精品解析：福建省南平市顺昌县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

顺昌一中2025-2026学年第一学期高一12月月考 数学试题 命题教师：叶觐尧 审核教师：汤仲剑 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版必修第一册第一章～第五章5.3诱导公式 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 3. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 15 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 4 （ ） A. B. C. D. 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 7. 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为8； B. 的最小值为2； C. 的最小值为； D. 的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 函数的图象必过定点 C. 若某扇形的周长为，面积为，圆心角，则 D. 函数的单调增区间 11. ，下列说法正确的有（ ） A. 的减区间为 B. 的值域为 C. 若有3个零点，则 D. 若有5个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则__________. 13. 如图，在Rt中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点，若圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，且弧度，则____________． 14. 已知正实数满足，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 16. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为. （1）求的值. （2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 17. 计算下列各式值： （1） （2）已知，试求的值. 18. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若，函数的最小值为，求的值． 19. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）若存在对称中心，求的值 （2）由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； （3）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺昌一中2025-2026学年第一学期高一12月月考 数学试题 命题教师：叶觐尧 审核教师：汤仲剑 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版必修第一册第一章～第五章5.3诱导公式 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数定义域求出集合，由函数值域求出集合，由并集的定义求得结果. 【详解】∵，∴，即， ∵指数函数，即， ∴. 故选：A. 2. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式直接求解即可. 【详解】因为函数， 所以． 故选：A 3. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式一求解即可. 【详解】 故选：A 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简即得. 【详解】由，得. 故选：D 7. 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列方程，通过取对数并代值估计即得. 【详解】由题意，设通过x块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的，则易得：， 即，两边取对数，可得， 故至少需要通过16块这样的玻璃. 故选：D. 8. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为8； B. 的最小值为2； C. 的最小值为； D. 的最小值为. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要通过代数变形将式子转化为可利用基本不等式的形式，逐一分析选项. 【详解】A选项：因，，则， 即， 故，所以， 当且仅当，即取等号，所以A错误； B选项：由可知，易知，，所以，当且仅当时等号成立，所以B错误； C选项：因，故， 所以，故， 当且仅当，即取等号，所以C正确； D选项：由可知，，由， 所以，故当且仅当时取最小值，所以D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据解集为或，得到然后逐项判断. 【详解】对A，∵的解集为或， ∴解得故选项A成立； 对B，可化为，即， 故的解集为，故选项B不成立； 对C，，故选项C不成立； 对D，可化为，即， 其解集为，故选项D成立. 故选：AD. 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 函数的图象必过定点 C. 若某扇形的周长为，面积为，圆心角，则 D. 函数的单调增区间 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据含有一个量词命题的否定判断A，根据定点问题判断B，根据扇形的周长问题以及面积问题判断C，根据复合函数的单调性判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，该选项正确； 对于B，让函数指数位置为0， 则，即，此时， 所以函数图象必过定点，该选项正确； 对于C，设扇形半径为，弧长为，则周长为，解得或， 当时，，则不符合题意， 当时，，此时，所以该选项正确； 对于D，函数需满足，解得， 令，则是减函数，对称轴为， 所以在上是单调递增，在上是单调递减， 根据复合函数“同增异减”原则，函数的单调增区间，该选项错误. 故选：ABC. 11. ，下列说法正确的有（ ） A. 的减区间为 B. 的值域为 C. 若有3个零点，则 D. 若有5个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的解析式，可画出函数草图，利用函数草图，可轻松判断ABC的真假；再结合分类讨论思想的应用，判断D的真假. 【详解】函数的草图如下： 由图象可知： 函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误； 函数值域为，故B正确； 若有3个零点，则，故C正确； 对D：结合函数草图：由或； 由或，解得：或或. 设，由题意方程有5个不同的根. 由， 若，则只有1解，且，此时方程有3个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解； 若，则有3解，且或或， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解； 若，则有1解，且，此时方程至多有1个解. 综上：若有5个零点，则.故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，再利用诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在Rt中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点，若圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，且弧度，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论． 【详解】解：设扇形部分的半径为， 则扇形的面积为，直角三角形中，， 的面积为，由题知圆弧分面积为(扇形部分是2份)，， ， ． 故答案为：． 14 已知正实数满足，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】先通过构造函数分析与的关系，再代入计算的值. 【详解】设，则，， 又与均为上增函数，则为增函数， 故当时，必满足，则，则. 故答案为：1 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集、交集的定义直接求解. （2）利用给定的交集结果，列式求出. 【小问1详解】 当时，，而， 则，. 【小问2详解】 由，得或，解得或， 所以的取值范围是. 16. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为. （1）求的值. （2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可得的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，结合齐次式求解即可得到结果. （2）根据诱导公式求得，利用齐次式求解即可. 【小问1详解】 根据三角函数定义得，， ∵角终边在第二象限，∴，故， ∴. 【小问2详解】 由题意得，， ∴，， ∴， ∴ . 17. 计算下列各式值： （1） （2）已知，试求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据对数的定义结合对数的运算性质求解即可； （2）将指数式化为对数式，结合对数的运算性质求解即可. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 因，则， 可得，， 则，， 所以. 18. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若，函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将整理成，代入，利用换元法设，，利用对数函数和二次函数的图像求值域； （2）将整理成，设，利用对数函数和二次函数的图像求值域，分别讨论二次函数的对称轴在区间的左中右这三种情况求解. 【小问1详解】 ， 时，设， 当时，取最小值； 当时，取最大值2； 因此函数的值域为． 【小问2详解】 ， 设，，， ①当，即，函数的最小值为，满足题意； ②当，即， 函数的最小值为，由已知， 解得（舍去）或（舍去）； ③当，即，函数的最小值为， 由已知，故， 综上所述：的值为或. 19. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）若存在对称中心，求的值 （2）由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； （3）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）对称中心为，. 【解析】 【分析】（1）根据的对称中心为，构造函数，由奇函数的性质推出求解； （2）设，根据，然后换元，即可证明结论； （3）根据为奇函数，求出，，然后发现规律，即可求解. 【小问1详解】 设，则为奇函数， 可得，，， ∵， ∴根据奇函数的定义域关于原点对称可得，解得， ∴， 由可得，解得， ∴. 【小问2详解】 设， ∵为奇函数， ∴对定义域内任意都成立，即， 整理得. 令，则，代入上式得， 即； 【小问3详解】 ∵， ∴ ， ∵为奇函数， ∴， ∴，解得， ∴图像对称中心为， ∴， 即，，，…，，又， ∴ . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $