精品解析：天津市扶轮中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

天津市扶轮中学2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 一、选择题（每题5分,共50分） 1. 经过、两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】设经过、两点的直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：C 2. 等差数列中,若，则公差的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由，解得. 故选：D. 3. 如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将椭圆方程转化为标准形式，可得，然后根据椭圆焦点的位置，可得，简单计算，可得结果. 【详解】由，则 又该方程为焦点在轴上的椭圆 所以，所以 故选：D 【点睛】本题考查根据椭圆的方程以及焦点位置求参数，把握对椭圆方程的理解，属基础题. 4. 如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，，可得，所以，抛物线的方程为， 当水面上升后，即当时，，可得， 因此，当水面上升后，桥洞内水面宽为. 故选：C. 5. 设为等差数列的前项和，若，，则公差的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】， 故选：C 6. 已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. 或 C D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出，再根据焦点所在的位置即可求出标准方程. 【详解】由题意，椭圆的焦距，长轴长， 则， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为， 当焦点在上时，椭圆标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为或. 故选：B. 7. 若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，然后根据可得双曲线方程中的的值，然后可得答案. 【详解】椭圆的焦点坐标为 所以双曲线的焦点在轴上，， 因为，所以， 所以双曲线的标准方程为 故选：A 8. 在等差数列中，，则（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可知，然后表示出，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：数列是等差数列且 所以 所以 故选：B 【点睛】本题考查等差数列的性质以及前项和公式，掌握等差数列下标与所对应项之间的关系，熟悉公式，细心计算，属基础题. 9. 已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：写出双曲线方程的渐近线方程，代入点坐标得到的数量关系，由化简离心率公式并求得结果. 方法二：写出双曲线方程的渐近线方程，代入点坐标得到的数量关系，由焦距求得，由，求得，然后由离心率的公式求得结果. 【详解】方法一：双曲线的渐近线方程为， ∵点在的渐近线上，即，∴， ∵， ∴离心率. 方法二：双曲线的渐近线方程为， ∵点在的渐近线上，即，∴， 由题意可得，即， ∵，即，解得，∴，即， 所以离心率. 故选：A. 10. 设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】，，根据双曲线的定义可得， ，即， ，， ，即，解得， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 二、填空题（每题5分,共20分） 11. 已知数列中,,（）则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】由递推公式依次求得. 【详解】当时，， 当时，， 故答案为：7 12. 双曲线C：的渐近线方程为__________；抛物线的准线方程为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由双曲线方程写出，即可求得渐近线方程；由抛物线方程求得，即可求得准线方程. 【详解】由题意可知双曲线中，∴其渐近线方程为. 抛物线方程为，即，∴， ∴准线方程：. 故答案为：，. 13. 已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,则线段的长为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由倾斜角求得斜率，由抛物线焦点坐标求得直线的方程，联立方程组整理后得一元二次方程，设点坐标， 方法一：利用焦点弦公式结合韦达定理求得线段的长度； 方法二：由抛物线的定义求得线段的长度. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为， ∴直线， 联立方程组整理得， 设，则， 方法一：交点弦长公式 ∴. 方法二：由抛物线的定义 ∵经过焦点，∴ ∴. 故答案为：8 14. 若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线方程得到焦点坐标和顶点，由抛物线的定义得到，设点坐标，建立方程解得横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，即可得答案. 【详解】由题意可知抛物线焦点， 设为坐标原点，则抛物线顶点为 根据题意及抛物线定义可知点到顶点的距离等于到焦点的距离，即， 设，则，即， ∴，∴， 又∵，∴， ∴. 故答案为： 三、解答题（共30分） 15. （1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式 （2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 又不满足上式， 所以； （2）因为， 当时，， 当时，， 又满足上式， 所以. 16. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的顶点及离心率直接求解即可； （2）写出直线的方程，利用弦长公式可求得，并可计算点到直线的距离，故. 【小问1详解】 解：椭圆的一个顶点为，， 又离心率，， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：，直线的方程为， 由，消去，得， 所以直线与椭圆有两个公共点， 设为， 则， ， 又点到直线的距离， 故 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市扶轮中学2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 一、选择题（每题5分,共50分） 1. 经过、两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列中,若，则公差值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 3. 如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（ ） A B. C. D. 5. 设为等差数列的前项和，若，，则公差的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，，则（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 9. 已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、填空题（每题5分,共20分） 11. 已知数列中,（）则__________. 12. 双曲线C：的渐近线方程为__________；抛物线的准线方程为__________. 13. 已知倾斜角为直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,则线段的长为__________. 14. 若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为__________. 三、解答题（共30分） 15. （1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式 （2）数列前项和公式为，求数列的通项公式. 16. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $