第02讲 空间向量的基本定理及坐标表示（4个知识点+9种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第02讲 空间向量的基本定理及坐标表示 课程标准 学习目标 1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养. 2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 3.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养． 4．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. 1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解．(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点) 4.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 5．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 知识点01共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 【即学即练1】（23-24高二上·上海·期末）在以下命题中，正确的命题其中真命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P、A、B、C四点共面 D．为空间一个基底，则不能构成空间的另一个基底 【答案】C 【分析】根据方向相反即可判定A，根据共线定理即可判断B，根据空间向量共面的推论即可判断C，利用基底向量的特征即可求解D. 【详解】对于A，当时，则，故A错误， 对于B，当为非零向量时，才存在唯一的实数，使，若均为零向量，则存在无数个实数，使，故B错误， 对于C，由于，所以P，A，B，C四点共面，C正确， 对于D，若不能构成空间的一组基底，则共面，故存在,使得， 由于是一组基底向量，所以无解，故能构成空间的一组基底，D错误， 故选：C 知识点02空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 【即学即练2】（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则 . 【答案】 【分析】由向量的减法可得，，由向量的加法可得，最后根据，求解即可. 【详解】解：因为， 所以，， 因为是正方形， 所以， 又因为为的中点， 所以. 故答案为： 知识点03空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【即学即练3】（21-22高二上·上海虹口·期末）在空间直角坐标系中，已知，，若，则C点坐标为 . 【答案】 【分析】设出C点坐标，建立方程组，求出的值，进而求出C点坐标. 【详解】设C点坐标为，则，，由得：，解得：，故C点坐标为 故答案为： 知识点04空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b一定有＝＝成立吗？ [提示]　当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立． 【即学即练4】（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据且不共线求解即可. 【详解】由题意，且不共线，故，即. 当共线时，，此时，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： 知识点05向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝ 【即学即练5】（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 题型一：空间向量共面求参数 1.（21-22高二下·上海长宁·期中）已知向量，若向量、、共面，则实数等于 ． 【答案】10 【分析】根据向量共面得到，代入数据计算得到答案. 【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得． 所以，所以． 故答案为： 2．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 3.（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 题型二：空间共面向量定理的推论及应用 1.（24-25高二上·上海宝山·期末）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理的推论计算. 【详解】∵四点共面，且任意三点不共线， ∴，则. 故选：D. 2．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 3.（24-25高一上·上海嘉定·期中）设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由点满足，且，所以点在平面内，当为正三棱锥O-ABC的高时最小. 【详解】点满足，且， 所以点在平面内，因为正三棱锥O-ABC的棱长都是2， 所以当点与点在平面内的射影重合时， 即长为正三棱锥O-ABC的高时，取到最小值， 此时的最小为：. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 题型三：用空间基底表示向量 1.（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，. 故选：A． 2.（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图，在梯形ABCD中，，，点O为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算法则可得结果. 【详解】在中，， 在中，， 所以. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，三棱柱中，若，则 （用表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由题意， 故答案为：． 4.（23-24高二上·浙江绍兴·期中）三棱柱中，，．设，，． (1)试用表示向量； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案； （2）根据向量的数量积运算，可得答案. 【详解】（1）由，则，由，则， 由图形知 ． （2）由题设条件：，同理可得， 则 ， ∴. 题型四：空间向量基本定理及其应用 1.（24-25高一上·上海嘉定·期中）设，向量，，，若向量、、共面，则m的值是（   ）． A．5 B．3 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量基本定理及其应用、空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面有且，应用线性关系的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设且，则，可得. 故选：A 2.（23-24高二上·上海·期中）平行六面体中，若，，，则= ． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】由题意得，， 即， 故. 故答案为： 3．（23-24高三上·上海普陀·期中）在中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心，此时易得.类似在三棱锥中，各个顶点分别与对面三角形的重心的连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设，，，则 .（用、、表示） 【答案】 【分析】确定，，根据代入数据计算得到答案. 【详解】设点D为的重心，点E为的重心， ， ， ，， ，即， 故，解得，故， 故答案为：. 题型五：空间向量的坐标运算 1.（23-24高二上·上海·期中）已知，若共面，则实数（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由共面向量基本定理结合向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】，若共面，则,其中， 则， 所以，解得. 故选：B 2.（24-25高二上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】利用关系式求出向量的投影向量的长度． 【详解】在方向上的数量投影的长度为：． 故答案为：． 3．（24-25高二上·上海·期末）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标. 【详解】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 题型六：空间向量模长的坐标表示 1.（23-24高二上·上海·期末）已知点，，则 . 【答案】 【分析】先表示出的坐标，然后根据空间向量模长的坐标表示求解出结果. 【详解】因为，，所以， 所以， 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影是 .（用坐标表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答. 【详解】空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是， 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】由空间向量的模长公式可直接求得答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 4．（23-24高三上·上海·期中）若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】向量，，则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 题型七：空间向量平行的坐标表示 1.（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据向量平行得到关于m的等式，解出m即可. 【详解】因为与平行， 所以存在实数使即， 所以解得 故答案为：4. 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，求出、的值，即可得解. 【详解】因为，且， 所以，即，所以，解得， 所以. 故答案为： 3．（23-24高三上·上海·期中）已知向量，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由向量平行的充要条件可以分别求出的值，从而即可得解. 【详解】由题意，使得，即有， 解得，从而. 故答案为：. 4．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设，若向量与向量平行，则 . 【答案】 【分析】根据已知可得，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以有，且， 所以，，所以. 故答案为：. 题型八：空间向量垂直的坐标表示 1（24-25高三上·上海·期中）在正方体中，点P，Q分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题： ①对任意点P，均存在点Q，使得； ②存在点P，对任意的Q，均有，则（    ） A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来确定正确答案. 【详解】设正方体的边长为，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设，，， ① ，所以与不垂直，①错误. ② ，令，解得. 所以对任意的，存在，使得，此时是的中点，②正确. 故选：D 2.（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 【答案】/ 【分析】由条件，结合向量垂直的坐标表示列方程求即可. 【详解】因为与互相垂直，，， 所以， 解得. 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知向量与垂直，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可得实数的. 【详解】因为向量与垂直， 所以 所以. 故答案为：. 4.（20-21高二下·上海浦东新·期中）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，且球O分别与x､y､z轴的正半轴交于A､B､C三点，已知球面上一点. （1）求证：； （2）求D､C两点在球O上的球面距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）写出向量和的坐标，即可证明； （2）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离. 【详解】（1）由题意，，，， ，， ，； （2）， ， ， D，C两点在球O上的球面距离为； 题型九：空间向量夹角余弦的坐标表示 1.（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 【答案】120° 【分析】利用空间向量夹角的坐标运算求角的大小. 【详解】由题设，又， 所以. 故答案为： 2．（22-23高二上·上海静安·期中）若向量的夹角为，则= . 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以=， 故答案为: . 3．（22-23高二上·上海虹口·期中）向量与夹角的大小为 . 【答案】 【分析】利用向量夹角公式求解即可． 【详解】向量，， 设与的夹角为，则， ，. 故答案为：． 4.（24-25高一上·上海嘉定·期中）在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)的面积为. 【分析】（1）设点，由可得出关于、、的方程组，可解出点的坐标，可得出向量，再利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算求出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）设点，因为，则， 所以，，解得，即点， 所以，故. （2），， 所以，， 所以，则为锐角， 所以， 因此. 所以的面积为. 一、单选题 1．（21-22高二上·上海普陀·期末）已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】 对于A：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于B：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于C：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于D：记,则. 因为，所以点不在平面α上. 故选：D 2．（24-25高二上·上海·期末）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·上海·期末）已知，若三个向量共面，则实数的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意可知存在，使得，结合向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为，，，且，，三向量共面， 可知存在，使得，即， 则，解得. 故选：A. 4．（22-23高二上·上海静安·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，要使，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 【详解】若，则； 对于A：，，故A错误； 对于B：，，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：，，故D错误； 故选：B. 二、填空题 5．（22-23高二下·上海杨浦·期中）向量的模 . 【答案】 【分析】直接计算模长得到答案. 【详解】，则. 故答案为： 6．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标运算法则即可求出点坐标. 【详解】设点的坐标为，又， 则,即，解得； 即 故答案为： 7．（21-22高二上·上海宝山·期中）已知空间向量，且与垂直，则等于 . 