任务强化练9 数列综合问题-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

任务强化练9 【基础保分练】 1.在等比数列{an}中，a5,a,是函数f(x)=x2 4x十3的两个零点，则a3·ag等于() A.-3 B.3 C.-4 D.4 2.(2023·广西南宁模拟)设等比数列{an}的前 n项和为Sn,若a2=2,且a2,a3,a4-2成等差 数列，则S4=() A.7 B.12 C.15 D.31 3.设y=f(x)是一次函数，若f(0)=1,且f(1) f(4),f(13)成等比数列，则f(2)十f(4)+…十 f(2m)等于( ) A.n(2m+3) B.n(n+4) C.2m(2n+3) D.2m(n+4) 4若数列{a.中，a,=}号，n∈N,则数列 {am}中的项的最小值为 5.已知数列{an}的前n项和为Sm,且an=4n,若 不等式Sm十8≥λn对任意的n∈N*都成立， 则实数λ的取值范围为 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,等比数 列{bn}的前n项和为Tm,a1=一1，b1=1,a2十 b2=3. (1)若a3十b3=7,求{b.}的通项公式； (2)若T3=13,求Sm. 数列综合问题 7.已知函数f(x)=ax2+bx的图象经过点 (-1,0),且在x=-1处的切线斜率为-1. 设数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列。1一的前n项和T. an·an+1 8.已知数列{am}满足a1=1,2an+1=am,数列{bn} 满足bn=2-log2a2+1· (1)求数列{an},{bn}的通项公式； (2)设数列{bn}的前n项和为Tm,求使得 2Tn≤4n2+m对任意正整数n都成立的实数 m的取值范围. 7 【能力提分练】 9.已知数列{a中，a1-,其前n项的和为S, 2S2 且满足a,-2S-n≥2).求证： 1)数列侵是等差数列： 10.已知各项均不相等的等差数列{an}的前三项 和为9，且a1,a3,a2恰为等比数列{bn}的前 三项， (1)分别求数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tm; (2)记数列{abm}的前n项和为Km,设cn= ST,求证：c+1>cn(n∈N), K。 -18 11.(2024·新高考I卷)设m为正整数，数列 a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列，若 从中删去两项a:和a;(i<j)后剩余的4m项 可被平均分为m组，且每组的4个数都能构 成等差数列，则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i, )一可分数列： (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6，使数列 a1,a2,…,a6是(i,j)一可分数列； (2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,…,a4m+2是 (2,13)一可分数列； (3)从1,2，…，4m+2中一次任取两个数i和 j(i<j),记数列a1,a2,…,4m+2是(i,j)一可 分数列的概率为P,证明：P>任务强化练9数列综合问题 1.B解析：as,a是函数f(x)=x2-4x十3的两个零点， .a5,a是方程x2-4x十3=0的两个根，∴a5·a=3,由等 比数列的性质可得a3·ag=a5·a,=3. 2.C解析：设公比为q(q≠0)，a2,ag,a4一2成等差数列， 2a=a2十a4-2,则2X2q=2+2g-2,解得g=2或q=0(舍 -35a=1,减8=卡含-15 3.A解析：由题意可设f(x)=kx十1(k≠0)，则(4k十1)2= (k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+·+f(2n)=(2× 2+1)+(2×4+1)++(2×2n+1)=n(2n+3). 4.4解析：a1-a,=+1)+12_+2=r+5m-10 n十3 n+2(n+2)(n+3)' 当n≥2时，a+1一an>0,即a+1>an,当n=1时，a-a<0, 数列{an}中，从a2开始是递增的.又a2<a1,∴.{an}中最小 项是a2=4. 5.(-o,10]解析：，am=4n,∴.Sn=2n2十2n,不等式Sn+8≥ m对任意的n∈N~恒成立，即≤2+2+8.又2t+2n+8 71 n 2十8+2≥10（当且仅当n=2时取等号），“实数入的取值 n 范围为(-∞，10]. 6.解：(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 则an=-1+(n-1)d,bn=q1 由a2十b2=3,得d+q=4,① 由a3+b3=7,得2d+q=8,② 联立①②，解得q=2或q=0(舍去)， 因此{bn}的通项公式为bn=2-1. (2).T3=b(1十q+g), ∴.1+q+d=13,解得q=3或q=-4, 由a2十b=3得d=4-q,∴.d=1或d=8. 由S.=ma+2n(n-1)d, 得S=7t-号n或S.=4r-5m 7.解：(1)函数f(x)=ax2十bx的图象经过点（一1,0），∴.a b=0,即a=b.① .'f(x)=2a.x十b,函数f(x)=ax2十bx在x=一1处的切线 斜率为-1，.-2a十b=-1.②@ 由①②得a=1,b=1, ∴.数列{aw}的前n项和Sn=f(n)=n2十n. 当n≥2时，Sm1=(n-1)2+(n-1), ∴.an=Sm-Sa-1=2n. 当n=1时，a1=2符合上式，则an=2n. @油于a.=2a,则。d2十=（日）》 则x=(1-+2-}++-n)=}(1-) =4n十4 8解：1D由a=1,2=2a.≠0， {an}是首项为1，公比为的等比数列， a=(), 6=2-g(3)产=2n+2. (2)由(1)得，Tn=n2+3n: .∴.m≥一2m+6n对任意正整数n都成立， -5 设f(n)=-2m2+6n, “fw=-2i+6m=-2(a-号）°+号， .∴.当n=1或n=2时，f(n)的最大值为4， .m≥4，即m的取值范围是[4，十∞). 2S. 9.证明：(1)当n>2时，S.-S-1=25, 整理得S.-1-Sn=2Sa·S.-1(n≥2)， 1=2, 从面（侵}构成以2为首项，2为公差的等差数列。 (2)油0可奥专=专+(m-1)X2=2m,8= 当=1时，5.=<1， 方法-：当≥2时，5，=办<分·D号（片 1 》 s+s+号s++s<号+(1-合+量 号++)=1-1 ∴原不等式得证. 方法二：当心2时录<2-D=(马）， 1 “s+2s+3s,+…+s.<2+4(1-号+7 +日g++2+)=2++ 台日)<分+(+)-1 ∴.原命题得证. 10.(1)解：设数列{am}的公差为d, 则/8a+3d=9, l(a1+2d)2=a1(a1+6d0, 解得仔或仔”余关 d=0 a.=n十1，S.=n+3) 2 又b=a1=2,b2=a3=4, ∴bn=2m,Tn=2+1-2. (2)证明：.am·bn=(n十1)·2m, .Kn=2·21+3·22+…+(n+1)·2m,① .2Kn=2·22十3·23+…十n·2十(n十1)·2+1，② ①-②得-Kn=2·21+22+23+…十2-(n十1)·2+1， …Kn=n…2t1. 则c,=S工=n+3)(2-1D 2+1 c+1-c,=n+4)2t1-D_n+3)(2-D 2m+2 2m+ =21十+2>0， 2m+2 '.c+1>cm(n∈N"). 11.解：(1)(1,2)，(1,6)，(5,6) (2)当m=3时，删去a2,a3,其余项可分为以下3组：a,a4, a,a10为第1组，a3,a6,ag,a2为第2组，a5,ag,a1,a4为第 3组， 当m>3时，删去a2,as,其余项可分为以下m组：a1,a4,a, an为第1组，g,a6,ag,a2为第2组，a5,ag,a1,a14为第3组， a15,a16,a17,a18为第4组，a19,a0,a21,a2为第5组，…， a4m-1,am,am+1,a4m+2为第m组，可知每组的4个数都能构成 等差数列，故数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)一可分数列. (3)易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列→1,2，…，4m十2 是(4十1,4q十2)-可分数列，其中p,9∈{0,1，…，m以. 当0≤≤q≤m时，删去4p+1,4q十2， 其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能 构成等差数列， 故数列1,2，…，4m十2是(4p十1,4g十2)一可分数列，可分为 (1,2,3,4),…,(4p-3,4p-2,4p-1,4p),…,(4(g+1) 1,4(g+1),4(g+1)+1,4(g+1)+2),…,(4m-1,4m,4m+ 1,4m十2).p,q的可能取值的方法数为C1十m十1 =(m+1)(m+2) 易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列→1,2，…，4m十2是 (4十2,4q十1)一可分数列，其中，q∈{0,1，…，m}. 当q一p>1时，删去4+2,4q十1， 将1~4p与4q十3~4m+2从小到大，每4项分为1组，可知 每组的4个数成等差数列. 考虑4p十1,4p十3,4p十4，…，4q,4q十2是否可分，等同于考 虑1,3,4，…，4t,4t计2是否可分，其中t=q-p>1,可分为 (1,t+1,2t+1,3t+1),(3,t+3,2t+3,3t+3),(4,t+4,2t+ 4,3t+4),…,(t,2t,3t,4t),(t+2,2t+2,3t+2,4t+2),每组 4个数都能构成等差数列，故数列1,2，…，4m十2是(4p十2， 4g十1)一可分数列， p,g且gp>1的可能取值的方法数为C1一m=m,1Dm 2 (m+1)(m+22+(m-1)m 2 从而Pm≥ m2+m+1、1 -8m2+6m+1>8 任务强化练10三角函数的图象与性质 1,B解折：根据已知条件得am&=生1-t计≥2，当且仅当 t=1时，等号成立，tana取得最小值2. 2.A解析：由题意，知当工=时=或为即血。 停或ma-9.又：sn(受+2a）=cos2a=1-2sma, ∴sim(5+2a)=1-2×=-2 3B解析：m(受十a)ma=sin品ao。 4B解析：由题中图象可知五十牙-=子∴T=受， ÷2石=受w=4 5.C解析：函数fx)=sim(2x十g十看）为偶函数，则p叶否 受+元，∈乙，解得p=x十于，k∈Z令k=0,则p=号，则 函数f()为偶函数的一个充分条件为p一于。 6.D解析：f)=sim(受-2a=cos2x,当x∈(0，)时，2x∈ (0,2π)，∴.f(x)=cos2x不单调，故A,B错误；当x∈ （-,0)时，2x∈(-π，0)，fx)=cos2x在2x∈(-π，0)上 单调递增，故D正确，C错误. 7.D解析：函数f(x)的定义域为R,且f(一x)=f(x),则f(x) 为偶函数.又f(x)=c0sx一cos2x=cosx一(2cos2x一1)= -5 -2eo时x十cosx十1=-2((0-)》°+号，散f)的最大 值为8 8.B解析：由题意，知当=14时，f)=7,即Asim1+5=7, A=4:当9≤16时，音1g∈[语，]当骨 号-受时，e取得最大值，且最大值为4什5=9. 9-2解折：=0品。一mg-2 sim(0-受) 10.-2解析：a与B的终边关于原点对称，∴B=2kx十π十a (k∈ZD,cos月=cos(2kr十x+a)=-cosa.a∈[石，5]， msa∈[号，号1∴casc[-号，-含]，∴omsB的最大 值为一 1l.x十sinx(答案不唯一)解析：f(x)的解析式形式：ax士 bsin(x+p)(ab≠0)或ax士bcos(x十p)(ab≠0)均可.如 f(x)=x十sinx的定义域为R,不是周期函数，且f(x)= 1十cosx的周期为2π. 12.5解析：由题图，知一智）=0智。十晋=受+m （C2D,解得。-3斗（∈.设f)的最小正周期为 T易知T<2x<2T,…<2<备1<<2，当且仅 当=一1时，特合题意，此时w一受T-语=号 w 3 l3.BD解析：：函数f(x)=sin(2x十p)的最小正周期T= 受=，又f)在(0,2m)内有且仅有1个视大值点，画鼓 f(x)的图象如图所示， 2玩 -1 ∴·f(x)在(0,2π)内有4个零，点，f(x)在(0,2π)内有2个极小 值点，f()在(0，无)上单调递减.由f(0)=sin9=1,解得 p-受+2k元，b∈Z,故B,D正确，A,C错误. 14.B解析：：函数f(x)=c0s(2x十p)满足f(z-暂）- f-一f()的图象关于直线x=-受对称，2X (-)十p=kx,k∈乙∴p=kmx+经，∈Z,∴g的最小值 为子 15.专解析：由题意可得wX受十号=m,k∈Z,解得w=2k- 号k∈么又o>0a的最小值为学 4 16.cos2x解析：根据函数f(x)=Asin(ax十p)(A>0,w>0, 19<受）的部分图象，可得A=1,×=登-吾。一 2再结合五点法作图，可得2×弩十9=，9-5f)-