专题三 第二讲 三角恒等变换-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

第二讲 ◆知识清单 【基础梳理】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(a±β)=sin acos B:士cos asin B. (2)cos(a±)=cos acos B干sin asinβ. (3)tan(a±β) tana士tanB 1千tan atan3 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2a=2sin acos a. (2)cos 2a cos2a-sin2a 2cos2a -1= 1-2sin2a. 2tan a (3)tan 2a-1-tan 2a 3.辅助角公式 一般地，函数f(a)=asin a十bcos a(a,b为常 数)可以化为f(a)=√a2+bsin(a+9) (其中ang-2）或f(a)=a+Fcos(a- p(其中anp=号)片 4.两角和与差正切公式的常用变式 tana士tanB=tan(a士B)(l干tan atanβ). tana·tang=l-tana十tanP_tana-tang tan(a十B) tan(a-B) -1. 5.倍角公式变形 降幂公式：cosa=1+cos24,sina=1一c0s24 2 2 升幂公式：c0sa=2cos2号-1，c0sa=1 2sin号 配方变形：1士si血&=(sin号±c0s号)厂 提醒：常用拆角、拼角技巧，例如，2a=(a十B)十 aBma=(a+B)-A=(&-)+8g=时9 2 a8=(a+28)-(a十B);a-B=(a-Y）+ 2 专题三三角函数与解三角形 角恒等变换 精准记忆◆ (Y8),15°=45°-309；至+a= (年-a等. 【自主检测】 题组一 给角求值 1.计算cos径cos看+c0s臣in看-( A.0 C② 2 D 2 2.(多选)cosa-√3sina化简的结果可以 是( ) Aos(厝-a B.2cos(a) C.sin(-a D.2sin(-a) 3.3-tan 18" 值等于( ) 1+√3tan18 A.tan 42 B.tan3° C.1 D.tan24° 题组二给值求值问题 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<a<π，cos 2-5 则sin(。)=( ) 10 B. C32 10 D72 5 10 2.已知tana= 日则a 1+cos 2a 题组三给值求角 1.在△ABC中，sin Asin B<cos Acos B,则这 个三角形的形状为() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 2.已知an(a十0=7，ana=},且E(0,r), 则β的值为 9 艺术生文化课考前100天数学 ◆方法清单 考点一 两角和与差、倍角公式的简单应用 【高考这样考】 t(2023·新高考I卷)已知sin(a-)= 3 cos asin cos(2a+28)-() A.g Bo c.-gD.-日 【方法规律】(1)使用两角和、差及倍角公式， 首先要记住公式的结构特征和符号变化规 律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名 相乘，符号反” (2)使用两角和、差及倍角公式求值，应注意 与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综 合应用. (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的 应用 【备考这样练】 1.(2024·新高考I卷)已知cos(a十β)=m, tan atan B=2,则cos(a一B)=() A.-3mB.-3 c罗 D.3m 2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知&为锐角，cosa= 1中5则m号( ) A.35 B.-1+5 8 8 C.3-5 D.-1+5 4 4 3.(2024·全国甲卷文)已知 coS a cos a-sin a =√3， 则tan(a+牙)=( ) A.2√3+1 B.2√3-1 c D.1-√5 -3 把控高考◆ 4.已知a∈(0，)，2sin2a=cos2a+1,则sina= 考点二 三角函数的化简与求值问题 【高考这样考】 (2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，3 为第三象限角，tana十tanB=4,tan atan B= √2+1，则sin(a十)= 【方法规律】三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1=sin0十 cos20=tan45°等. (2)项的分拆与角的配凑：如sina十2cos2a= (sina十cos2a)十cos2a,a=(a-β)+3等， (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用 二倍角公式降次. (4)弦、切互化：一般是切化弦. 【备考这样练】 1.(2023·山东日照模拟)已知sim0-)-号 则sin(20+）=( ) A-号 B c- 2.(2023·广东深圳中学模拟)已知c0s2x= 3 则cos(x-)+cos(x+)的值为( A.i Bo c品 sm2劉 3.(2023·福建漳州模拟) 1-2ox(号) 手，则tan(。-)-( A号 B-是 C-号D号 4.(2024·全国甲卷文)函数f(x)=sinx √3cosx在[0，π]上的最大值是 0由正孩函数的对称性可知导一音-②m)工(ZD, 即x=2nm+五，∴w=4n+2(n∈ZD. 4 2w 又)在[-登登]上单羽递增，则号≥品-（一爱）， ·开≥登，得0<≤2， 9=5+2kx w=2,则 (k,m∈Z), o-mx3 “p∈（-元，，k=0,m=1,此时9=号，小f(x) sin(2x+号)， 当xe[o,登]时，2x+∈[子]， 由正孩函数的单洞性可知于)山=血暂=复 2 【备考这样练】 考向1 1.A解析：由fx)的最小正周翔为，可得一无w=号， f)=sin(2x+x)=-sin2x.当xe[-是：看]时，2x∈ [吾晋]，m2x∈[]fx0a=-9故 选A 2.AB解折：fa)=sino=合sin2x,由音+26r<2x≤ 经+2∈D,得要+k≤<经+a∈刀，函数/) S血xmsx的单调道减区间是[kx十冬，kr+](k∈Z刀，放B 正确.函数f(x)的周期是kπ(k≠0)，故A正确. 3.B解析：f(x)=2√3 sin wxcos w+2sin2x十cos2wz= 3m2a+1在区间[-经]上单调递增， -3≥-受 解得≤合∴正数m的最大值为后 3wm≤， 考向2 1.C解析：“f代x)=sin音十cos号=2sim(号+平），最小 正周期T==6m:sinm(号+)1f)s=E. 2.AC解析：f(x)图象相邻的对称中心与对称轴的距离为 至心最小正周期T=,故A正确，B错误；：ω=祭=2，且 2×晋+p=受+m,k∈Zlp<音，p=吾，故C正确，D 错误. 3.C解析：函数f(x)=sin十cOs=√2sin(ax十年） (w0), 设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x十π)=f(x)可得T- π(k∈N·), 所以T-2=爱(k∈N~),即w2(k∈N): 又函数f(x)在[0，晋]上存在零点，且当x∈[0，平]时， ur+e[,翠+]， 所以+平≥，即>3. 综上，ω的最小值为4. 第二讲」 三角恒等变换 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.C解析：os登os吾+ows危si=osos吾十 如晋n青-o(段-吾）=os冬- 2 2BD解析：osa-5na=2(号osa-号sn。)= 2(cos acos-sini号）=2cos(a+5）=2sin(g-a): 3A解折：“m6的-，原式-甲0紧 tan(60°-18)=tan42°. 题组二 1.D解析：os。=2os号-1=2X(停）'-1=-号， 因为0<a<元，所以受<a<元，则sina=V-cosa V-(-)-, 则血(。登)=mao至-ossn子=告×号 (-)×9-语 2.-6 解析： sin 2a-cos'a= 2sin acos a-cos'a 1+cos 2a 1+2cos2a-1 2sin acos g cos'g-tan a6 1 5 2cosa 题组三 1.B解析：，在△ABC中，sin Asin B<cos Acos B,∴.cos(A+ B)>0,∴.cosC0,则C为钝角，故△ABC是钝角三角形. 2子解折：am=ama十)-a=骨9动2 1 3 1+7× =1.又Bc(0,g=至 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 B解析：sn(a-)=smo0sB-co8 asin B=-弓，in B 专sin产号，smle叶A0=in叶case号， .∴.cos(2a+23)=cos2(a+B)=1-2sin2(a+3)=1-2X (号)》=日 【备考这样练】 1.A解析：由cos(a十B)=m得cos acos B-sin asin B=m①， 由tan atan月=2得0as0g=2②，由①@得 cos acos B cos acos -m,cos a)-cos acos sin asin B sin asin B--2m, -3m.故选A 2D解析：“0sa=1-2an号-1生5，e为机角， 4 2 3.B解析：根据题意有osme=,即1-1ana=号， cos a 3 tama1得tamc叶还)=ne+1_2-3=2月- 3 1.故选B. 解析：由2sin2a=cos2a+1,得4 sin acos a=2cos2a. 又∈(0爱）m。-合∴如a-g 1 考点二 【高考这样考】 2g解折：由超如ma+0=巴a品1发 4 3 =-2W2,即sin(a十B)=-2W2cos(a十B),又sin2(a十B)+ cos(a+m=1,可得sm(a+=士29.由2r<a<2x+ 吾kEZ.2mm十<K2m+受，m∈Z,得2(+mr+< a十B<2(k十m)π十2r,k十m∈Z.又tan(a十B)<0,.a十B是 第四象限角，故sin(a十》=-2yE 3· 【备考这样练】 1.D解析：设a=0变，则0=a+卺sina=号，从而sim(20叶 爱）=m[2(e+)+吾]-sm(2a+受）=os2a=1 2sin'a-g 7 2B解折：a(一芳)+w(+)2》 2 1+cos(2x+3) 1+s2z+n2z 2 1+s2-sn2z 2 =1+20s2x=1+号×(-3) sin() 3.C解析：由 1-2os2(号-晋） 2sin(。-骨)os(。-5） 号tam(a-5）=-号 cos(a-3) 4,2解析：由题意知f(x)=sinx-√3cosx=2sin(x-苓)，当 x∈[0，π]时，x- 5∈[-]， m(x5)e[-9,1],于是f)∈[-g,21,故 f(x)在[0，π]上的最大值为2. 第三讲正弦定理、余弦定理的简单应用 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1,A解析：由题意可得osA=ABAC BC- 2AB·AC W)+(1+3)2-2-2 2×√6×(1+3) 2 又0°<A<180°，所以A=45°. 2.B解析：=ac,6=2a,∴6=2a2,cosB=。+-&= 2ac a2+4a2-2a=3 2a×2a 4 3C解析：由王孩定理和已知条件得如0，则s血B √3>1，∴.此三角形无解. 47解折：△MBC的外接国直径为2R=2,“AB C-2R=2a+20B+c-2+1+4=7 C b 题组二 1.D解析：由题意可得∠ACB=(90°-25)十85°=150°.又AC= 2,BC=√3，由余弦定理可得AB=AC十BC-2AC· BCcos150°=13，∴.AB=√13. 么00厄解析：设坡底需加长xm,由正弦定理得0，门 sin45,解得x=100w√2. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 C解析：由正弦定理得}-sin Asin C=simB,:B=哥， “sinAsin C=号sir2B=号，由余孩定理得份=d十2 2ac…omsB=d+e-ac=是ao,id+e=。 ac,∴sin2A+ sin C-15 sin Asin C,(sin A+sin C)*=sin A+sin C+ 4 2 in Asin C=终sin Asin C=子，又snA>0,snC>0, 4 mA计血C-经， 【备考这样练】 1.C解析：由正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A=sinC,即 sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A, 理可得sin Bcos A=0.B∈(0，π)，.sinB>0,.cosA=0, 元元_3π ∴A=交，B=x-A-C=元-2-5=10 2.B解析：，(a十c)(sinA一sinC)=b(sinA-sinB),.由正 弦定理得(a十c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-,则a2+ 6-C-bsca+场兰-鼎 2ab 又0<C<元，C-=5 3.2解析：记AB=c,AC=b,BC=a. 方法一：由余弦定理可得22+-2×2×bXc0s60°=6，解得 b=1+V5.由Sc=Sam+SAm可得2X2X6Xsin60°= 号X2 XADXsin30°+号×ADXbXs30,AD=B6 1+名 2W3(1+8)=2. 3+√3 方法二：由余弦定理可得22+b一2×2×bXc0s60°=6，解得 1h,由E孩定现可得6品C解得血B 2 6+E,inC=g.:1+36>2。 4 2· ∴.C=45°，B=180°-60°-45°=75. 又∠BAD=30°，∴.∠ADB=75°，∴.AD=AB=2. b 4.解：(1)因为asin B-=3bosA,由正弦定理AsnB,