①，根据题意圆，如图为圆的太极函数，且是偶函数，所以①错误， 对于②，由，得，所以， 即圆，圆心为， 的图象也过，且是其对称中心， 所以的图象能将圆一分为二，所以②正确， 对于③，因为直线恒过定点，圆的圆心为， 所以直线过圆心，所以直线将圆一分为二，所以③正确， 对于④，根据题意可得， 因为，所以为奇函数， 由，得或， 所以的图象与圆的交点为，且过圆心， 由，得， 令，则， ，得或， 当时，， 当时，当，则方程无解， 当，则， 若，即时，方程无解， 所以时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二， 若，即时，函数与圆有4个交点， 若，即时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二， 所以，所以④正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验． 【变式1】在极坐标系中，如果等边的两个顶点是，，那么顶点的极坐标可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分析可知极点为线段的中点，且，求出，由此可得出点的极坐标. 【详解】极坐标系中，若等边的两个顶点、， 则极点为线段的中点，且，， 所以，点的极坐标可能为或． 故选D． 【变式2】把点的直角坐标化为极坐标是 ． 【答案】 【分析】利用直角坐标与极坐标的转化公式运算即可. 【详解】因为点在直角坐标系中坐标为， 所以， 且，解得， 又因为， 所以， 所以极坐标为. 故答案为： 【变式3】A、B两点的极坐标分别为，，则A、B两点的距离 ． 【答案】3 【分析】根据极坐标的意义可求出，然后利用勾股定理可求得结果. 【详解】解析：如图所示， ，，， 所以． 故答案为：3 【变式4】已知曲线:，过的直线与曲线相交于，两点. (1)求曲线的极坐标方程和直线的1种参数方程； (2)求值. 【答案】(1)曲线的极坐标方程，直线的参数方程为（为参数） (2)4 【分析】（1）把代入椭圆方程可求得极坐标方程；设直线的倾斜角为，可求得直线的参数方程； （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程，利用的几何意义可求解. 【详解】（1）因为，所以， 解得， 设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）； （2）由（1）知直线的参数方程为（为参数）； 代入双曲线方程可得， 整理得， 所以， 所以 . 1．已知直四棱柱的棱长均为，设棱的中点分别为，若菱形内（含边界）的动点满足，则点的运动轨迹的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，得出点在以为直径的球与底面的交线上，再通过建立空间直角坐标系得出球心的坐标，最后根据平面几何关系即可求出. 【详解】由，知，所以点在以为直径的球与底面的交线上. 以为坐标原点，平面内垂直于方向，方向，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，故球的直径长为， 球心为的中点. 因为球心到底面的距离为1， 所以底面截球所得圆的半径为，圆心为， 则在以为直径的圆与菱形的交线上， 如图，由平面几何关系得，菱形中，则， 实际交线为劣弧和劣弧， 易知和为等边三角形，劣弧和劣弧相等， 则， 故的运动轨迹长为. 故选：A 2．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知当时、当时，确定点的位置，求得其轨迹方程，结合图形来求轨迹长度即可. 【详解】点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部. 曲线即，是圆心为，半径为的圆. 当时，为正方形左下顶点，， 代入得，， 轨迹为图中加粗的优弧； 当时，为正方形左侧边与轴的交点，轨迹为图中轴上加粗线段. 最终可得轨迹为如图优弧与弦组成，其中圆心，， 取中点，可得，，， 则，，所以，， 优弧， 最终轨迹长为. 故选：D. 3．下列四组方程中表示不相同的曲线的是（    ） A．与， B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据参数方程变量的范围及对应普通方程是否与给定的普通方程相同判断即可. 【详解】A：化参数方程为普通方程为且，与给定普通方程是同一曲线； B：化参数方程为普通方程为且，与为同一曲线； C：化参数方程为普通方程为且，而普通方程中，不是同一曲线； D：化参数方程为普通方程为且，与普通方程为同一曲线. 故选：C 4．在极坐标系中，下列各点中与不表示同一个点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察四个选项横坐标均为2，因为与极坐标相同的点可以表示为，则判断A，B，C，D四个选项的纵坐标能否写成的形式.找出不能用形式表示的选项即可. 【详解】与极坐标相同的点可以表示为， ，故A选项表示同一个的点； ，故B选项表示同一个点； 不能用，故C选项不表示同一个点； ，故D选项表示同一个点. 故选：C. 5．欲将方程所对应的图形变成方程所对应的图形，需经过伸缩变换为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设伸缩变换为，代入，化简计算即可得到． 【详解】设伸缩变换为， 则， 代入 得， . 故选：B 6．蝴蝶曲线是一种优美的数学曲线，因其形状而得名，它是数学与美学结合的经典案例，在许多领域展现了跨学科的应用潜力．已知某种蝴蝶曲线，如图所示，在平面直角坐标系中，曲线的方程为，若点在上运动，为坐标原点，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】记，以轴非负半轴为始边，射线为终边对应的角为，则，然后将问题转化为关于与的关系，进而换元转化为函数，利用函数导数求解即可. 【详解】记，以轴非负半轴为始边， 射线为终边对应的角为， 则， 所以， 即， 即 记，则， 记， 则，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 故答案为：. 7．