专题三 第一讲 三角函数的图象与性质-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

专题三三角函数与解三角形 第一讲 三角函数的图象与性质 ◆◆知识清单·精准记忆◆ 【基础梳理】 设=x十9，令=0，吾元，2,2x,求出x的 1.三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 值与相应的y的值，描点、连线可得 (2)两种图象变换方式 》,则sina=y,cosa=xyan 由函数y=sinx的图象变换得到y= 各象限角的三角函数值的符号可记为：一全 Asin(wx+p)(A>0,w>0)的图象的两种 正，二正弦，三正切，四余弦 方法 2.三角函数的单调区间 「先平移后伸缩 先伸缩后平移 0 0 (1)函数y=sinx的单调递增区间是 画出y=sinx的图象 画出y=sinx的图象 [2x一，2x+5]∈z,单调递减区间是 向左(p>0)或平移1pl个 向右(p<0)↓单位长度 横坐标变为原来的日 得到y=sinx+p)的图象 骤2 得到y=sin x的图象 2kx+,2km+]∈2. 横坐标变为 原来的日 向左(p>0)或 平移9个 向右(0<0) 单位长度 得到y=sin(wx+p)的图象 骤 得到=sin(ωx+p)的图象 (2)函数y=cosx的单调递增区间是[2kπ一 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 π，2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ，2kπ士 得到y=Asin(wx+p)的图象 得到y=Asin(ox+p)的图象 π](k∈Z): (3)函数y=tanx的单调递增区间是 6.三角函数图象的对称轴与对称中心 (kx-受，kx+受)k∈ZD. 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 直线x=kπ十 3.同角三角函数的基本关系 图象的 直线x=kπ 吾kcz刀 无 对称轴 (k∈Z) sin2a++cos2a-1, sng=tane个(a≠5十kr,k∈Z 图象的 cos a 点(kπ，0) 对称 点(x十罗，0) 点(0） 4.诱导公式的记忆口诀 (k∈Z) 中心 (k∈Z) (k∈Z) 在十a,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变， 7.三角函数奇偶性的充要条件 符号看象限” 函数y=Asin(wx十p)(x∈R)是奇函数台p= 5.函数y=Asin(wx+p)的图象 kπ(k∈Z); (1)“五点法”作图 函数y=Asin(ax十p)(x∈R)是偶函数台p= -24 专题三三角函数与解三角形 kr十受(k∈Z); 部分图象如图所示，则( 函数y=Acos(wx十p)(x∈R)是奇函数台→p= r+5(∈Z); 函数y=Acos(wx十p)(x∈R)是偶函数台g kπ(k∈Z). 8.谨记3个注意点 (1)三角函数值是一个比值，是实数，这个实 数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关， A.y=2sin(2) 只由角的终边位置决定， (2)求函数f(x)=Asin(wx+p)的单调区间 B.y=2sin(2) 时，要注意A与ω的符号，当w<0时，需把w C.y=2sinz+）】 的符号化为正值后再求解。 (3)在三角函数图象的变换中，由y=sin wx D.y=2sin(+) 的图象变换得到y=sin(wx十o)的图象时，平 2.(2024·北京卷)设函数f(x)=sin wx(w> 移量为9 ,而不是p 0).已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2 【自主检测】 的最小值为，则w=( ) 题组一三角函数的定义、诱导公式及同角三 A.1 B.2 C.3 D.4 角函数基本关系 3.函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变，把 1.(多选)若sin0·cos0>0,则0的终边 横坐标变为原来的2倍，得到函数图象的解 在() 析式为y=cos wx,则w的值为 A.第一象限 B.第二象限 题组三三角函数的性质 C.第三象限 D.第四象限 1.（多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)= 2.已知角α的终边与单位圆的交点为 p-5.25 sin2x和g(x)=sin(2x-不)，下列说法中正 ) 5,1 ,则sina-cosa等于( 5 确的有() A.⑤ B A.f(x)与g(x)有相同的零点 5 5 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.35 5 D-36 5 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 3.若sin(-110)=a,则tan70°等于( D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 2.