任务强化练34-36 导数的综合应用-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

(ln十x十2)=-(-1)>0，即C正确，D错误. 9.-1解析：f)=士-1=1号，x>0,f(x)>00<< 1,f(x)<0→x>1,则函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1， 十o∞)上单调递减，即f(x)x=f(1)=ln1-1=-1. 10.f(x)=x(答案不唯一)解析：如f(x)=x,f(xy)=xy, f(x)f(y)=xy,故f(xy)=f(x)f(y),f(x)=1是偶函数， 又f(x)在(0，十∞)上单调递增，故答案可以为f(x)=x(满 足条件即可). 11.f-3)<f(2)<f(受）解析：由题意知，函数fx)为偶函 数，因此f(-3)=f(3).又f(x)=sinx十xcos x-sinx= xosx,当x∈（受，）时，f(x)<0,fx)在区间（受， 上是减函数，…f(受)>f2)>f3)=f-3), 12.[-1,1](答案不唯一)解析：f(x)=x2-1,令(x)=0 可得x=-1,1,.当x-1或x>1时，f(x)>0,当-1< x<1时，f(x)<0,故f(x)在(-∞，-1)和(1，十∞)上单调 递增，在(-1,1D上单洞递流，且f-1)=号，11)=一号， 由此可知定义域可以是[-1,1]（答案不唯一）. 13.A解析：由题，f(x)=2(x+1)-sin(x+1),令h(x)= f(x),则h(x)=2-os(x十1)>0，∴.(x)单调递增，又 f(-1)=0,.x<-1,f(x)<0,x>-1,f(x)>0,故x= -1为f(x)的最小值点，即f(-1)=1十a=4,解得a=3. l4.ABD解析："f(e)=e-e-f(e),∴f(e)=0,∴.f(x)= cnx-,心f1)=-1,A正确；f(x)=号-1=2， ∴.当0<x<e时，f(x)>0,f(x)单调递增；当x>e时， f(x)<0,f(x)单调递减，·f(x)mx=f(e)=0,B正确； :fe)-f)=3e-e+是=e3-e+>0,fe)> e f(）C错误；：f2)=elh2-2<0,h2<名 ∴e>2,∴D正确. 15.BCD解析：f()=lhx+1,f(x)>0→x>是，f()<0> 0<x<,即函数f(x)在(0，是)上单调道减，在（日。 +∞)上单调递增，当x0时，fo)0,f(）=是n是 -是，1)=0，则函数y=|f(x)1与y=m的图象如图 所示， y=f(m) y=m 2 平移直线y=m可知，函数y=|f(x)川与y=m的交点个数 可能为0,1,2,3，则关于x的方程f(x)|一m=0的实数根 的个数可能为0,1,2,3. 16.号解析：fx)=lnx十lh(2-x)十ax的定义战为(0,2)， fa)-++a=2号+a“xe0,>0, -8 f()=2红-2 xc-2十a>0,f(x)在(0,1]上单调递增，故 f)在(0,1]上的最大值为f1=a=2 17.0)解析：f)三{。1,0.”由已知可得经过点A 的切线的斜率=∫()=一巴，经过点B的切线的斜率2= f(2)=e平，k·k2=-1,.一e·e=1→+2=0；由弦 长公式，得|AM=√1+西||，|BN|=√1+e西|2|= 1e西-ak微-√H套=心∈o. 18y=名xy=-是x解折：y=nz,当>0时，y nx,设切点为《a,h),由y=子y1=名切线方 程为yh五一名（红一西以又切线过坐标原点心-h 名（-)，解得=e,切线方程为)1=（红-e,即 y=是x当x<0时y-lh(-x,设切点为(a,lh(-》, 由y=子y=切线方程为)一h(一西)日（x 西，又切线过坐标原点.-1n(一)=1（一)，解得0 e,切线方程为y一1=x十e),即y=一己x 任务强化练34利用导数研究函数 的单调性、极值与最值 1.解：(1)当a=1时，f(x)=(x-1)e-x2,f(x)=x(e-2), 令f'(x)>0,得x<0或x>ln2;令f(x)<0,得0<x< In 2, ∴.f(x)在（一∞，0）和(ln2,+∞)上单调递增，在(0，ln2)上单 调递减. (2)f(x)=x(e2-2a),当a≤0时，e-2a>0, 故f(x)>0→x>0,∴.f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0， 十∞)上单调递增，x=0为极小值点，不合题意； 当a>0时，由f(x)=0,得x=0或x=ln2a, ,x=0是极大值点， lh2a>0,即>2 故a∈（分，+e∞） 2.解：(1)函数f(x)的定义域为R, f(x)=-x2+2x十3=-(x-3)(x十1). 令f(x)=0,得x=-1或x=3. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表所示. x （-0∞，-1) -1 (-1,3) 3 (3,十∞) f(x) 0 0 f(x) -3 10 故f(x)的单调递增区间为[一1,3]，单调递减区间为（一∞， 一1)和(3，十∞). 当x=-1时，fx有极小值f-1D=一号， 当x=3时，f(x)有极大值f(3)=10. (2)由(1)可知，f(x)在[0,3]上单调递增，在[3,6]上单调递 减，.f(x)在[0,6]上的最大值为f(3)=10. 又f(0)=1,f(6)=-17,f(6)<f(0), ∴f(x)在区间[0,6]上的最小值为f(6)=-17. 3.解：由f(1)=0,得a一b=0,即a=b, f)=ax-是+ln,ze0,+o, f=a+是+是=arte ①当a=0时，f)=上>0，)在0，十a∞)上单调通增，满 足题意 ②当a>0时，f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调递增，满足 题意. ③当a<0时，若f(x)在(0，十∞)上单调递增，则ax2十x十 a≥0在(0，十∞)上恒成立，显然不可能； 若f(x)在(0，十∞)上单调递减，则ax2+x十a≤0在(0， 十∞)上恒成立，而y=ax2十x十a的图象的对称轴为直线x= 一云，且一品>0，ar十z十a=0的根的判别式△=1 4a≤0，解得a≤-2 综上，实数a的取值范围是（一∞，一2」 U0,+∞). 4.解：(1)f(x)=(x-1)e. 令f(x)<0,得x<1;令f(x)>0,得x>1. 当a∈(0,1]时，f(x)在(0，a)上单调递减； 当a∈(1，十∞)时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，a)上单调 递增。 (2)由题意，得g'(x)=(x-1)(e一2m). 若m≤0，e-2m>0,则g(x)在[1,2]上单调递增，g(x)mx= g(2)=-m0,不合题意. 若0<m≤，则g(x)在[1,2]上单调递增， g)m=82)=一m心-号>-号，不合题意. 若号<m<号，则g()在[1，lh2m]上单调递减，在[n2m,2] 上单调递增， g(x)mx=g(1)=-e或g(x)mx=g(2)=一m. 当e<m<号时，g(x)m=-e<-号；当受<m<e时， g）m=mK-号，则号<m≤e 3 若m≥号，则g()在[1,2]上单调递减，g(x)m=g(1) -e-2e 31 综上，m的取值范围是（号，十∞）， 任务强化练35利用导数研究不等式 1.解：(1)当a=0时，f(x)=e-1-x,f(x)=e2-1. 当x∈(-o∞，0)时，f(x)<0;当x∈(0，+∞)时，f(x)>0. 故f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增. (2)f(x)=e-1-2ax. 由(1)知e≥1+x,当且仅当x=0时等号成立， 故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x, 从而当1-2a>0,即a≤2时，f(x)≥0(x≥0)， 而f0)=0,于是当x≥0时，f(x)≥0. 由e>1+x(x≠0)，得e>1-x(x≠0)，从而当a>2时， f(x)<e-1+2a(ex-1)=ex(e-1)(e-2a), 故当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0, 而f(0)=0,于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0, 1 综上，a的取值范围为一∞，2」小 -81 2.(1)解：f(x)的定义域为(0，十∞)， ①若a≤0，：f(号）=-+an2<0,不清足题意； ②若>0，由f(x)=1-是=2知， x 当x∈(0，a)时，f(x)<0;当x∈(a,+o∞)时，f(x)>0. ∴.f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十∞)上单调递增， 故x=a是f(x)在(0，十∞)的唯一最小值点. :f(1)=0,.当且仅当a=1时，f(x)≥0，故a=1. (2)证明：由(1)知当x∈(1，十oo)时，x-1-lnx>0. 令x=1+品，得(1+是)< 从而1n(1+号)+ln(1+)）+…+i(1+)<号+ 安+叶=1-2<1 故(1+2)(1+)…(1+2)<c 3.解：(1)当a=1时，f(x)=2xlnx+x2+x十3， f(x)=2(lnx+1)+2x+1, .f(1)=5,f(1)=5, ∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 y-5=5(x-1),即y=5x. (2存在∈（日e),使得f)≥0成立， 等价于不等式≥-2x寸+3在（仁，e)上有解， x 令h(x)=-2.nx+2+3 则1)=-2+2x-3=-(x十3)(x-1) x 当日<<1时，)>0h)为增函数： 当1<x<e时，h'(x)<0,h(x)为减函数. 又A(日）=-3E-2+1,ho=e+2e+3, e e 故n()-h(e)<0, ∴当e(6e)时，h(>h(日）=-3E-e, e a>-3e2-2e+1 e 即a的取值范围为(-3c-2e+1,十o∞). e 4.解：(1)f(x)的定义域为(0,2)， 若6=0，则a)=h2产+af)-2安.2+ a-x(2-x)ta, 当x∈(0,2)时，x(2-x)∈(0,1]，f(x)m=2+a≥0，则a≥ -2, 故a的最小值为一2. (2)证明：f(2-x)=n2,2+a(2-x)+6(1-x)= -lh22-a-bx-1+2a=-fx)+2a, 故曲线y=f(x)关于点(1，a)中心对称. (3)由题知f(1)=a=一2， 此时Kx)=n2产22z+6(x-1八， f0)=2≥2.②2-2+36(x-1)2- x （2-x)2 (2-x-2+ 36(x-1)2=(x-1)[z2D+36]. 记86)=2。十36，ze（0,2),易知g在(0,1D上单调 递减，在(1,2)上单调递增，g(1)=2十3b, 当6≥-号时，g(≥0，f)≥0，fx在0,2)上单调减增， 又f(1)=-2,故符合题意 当6<-号时，g(1)<0,g(x)=2。十6 2 =-3bx2+6bx+2 x(2-x) 令g)=0,得x=1土√1+品， 6K-号，V1+品∈o,10,故1+√1+品∈(1,2)，1- V1+品∈0，， 当xe(11+V+品)时，g)<0,fm)<0,f)在 (1,1+√1+品)上单调递减，故f(1+√1+品)<寸1)- 一2，不符合题意 综上，b的取值范周为[-号，十∞)。 任务强化练36利用导数研究函数零点问题 1.解：(1)当k=1时，f(x)=e2-x,f(x)=e-1, 令f(x)>0,则x>0,f(x)单调递增； 令f(x)<0,则x<0,f(x)单调递减. 故f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，单调递减区间为（一∞，0）. (2)设P(x,o)是函数y=e上一点， 由y=e,得y=e, ∴y=e在点P处的切线方程是y一e-=e(x一xo), 令x=y=0,则x0=1, ∴过原点作y=e的切线方程是y=ex 故当k<0或k=e时，函数f(x)有1个零点；当k>e时，函数 f(x)有2个零点；当0≤k<e时，函数f(x)无零点 2.解：(1)：函数f(x)=名x-冬2-ax-2的图象过 点A(4,9》, 3号2-4a-4a一2=9，解得a=2, 即f)=合-2-2x-2, ∴.f(x)=x2-x-2. 由f(x)>0,得x<-1或x>2, ∴.函数f(x)的单调递增区间是（一∞，一1），(2，十∞). (2由a知fx=f-1D=-号-+2-2=-吾， f)值=f2=号-2-4-2=-9， 由数形结合，可知要使函数g(x)=f(x)一2m十3有三个零点， 则-<2m-3<-吾，解得-子<m<8, 7 13 m的取值范围为（一名昌） 3a:ra=生=2生6>0k0》 令f(x)=0,得x=k(舍负)， -82 f(x),f(x)随x的变化情况如下： x (0,k) k (k,十∞) f(x) 0 f(x) 极小值 综上，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是 (,十)，fx的极小值为f)=1-,2血2，无极大值 2 (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，十∞)上的最小值为 f()=(1-2n) 2 :f(x)存在零点， f)=1-,2h2≤0 2 解得>√e. 当k=e时，f(x)在区间(1WE)上单调递减，且f(W)=0, x=√e是f(x)在区间(1，W]上的唯一零点. 当k√时，f()在区间(0，W®上单调递减，且fI)=号>0， f0)<0, .f(x)在区间(1W]上仅有一个零点. 综上，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，we]上仅有一个 零点. 4.解：(1)当a=-1时，f(x)=xe+2x-1, f(x)=(x+1)e+2. ∴.f(0)=e°+2=3. 而f0)=-1, ∴.曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为3x一y 1=0. (2).f(x)有两个零点， .方程f(x)=0有两个不同的根， 即关于x的方程(2x一1)a=xe有两个不同的解. 当x=之时，方程不成立， :x+2 令g(x)=,则y=a与g(x)=2的图象有两个 交点， 且g()=2x。-x1De-x-1D(2z+1De (2x-1)2 (2x-1)2 令g)>0,得<-号或x>1, 令g0<0,得-<x<或2<r<1, “g(x)在(-©，-合)，(1，十∞)上单调递增， 在(-2，合)，(2，)上单调递减， “当=子时，g(取得极大值s(-合）= 当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=e 1,且当x<0时，g(x)>0, a的取值范是(0，)Ue+》任务强化练34利用导数研究函数的单调性、极值与最值 【基础保分练】 【能力提分练】 1.(2023·重庆西南大学附中模拟)已知函数 3.设函数f(x)=ax-+lnx,且f(1)=0.若 f(x)=(x-1)e"-ax2(aER) (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； 函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a (2)若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值 的取值范围。 范围。 2.(2023·河北深州模拟)已知函数f(x)= 4.(2023·河北保定模拟)已知函数f(x)=(x -3x+x+3x+1 2)e. (1)求f(x)的单调区间和极值； (1)若a∈(0，十∞)，讨论f(x)在(0，a)上的 (2)求f(x)在区间[0,6]上的最值. 单调性； (2)若函数g(x)=f(x)-m(x-1)2在[1,2] 上的最大值小于一，求m的取值范围。 -66 任务强化练35利用导数研究不等式 【基础保分练】 【能力提分练】 1.设函数f(x)=e-1-x-a.x2. 3.已知函数f(x)=2xlnx+x2+ax+3. (1)若a=0,求f(x)的单调区间； (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的 (2)若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取 切线方程； 值范围。 (2)若存在x∈（日©，使得f(x)≥0成立， 求a的取值范围. 4.(2024·新高考I卷)已知函数f(x)= 2.已知函数f(x)=x-1-alnx. n2x+ax+bx-1月 (1)若f(x)≥0，求a的值： (1)若b=0,且f(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：对于任意正整数，(1十)·(1十 (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； (3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2,求b的 2是)…(1+2)<e 取值范围。 -67 任务强化练36利用导数研究函数零点问题 【基础保分练】 【能力提分练】 1.已知函数f(x)=e2一kx(k∈R) 3设函数f)=号-1nx,k>0, (1)当=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)的零点个数. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间 (1,w]上仅有一个零点， 2.已知函数f(x)=名x-x2-ax-2的图象 过点A4,9), 4.已知函数f(x)=xe-2ax十a. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(0， (1)求函数f(x)的单调递增区间； f(0)处的切线方程； (2)若函数g(x)=f(x)一2m十3有3个零 (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值 点，求m的取值范围. 范围。 -68