已知是圆（为参数，）上的点，则圆的标准方程为 ，点对应的值为 ，过点的圆的切线方程是 ． 【答案】 【分析】由圆的参数方程得到半径，从而得到标准方程，由三角函数值得到，由圆上一点的切线方程得到过点的切线方程. 【详解】由，得，所以圆的标准方程为； 又得，又因为，所以； 由，知过圆上一点的切线方程为， 又因为，过点的圆的切线方程为． 故答案为：；；. 8．在极坐标系中，方程的直角坐标方程是 ． 【答案】 【分析】利用直角坐标和极坐标的关系互化即可. 【详解】由题意得，故， 把，代入得，化简得. 故答案为： 9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为；在极坐标系（以原点为坐标原点，以轴正半轴为极轴）中曲线的方程为，则与的交点的距离为 【答案】 【分析】消去参数，得到曲线的普通方程为得，由极坐标与直角的互化公式，得到曲线的直角坐标方程为，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由曲线的参数方程为，消去参数，可得， 所以曲线的普通方程为得， 又由曲线的方程为，可得， 由，可得，所以曲线的直角坐标方程为， 因为圆的圆心为，则圆心到直线的距离， 又因为，所以弦长， 则与两交点的距离为 . 故答案为：． 10．已知动点满足 ，若直线l过点与点M的轨迹相切，则直线l的方程为 . 【答案】或. 【分析】消去参数可得动点的轨迹是圆，然后根据圆心到直线的距离等于半径列方程求出斜率，即可的直线方程. 【详解】由消去得， 所以，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 由题意直线斜率存在，所以设直线的方程为，即， 由题知，，解得， 所以，直线l的方程为或. 故答案为：或 11．四叶草曲线是数学中的一种曲线，其方程为，给出下列结论正确的有 ①曲线有2条对称轴 ②曲线上两点之间的最大距离为 ③曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点） ④四个叶片围成的区域面积小于 【答案】②③④ 【分析】根据对称性的判定方法，可判定①错误；设曲线上点到原点的距离为，结合基本不等式和不等式的解法，求得，再由曲线的对称性，可判定②正确；利用列举法，求得整点的个数，可判定③正确；根据以原点为圆心，半径为的圆的面积为，可判定④正确. 【详解】对于①，由曲线的方程， 用代换，方程不变，所以曲线关于轴对称； 用代换，方程不变，所以曲线关于轴对称； 用代换，用代换方程不变，所以曲线关于轴对称； 用代换，用代换方程不变，所以曲线关于轴对称， 所以曲线有4条对称轴，所以①错误； 对于②，设曲线上点到原点的距离为， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 又因为， 所以，解得，所以， 用代换，代换，方程不变，所以曲线关于原点对称， 所以曲线上两点的距离为，即最大距离为，所以②正确； 对于③，由曲线经过点，共计5个整点，所以③正确； 对于D，因为以原点为圆心，半径为的圆的面积为， 其中四个叶片围成的区域在以原点为圆心，半径为的圆内， 所以四个叶片围成的区域的面积小于，所以④正确. 故答案为：②③④. 12．已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据题意列出关于的关系式，化简可得点的轨迹方程，由此可得点的轨迹为圆.根据点在直线l上，知直线与该圆有公共点，据此求得实数的取值范围. 【详解】设点，化简得. 由此可知，点的轨迹为圆. 由于点在直线上，也在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以，即，所以. 解得或. 所以实数的取值范围是. 13．已知曲线C上任意一点A到，的距离之积为，为上一点，两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点，若的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】由题可得，从而得曲线：，可得其图形关于原点对称，从而可得到点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，即四边形为平行四边形，可得四边形的面积，即可求解. 【详解】由题可得，解得， 设曲线上任意一点，则，即， 化简得， 将代入曲线得，化简得， 所以可得曲线是中心对称图形，且对称中心为原点. 因两条直线，均过坐标原点O，和交于，两点，和交于，两点， 所以点和点关于原点对称，点和点关于原点对称， 则，，所以四边形为平行四边形， 又因为的面积为，则四边形的面积. 故答案为：. 14．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据点到直线的距离即可得圆的半径，进而可得圆的方程； （2）由题知直线的距离为，进而分直线斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可； （3）根据相关点法求解即可. 【详解】（1）因为以点为圆心的圆与直线相切， 所以圆的半径为点到直线的距离，即， 所以圆的方程为 （2）设圆心到过点的动直线的距离为， 由（1）知， 因为，故，所以 当直线的斜率不存在时，其方程为， 此时圆心到的距离为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为 此时圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或 （3）根据题意设，线段的中点， 所以根据中点公式有：，即， 因为， 所以，即 所以线段的中点的轨迹方程为. 15．已知动圆与圆和圆都外切，动圆圆心的轨迹记为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与双曲线恰好有一个公共点，求的值组成的集合； (3)设点在直线上，过的两条直线分别交双曲线于，两点和，两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设动圆的半径为，根据圆与圆的位置关系列式结合双曲线的定义即可求解； （2）直线与双曲线右支恰好有一个公共点有两种情况，与渐近线平行或者与双曲线相切，分别计算即可； （3）将问题转化为，直线分别与双曲线联立，利用弦长公式以及韦达定理分别计算即可证明. 【详解】（1）设动圆的半径为，则由动圆与圆外切得：， 由动圆与圆外切得：， 所以， 由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线右支， 故曲线的方程为. （2）由题意知，直线与双曲线右支恰好有一个公共点， 而直线的方程为， 由得， 当，即时，此时直线与双曲线渐近线平行，恰好与右支有一个公共点，满足题意， 当，即时，，由得，． 此时直线与双曲线的右支相切，恰好有一个公共点，满足题意， 当时，直线的方程为，与曲线：的交点为， 满足“恰好有一个公共点”的题意， 综上所述，的值组成的集合为. （3）要证，只需证． 设点的坐标为，直线的斜率为，直线的斜率为， 则直线的方程为， 即． 由得， 从而， 故 ， 用替换上式中的可得： ， 所以，证毕. 16．已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为. (1)求轨迹方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程； （2）联立直线与曲线，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出. 【详解】（1）设的中点为， 的中点为，且，，即， ∵点在圆上， ，即， 化简得， 所以的轨迹方程为：. （2）设， 由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为：， 联立直线与圆的方程，可得， ，解得，， 由得，即， 化简得， 将韦达定理代入可得，解得，符合题意. 此时直线的方程为：， 由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为， 又在直线的方程中，当时，，即直线过圆心， 所以. 17．已知点，动点C到点B的距离是C到点A距离的2倍，记动点C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)若直线与曲线E交于M，N两点．求的值； (3)过点作曲线E的两条切线，设交函数图象于Q，R两点，判断直线QR与曲线E的位置关系并证明． 【答案】(1) (2) (3)相切，证明见解析 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长； （3）讨论切线的斜率是否存在，当斜率存在时，设切线的斜率为，写出点斜式方程，化成一般方程，根据圆心到切线的距离等于半径，求出的值，得到切线的方程.再求得与的交点Q，R，得到直线QR的方程，根据直线与圆的位置关系即可判断. 【详解】（1）（1）由题意得，所以. 设，因为点， 所以， 化简得. 所以曲线的方程为. （2）由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 所以. （3）直线QR与曲线E相切，证明如下： 若过点的切线的斜率不存在，则其方程为，到圆心的距离为，不合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的斜率为，则其方程为， 即. 所以，化简得. 解得：. 所以过点的切线的方程为： . 联立解得或, 联立解得或, 所以直线的方程为， 即. 圆心到直线的距离为： 所以直线QR与曲线相切. 18．若平面直角坐标系内的点到的距离和到直线的距离的比值为，点的轨迹记为曲线. (1)求曲线的极坐标方程； (2)过点作曲线的切线，切点分别为，.若，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，根据条件关系列方程可得，化简可得普通方程，再将其转化为极坐标方程即可； （2）当过点的切线的斜率存在且不为时，设过点的切线切线方程为，结合切线性质可得，设的斜率为，的斜率为，可得，再考虑其他情况，由此可得结论. 【详解】（1）设为所求曲线上任意一点， 因为点到的距离和到直线的距离的比值为， 所以， 所以， 化简得，， 以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴， 设点的极坐标为，则，, 所以曲线的极坐标方程为； （2）设， 当过点的切线的斜率存在且不为时，设过点的切线切线方程为， 联立， 化简可得，， 所以，① 由已知方程①的判别式， 所以， 所以， 当的斜率存在且不为时，设的斜率为，的斜率为， 由已知为方程两个根， 所以， 因为，故， 所以， ， 当，时，过点的曲线的切线方程为，，满足条件， 同理也满足条件， 所以点的方程为， 所以 . 19．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C经过极点，且其圆心的极坐标为． (1)求直线l的普通方程与圆C的极坐标方程； (2)若射线分别与圆C和直线l交于点A，B（点A异于坐标原点O），求线段长． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）消去得直线方程，确定圆心和半径，计算极坐标方程得到答案. （2）将代入圆和直线的极坐标方程，计算即可. 【详解】（1）由，消去参数得， 圆C过极点且圆心为，即圆心为，半径为2， 所以圆的方程为，即，极坐标方程为. （2）将代入，则， 而直线，即， 将代入直线，得， 所以. 20．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，直线的极坐标方程为 (1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程. (2)P是曲线C上的动点，直线与轴分别交于A、B两点，求面积的最小值. 【答案】(1)曲线C的普通方程为，直线的直角坐标方程为； (2) 【分析】（1）变形后平方消元得到曲线C的普通方程，利用三角恒等变换，结合得到直线的直角坐标方程； （2）求出，，设，得到到直线的距离为，表达出，求出面积最小值为. 【详解】（1）由题意， 两式平方后相加得，即曲线C的普通方程为， 由， 即，， 因为，所以， 即直线的直角坐标方程为 （2）中令得，令得， 故，， 设，则到直线的距离为 ， ，其中， 故当时，面积取得最小值，最小值为. 44 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 曲线与方程 教学目标 1.