精品解析：黑龙江省大庆市第三十六中学2024-2025学年上学期9月月考九年级数学试题（五四学制）

大庆市第三十六中学2024—2025学年第一学期初四学年数学学科月考试题 （试卷满分：120分，考试时间：120分钟，命题范围：二次函数） 一、选择题（30分） 1. 下列各式中表示二次函数（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线，下列说法正确是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 6. 将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式是（　　） A. y＝（x+3）2﹣2 B. y＝（x+3）2+2 C. y＝（x﹣1）2+2 D. y＝（x﹣1）2﹣5 7. 某厂今年一月份新产品研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( ) A. abc＞0 B. b2﹣4ac＜0 C. 9a+3b+c＞0 D. c+8a＜0 9. 已知抛物线经过点，，下列四个结论： ① 抛物线的对称轴是； ② b与c同号： ③ 关于x的一元二次方程的两根是，； ④ 当，抛物线上的两个点，且时，．其中结论正确的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题（24分） 11. 二次函数y＝2（x－3）2－4的对称轴是________． 12. 如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y=x2③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________ 13. 若实数，满足，则的最小值为______． 14. 若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为___ 15. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大值为______． 16. 已知抛物线的最低点在轴上，则________． 17. 抛物线关于 轴对称的抛物线的解析式为______． 18. 在直角坐标系中，点的坐标为，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则的取值范围为______． 三、解答题（66分） 19. 一个二次函数的图像经过（0，－2），（－1，－1），（1,1）三点，求这个二次函数的解析式 20. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 21. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 22. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 23. 已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x （1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点； （2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积. 24. 拱桥具有稳固美观特点，被广泛应用到桥梁建筑中．如图是某拱桥的截面图，目前水面宽度的长为． （1）若将拱桥的截面近似看作半径为的圆弧，求弧的长． （2）若将拱桥的截面近似看作二次函数图象，以水面所在直线为x轴，A为坐标原点．桥拱顶面离水面的最大高度为，求出二次函数的解析式，并求出水上涨后的水面宽度． 25. 如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得PA+PC最小，求P点坐标及最小值． 26. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． （1）设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y， ； （2）当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？ （3）请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？ 27. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）． （1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？ 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线． （1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； （2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； （3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第三十六中学2024—2025学年第一学期初四学年数学学科月考试题 （试卷满分：120分，考试时间：120分钟，命题范围：二次函数） 一、选择题（30分） 1. 下列各式中表示二次函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； B、，分母中含有字母，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∵时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3， 故选：D． 3. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．求出二次函数的图象的对称轴为直线，可得点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵，点，， ∴． 故选：A． 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标进行选择即可． 【详解】∵抛物线中，a＜0， ∴开口向下， ∴顶点坐标（5，3）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标是解题的关键． 6. 将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式是（　　） A. y＝（x+3）2﹣2 B. y＝（x+3）2+2 C. y＝（x﹣1）2+2 D. y＝（x﹣1）2﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得出选项． 【详解】解：将二次函数的图象先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的函数解析式为： ， 即， 故选：D． 【点睛】题目主要考查二次函数的平移规律，上下平移，直接在函数解析式的后面上加下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位，理解运用平移规律是解题关键． 7. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( ) A. abc＞0 B. b2﹣4ac＜0 C. 9a+3b+c＞0 D. c+8a＜0 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据图象可知抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，对称轴是x=1＞0，所以a＜0，c＞0，b＞0，所以abc＜0，所以A错误；因为抛物线与x轴有两个交点，所以＞0，所以B错误；又抛物线与x轴的一个交点为（-1,0），对称轴是x=1，所以另一个交点为（3,0），所以，所以C错误；因为当x=-2时，＜0，又，所以b=-2a，所以＜0，所以D正确，故选D. 考点：二次函数的图象及性质. 9. 已知抛物线经过点，，下列四个结论： ① 抛物线的对称轴是； ② b与c同号： ③ 关于x的一元二次方程的两根是，； ④ 当，抛物线上的两个点，且时，．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的性质，根据题意将点代入抛物线得到a和b的关系即可得到对称轴是；将点代入并结合即可得到b和c的关系式；结合点和对称轴即可得到与x轴的另一个交点3，即可判定关于x的一元二次方程的两根；将已知点代入得到关系式，结合整理得到，由得到a的正负，即可求得m的范围． 