【答案】4 【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值. 【详解】因为，且与垂直， 所以，解得， 故答案为：4 8．（23-24高二上·上海金山·期中）已知向量，向量，则 ． 【答案】 【分析】直接根据向量的坐标运算得到答案. 【详解】，，， 故答案为： 9．（23-24高二上·上海·期中）已知向量，，，则为 ． 【答案】 【分析】由向量加减法，数量积的坐标运算得出即可. 【详解】由向量，，， 所以， 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 11．（22-23高二上·上海浦东新·期中）空间三角形三个顶点的坐标分别为和，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量得到三角形边长，根据三角形面积公式即可求得面积. 【详解】由已知设三个点坐标分别为和 故 ，， ， 故答案为： 12．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据空间向量的坐标表示可得. 【详解】由题意，故，，， 故， 故答案为： 13．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，显然不是平角，则为钝角时有，解得不等式即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，    则； ，， 因为，所以，， 设，则， 即，解得，所以， 则，， ， 与是异面直线，显然不是平角， 则为钝角，有，解得． 所以的取值范围为． 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    【答案】 【分析】将用基底，结合空间向量的数量积可求得的值. 【详解】在平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 15．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，，所以， ，，由，得，即可得的取值范围，又，计算求解即可. 【详解】因为，，，均为单位向量，所以， 设，，，所以， 因为与夹角为，所以， 因为与夹角为，所以， 又，所以， 因为，所以， 所以，即， 设与的夹角为， ， ， ， 因为为空间中任意单位向量， 所以当，时，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：设出空间向量，利用空间向量的模可求解的取值范围，根据空间向量的数量积运算可知当与的夹角为时，可求解最值. 16．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用向量中点的性质，进行合理转化，建立空间直角坐标系，找到对称点的坐标，转化为易求的线段长求解即可. 【详解】 设在底面的射影为，则为底面的中心，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 由题可知，则，，,,， 设， 故，，，， ，， 设中点为，且，， 设是平面的平面方程，且该平面的一个法向量为，作为与该平面的对称点，，设，中点为， 故在该平面上，面，故，，解得，， 故，. 故答案为：8 【点睛】利用空间向量的中点性质和坐标运算，巧作对称点，将问题简化，运用三角形边的性质求解，属于难题. 三、解答题 17．（22-23高二上·上海长宁·期末）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，又设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求向量，的夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1） （2）由四面体的各棱长均为2，可知四面体为正四面体，所以，，两两夹角为，因此， ， ， 由于，所以 18．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知空间直角坐标系中，，，． (1)若，求的坐标； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量线性运算的坐标表示及向量共线列方程组求出的坐标； （2）由题意，，求出它们的模和夹角，再应用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）若，则，， 由，即，可得，故. （2）由题设，，则，， 所以，，故， 所以三角形的面积. 19．（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由可得出关于、、的方程组，可解出点的坐标，可得出向量，再利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算求出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）解：设点，因为，则， 所以，，解得，即点， 所以，，故. （2）解：，， 所以，，则为锐角， 所以，， 因此，. 20．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间中的三点，，，，. (1)当与垂直，求的值； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）根据给定重要人物，利用向量的坐标表示，再利用向量模的坐标表示及垂直关系的向量表示列式计算即得. （2）由（1）求出向量夹角，进而求出三角形面积. 【详解】（1）依题意，，， 当与垂直时，， 所以. （2）由（1）知，，则，即， 所以的面积. 21．（22-23高二上·上海徐汇·期中）已知空间中的三点，，. (1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积； （2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，故在中， 故的面积为. （2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角， 所以，即， 所以，可得， 当它们反向共线，即且时，有，无解， 综上，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间向量的基本定理及坐标表示 课程标准 学习目标 1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养. 2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 3.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养． 4．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. 1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解．(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点) 4.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 5．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 知识点01共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 【即学即练1】（23-24高二上·上海·期末）在以下命题中，正确的命题其中真命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P、A、B、C四点共面 D．为空间一个基底，则不能构成空间的另一个基底 知识点02空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 【即学即练2】（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则 . 知识点03空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【即学即练3】（21-22高二上·上海虹口·期末）在空间直角坐标系中，已知，，若，则C点坐标为 . 知识点04空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b一定有＝＝成立吗？ [提示]　当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立． 【即学即练4】（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 知识点05向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝ 【即学即练5】（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 题型一：空间向量共面求参数 1.（21-22高二下·上海长宁·期中）已知向量，若向量、、共面，则实数等于 ． 2．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 3.（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 4．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 题型二：空间共面向量定理的推论及应用 1.（24-25高二上·上海宝山·期末）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·上海嘉定·期中）设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为 ． 4．（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 题型三：用空间基底表示向量 1.（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图，在梯形ABCD中，，，点O为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，三棱柱中，若，则 （用表示） 4.（23-24高二上·浙江绍兴·期中）三棱柱中，，．设，，． (1)试用表示向量； (2)若，，求的长． 题型四：空间向量基本定理及其应用 1.（24-25高一上·上海嘉定·期中）设，向量，，，若向量、、共面，则m的值是（   ）． A．5 B．3 C．3 D．5 2.（23-24高二上·上海·期中）平行六面体中，若，，，则= ． 3．（23-24高三上·上海普陀·期中）在中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心，此时易得.类似在三棱锥中，各个顶点分别与对面三角形的重心的连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设，，，则 .（用、、表示） 题型五：空间向量的坐标运算 1.（23-24高二上·上海·期中）已知，若共面，则实数（ ） A．2 B．1 C． D． 2.（24-25高二上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 . 3．（24-25高二上·上海·期末）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 题型六：空间向量模长的坐标表示 1.（23-24高二上·上海·期末）已知点，，则 . 2．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影是 .（用坐标表示） 3．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 4．（23-24高三上·上海·期中）若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 题型七：空间向量平行的坐标表示 1.（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为 . 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 3．（23-24高三上·上海·期中）已知向量，，若，则的值为 ． 4．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设，若向量与向量平行，则 . 题型八：空间向量垂直的坐标表示 1（24-25高三上·上海·期中）在正方体中，点P，Q分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题： ①对任意点P，均存在点Q，使得； ②存在点P，对任意的Q，均有，则（    ） A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 2.（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知向量与垂直，则实数的值为 ． 4.（20-21高二下·上海浦东新·期中）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，且球O分别与x､y､z轴的正半轴交于A､B､C三点，已知球面上一点. （1）求证：； （2）求D､C两点在球O上的球面距离. 题型九：空间向量夹角余弦的坐标表示 1.（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 2．（22-23高二上·上海静安·期中）若向量的夹角为，则= . 3．（22-23高二上·上海虹口·期中）向量与夹角的大小为 . 4.（24-25高一上·上海嘉定·期中）在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 一、单选题 1．（21-22高二上·上海普陀·期末）已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 3．（24-25高二上·上海·期末）已知，若三个向量共面，则实数的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23高二上·上海静安·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23高二下·上海杨浦·期中）向量的模 . 6．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知，则点坐标为 ． 7．（21-22高二上·上海宝山·期中）已知空间向量，且与垂直，则等于 . 8．（23-24高二上·上海金山·期中）已知向量，向量，则 ． 9．（23-24高二上·上海·期中）已知向量，，，则为 ． 10．（24-25高二上·上海·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 11．（22-23高二上·上海浦东新·期中）空间三角形三个顶点的坐标分别为和，则 ． 12．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    13．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    14．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    15．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为 . 16．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为 ． 三、解答题 17．（22-23高二上·上海长宁·期末）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，又设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求向量，的夹角的大小. 18．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知空间直角坐标系中，，，． (1)若，求的坐标； (2)求三角形的面积． 19．（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 20．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间中的三点，，，，. (1)当与垂直，求的值； (2)求的面积. 21．（22-23高二上·上海徐汇·期中）已知空间中的三点，，. (1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$