了解曲线与方程的对应关系，学会利用方程研究曲线的性质 2.掌握求动点轨迹放的方法 3.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线 、圆和圆锥曲线的参数方程 4.了解极坐标的定义，会用直线和圆的极坐标方程，掌握极坐标和直角坐标的互化 教学重难点 1.重点 （1）求动点的轨迹方程 （2）常见的参数方程和极坐标方程 2.难点 （1）分析曲线与方程的关系； （2）极坐标和直角坐标的互化 知识点01 曲线与方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 【即学即练】 1．已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是（   ） A．曲线是方程的解 B．不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解 C．凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 2．下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．如果曲线上的任意一点的坐标都是方程的解，那么下列命题正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线上的点都在方程的曲线上 C．方程的曲线是 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 4．已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 知识点02 求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式——列出动点P所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 【即学即练】 1．已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为 ． 3．已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是 4．已知圆经过点和，且圆心在直线上，过点的动直线与圆交于两点，线段中点为为坐标原点. (1)求圆的标准方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求直线的方程及三角形面积. 知识点03 两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 【即学即练】 1．已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．曲线与的交点个数是 ，曲线上的点到点的距离的最小值为 . 3．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，为坐标原点，直线的斜率为，则 ． 4．已知曲线. (1)证明：曲线关于轴对称； (2)求直线与曲线的交点个数，并求出所有交点的横坐标； (3)若直线与曲线有三个不同的交点，且，求的最小值. 知识点04 参数方程 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．几种常见曲线的参数方程 (1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 (t为参数)． (2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是，其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程 (3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是，其中φ是参数． 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是，其中φ是参数． (4)抛物线：抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程是(t为参数)． 【即学即练】 1．若点在曲线（为参数）上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．曲线的参数方程为（为参数），则曲线的离心率 ． 3．已知曲线C的参数方程为则曲线C的直角坐标方程为 ． 4．直线（为参数，）和曲线，（为参数，）交于、两点，则 . 知识点05 极坐标系与极坐标方程 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 2.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ(－≤θ<) 圆心为(r，)，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 (1) θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a(－<θ<) 过点(a，)，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π) 【即学即练】 1．在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为(   ) A． B． C． D．无法确定 2．在极坐标系中，若圆的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系，则在直角坐标系中，圆心的直角坐标是 . 3．在极坐标系中，曲线与曲线的交点的极坐标为 ． 4．在直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线被曲线截得的弦的长为 . 知识点06 极坐标与直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． (2)互化公式：如图所示，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2， tan θ＝(x≠0) 【即学即练】 1．点的极坐标及直角坐标分别是及．求的值．（　　） A．-2 B． C． D．2 2．在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l与圆相交于A、B两点，若，则直线l的极坐标方程为 ． 3．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l与曲线C相交于M，N两点，且线段MN的中点坐标为，则直线l的倾斜角为 ． 4．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为：（为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：． (1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)在曲线和曲线上分别取点P，Q，求的最小值． 题型01 根据方程判断表示的曲线及曲线性质 【典例1】2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo．新Logo将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线，则下列有关曲线的说法中错误的是（    ）    A．对任意的且，曲线总关于原点成中心对称 B．当时，曲线上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C．当时，曲线围成的图形面积可以为2 D．当时，曲线上的点到原点最近距离为 【变式1】方程表示的曲线可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知曲线：，：，中.①当时，曲线与有个公共点；②当时，第一象限内，曲线位于曲线的下方；③存在实数，使得曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积；④曲线围成的区域内（不含边界）的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数不多于曲线围成的区域内（不含边界）的整点的个数.其中，所有正确结论的序号是 . 【变式3】已知曲线C的方程是，给出下列三个结论： ①曲线C与两坐标轴有公共点； ②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点P，Q在曲线C上，则的最大值是. 其中，所有正确结论的序号是 . 【变式4】已知曲线． (1)证明：关于直线对称; (2)判断直线与的交点个数，并证明； (3)证明：是某个函数的图象． 题型02 曲线的交点问题 【典例1】曲线与的交点是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【变式2】曲线与曲线的公共点的个数是 ． 【变式3】已知曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是 . 【变式4】如图，已知点到两点，距离的乘积为8，点的轨迹记为曲线，与轴交点分别记为．    (1)求曲线的方程； (2)求的周长的取值范围； (3)过作直线分别交于两点，且，若的面积为18，求的最小值． 题型03 求点的轨迹 【典例1】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 【变式1】已知双曲线的两焦点分别为，为双曲线上一动点，过点作平分线所在直线的垂线，则垂足的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在三棱锥中，，，，直线与平面所成角为60°，直线PB与平面ABC所成角为30°，则点P在所在平面内的射影的轨迹长为 . 【变式3】已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是 . 【变式4】已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为. (1)求的中垂线的一般方程； (2)求底边的另一个端点的轨迹. 题型04 直线与圆的参数方程 【典例1】直线（t为参数）被曲线截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|； (2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0； (3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求|M2M|及中点坐标)． 【变式1】曲线（为参数）与曲线（为参数）的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 【变式2】直线是参数上与点距离等于4的点Q的坐标为 ． 【变式3】在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为 【变式4】已知曲线 ​的参数方程为​(​为参数). (1)求曲线​的轨迹方程，并判断轨迹的形状; (2)设​为曲线​上的动点，且有​，求​的取值范围. 题型05 圆锥曲线的参数方程 【典例1】已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．点，为上一点，若，则的面积为（　　） A． B． C．2 D．1 【变式1】点到曲线（其中是参数，且）上的点的最小距离为(　　) A． B． C． D． 【变式2】圆锥曲线的焦点坐标是 ． 【变式3】将参数方程（为参数），转化成普通方程为 ． 