3.3空间向量的坐标表示（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的坐标表示与运算，通过类比平面向量坐标表示引入，以表格对比平面与空间直角坐标系的要素，搭建从二维到三维的学习支架，引导学生理解空间直角坐标系建立及向量坐标的概念。 其亮点在于注重逻辑推理与直观想象，通过类比平面向量推导空间向量坐标运算，结合单位正交基底证明数量积公式培养数学抽象，典例中正方体问题及练习中空间几何实例发展空间直观。小结表格系统梳理公式，助力学生高效掌握，教师可借助完整探究-例题-练习体系提升教学效果。

3.3空间向量的 坐标表示 第三章 空间向量及其应用 学习目标 教学重点：掌握空间向量坐标表示与运算，能解决空间几何中位置关系及度量问题。教学难点：理解空间向量坐标几何意义，实现复杂空间几何问题与坐标运算的转化。 理解空间向量坐标的概念及与有序实数组的一一对应关系； 掌握空间向量坐标运算； 能运用坐标表示解决空间平行、垂直、夹角等问题； 培养空间想象与运算能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：抽象空间向量坐标形式； 逻辑推理：推导运算法则及位置关系判断； 数学运算：准确进行坐标运算； 直观想象：结合坐标培养空间直观； 新知引入 平面向量的坐标表示使得向量的运算可以转化为向量坐标的代数运算，带来了很大的方便。空间向量也可以类似处理。但为此要先建立空间直角坐标系。 思考：如何建立空间直角坐标系，得到空间向量的坐标表示呢？ 新知探究 问题1：怎么找到两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系呢？ 原 点 坐 标 轴 单 位 长 平 面 空 间 原点 原点 两条相互垂直的数轴：轴、轴 三条两两垂直的数轴、轴 单位长度为 单位长度为 新知探究 空间直角坐标系 横轴 纵轴 竖轴 ①画空间直角坐标系时，一般使(或)， ②把空间分成八个部分 ③本书建立的皆为右手直角坐标系 典例精讲 例1：在空间直角坐标系中给定点，求该点关于坐标平面的对称点的坐标。 解：如图，过点分别作与三个坐标平面平行的平面，与坐标平面一起围成了长方体，根据点的坐标知道三点在轴上的坐标分别是 因为平面，所以点关于坐标平面的对称点在延长线 上，并使。 为了求出点的坐标，把长方体关于坐标平面作对称 则得到长方体，可见的坐标由点，，在轴上的坐 标给出。又点，，在轴上的坐标分别是7、6、-4，即点 练习巩固 练习1：如图一个正方体，若以为坐标原点，以棱，，所在的直线分别为轴、轴、轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系,则 ①顶点， 的坐标分别为________________； ②棱中点的坐标为___________； ③正方形对角线的交点的坐标为___________； ④顶点关于轴对称的点的坐标为________________； ⑤顶点关于平面对称的点的坐标为________________； ⑥顶点关于点对称的点的坐标为________________. i j O k x y z A B C D C1 A1 B1 D1 (0,0,0)，(0,1,1) 新知探究 问题2：在平面直角坐标系中，每一个向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点向量，是否也有类似的表示呢？ 由空间向量基本定理，存在唯一有序实数组，使. 向量的坐标表示为= 给定任意一个向量，我们先通过平移把的起点放到坐标原点，这时得到的向量称为的位置向量。设的终点坐标是，则记 新知探究 问题3：类比平面向量的坐标运算，你能得到空间向量坐标运算吗？ 平面向量运算的坐标表示 设，，则 新知探究 设 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： 空间向量运算的坐标表示 如何证明？ 新知探究 设则 所以 利用向量数量积的分配律以及 得， 其他运算类似可证，请同学们自主完成。 新知探究 空间向量运算的坐标表示 设，，则 新知探究 问题4：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ O 如图建立空间直角坐标系， 设，是空间中任意两点， 则. 于是. 空间两点间的距离公式 练习巩固 练习2：已知，求： (1) ＋，－，·， (2)(2)·(－)，(＋)·(－)． 解：(1): ; ; . (2): (2)(－) ； (＋)(－). 练习巩固 变式2-1：已知,分别在以下情形下求实数的值. (1)； (2). 解: (1)， ，所以，解得 (2) ， 即，解得 练习巩固 变式2-2：已知空间三点. 求：(1)向量，的模；(2)向量，夹角的余弦值. 解: (1)∵ ∴ (2) ∵ ∴. 典例精讲 例2：如图，给定正方体 （1）求对角线与所成角的余弦值； （2）求证： 解：（1）以点为坐标原点，分别以射线为轴、轴、 轴的正半轴，建立空间直角坐标系。设正方体的棱长为， 可得有关点的坐标分别为、、 、，从而，。于是 = 所以，对角线与所成角的余弦值为 （2）由，，得。所以 练习巩固 练习3：如图，,原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且, ,求 (1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值. 解: (1)过作于，则, , 所以点坐标为, 又因为 ， 所以. 练习巩固 练习3：如图，,原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且, ,求 (1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值. 解: (2)因为， ， , ， 所以， ， 则， ， 所以 小结 设，，则 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $