专题五 第一讲 概率-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

专题五 概率与统计 第一讲概率 ◆ 知识清单·精准记忆◆ 【基础梳理】 ④设B和B是互斥事件，则P(B|A)= 1.相互独立事件 1-P(B A). (1)定义：对任意两个事件A与B,如果 (3)概率的乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)成立，那么称事件A与 由条件概率的定义知，若P(A)>0,则 事件B相互独立，简称独立， P(AB)=P(A)P(BA),我们称该式为概率 (2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A 的乘法公式。 与B,A与B,A与B也都相互独立. (4)全概率公式 提醒：易混淆“相互独立”和“事件互斥” 般地，设A1,A2,…,An是一组两两互斥的 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生； 事件，AUA2U…UAm=2,且P(A:)>0,i 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否 1,2,…,n,则对任意的事件B二2，有P(B)= 对另一个事件发生的概率没有影响.两个事 2P(A:)P(BA:),我们称该公式为全概率 件相互独立不一定互斥， 公式 2.条件概率与全概率公式 3.二项分布 (1)条件概率的计算公式 般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中 事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示 条件 设A,B为两个事件，且P(A)>0 事件A发生的次数，则X的分布列为P(X= 在事件A发生的条件下，事件B发生的 含义 k)=Cb(1一p)-,k=0,1,2,…,n.如果随 概率 机变量X的分布列具有上式的形式，那么称 记作 P(BIA) 随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p). 读作 A发生的条件下B发生的概率 4.正态分布 (2)条件概率的性质 (1)若X服从正态分布，即X~N(μ，o2),要充 设P(BA)>0,则 分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线 ①P(2A)=1; 与x轴之间的区域的面积为1. ②任何事件的条件概率都在0和1之间，即 (2)正态分布的三个常用数据 0≤P(BA)≤1； P(μ-o<X≤+o)=0.6826; ③若B和C是两个互斥事件，则P(BUCA) P(u-2o<X≤μ+2o)=0.9544; P(BIA)+P(CIA); P(μ-3o<X≤4十3o)=0.9974. -53 艺术生文化课考前100天数学 【自主检测】 A B店 C. D.司 题组一相互独立事件的概率 1.周老师上数学课时，给班里同学出了两道选 3.甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个 择题，她预估同学们做对第一道题的概率为 白球，3个黑球.现从甲箱中任取一球放入乙 0.80,做对两道题的概率为0.60，则预估做对 箱中，再从乙箱中任意取出一球，则从乙箱中 第二道题的概率是( ) 取出白球的概率为 A.0.80B.0.75 C.0.60 D.0.48 题组三二项分布与正态分布 2.(2025·上海高考)已知事件A,B相互独立， 1.某人参加一次考试，4道题中答对3道即为及 事件A发生的概率为P(A)=?,事件B发生 格，已知他答题的正确率为0.4，则他能及格 的概率约为( ) 的概率为P(B)=弓，则事件A∩B发生的概 A.0.18B.0.28 C.0.37 D.0.48 率P(A∩B)为( 2.某厂生产的零件外直径服从正态分布X~ A日 B.i c司 N(8.0,0.0225)(单位：mm),现从该厂上、下午 D.0 生产的零件中各随机取出一个，测得其外直 3.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动.为 径分别为7.9mm和7.5mm,则可认 了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己. 为( 假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准 A.上、下午生产情况均为正常 时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个 B.上、下午生产情况均为异常 准时响的概率是 C.上午生产情况正常，下午生产情况异常 题组二条件概率与全概率公式 D.上午生产情况异常，下午生产情况正常 1.抛掷红、蓝两枚骰子，事件A=“红骰子出现4 3.已知随机变量服从正态分布N(2,σ)，且 点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则 P(5<4)=0.8,则P(0<<2)=( ) P(AB)为( A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 A司 B0 c D 4设XB(4,p),且P(X=2)-员，那么一次 2.抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情 况下，至少有一枚出现6点的概率是( ) 试验成功的概率p等于 ◆方法清单·把控高考心 考点一 互斥、对立、相互独立事件的概率 的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球 【高考这样考】 的数字之和是7”，则( ) (2021·新高考I卷)有6个相同的球，分别 A.甲与丙相互独立 标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取 B.甲与丁相互独立 两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取 C.乙与丙相互独立 出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出 D.丙与丁相互独立 的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球 【方法规律】求相互独立事件概率的关键点 (1)紧扣定义，正确判断相互独立事件； 54 专题五概率与统计 (2)能分解相互独立事件为几个互斥事件 动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单 的和； 位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推 (3)能正确运用公式P(AB)=P(A)P(B): 动出口后亩收入的样本均值元=2.1，样本方 【备考这样练】 差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X 一考向1互斥事件、对立事件的概率 服从正态分布N(1.8,0.1),假设推动出口 1.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不 后的亩收入Y服从正态分布N(元，s2),则（若 输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概 随机变量Z服从正态分布N(μ，o),则P(Z< 率为( ) 十a)≈0.8413)() A.60% B.30% A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.10% D.50% C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 2.某学校教务处决定对数学组的老师进行“评 【方法规律】1.二项分布的判断与概率公式 教”，根据数学成绩从某班学生中任意找出一 (1)对于公式P(X=k)=C%(1一p)m-(k= 人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率 0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时 为0.2，该同学的成绩在[90,120]之间的概率 才能运用，否则不能应用该公式 为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的 (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关 概率为( 键有两点：一是对立事件，即一次试验中，事 A.0.2 B.0.3 件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试 C.0.7 D.0.8 验独立重复地进行了n次. ■考向2相互独立事件的概率 2.解决与正态分布有关问题的关键是利用对 1.根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨 称轴x=4确定所求概率对应的随机变量的 的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨 区间与已知概率对应的随机变量的区间的关 相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至 系，必要时借助图形进行判断求解 少有一个城市降雨的概率为() 【备考这样练】 A.0.16 B.0.48 口考向1二项分布 C.0.52 D.0.84 1.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设 2.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等 计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类 品的概率分别为和子，两个零件是否加工为 题型，每类题型中均指定一道题让参赛者回 答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为 一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个 等品的概率为( 鲁，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答 A B司 完三道题，其中至少两道题答对的概率 D 为() 考点二 二项分布、正态分布、超几何分布 A器 B脚 【高考这样考】 (多选)(2024·新高考I卷)随着“一带一路” c器 器 国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推 2.（多选)(2023·江苏苏州模拟)袋子中有2个 —55 艺术生文化课考前100天数学 黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取 则该同学也爱好滑冰的概率为( 球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次 A.0.8 B.0.6 取球的总分数为X,则( C.0.5 D.0.4 A.X-B(.) 【方法规律】1条件概率的求法 BP(X=2)= 利用 分别求P(A)和P(AB),得P(BA)= 1 定义 P(AB) P(A) ,这是通用的求条件概率的方法 C.X的期望E(X)= 3 借助古 先求事件A包含的样本点总数n(A),再在 典概型 D.X的方差D(X)= 事件A发生的条件下求事件B包含的样 9 概率 口考向2正态分布 本点个数，即n(AB),得P(BA)=nAB) 公式 n(A) 1.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服 2.对全概率公式的几点注意 从正态分布N(10,o),下列结论中不正确的 (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的 是( 发生 A.。越小，该物理量在一次测量中落在(9.9， (2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示 10.1)的概率越大 为几个彼此互斥事件的和， B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于 法公式的结合. 10.01的概率相等 【备考这样练】 D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与 1.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人 落在(10,10.3)的概率相等 只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点 2.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉 不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”， 甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹 则P(A|B)=( 果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm) 服从正态分布N(80,5),则直径在(75,90]内 A R号 c D.5 的概率为( 2.（2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有 附：若X~N(μ，o2),则P(一o<X≤十o)= A,B,C3种题库，A题库有5000道题，B题 0.6826,P(μ-2o<X≤μ十2o)=0.9544. 库有4000道题，C题库有3000道题.小申已 A.0.6826 B.0.8413 完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题 C.0.8185 D.0.9544 库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72. 考点三条件概率与全概率公式的应用 现他从所有的题中随机选一题，正确率是 【高考这样考】 3.(2024·天津卷)有A,B,C,D,E五种活动， (2023·全国甲卷理)某地的中学生中有60% 甲、乙都要选择三个活动参加，则甲选到A的 的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70% 概率为 ;已知乙选了A活动，他再选 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学 择B活动的概率为 生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪， 56.设平面CAF的一个法向量为n=(x,l,0), 而AC=(2a,2a,0), ∴.AC.n=2a.x+2a=0,得x=-1,.n=(-1,1,0). ,y轴C平面DAF, .设平面DAF的一个法向量为m=(1,0,z), 而AF=(a,a,c), ∴.m=a十c2=0,得x=-名， ∴m=(1,0,-名）， cos60°=m= 1 n m √1+吗 =,得a=c 即当AP的长度等于正方形ABCD的边长时，二面角CAF-D 的大小为60° 2.解：(1)条件②可以推断PD∥平面ACM如图①，连接AC, BD相交于点E,连接EM 在梯形ABCD中，有AB∥DC,AD=DC=子AB=1,噩 器 又瑞器= ∴.△BME∽△BPD 故EM∥PD. 又PD庄平面ACM,EMC平面ACM, .PD∥平面ACM 故当器立时，PD/平面ACM MB ① ② (2)以A为原点，AD,AB,AP分别为x轴，y轴，之轴建立如图 ②所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),D(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(0,2,0) 设P=λPt(0<<1),则N(,A,1-λ)对于平面ADN,设 其法向量为%=(x,y,z), 则a:动-0即0， m1·Ad=0,即x+y十(1-)z=0, 可取=(0,2，)。 对于平面BDN,设其法向量为2=(x,y,z), 则：动0即仁2y=0, 2·Bi=0, λx+(-2)y+(1-λ)z=0, 可取%=(2,1，头) 若平面ADN⊥平面BDN,则m,⊥n2, 即2入+3号=0，解得=合， -1 比时N为PC的中点8-L 专题五概率与统计 第一讲概率 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.B解析：设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事 件B,则P(AB)=P(A)P(B)=0.8XP(B)=0.6,故P(B)= 0.75. 2.B解析：因为事件A,B相互独立，所以P(A∩B)=P(A)· PB)=×g- 3.0.98解析：至少有一个准时响的概率是1一（1一0.90)× (1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98. 题组二 1.C解析：样本数据2,8,14,16,20的平均数为 2+8+14+16+20=60=12. 5 5 2D解析：PA)=日，P(B)=合，P(AB)=2PAB)= P(AB)1 P(B)-6 品》解析：设A=“从甲精中取出白球”，B=“以乙箱中取出白 球”，P(A)=号，PA=号，PBA=号，P(BA)=号，利 用全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)= 是×号+号×号- 题组三 1.A解析：他能及格的概率P=C×0.43×(1一0.4)+C4× 0.44≈0.18. 2.C解析：根据3a原则，在(8-3×0.15,8+3×0.15)，即 (7.55,8.45)之外时为异常.结合已知可知上午生产情况正 常，下午生产情况异常. 3.C解析：：随机变量服从正态分布N(2,d),∴μ=2，对称 轴是x=2..'P(4)=0.8,∴.P(4)=P(0)=0.2, .P(04)=0.6,∴.P(0<2)=0.3. 43或号解析：P(X=2)=C1-pP=，即1-pP= （）‘×(号)八，懈得p=子成= 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 B解析：由题意知P(甲)=上」 日，P(乙)=日，P函)=日× 日X5=6,P(T)=日×日×6=日，P甲n丙)=0≠ 5 P(甲)P(丙)，故A项错误；P(甲∩丁)=36=P(甲)P(丁)，故 B项正确；P(乙n丙)=品≠P(乙)P(丙)，故C项错误： P(丙∩丁)=0≠P(丙)·P(丁)，故D项错误. 【备考这样练】 考向1 1.D解析：设A={甲获胜}，B={甲不输)，C={甲、乙和棋}， 则A,C互斥，且B=AUC,故P(B)=P(AUC)=P(A)+ P(C),即P(C)=P(B)-P(A)=50%. 2.B解析：该同学数学成绩超过120分（事件A)与该同学数学 成绩不超过120分（事件B)是对立事件，而不超过120分的事 件为低于90分（事件C)和[90,120]（事件D)两事件的和事 件，即P(A)=1-P(B)=1-[P(C)+P(D)]=1-(0.2+ 0.5)=0.3. 考向2 1.D解析：记A城市降雨和B城市降雨分别为事件A和事件 B,故P(A)=0.6,P(B)=0.6,可得P(A)=0.4,P(B)=0.4, 两城市均未降雨的概率为P(AB)=0.4×0.4=0.16,故至少 有一个城市降雨的概率为1一0.16=0.84. 2.B解析：记两个零件中恰好有一个一等品为事件A,则P(A)= 吾×(1-)+(1-吾)×是-号 考点二 【高考这样考】 BC解析：由题意可知，X~N(1.8,0.1),∴.P(X>2)<P(X> 1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413，∴.P(X>2)<P(X≥ 1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413=0.1587<0.2，.∴.A错 误，B正确.YN(2.1,0.1),.P(Y<2.2)≈0.8413，P(Y 2)>P(Y>2.1)=0.5,.P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2) =P(Y<2.2)-P(Y2.1)≈0.8413-0.5=0.3413，∴.P(Y 2)=P(2Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.8413> 0.8,∴.C正确，D错误.综上，选BC. 【备考这样练】 考向1 1.A解析：设事件M为“该参赛者答完三道题，其中至少两道 题答对.依题意得P00=(告)'+G(号)广（号）广=器 2.ACD解析：每次取到的黑球概率相等，且取到黑球记1 分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，.随机变量X 服从二项分布X~B(4,号)，故A正确；PX=2) C(号)（号）=品，故B错误；：X~B(4,号)∴X的期 望E(0=4X号=号故C正痛：X~(,号）X的方 差D(X0=4X号×分-号故D正确， 考向2 1.D解析：正态分布的曲线形状由参数σ确定，σ越小，曲线越 “高瘦”，即在(9.9,10.1)的概率越大，落在(9.9,10.2)的概率 与落在(10,10.3)的概率不同，故A正确，D不正确.曲线在x= 10时处于最高点，并由此向左右两边延伸时，曲线逐渐降低， .在一次测量中大于10的概率为0.5，小于9.99与大于10.01 的概率相等，故B,C正确. 2.C解析：烟台苹果的直径（单位：mm)服从正态分布N(80, 52),可得u=80,o=5,则直径在(75,90]内的概率为P(μ一 2a<X≤+2a)-2[P(a-2a<X≤u+2a)-Pu-<X≤ u十o]=[P(u-2a<X≤+2a)+P(u-o<X≤十o)]= 7×0.9544+0.6826)=0.8185, 考点三 【高考这样考】 A解析：同时爱好两项的概率为0.5十0.6一0.7=0.4.记 “该同学爱好滑雪”为事件A,“该同学爱好滑冰”为事件B,则 PA)=0.5,PAB)=0,4P(BA)=PAB-8=0.8, 【备考这样练】 1.A解析：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，剩下的三 个人只能在另外3个景点中选择，共有4×3×3×3=108（种） 选法，即n(B)=108.,小赵独自去一个景点且4个人去的景 ,点不相同，共有4×3×2×1=24（种）选法，即n(AB)=24, P(A|B)=n(AB)=242 n(B)108=9· 2.0.85解析：由题意知，A,B,C题库的比例为5：4：3，各占 比分别为品·吉，高，则报搭全概率公式知所表正喷率D 是×0.92+是×0.86+是×0.72=0.85. 3号合解析：由题意知甲选到A的凝奉P-=号记乙 选择A活动为事件M,乙选了A活动再选择B活动为事件 -2 N,则P(M0= =，P(M-是=品P(NIM= C 3 P(M2=10=1 P(M) 3 2 第二讲 统计 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1:C解标：由分层袖郴的排程知碧-2十号5解得0=50 2 240 1 2.360解析：高一年级抽取学生的比例为1200=5， g十3吉解得=2，故高三年领袖取的人数为120× 3 2+5+3=360, 题组二 1.C解析：样本数据2,8,14,16,20的平均数为 2+8+1416+20-9-12. 5 2.C解析：由直方图知，时速在[50,60)内的频率为0.03X 10=0.3,故此段内汽车有200×0.3=60（辆）. 3.C解析：对于A,.前3组的频率之和为0.06+0.12+0.18 =0.36<0.5,前4组的频率之和为0.36十0.30=0.66>0.5， ∴.100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1050,1100)， 故A不正确；对于B,100块稻田中亩产量低于1100kg的稻 田所占比例为5十12+18+30×100%=66%，故B不正确， 100 对于C,:1200-900=300,1150-950=200,.100块稻田 亩产量的极差介于200kg至300kg之间，故C正确； 对于D,100块稻田亩产量的平均值为100×(925×6+975× 12+1025×18+1075×30+1125×24+1175×10)= 1067(kg),故D不正确.故选C 4.910解析：.5×20%=1，.该组数据的20%分位数是 900+920=910. 2 题组三 1.A解析：选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直 线分布的趋势，且散，点集中在一条直线的附近，故选项A中的 线性相关系数最大.故选A 2.0.8解析：z=0+1+3+4=2,=0.9+1.9十3.2+4.4 4 2.6,将(2,2.6)代入y=x十1，解得b=0.8. 题组四 1.C解析：X越大，“变量A,B有关联”的可信度越大，“变量 A,B无关”的可信度越小；X越小，“变量A,B有关联”的可信 度越小，“变量A,B无关”的可信度越大， 2.C解析：.X=8.01>6.635,.有99%以上的把握认为“喜 欢乡村音乐与性别有关系”. 【方法清单·把控高考】 考点一 【备考这样练】 1.D解析：根据分层抽样的定义，高三年级抽取的学生数为 80×32=16,故A馈误：分层抽样中每个个体被抽取的概 32 1 率相等，均为1600一0，故B错误，C错误；所有学生的平均 身高为号88×160+58×165+380×170≈163.9(cm 故D正确.