专题三 第三讲 正弦定理、余弦定理的简单应用-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

第三讲」 正弦定理 ◆◆知识清单 【基础梳理】 1.正弦定理及其常见变形 sin A sin Bsin C=2R. a 变形：（1)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c= 2Rsin C. (2)a:6:c=sin A:sin B:sin C. (3)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C= csin A. 2.余弦定理及其推论 a2=62+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+62-2abcos C. 推论：(1)cosA=+c2-a2 2bc (2)cos B=a2+c2-62 2ac (3)cos C=a2+62-c2 2ab 3.三角形的面积公式 (1)S-2ak(.表示a边上的高). (2-alsin C-acsin B-besinA. 常用结论：在△ABC中， (1)∠A+∠B+∠C=π. (2)大边对大角，大角对大边. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边 (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; n(A计B)--anGm4梦里-csS, 2 wAB=如S 2 (5)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB· tan C. 专题三三角函数与解三角形 余弦定理的简单应用 精准记忆◆ (6)A>B台a>b台sinA>sinB台cosA< cos B. 【自主检测】 题组一正弦定理、余弦定理的简单应用 1.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2,AC= 1+√3，AB=√6，则A=() A.45 B.60° C.120° D.135° 2.在△ABC中，已知b=ac且c=2a,则cosB等 于( A是 B c唱 号 3.在△ABC中，b=4V3,c=2,C=30°，那么此三 角形() A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 4.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC的三边 长分别为a,6,则A十B十品C b 题组二正弦定理、余弦定理的实际应用 1.已知船A在灯塔C的北偏东85°且到C的距离 为2km,船B在灯塔C的西偏北25°且到C的 距离为√3km,则A,B两船的距离为() A2√3km B.3√2km C.√15km D.√13km 2.如图，某工程中要将一长为100m,倾斜角为 75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持 坡高不变，则坡底需加长 m 30° 艺术生文化课考前100天数学 ◆方法清单 考点一 正弦定理、余弦定理的简单应用 【高考这样考】 (2024·全国甲卷文)在△ABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,bc,若B=牙， 4ac,则 sin A-+sin C=( ) A2v39 D313 13 B.39 C7 13 2 13 【方法规律】1.解三角形时，如果式子中含有角 的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如 果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑 用正弦定理；以上特征都不明显时，要考虑两 个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内 角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性 质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用， 同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、 统一结构” 【备考这样练】 1.(2023·全国乙卷文)在△ABC中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c.若acos B一bcos A=c,且 C=于，则B=(） A器 B哥 c贤 D 2.(2023·北京卷)在△ABC中，(a+c)(sinA一 sinC)=b(sinA一sinB),则C=( ) A周 B.3 c D.5π 6 3.(2023·全国甲卷理)在△ABC中，∠BAC= 60°，AB=2,BC=√6，AD为∠BAC的平分 线，则AD= -3 把控高考◆◆ 4.(2025·天津高考)在△ABC中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin B=√3bcos A,c-2b=1,a=√7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 考点二 与三角形面积有关的问题 【高考这样考】 题(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为√3，B=60°，a2+ c2=3ac,则b= 【方法规律】与面积有关的问题，一般要用到 正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【备考这样练】 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 6c,S为△ABC的面积，若S=}(+2 a),则A=( A.90° B.60° C.45° D.30° 2.(2023·江苏高邮模拟)已知△ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=1,C= 至，△ABC的面积S=2,则△ABC的外接圆 的直径为( A.45 B.5 C.5√2 D.6√2 2 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c.若b=6,a=2c,B-于，则△ABC的面积 为 考点三正弦定理、余弦定理的实际应用 【高考这样考】 题(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和 尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86(单位：m),三角高程测量法是珠峰 高程测量的方法之一.如图是三角高程测量 法的一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B, C在同一水平面上的投影A',B,C满足 ∠A'CB'=45°，∠A'B'C'=60°.由C点测得 B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由 B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到 水平面A'B'C的高度差AA'一CC约为(W3≈ 1.732)() A.346 B.373 C.446 D.473 【方法规律】应用三角知识解决实际问题的 模型 建模 分析题意，理解有关问题的题意和应用背景， 画出示意图，并将已知条件在图形中标出 解模 将所求问题归结到一个或几个三角形中，利 用正弦定理、余弦定理等知识求解 下结论 检验解出的结果是否具有实际意义，对结果 进行取舍，得出正确答案 —3 专题三三角函数与解三角形 【备考这样练】 1.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120° 的扇形AOB,C是该小区的一个出入口，且小 区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人 从O沿OD走到D用了2min,从D沿着DC 走到C用了3min.若此人步行的速度为 50m/min,则该扇形的半径的长度为() 1209 A.50√5m B.50√7m C.50√/11m D.50√19m 2.(2023·四川毕节模拟)小华想测出操场上旗 杆OA的高度，在操场上选取了一条基线 BC,请从测得的数据①BC=12m,②B处的 仰角60°，③C处的仰角45°，④cos∠BAC= 8g6,⑤∠B0C=30°中选取合适的数据，计算 出旗杆的高度为( A.103 m B.12m C.12√2m D.123 m 3.(2024·上海卷)如图，已知点B在点C的正 北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD, 存在点A满足∠BAC=16.5°，∠DAC=37°， 则∠BCA= (精确到0.1度)3.B解析：根据题意有osme=,即1-1ana=号， cos a 3 tama1得tamc叶还)=ne+1_2-3=2月- 3 1.故选B. 解析：由2sin2a=cos2a+1,得4 sin acos a=2cos2a. 又∈(0爱）m。-合∴如a-g 1 考点二 【高考这样考】 2g解折：由超如ma+0=巴a品1发 4 3 =-2W2,即sin(a十B)=-2W2cos(a十B),又sin2(a十B)+ cos(a+m=1,可得sm(a+=士29.由2r<a<2x+ 吾kEZ.2mm十<K2m+受，m∈Z,得2(+mr+< a十B<2(k十m)π十2r,k十m∈Z.又tan(a十B)<0,.a十B是 第四象限角，故sin(a十》=-2yE 3· 【备考这样练】 1.D解析：设a=0变，则0=a+卺sina=号，从而sim(20叶 爱）=m[2(e+)+吾]-sm(2a+受）=os2a=1 2sin'a-g 7 2B解折：a(一芳)+w(+)2》 2 1+cos(2x+3) 1+s2z+n2z 2 1+s2-sn2z 2 =1+20s2x=1+号×(-3) sin() 3.C解析：由 1-2os2(号-晋） 2sin(。-骨)os(。-5） 号tam(a-5）=-号 cos(a-3) 4,2解析：由题意知f(x)=sinx-√3cosx=2sin(x-苓)，当 x∈[0，π]时，x- 5∈[-]， m(x5)e[-9,1],于是f)∈[-g,21,故 f(x)在[0，π]上的最大值为2. 第三讲正弦定理、余弦定理的简单应用 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1,A解析：由题意可得osA=ABAC BC- 2AB·AC W)+(1+3)2-2-2 2×√6×(1+3) 2 又0°<A<180°，所以A=45°. 2.B解析：=ac,6=2a,∴6=2a2,cosB=。+-&= 2ac a2+4a2-2a=3 2a×2a 4 3C解析：由王孩定理和已知条件得如0，则s血B √3>1，∴.此三角形无解. 47解折：△MBC的外接国直径为2R=2,“AB C-2R=2a+20B+c-2+1+4=7 C b 题组二 1.D解析：由题意可得∠ACB=(90°-25)十85°=150°.又AC= 2,BC=√3，由余弦定理可得AB=AC十BC-2AC· BCcos150°=13，∴.AB=√13. 么00厄解析：设坡底需加长xm,由正弦定理得0，门 sin45,解得x=100w√2. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 C解析：由正弦定理得}-sin Asin C=simB,:B=哥， “sinAsin C=号sir2B=号，由余孩定理得份=d十2 2ac…omsB=d+e-ac=是ao,id+e=。 ac,∴sin2A+ sin C-15 sin Asin C,(sin A+sin C)*=sin A+sin C+ 4 2 in Asin C=终sin Asin C=子，又snA>0,snC>0, 4 mA计血C-经， 【备考这样练】 1.C解析：由正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A=sinC,即 sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A, 理可得sin Bcos A=0.B∈(0，π)，.sinB>0,.cosA=0, 元元_3π ∴A=交，B=x-A-C=元-2-5=10 2.B解析：，(a十c)(sinA一sinC)=b(sinA-sinB),.由正 弦定理得(a十c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-,则a2+ 6-C-bsca+场兰-鼎 2ab 又0<C<元，C-=5 3.2解析：记AB=c,AC=b,BC=a. 方法一：由余弦定理可得22+-2×2×bXc0s60°=6，解得 b=1+V5.由Sc=Sam+SAm可得2X2X6Xsin60°= 号X2 XADXsin30°+号×ADXbXs30,AD=B6 1+名 2W3(1+8)=2. 3+√3 方法二：由余弦定理可得22+b一2×2×bXc0s60°=6，解得 1h,由E孩定现可得6品C解得血B 2 6+E,inC=g.:1+36>2。 4 2· ∴.C=45°，B=180°-60°-45°=75. 又∠BAD=30°，∴.∠ADB=75°，∴.AD=AB=2. b 4.解：(1)因为asin B-=3bosA,由正弦定理AsnB, 得asin B=bsin A=√3 bcos A,显然cosA≠0， 得tanA=3,又0<A<,故A=号. (2)由(1)知cosA=2,且c=2b+1,a=√7， 由余弦定理a2=b+c2-2 bccos A, 得7=6+(26+1)2-2×号6(26+1D=36+36+1, 解得b=1(b=-2舍去)， 故c=3. (3)油正弦定理品A品B且6=1a=7血A-受 2 得simB=snA=,且a>b,则B为锐角， a 14 放cosB品7，故sm2B=2s如BasB-, 14 且os2B=1-2mB=1-2x()=贵： 11 放sn(A+2B)=sin Acos2B+oAsin2B=号×}+号× 5W3_4w3 147 考点二 【高考这样考】 22解折：由题意，得5=7sB=月，即acX号 2 √3，解得ac=4.由余弦定理，得B=a2十c2-2 accos B=3ac 2ac·2=8,解得b=2W2(负值舍去). 【备考这样练】 1.C解析：S=-einA,8+-d=2cosA,S=4+ )bcsin A cos 180°，∴.A=45 2.C解析：：b=1,C=开，△ABC的面积S=2,.S= 合asin至=2，解得a=4厄.由余弦定理得c=a2十：- 2 abcos-平=25，解得c=5,.△ABC的外接圆的直径为2R= sin C=5/2 3.63解析：由余弦定理得2=a十c2-2 accos B.又，b=6, a=2c,B=号，36=4d+2-2×20×2,即2=12，c 2w5,a=45,S=acsin B=合X45X2w5x号- 6W3 考点三 【高考这样考】 B解析：如图，分别过C,B两，点作CE∥ CB',BF∥A'B,分别交BB,AA'于E, F两，点.易知BE=100,BF⊥AA',且 ∠ABF=45°，∴.AF=BF=AB',要求 AA'与CC的高度差，即求AF十BE,即 求BE+AB,在△BCE中，器 tan∠BCE=tan15°=tan(45°-30)= 1+tan45an30=2-3,解得CE= tan45°-tan30° 100(2+√3)，即B'C'=100(2+√3).在△A'BC'中，∠A'C'B =45°，∠AB'C=60°，.∠CA'B=75°.由正弦定理，得 sinZA'C'BsinCABA'B'-sinAC'B A'B' B'C' sin∠CA'B ·BC'= sin(45T30·BC'=100(W3+1)≈273，∴AA'-CC=BE sin45° +A'B'≈100+273=373. 【备考这样练】 1.B解析：设该扇形的半径为，连接CO,如图所示.由题意，得 CD=150m,OD=100m,∠CDO=60°，在△CDO中，由余弦定 理，得CD+OD-2CD·ODcos60°=0C,即150+1002-2× 150X100×合=7，解得=50W7m 1209 0 第1题图 第2题图 2.D解析：选①②③⑤，如图所示， ∠ABO=60°，∠AC0=45°.设OA=x,则OA=OC=x, 0B=后在△B0C中，利月余孩定理，得BC=12=t+ ()广-2·后×号，得x=12,即0A=125m 3 3.7.8°解析：设∠BCA=0,∠ACD=90°-0， 在△DCA中，由正弦定理得sim∠ADCsin/CAD' CA CD CA CD 即sin180°-(90-0+37.07-sim37.0, CA CD 即m(90-9+37.0ysin37.0°0， 在△BCA中，由正弦定理得sin∠ABC一sin/CAB, CA CB CA CB CA 即sn180-(9+16.57=sn16.5,即sn(016.5y CB sin16.5②， cD-CB8得R0结0-， sin(0+16.5) sin 16.5, 利用计算器即可得7.8°. 第四讲 解三角形 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 解：A+B=3C,x一C=3C,即C=平 又2sin(A-C)=sinB=sin(A十C), .2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, .'sin Acos C=3cos Asin C, '.sin A-3c0s A,tan A-3, .'sin A=- 33√10 /10 10 1 (2)由(1)知，cosA= 0 /10 10 sin B-sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C10 2 10 )=25 10/ -5·