详解】解：∵抛物线经过点， ∴，解得， 则，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，解得， 则b与c同号，故②正确； ∵抛物线经过点，且对称轴是， ∴抛物线与x轴的交点为3， 则关于x的一元二次方程的两根是，，故③正确； ∵抛物线上的两个点，且， ∴， 整理得 ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，解得，故④正确； 故选：D． 10. 已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数最值．根据二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出t值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点， ∴ 化简得 解得：， ∵， ∵，抛物线开口向上， 当时，∵，y随m增大而增大， ∴时y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得：； 当时， 当时，y有最小值 ∵的最小值为3， ∴ 此时t无解； 当时，∵，y随m增大而减小， ∴ ，y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得（舍去）； 综上，若的最小值为3，则． 故选：D． 二、填空题（24分） 11. 二次函数y＝2（x－3）2－4的对称轴是________． 【答案】x=3 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式得到其顶点坐标即可得对称轴； 【详解】解：由二次函数y＝2（x－3）2－4可知，其顶点坐标为：（3，-4）； ∴对称轴为：x=3； 故答案为：x=3． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式及对称轴，掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 12. 如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y=x2③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________ 【答案】(1)(3)(2) 【解析】 【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】①y=3x2，②y=x2，③y=x2中，二次项系数a分别3、、1， ∵3＞1＞， ∴抛物线②y=x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄． 故依次填：①③②． 【考点】二次函数的图象． 13. 若实数，满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由a+b2=2得出b2=2-a，代入a2+5b2得出a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10，再利用配方法化成a2+5b2=（a-）2+，即可求出其最小值． 【详解】解：∵a+b2=2， ∴b2=2-a≥0， ∴a≤2， ∴a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10=（a-）2+， 当a=2时，代入， 可得：a2+5b2的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2=（a-）2+是解题的关键． 14. 若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为___ 【答案】0或-1##-1或0 【解析】 【详解】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况： 当k=0时，函数是一次函数，与x轴仅有一个公共点． 当k≠0时，函数是二次函数，若函数与x轴仅有一个公共点，则有两个相等的实数根，即， 解得：， 故答案为：0或-1． 15. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-7得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=-m有交点，由图象得，-m≥-7，解得m≤7， ∴m的最大值为7， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题． 16. 已知抛物线的最低点在轴上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最低点在x轴上可知，抛物线开口向上，且顶点的纵坐标为0，然后列式求解即可． 本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了抛物线的顶点坐标，要注意判断出抛物线的开口向上． 【详解】解：∵抛物线的最低点在轴上， ∴且， 解得：且， ， 故答案为：． 17. 抛物线关于 轴对称的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关于轴对称的两点坐标相同，坐标互为相反数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵关于轴对称：则变为， ∴， ∴抛物线关于 轴对称的抛物线的解析式为， 故答案为：． 18. 在直角坐标系中，点的坐标为，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：抛物线的顶点在x轴上和抛物线的顶点在x轴下方两种情况求解可得． 【详解】∵点的坐标为，抛物线与线段有且只有一个公共点， ∴抛物线顶点在x轴上，或者当x=0时，y<0；且当x=3时,y>0； ∴或， 解得，或. 故答案为或 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 三、解答题（66分） 19. 一个二次函数的图像经过（0，－2），（－1，－1），（1,1）三点，求这个二次函数的解析式 【答案】y= 【解析】 【详解】试题分析：本题利用待定系数法进行解答． 试题解析：设二次函数的解析式为：y= 将点（0，－2）（－1，－1）（1,1）代入可得： 解得： ∴二次函数的解析式为：y= 考点：求二次函数解析式． 20. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 【答案】(1) y＝－ (x＋1)2＋2；(2)向下， x＝－1. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由二次函数的图象的顶点坐标为（-1，2）可设其解析式为：，再代入点B（1，-3）就可求出的值，从而得到此函数的解析式； （2）根据（1）中所求得的这个二次函数的解析式可以知道其图象的开口方向和对称轴. 试题解析： (1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2， 把点(1，－3)代入，得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－ (x＋1)2＋2. (2)由抛物线的解析式为：y＝－ (x＋1)2＋2，可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1. 点睛：（1）抛物线的开口方向是由二次函数表达式中“”的值确定的，当时，开口向上，当时，开口向下；（2）要求抛物线的顶点坐标或对称轴，就把抛物线的表达式化为“顶点式：”，则其顶点坐标为：，对称轴为直线：. 21. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】（1） （2）当时，函数的最大值为4，最小值为0 【解析】 【分析】（1）化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为， 又∵，，抛物线开口向下， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为． 22. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）① 11；②. 【解析】 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）①把m=2代入解析式即可求n的值； ②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）①当m=2时，n=11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 23. 已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x （1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点； （2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）联立两解析式，根据判别式即可求证； （2）画出图象，求出A、B的坐标，再求出直线y=-2x+1与x轴的交点C，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 详解：（1）联立 化简可得：x2-（4+k）x-1=0， ∴△=（4+k）2+4＞0， 故直线l与该抛物线总有两个交点； （2）当k=-2时， ∴y=-2x+1 过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E， ∴联立 解得：或 ∴A（1-，2-1），B（1+，-1-2） ∴AF=2-1，BE=1+2 易求得：直线y=-2x+1与x轴的交点C为（，0） ∴OC= ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC =OC•AF+OC•BE =OC（AF+BE） =×（2-1+1+2） =. 点睛：本题考查二次函数的综合问题，涉及解一元二次方程组，根的判别式，三角形的面积公式等知识，综合程度较高． 24. 拱桥具有稳固美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中．如图是某拱桥的截面图，目前水面宽度的长为． （1）若将拱桥的截面近似看作半径为的圆弧，求弧的长． （2）若将拱桥的截面近似看作二次函数图象，以水面所在直线为x轴，A为坐标原点．桥拱顶面离水面的最大高度为，求出二次函数的解析式，并求出水上涨后的水面宽度． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、弧长公式等知识，解题的关键是： （1）证明是等边三角形，即可求解； （2）由待定系数法求出函数解析式，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设圆的圆心为O， ∵圆的半径和长度相等， 则为等边三角形， 则， 即弧的长为； 【小问2详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的表达式为：， 即， 把点代入解得：， 则抛物线的表达式为：， 设，则点， 即点F的坐标代入抛物线表达式得：， 解得： ， 则此时的水面宽为， 即水上涨后的水面宽度为． 25. 如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得PA+PC最小，求P点坐标及最小值． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，y＝x﹣1；（2）1≤x≤4；（3）存在，P（2，1），PA+PC最小值＝3． 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据函数图象可得，点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集； （3）根据点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，于是得到直线AB与对称轴的交点即为点P，PA＋PC的最小值＝AB，根据两点间距离公式得到AB＝，把x＝2代入y＝x−1即可得到结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+m经过点A（1，0）， ∴0＝1﹣4+m， ∴m＝3， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3， ∴点C坐标（0，3）， ∵对称轴x＝2，B、C关于对称轴对称， ∴点B坐标（4，3）， ∵y＝kx+b经过点A、B， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x﹣1； （2）由图象可知，满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围为：1≤x≤4； （3）存在， ∵点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点， ∴直线AB与对称轴的交点即为点P， 则PA+PC最小值＝AB， ∴AB＝， 把x＝2代入y＝x﹣1得，y＝1， ∴P（2，1），PA+PC最小值＝3． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，难点在于求出点B的坐标． 26. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． （1）设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y， ； （2）当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？ （3）请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？ 【答案】（1） （2）元 （3）每件售价为元时 【解析】 【分析】（1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解； （2）每件所获利润日销售量元，据此即可求解； （3）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解． 【小问1详解】 解： ， 故答案：； 【小问2详解】 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， 降价促销， 舍去 ， 答：该吉祥物售价为元时，日销售利润达7500元． 【小问3详解】 解：设日销售利润为元，由题意得 ， ， 当时，（元）； 答：每件售价为元时，可使日销售利润最多． 【点睛】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）． （1）求y关于x函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）(0＜x＜4)；（2）当x=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的对应边成比例求得；最后用x、y表示该比例式中的线段的长度； （2）根据∠A=90°得出S△BDE=•BD•AE，从而得到一个面积与x的二次函数，从而求出最大值； 【详解】（1）动点D运动x秒后，BD=2x． 又∵AB=8，∴AD=8-2x． ∵DE∥BC，∴，∴， ∴y关于x的函数关系式为(0＜x＜4)． （2）解：S△BDE==(0＜x＜4)． 当时，S△BDE最大，最大值为6cm2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积列出二次函数关系式，利用二次函数求最值问题，建立二次函数模型是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线． （1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； （2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； （3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在点F，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴和过点列二元一次方程组求解即可； （2）如图：过点M作交于D，设点，则；然后表示出，再根据是等边三角形可得,，根据三角函数解直角三角形可得，进而求得即可解答； （3）如图可知：线段为菱形的边和对角线，然后通过作图、结合菱形的性质和中点坐标公式即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得： ，解得：， 所以抛物线的函数表达式为； 当时，，则顶点M坐标为． 【小问2详解】 解：如图：过点M作交于D 设点，则, ∴， ∵是等边三角形, ∴, ∴,即，解得：或（舍去） ∴，， ∴该三角形的边长． 【小问3详解】 解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形 ①如图：线段作为菱形的边， 当为菱形的对角线时，作关于直线的对称线段交于E，连接,作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时． 当为菱形对角线时，， 设，， 则，解得：或， ∴或 ②线段作为菱形的对角线时， 如图：设 ∵菱形, ∴,的中点G的坐标为，点G是的中点， ∴，解得， ∴， 设， 则有：，解得：， ∴． 综上，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、等边三角形的性质、解直角三角形、菱形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $