专题四 第一讲 空间图形的表面积与体积-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

.'sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A++B)=-cos C= 2·而0<B<受B=晋 (2)由(1)知sinB=-cosC>0,变<C<,0<B<受. ∴simB=-osC-sim(C）C-受+BA=受-2B, sin'A+sin'Bcos'2B+1-cos B sinC cos B (2cos B-1)1cos B4c0s'B+2 cos B cos2B-5 ≥28-5=4W2-5. 当且仅当sB=号时，取等号，少的最小值 为42-5. 【备考这样练】 1.解：(1)由bsin A=4(sin Acos C+cos Asin C) =4sin(A+C)=4sin B,bsin A=4sin B. 由正弦定理，得ab=4b,解得a=4. (2②)由A办.AC-号，得msA=号， 由余孩定理，得左.十女16-号，则分+=25 2bc ,25=62+c2≥2bc,.(b+c)2=+c2+2bc=25+2bc≤50， 6计≤6B(当且仅当==婆时，取等号)， .△ABC周长的最大值为4+5√2. 2.解：1).bsin B时C=asin B, 2 ∴sinBeo含-sin AsinB B∈(0，，snB≠0，c0s合-2sn分cos A AE0ams号≠0血号-含 0<号<受合-晋A= (②)油正弦定理，得%，_血AC血等-m(管-B) sin B sin B 3_3 2⊙s之毛31s31 sin B 2 sin B 2 -3.1-(1-2㎡9) 13mB_1 B B 22 2sin 2 cos 2 0<B<0<号<0Kam号<， ÷6的取值范围是(-名，1). 专题四空间向量与立体儿何 第一讲空间图形的表面积与体积 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组 1.C解析：S表=π(32十42+3×6十4×6)=67π. 2.D解析：该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧=6× (3X4)=72. 3.B解析：设圆柱的轴截面的边长为x,则由x=8,得x= 2W2,∴.S泰=2S.十S侧=2XπX(W2)2+2πXW2×2W2=12元 4.4√3解析：四面体ABCD的各面均为等边三角形，且棱长 为2，Sam=合×2X2×号-5，滨四西你的表面积5= 4S△cD=4V3. 题组二 1.B解析：设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r.由题 意，得S国栏倒=2πrX2r=4π2=4π，.r=1,.V国柱=π产X 2r=2πr3=2π. 2.B解析：V=号(S+V5S+S)h=号×(2+V2×4+)× 3=6+2√2】 3.12x解析：由已知可得圆锥的高M=4,V=号xX32× 4=12π. 4.112解析：在△BB1D中，BB1=√DB-BD=√81一32= 7.在△ABD中，AB+AD=BD,因为AB=AD,BD=4√2， 所以AB=AD=4,则该正四棱柱的体积为4×4×7=112. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 B解析：过直线OO2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的 轴截面，设底面半径为r,母线长为1，，轴截面是面积为8的 正方形，2r=l=22,r=√2，.圆柱的表面积为2πrl十2π =8π十4π=12元. 【备考这样练】 考向1 1.B解析：，正四棱锥的侧棱长为1，底面周长为4，.这个棱 锥的侧面积是四个边长为1的等边三角形的面积之和，这 个校维的侧面积S=4X(侵×1×血60）-5。 2.B解析：如图，设正四棱台上、下底面的中 0 心为O,O,CD为侧面上的斜高，过点C作 CE⊥OD交边O1D于点E,,.OO=3, OC=1,OD=2,∴.CD=√9+1=√10， .正四棱台的上、下底面的面积为S1= 01 D 22十4=20，正四棱台的侧面积为S2= 2+4×√/10×4= 2 12√/10，则其表面积为S=S1+S2=20+12√10. 考向2 1.C解析：由题意可得圆锥体的母线长为1=√62十82=10， ∴.圆锥体的侧面积为10X8π=80π，圆柱体的侧面积为16πX 8=128π，圆柱的底面积为π×82=64π，∴.此陀螺的表面积为 80π+128π+64π=272π(cm2). 2.C解析：由题意易知母线长为W√(W7)+(2√2-√2)=3，且 上底面圆周长为2√2π，下底面圆周长为4√2π，易知展开图为 圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6， ∴面积S=7×6×42元-之×3×22m=9W2元 考点二 【高考这样考】 28解析：方法一：如图，“子-日， 而截去的正四棱锥的高为3，·原正 四棱锥的高为6，∴·原正四棱锥的体 积为号×(4×4)×6=32，截去的正 0 B 四棱锥的体积为3×(2×2)×3=4， .棱台的体积为32一4=28. 方法二：棱台的体积为号×3X(16+4什√16X4)=28, 16 【备考这样练】 考向1 1.B解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r,,它们的高均为 3,且侧面积相等，∴.2πrX√3=πr√(W3)十产，得2=9， “圆维的体积V=弓XW3=3/3元故选B. 2.B解析：以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周 所得几何体是以2为底面圆半径，高为2的圆柱，由圆柱的体 积公式得V=πX22×2=8π，.所得到的几何体的体积为8元 3.B解析：在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√3，如 图，取AB的中，点C,连接OC,PC,则 OC⊥AB,PC⊥AB,∠ABO=30°， OC-号，AB=2BC=3由△PAB的 西软为，得号×3XPC-8 4,解 --- 0 得PC=39,∴P0-VP0-0C- B √(2)-（号）-6，“国维的体积V=专x×0× P0=3XW3)}'X6=6元 √6 4. 解析：两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积 之比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之 比为√4-n)-(n-)5_6 √9(2-n)2-(r2-n)z√84 考向2 A解析：三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体 积，三拔维AB,BC的高为号，底面积为合，故其体积为 ××号-， 考向3 1.A解析：如图，取AB的中点E,连接PE,CE. ,△ABC是边长为2的等边三角形， PA=PB=2,.PE⊥AB,CE⊥AB. 又PE,CEC平面PEC,PE∩CE=E, ∴.AB⊥平面PEC 又PE=CE=2x号-5，PC-6, .PC=PE十CE,即PE⊥CE, V三证=V三e限十V三我Az=子Sar·AB=子X 2×3Xw3X2=1. 2.C解析：割补法：AD,BE,CF两两平行，且两两之间的距 离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个 底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的 直三被柱的体积，四校维的高为号，底面是上底为1、下底为 2高为1的梯形，故该五面体的体积V=7×1×号×1十 ×是×9-故选C 3.心(g十D)解析：两个同样的该几何体能拼接成一个高为 2 a十b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V=πr2(a十b),∴.所求几 何体的体积为(a十b) 2 解析：如图，分别过点A,B作EF的垂线，垂足分别为G, 3 H,连接DG,CH， 易求得EG=HF=乞，AG=GD=BH HC-号，则△BC中C边上的高h= 号∴5m=S=×号×1= Vsk=VEm十V+VC=2WEo十VaDc=子X ××2+×1=号 考点三 【高考这样考】 ABD解析：对于选项A,0.99<1,即球的直径小于正方体 的棱长，能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B, 正方体的面对角线长为√2m,且√2>1.4，.能够被整体放 M E C 入正方体内，故B正确；对于选项C,,正方体的体对角线长 为√3m,且V3<1.8,.不能够被整体放入正方体内，故C错 误；对于选项D, 1.2>1,∴.底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过 AC的中点O作OE⊥AC,设OE∩AC=E,可知AC=√2m, CG=1m,AG=5m,0A=号，剥a∠CAG-%- 票即合5解得0=9，且()‘=号是>是 '√2√3 0.6,即>0.6，故以AC为轴可能对称放置底面直径为1 2m的圆柱，若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上、下底 面均相切，设圆柱的底面圆心O,与正方体的下底面的切，点为 M,可知AG⊥Q,0M=06m,则a∠CAG-8- 器，即方一器解行0=06疗m,根择对体丝可知圆 柱的高为√3-2×0.62≈1.732-1.2×1.414≈0.035(m), 0.035>0.01,.能够被整体放入正方体内，故D正确. 【备考这样练】 1.B解析：圆柱的侧面积为2x×号×2.5=20x(m);圆维的母 线长为V√3+（受）=5，侧面积为x×8×5=20x(m), ∴.建造该毡帐需要毛毡20π十20π=40π(m2). 2.C解析：如图，依题意可知棱台的 H 高为MN=157.5-148.5=9(m), M .增加的水量即为棱台的体积V 棱台上底面积S=140.0km2= D 140×106m2,下底面积S= 180.0km2=180×10m2,∴.V= 3h(S+S+√SS)=3×9X (140×106+180×105+√140×180×10z)=3×(320+ 60√7)×10≈(96+18×2.65)×10=1.437×109≈1.4× 10(m3). 3.118.8解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角 线长分别为6cm和4m,故Vka#=号×号×4X6X3 12(cm3).又V*方体=6X6×4-144(cm3),.模型的体积为 V方朱一V能去的四维=144一12=132(cm3),.制作该模型所需 原料的质量为132×0.9=118.8(g). 第二讲空间中点、直线、平面的位置关系 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.BD解析：由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC,则AA1L AD,假设AD⊥AC,又AA1∩A1C=A,AA1,ACC平面 AA1C1C,所以AD⊥平面AA1CC,矛盾，所以AD与A1C不 垂直，A错误.因为三棱柱ABCA1B1C是正三棱柱，所以 AA1⊥平面ABC,则AA1⊥BC,因为D为BC的中，点，AC= AB,所以AD⊥BC,又AD∩AA1-A,AD,AA1C平面AA1D, 所以BC⊥平面AAD,文BC∥B1C,所以B1C⊥平面 AA1D,B正确.AB∥A1B1,AD与AB相交，所以AD与A1B 异面，C错误.CC∥AA,CC寸平面AAD,AAC平面 AA1D,所以CC∥平面AA1D,D正确. 2.C解析：对于A,B,若m∥a,n∥a,则m与n可能平行、相交 或异面，故A,B错误；对于C,D,若m∥a,n⊥a,则m⊥n,且m 与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误 3.AD解析：垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故A正 确；当m∥a,m∥B时，平面a与平面B不一定平行，故B错误； 由a⊥B,m∥B,得m可能在平面a内，故C错误；两平面平行， 其中一个平面的垂线一定垂直于另外一个平面，故D正确. 题组二 1.A解析：BC∥BC1,·∠ACB为异面直线B1C与AC所 成角（或它的补角）.∠ABC=90°，AB=BC=1,∴.∠ACB 45°，∴.异面直线BC1与AC所成角为45°. 2.C解析：，PA⊥平面ABC,.PA⊥BC.易得BC⊥AC, .BC⊥平面PAC,∴.BC⊥PC,.∠PCA为二面角P-BCA 的平面角.在Rt△PAC中，PA=AC,∴.∠PCA=45°. 3.30°解析：如图，连接B1D1,则B1D1是 BD1在平面A1B1CD上的射影，则 A B ∠BD1B1是BD1与平面A1B1CD所成 的角，在Rt△BDB1中，tan∠BD1B1= D A,- ”、 器-后-停∠0A-w 【方法清单·把控高考】 考点 【高考这样考】 A解析：a∩B=m,则mCa,mC3,对于①，若m∥n,则n∥a 或n∥B,①正确；对于②，若mLn,则可能n∥a或n与a相交 或n二a,②错误；对于③，若n∥a,且n∥B,则n∥m,③正确；对于 ④与m所成的角可以为[0，受]内的任意角，④错误故选A 【备考这样练】 考向1 1.C解析：对于A,若m∥a,nCa,则m,n可平行或异面，故A 错误；对于B,若m⊥a,m⊥B,则a∥B,故B错误；对于C,现 m∥a,则平面a内存在直线l,使m∥l,又mLB,则LB,如果 一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，故 a⊥B,故C正确；对于D,mCa,a⊥B,则m与B可平行或相交 或mCB,故D错误. 2.①②③④解析：如图，以ABCD为下底面还原正方体， M 则易判定四个命题都是正确的， -1 考向2 1.C解析：，PA⊥平面ABCD,.PA⊥CD.四边形ABCD 为矩形，.CD⊥AD,∴.CD⊥平面PAD,∴.平面PCD⊥平 面PAD. 2.C解析：当m∥a时，过m作平面y∩a=n,则m∥n,结合a⊥ B,得nLB,从而m⊥B;当mLB时，在a内作直线n⊥l,结合 a⊥B,得n⊥B,∴.m/∥n又ma,nCa,∴.m∥a(图略). 考点二 【高考这样考】 C解析：如图，取AB的中点E,连接CE,DE.,'△ABC是等 腰直角三角形，且AB为斜边，∴.CE⊥AB.又△ABD是等边 三角形，.DE⊥AB,.∠CED为二面角CABD的平面角， 即∠CED=150°..CE∩DE=E,CE, DEC平面CDE,.AB⊥平面CDE. 又ABC平面ABC,'.平面CDE⊥平 面ABC..平面CDE∩平面ABC= CE,直线CDC平面CDE,.直线CD A於B 在平面ABC内的射影为直线CE, ∠DCE为直线CD与平面ABC所 成的角.令AB=2,则CE=1,DE V3.在△CDE中，由余弦定理得CD= √CE+DE-2CE·DEcos∠CED √P+5)-2x1x5×(号）=n,由正孩定理得 DE CD sin/DCE=sin/CE元，即sin∠DCE=Sa心=。方，显然 ∠DCE是锐角，∴.cos∠DCE=√I-sin∠DCE= 八(C)=直线CD与平面ABC所成商的正切 值为。 【备考这样练】 考向1 1.C解析：如图，延长CA到，点D,使得AD=AC,连接DA1, BD,则四边形ADAC为平行四边形，∴∠DAB就是异面直 线BA1与AC所成的角.又A1D=A1B=DB,∴.△A1DB为 等边三角形，∴.∠DA1B=60°. 第1题图 第2题图 2.D解析：如图，连接BC,PC,PB.AD∥BC,∴∠PBC (或其补角)为直线PB与AD1所成的角， .BB⊥平面A1BCD,.BB1⊥PC.又PC⊥B1P,BB1∩ BP=B,BB,BPC平面PBB,∴PC⊥平面PBB, ∴.PC⊥PB.设正方体的棱长为2，则BC=22,PC 吉A区aPC瓷-言∠PC-音 考向2 D 1.ABD解析：如图，连接B,C,BC. A DA1∥BC,.直线BC与BC所成 的角即为直线BC1与DA1所成的角. 四边形BBCC为正方形， D BC⊥BC1,故直线BC与DA1所成的 角为90°，故A正确.连接AC.,AB专题四空间向量与立体几何 第一讲 空间图形的表面积与体积 ◆知识清单·精准记忆心 【基础梳理】 【自主检测】 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 题组一空间几何体的表面积、侧面积 圆柱 圆锥 圆台 1.圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长 为6，则其表面积为( 侧面 A.72 B.42π 展开图 :02Tr. C.67π D.72π 2.0 2.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧 侧面积 S四柱侧 S圆锥侧 S图台侧一 面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积为( 公式 =2πrl =πrl π(r1+r2)l A.12 B.48 C.64 D.72 提醒：几何体的表面积和侧面积的注意点 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O2, (1)几何体的侧面积是（各个）侧面面积之和， 过直线OO2的平面截该圆柱所得的截面是 而表面积是侧面积与所有底面面积之和 面积为8的正方形，则该圆柱的表面积 (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 为( 2.柱、锥、台的表面积和体积 A.12W2π B.12x 几何体 表面积 体积 C.8√2π D.10元 柱体（棱柱 S表面积=S侧十2S底 V-Sh 4.已知四面体ABCD的各面均为等边三角形，且 和圆柱) 棱长为2，则该四面体的表面积为 题组二空间几何体的体积 锥体（棱锥 S表面积=S侧十S底 V- Sh 1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π， 和圆锥) 那么该圆柱的体积为( A.元 B.2π 台体（棱台 S表面积=S侧十S上十 V-3(St+Sr C.4π D.8π 和圆台) Sr +√SES下)h 2.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则 该棱台的体积是( 提醒：求几何体的体积时，要注意利用分割、 A.18+6√2 B.6+2√2 补形与等体积法。 C.24 D.18 —37 艺术生文化课考前100天数学 3.若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的 体积是 4.(2025·上海高考)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，BD=4√2，DB1=9,则该正四 棱柱的体积为 ◆ 方法清单·把控高考人 考点一 空间几何体的表面积和侧面积 边长为2，下底面边长为4，高为3，则其表面 【高考这样考】 积为( ) 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O2, A.36 B.12√/10+20 过直线OO2的平面截该圆柱所得的截面是 C.12√13+20 D.48 面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 考向2旋转体的表面积 () 1.(2022·山东菏泽二模)陀螺是我国民间常见 A.12√2π B.12π 的娱乐健身工具.如图所示是一个陀螺的立 C.8v2π D.10π 体结构图.已知底面圆的直径AB=16cm,圆 【方法规律】空间几何体表面积的求解方法 柱体部分的高BC=8cm,圆锥体部分的高 (1)求多面体的表面积时，把各个面的面积相 CD=6cm,则这个陀螺的表面积是() 加即可， (2)求简单旋转体的表面积时，代入公式直接 求解. (3)求组合体的表面积时，注意重合部分的 处理。 【备考这样练】 D 一考向1多面体的表面积 A.192 cm2 B.252πcm2 1.(2023·江苏南通模拟)如图，正四棱锥S C.272πcm2 D.336πcm2 ABCD的侧棱长为1，若底面周长为4，则这 2.（2022·河北衡水二模)已知某圆台的高为 个棱锥的侧面积为( √7，上底面半径为√2，下底面半径为2V2,则 其侧面展开图的面积为( ) A.9π B.6√2π C.9√2π D.8√2π B 考点二 空间几何体的体积 A.5 B.√3 C,3+1 【高考这样考】 2 D.√3+1 (2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱 2.(2023·江苏徐州模拟)已知正四棱台上底面 锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底 38 专题四空间向量与立体几何 面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的 均为1，且A1A⊥底面ABC,则三棱锥 体积为 B1-ABC1的体积为( ) 【方法规律】空间几何体体积的求解方法 (1)求规则几何体的体积：公式法。 (2)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方 法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何 体的某一面上 (3)求不规则几何体的体积：常用分割或补形 A器 B.3 4 的思想，将不规则几何体转化为规则几何体 以易于求解. c停 D. 【备考这样练】 P 考向3割补法求几何体体积 考向1公式法求几何体体积 1.(2023·全国甲卷文)在三棱锥P-ABC中， 1.(2024·新高考I卷)已知圆柱和圆锥的底面 △ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2, 半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3， PC=√6，则该棱锥的体积为( ) 则圆锥的体积为() A.1 B.3 A.2√3π B.3√3π C.2 D.3 C.6√3π D.9π 2.(2024·天津卷)一个五面体ABC-DEF如图 2.(2023·山东潍坊模拟)以边长为2的正方 所示.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距 形的一边所在直线为轴旋转一周，所得到的 离为1，AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体 几何体的体积为( ) 的体积为( A.2π B.8π c n警 3.(2023·全国乙卷理)已知圆锥PO的底面半 径为3，O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母 A③ 线，∠AOB=120°.若△PAB的面积等于 6 9y3,则该圆锥的体积为( D.331 4 c唱 42 B.√6π 3.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所 A.π C.3π D.3√6π 4.(2024·全国甲卷文)已知圆台甲、乙的上底 截，剩下部分母线长的最大值为α，最小值为b, 那么圆柱被截后剩下部分的体积是 面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母 线长分别为2(r2一r1),3(r2一1)，则圆台甲 与乙的体积之比为 考向2等积转化法求几何体体积 如图，已知三棱柱ABCA1BC1的所有棱长 —39 艺术生文化课考前100天数学 4.（2023·山东临沂模拟)如图，在多面体 2.(2022·新高考I卷)南水北调工程缓解了北 ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1 方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水 的正方形，且△ADE,△BCF均为正三角形， 蓄入某水库.当该水库水位为海拔148.5m EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积 时，相应水面的面积为140.0km;当该水库 为 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看 作一个棱台，则当该水库水位从海拔148.5m上 升到157.5m时，增加的水量约为（√7≈ 2.65)() 考点三空间几何体表面积、体积的实际应用 A.1.0×109m3 【高考这样考】 B.1.2×109m3 (多选)(2023·新高考I卷)下列物体中，能 C.1.4×109m3 够被整体放入棱长为1（单位：m)的正方体容 D.1.6×109m 器（容器壁厚度忽略不计）内的有() 3.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模 A,直径为0.99m的球 型.如图，该模型为长方体ABCD-A1BCD挖 B.所有棱长均为1.4m的四面体 去四棱锥O-EFGH后所得的几何体.其中O为 C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱 长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中 D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱 点，AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所 【方法规律】解决空间几何体表面积、体积实 用原料密度为0.9g/cm3,不考虑打印损耗， 际应用问题的关键是抽象出立体图形，并能 制作该模型所需原料的质量为 D 准确运用公式求解 【备考这样练】 1.毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部为 木架结构，外部由毛毡围拢，建造和搬迁都很 方便，适合牧业和游牧生活.如图，某毡帐可 视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高 为3m,圆柱的高为2.5m,底面直径为8m, 则建造该毡帐需要的毛毡面积为( A.36πm B.40πm2 C.46πm D.50πm -40