【变式4】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． (1)求和的普通方程； (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 题型06 直线与圆的极坐标方程 【典例1】如图，射线与圆，当射线从开始在平面上按逆时针方向绕着原点匀速旋转（、分别为和上的点，转动角度不超过）时，它被圆截得的线段长度为，则函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】在极坐标系中，圆：上到直线：距离为1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（），曲线的参数方程为（为参数），若直线与曲线相切，则 . 【变式3】在极坐标系中，直线与圆交于 两点，则 . 【变式4】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为． (1)求曲线的直角坐标方程； (2)若直线的极坐标方程为（为参数），它与曲线分别相交于，两点，若，求． 题型07 极坐标与直角坐标的互化 【典例1】某人工岛，呈双鱼环抱圆形，半径840米，从空中俯视，像是太极图（由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，它展现了一种相互转化，相对统一的和谐美）．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，若极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，建立极坐标系，则下列有关命题中： ①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数； ②函数是圆的一个太极函数； ③直线（t为参数）所对应的函数一定是圆（为参数，）的太极函数； ④若函数是圆的太极函数，则． 其中正确命题为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验． 【变式1】在极坐标系中，如果等边的两个顶点是，，那么顶点的极坐标可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】把点的直角坐标化为极坐标是 ． 【变式3】A、B两点的极坐标分别为，，则A、B两点的距离 ． 【变式4】已知曲线:，过的直线与曲线相交于，两点. (1)求曲线的极坐标方程和直线的1种参数方程； (2)求值. 1．已知直四棱柱的棱长均为，设棱的中点分别为，若菱形内（含边界）的动点满足，则点的运动轨迹的长度为（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 3．下列四组方程中表示不相同的曲线的是（    ） A．与， B．与 C．与 D．与 4．在极坐标系中，下列各点中与不表示同一个点的是（    ） A． B． C． D． 5．欲将方程所对应的图形变成方程所对应的图形，需经过伸缩变换为（　　） A． B． C． D． 6．蝴蝶曲线是一种优美的数学曲线，因其形状而得名，它是数学与美学结合的经典案例，在许多领域展现了跨学科的应用潜力．已知某种蝴蝶曲线，如图所示，在平面直角坐标系中，曲线的方程为，若点在上运动，为坐标原点，则的最大值为 ．    7．已知是圆（为参数，）上的点，则圆的标准方程为 ，点对应的值为 ，过点的圆的切线方程是 ． 8．在极坐标系中，方程的直角坐标方程是 ． 9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为；在极坐标系（以原点为坐标原点，以轴正半轴为极轴）中曲线的方程为，则与的交点的距离为 10．已知动点满足 ，若直线l过点与点M的轨迹相切，则直线l的方程为 . 11．四叶草曲线是数学中的一种曲线，其方程为，给出下列结论正确的有 ①曲线有2条对称轴 ②曲线上两点之间的最大距离为 ③曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点） ④四个叶片围成的区域面积小于 12．已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是 . 13．已知曲线C上任意一点A到，的距离之积为，为上一点，两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点，若的面积为，则四边形的面积为 ． 14．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 15．已知动圆与圆和圆都外切，动圆圆心的轨迹记为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与双曲线恰好有一个公共点，求的值组成的集合； (3)设点在直线上，过的两条直线分别交双曲线于，两点和，两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明：． 16．已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为. (1)求轨迹方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求. 17．已知点，动点C到点B的距离是C到点A距离的2倍，记动点C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)若直线与曲线E交于M，N两点．求的值； (3)过点作曲线E的两条切线，设交函数图象于Q，R两点，判断直线QR与曲线E的位置关系并证明． 18．若平面直角坐标系内的点到的距离和到直线的距离的比值为，点的轨迹记为曲线. (1)求曲线的极坐标方程； (2)过点作曲线的切线，切点分别为，.若，求. 19．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C经过极点，且其圆心的极坐标为． (1)求直线l的普通方程与圆C的极坐标方程； (2)若射线分别与圆C和直线l交于点A，B（点A异于坐标原点O），求线段长． 20．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，直线的极坐标方程为 (1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程. (2)P是曲线C上的动点，直线与轴分别交于A、B两点，求面积的最小值. 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $