考前练33 裂项相消法求和 & 考前练34 错位相减法求和-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

考前练33 裂项相消法求和 1.在数列(a}中，a1= 2,an+1-an+3antian=0. 3.已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1,且 a1,a3,ag成等比数列. (1)证明：数列二是等差数列； (1)求数列{an}的通项公式； a (2)设bn=tan a,tan a,+1,求数列{bn}的前n an (2)若6。一3n十2求数列{6，}的前n项和S 项和S. 2.已知数列{an}的前n项和为Sm,且a2=8, S。=a-n-1. 2 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列2×3”) 的前n项和T 35 考前练34错位相减法求和 1.已知等差数列{an}满足a5=12,a10一a7=6,3.从条件①2Sm=(n十1)am,②a层十an=2Sm, 等比数列{b}的各项均为正数，且满足b1 an>0,③√Sn十√Sm-1=an(n≥2)中任选一 a1,b4=a15. 个，补充到下面横线上并给出解答 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 已知数列{an}的前n项和为Sn,a=1, (2)求数列{abn}的前n项和S. (1)求{an}的通项公式， (2)设b,=a十1 2n+1 ，记数列{bn}的前n项和为 T,是否存在正整数，使得工，>号？ 2.已知数列a}的前n项和为5a-号当m> 2时，S%=anSn一an (1)求Sn; (2)设数列(2 , 的前n项和为Tm,若ATn≤ (n2十9)·2m恒成立，求λ的取值范围. -36+q6=0.q>0,∴.q=2,因此an=aq3=4X23=2-1. 7.C解析：数列{an}的前n项和为Sn,且a+1=an十2-1，a= 2.当n=1时，a2=3,当n=2时，a3=5,…,a7=65,∴.S7= a1十a2+…+a,=134.由于S。=69,当n=7时，满足 S≥128. 8.A解析：Sn为等比数列{am}的前n项和，.S2,S4一S2, S6-S4成等比数列.S2=4,S4一S2=6-4=2,.S6一S4= 1,∴.S6=1+S4=1+6=7. 9.C解析：由题意可知，1,6,13,24,41,66，·的逐项差组成的 数列为5,7,11,17,25，，这个数列的逐项差组成的数列为 2,4,6,8,10,…是等差数列，则该数列的第7项为10+25十 66=101. 10.ACD解析：由题意，得S=12×2=12×2>0,则 2 a6十a,>0.又a<0,.a6>0,故C正确；Sg=13Xa1a= 2 13a<0,故D正确；由a3=a1+2d=12,得a1=12-2d, fa=a1+6d=12+4d<0, a6=a+5d=12+3d>0,解得-24<d<-3,故B错 la6+a=24+7d>0, 误；S=5a1+10d=5(12-2d)+10d=60,故A正确. 11.36解析：.a5+ag=2a2,∴.2a-ag=a5=4,因此S3= 9(a十as）=9as=36. 2 12.3n一9（答案不唯一）解析：要满足“前3项之和小于第3 项”，则a1十a2十a3<a3,即a1十a2<0,则不妨设a1=一6， a2=-3,则an=一6十(n-1)X3=3n-9. 13.25解析：设等差数列{an}的公差为d,则a2十as=2a1十 6d=2."a1=-2,d=1..So=10X(-2)+10X9× 1=25. 14.613解析：.a6十a=1,∴.S2=6(a6十a)=6..a<0, ∴.a6>0,∴.{an}为递减数列.又S2=6>0,S13=13a<0, '.nmin=13. 15.an=2n-1解析：当n=1时，4S=(a1十1)2，解得a1=1;当 n≥2时，由4Sn=(an+1)2=a+2am+1,得4Sn-1=a21+ 2a-1十1，两式相减得4Sm-4Sn-1=a2-a21+2an-2ar1= 4an,整理得(an十am-1)(an一an-1一2)=0..an>0,∴.an a-1-2=0,即an-ar-1=2.又a1=1,故数列{an}是首项为 1,公差为2的等差数列，.an=1十2(n-1)=2m-1. 考前练32分组法与并项法求和 1.解：(1)由Sn=2an-2,① 得S-1=2ar-1-2(n>2),② ①-②得an=2an-2ar-1,∴.an=2ar-1(n>2). 由a1=S1=2a1-2,得a1=2, .{a.}是以2为首项，2为公比的等比数列，.an=2". (26.=2,n=2k-1∈N (n,n=2k, T2n=(b1+b3+bs+…+b2-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)= (2+2+25+…+22-1)+(2+4+6+…+2n)=2X0一4)+ 1-4 2士2四X”-号+号x4+r+n 2 2.解：(1)由ana+1=2a2-a+1十2na,得(a+1-2an)(an十 n)=0,则a+1=2aa -102 又a1=2,.数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴.an=2X2m-1=2. 1m-2)·21,n=2k-1'k∈N), (2)由(1)可得，c,=ab.={4-0·2,n=2k ∴c2十c2-1=(4-2n）·2+(2n-1-2)·2m1+1=22,2m-2十 c2m3=(4-2m十2)·22+(2n-3-2)·2-3+1=22-2, 则+91=4. C2m-2十C2m-3 又，G+c2=-22+2X22=22, ∴.Tn=(c1+c2)+(c3十c4)+(c6十c)+…+(c2m-1+c2m), 则T=2+2+25+…+2=2（1-4)=4+1-4 1-4 3 六T=41-4 3 3.解：(1)由a+1=2an-a-1(n≥2)，得a+1一an=am-a-1 又a1=1,a2=3,则a2一a1=2,.{a+1一an}是各项为2的常 数列，即a+1一a=2, .{am}是以1为首项，2为公差的等差数列，.am=2n一1. (2由(10可得S.=n1+2n-D=t,6=（-1)m2. 2 当n为偶数时，Tn=(b十b2)+(b十b)十…十(b1十b)= (-12+22)+(-32+42)+…+[-(n-1)2+2]=(2-1)× (2+1)+(4一3)×(4+3)++[n-(n一1)][n+(n-1)]= 1+2+3+4+…+(m-1)+n=(1D, 2； 当n为奇数时，n十1为偶数，工，=T1-b+1=+l)n+2 2 (n+1)2=-(n+1) 2 综上，T,=-1)n(n+1) 2 考前练33裂项相消法求和 1.(1)证明：由a+1一a.十3a+1a.=0,得a一。=3，故数列 {侵}是以3为公差的等差数列。 (2)解：由1)得2=1+(m-1)d=2+30m-1)=3m-1, an al 则an=3n-1' 6=3+2-an-8n+=号(3十2)， an 8=（合-日+日-+g-+…+ 2)=号（合-如十2）-284+2 m 2.解：(1)ra,=8,S=岁-n-1,∴a1=S=号-2=2 当m≥2时a,=S,-S1=空-n-1-(受-n）), 即an+1=3an十2. 又a2=8=3a1十2，.an+1=3an十2，n∈N", ∴.a+1+1=3(a.+1), ∴数列{an十1}是等比数列，且首项为a十1=3，公比为3， am+1=3×3”1=3",∴.an=3-1. 2-- 2×3m 1 数列{2X}的前n项和工=（马）+ an an+1 (3)++(731与）=-g1 3.解：(1)a=1,{an}为等差数列，设公差为d, 又.a1,a3,ag成等比数列， .a=a1a4,即(1+2d)2=1+8d, 解得d=1或d=0(舍去)， 故{a.}的通项公式为an=1十(n-1)×1=n. (2)6.=tan nan(n十1）=an(n+l）-tann-1, tan 1 -tan I[tan 2-tan 1+tan 3-tan 2+.+-tan(n+1)- S=1 am月-n=dma+D-m1-ana）-a+1. tan 1 考前练34错位相减法求和 1.解：(1)设等差数列{an}的公差为d, 由as=12,ao-a=6,得a1+4d=12,a+9d-(a+6d)=6, 解得a1=4,d=2,.a.=4+2(n-1)=2n+2. 设等比数列{b}的公比为q,则g>0. 由b=a1=4,b=a5=32,得q=8,解得q=2, .bn=4·2m-1=2+1. (2)abn=(n十1)·2t2,Sn=2.23+3·2+…+(n十1)·2+2， 2S.=2·24+3·25+…+(n十1)·2+3， 两式相减得-S.=2十(23+24十…十2+2)-(n十1)·2+3= 8+81-g)-(n+1)·2*, 1-2 .Sn=n·2m+3 2.解：(1)当n≥2时，S=anSn-an, S=(S-S-1)S-(S-S-1), 整理，得S51=5S1-8,即发 11, 数列（发）是以哈-=2为首项1为公差的等装数列， 安=1，即8= 21知答.=6m+D·2, .Tm=2·2+3·22+…+n·2m-1+(n+1)·2m,① .2T.=2·22+3·23+…+n·2+(n+1)·2m+1,② ①-②，得-T.=4+(22+23+…+2")-(n+1)·2+1 =4+2二2）-（m+1）·21=-n·2t1, 1-2 .Tw=n…2t1 aTn≤(2十9)·2，An·2+1≤(2+9)·2， 即“法-受+品 :受+号≥2√受·易=8，当且仅当m=3时，等号成立， λ≤3，即λ的取值范围为(-∞，3]. 3.解：(1)若选择①，.2Sn=(n十1)am,n∈N*, .2Sm-1=naw-1,n22, 两式相减得2a.=(n十1)a.一a.-1, 整理，得(n-1)an=na.-1,n≥2， 即费=号≥2，（会}为常数列面号=1a.=m 若选择②，a十an=2Sn(n∈N), -10 ∴.a21十an-1=2S-1(n≥2)， 两式相减得a层-a21十an一ar-1=2S.-2S.-1=2a.(n≥2)，得 (an-an-1)(an十ar-1)=an十an-1(n22). an>0,∴.an十ar-1>0,∴.an-ar-=1(n≥2)， ∴.{an}是等差数列，.an=1十(n-1)×1=n. 若选择③，√Sn+√S1=an(n≥2)， .√S+√S-i=S.-S-, ∴S+i=(S+√S)(S-√Si), 由题意知S>0,√S-√S=1, ∴{√S}为等差数列. 又√S=√a=1,∴√Sn=,Sn=, a.=S-S。-1=2n-1(m≥2)，当n=1时，a=1也满足上式， .an=2n-1. （2若选择@或②.6-”生+中1-是。 ∴T.=3×(2）°+4×（侵）°+5×(2）广++(+2)× (), 2T.=3×(合)）'+4×（合）‘+5×（合）°++(+2)× (3), 两式相减得2工.=3×（合）广+(2)）°+（分）+…+ (号》”a+x传》号+ 1-2 2)×(合）》-1-， 工：=2-，要使得T>号，即2-2>号整理，得 当nEN时，20，不存在mEN,使得T.>号 若选择③，依题意，6=-”，工.=2×号+3× 2+1 (侵广+4x(2)'+5x(侵)广++a+1Dx(侵”， 合工=2x(分）)广+3×（合）广+4x(合)》°++(a+1× (2), 两式相减得2工，=1+（合）+（分）+(3)+…十 (号》+x传)》-1+- 1-2 -(m十1)× T=3生 令工=3-"法3>号则安3<号，即2-3m-9>0 令cn=2-3n-9,则c1=-10<0, 当n≥2时，c+1-cn=2+1-3(n十1)-9-(2”-3n-9)= 2m-3>0, 又c4<0,c5>0,故c2<c3<c4<0<c5<c6<… 综上，使得T,>号成立的最小正整数n的值为5. 考前练35空间几何体的表面积和体积 1.B解析：由题意知圆锥的底面周长为2√2π.设圆锥的母线长 为l,则π=22π，解得l=2√2. 2.B解析：设圆柱的轴截面的边长为x,由x2=8,得x=2√2， .S国粒表=2S底十S侧=2π×(W2)2十2xX√2X2√2=12元 3.B解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所 得几何体是以2为底面圆半径，2为高的圆柱.由圆柱的体积 公式得V=π×2X2=8π，∴.所得到的几何体的体积为8π. 4.B解析：易得圆台的上底面圆的半径是0.5m,高是2.5m, 下底面周的半径是1.4m,∴V=号h(r十W+)≈号× 3.14×2.5×(0.52+0.5×1.4+1.4)≈7.6(m3). 5.D解析：设国锥的体积为V,由体积公式可得V=号x2h, “7=是，圆维的体积是12x,号x·(径)°.h=12,解 得h=4. 6.C解析：如图，将圆台补成圆锥，设圆台上底 面中心O到圆锥顶，点的距离为h,圆台的高 为2x,中栽面面积为S,则是=十2，整 16 02 理，得h=2x.又存=h干，心47 4 4 03 2z+,解得S=9. 7.B解析：如图，设还原后正方体的棱长为 a,则正方体的体积为a,每一个正四面体 的体积为日·合·号·号·号-由 aa 题意可得d-8×器=0.18>d=0.216. 8.D解析：设圆锥底面半径为r,高为h,则l=2πr,3πh= 是(2mh-得 9.号解析：由题意，知所给的几何体是棱长均为巨的八面体， 它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的 高为1，这个八面体的体积为2Vm=2X号XW2)2X 1=号 10.是解析：圆柱的侧面展开图是面积为16的正方形，一该 圆程的底面围的周长为4，因此丰径为二，故该国柱一个底 西的面教为S=:(保)》'=是 1.8-吾解析：该几何体为正方体挖去两个四分之一圆维， “圆锥的底面半径R=1,高=2，V=2-号×号×π× 1×2=8-5 -10 12.2解析：圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，∴.圆台 的母线长为2T-2=2,一2，圆台的侧面积为 π 2n2X(2r2-2n)=2(3-)=4r,∴片-斤=2. 2 考前练36与球相关的切接问题 1.C解析：棱长为1的正方体，其体对角线长为√3，而正方体的 外接球直径即为正方你的体对角线，故外接球年径为吗，该 球的表面积为S=4R=4rX(停)'=3玩 2.B解析：由题意，得该圆柱底面圆的半径为子，圆柱的高为 7,∴该圆柱的侧面积为2x×子×7=49m 3.A解析：球的直径为10，半径为5，圆台的下底面半径为5， 圆台的高为V5一平=3，圆台的体积为3πX(4+4× 5+52)×3=61元. 4.B解析：正方体的棱长a=2,正方体内切球的半径r=1,内 切球体报V=经，则V-华-9 π3 5.BCD解析：设球O的表面积最大，则球O 与圆锥相切，球O的半径为r,如图，作出组 合体的轴裁面.：圆锥SO的轴裁面是边长 为6的正三角形，∴.S0=3√3.在Rt△SOC 中，OC=r,∠OSC=30°，可得S0=2x.又A2 0' SO十OO=SO,∴.2r+r=3V3,解得r=√3，∴.球O的表面积 为S=4πX(W3)2=12π，即圆锥内部放置一个球，球的表面积的 最大值为12π，结合选项，可得放置球的表面积可能为B,C,D 6.C解析：如图，当，点C位于垂直于面AOB 的直径端，点时，三棱锥O-ABC的体积最 大，设球O的半径为R,此时VoAc=VCAOB= 0 号×号×号R×R=得=6，则R- 243,球0的体积为V=4=325元 3 7.54π解析：设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,由条件有 R=r=3,圆柱的高为2R,.圆柱的体积为π2X2R= 2πr3=54元. 8.3πa解析：依题意，补成正方体如图所示， P 则四面体P-ABC的外接球，也是正方体的外接球，∴，球的半径为 V号亚-停啡的表面软为红X(停。)广-3 2 9.15解析：依题意，知防蝇罩的半径至少为 6+12,+12=6+62≈15(cm. 2 10,19解析：设球的半径为，则球的表面 04