(2025·上海高考)函数y=cosx在区间 A产。 B.- a W1-a2 [一受，上的值域为 C./ D. a √1+a2 3.已知函数，y=tan在区间（一受，受）内单调 题组二三角函数的图象与解析式 递减，则ω的取值范围是 1.函数y=Asin(or十p)(A>0,a>0,p<罗)的 25 艺术生文化课考前100天数学 ◆◆方法清单·把控高芳 考点一 三角函数的定义、诱导公式 6 A B.- 2 c号 D号 及同角三角函数的基本关系 考点二 三角函数的图象与解析式 【高考这样考】 【高考这样考】 通(2025·北京高考)已知角a,B∈[0,2π]，且 (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(wx十 sin(a+B)=sin(a-B),cos(a+B)cos(a- ),写出满足条件的一组α= ,B= p,如图，A,B是直线)y=号与曲线y=f)的 【方法规律】应用三角函数的概念和诱导公式 两个交点.若AB=否，则f() 的注意事项 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定时， 要注意分情况解决，机械地使用三角函数的 定义就会出现错误 (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一 【方法规律】1.函数y=Asin(wωx十p)的解析 定要注意三角函数的符号；利用同角三角函 式的确定 数的关系化简时，要遵循一定的原则，如切化 已知函数y=Asin(wx十p)(A>0,w>0)的图 弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. 象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的 【备考这样练】 最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期 ■考向1三角函数的定义 确定ω；确定9常根据“五点法”中的五个点求 1.（2022·山东济南二模)如果角α的终边过点 解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以 P(2sin30°，-2cos30),那么sina的值等 从图象的升降找准第一个零点的位置， 于() 2.三角函数图象变换的易错点 A司 B- 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸 缩.变换只是相对于其中的自变量x而言.如 2.(2022·山东日照一模)已知角0的终边经过 果x的系数不是1，那么就要把这个系数提取 点P合，一，则角9可以为( 后，再确定变换的单位长度和方向. 【备考这样练】 A.晋 B. c D 考向1由图象求解析式 考向2诱导公式与同角三角函数的基本关 1.(2023·山东临沂模拟)已知函数f(x)= 系的综合 Asin(wz+p)(w>0,-乏<g<)的部分图 1.若cos(等-a)-号，则sin(g+a=( 象如图所示，则φ的值为( A一青 B.-3 c 2.(2021·新高考I卷)若tan0=一2，则 sin @(1+sin 20)=() sin 0+cos 0 -26 专题三三角函数与解三角形 A.B. C-否D8 移9(0<<)个单位长度得到函数y= 2.(2024·新高考I卷)当x∈[0,2π]时，曲线y= sin(2x十)的图象，则p的值为 sinx与y=2sin(3a需)的交点个数为( 考点三 三角函数的性质 A.3 B.4 C.6 D.8 【高考这样考】 ■考向2三角函数图象变换 知(2025·天津高考)函数f(x)=sin(wx+p) 1.(2023·河北唐山期末)要得到函数y=sin2x (w>0,一<g在[一登，]上单调递增， 的图象，只需把函数y=sin(2x+)的图 象( ) 且直线x=为它的一条对称轴，(3,0)是它 A.向左平移罗个单位长度 的-个对称中心，当x∈[0，受]时，fx)的最小 B.向右平移牙个单位长度 值为( C.向左平移牙个单位长度 A-经R司 C.1 D.0 【方法规律】1.三角函数的单调区间及周期的 D.向右平移不个单位长度 求法 2.(2023·全国乙卷理)已知函数f(x)=sin(ar十 (1)三角函数单调区间的求法 p在区间(，)上单调递增，直线x=否和 求形如y=Asin(wx十p)(或y=Acos(wx十 p)(A,w,9为常数，A≠0，w>0)的单调区间 x=为函数y=fx)的图象的两条对称轴， 的一般思路是令wx十p=之，则y=Asin之（或 y=Acos之)，然后利用函数y=sinx(或y= 则f(-）=( cosx)的单调区间求解. (2)三角函数周期的求法 A R-司 函数y=Asin(wx十p)(或y=Acos(wx+p)) c D 的最小正周期T=应特别注意y 3.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)的图象上 1Asin(or十g的最小正周期为T-高 所有点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变， 2.已知函数单调性求参数的解题策略 (1)明确一个不同.“函数f(x)在区间M上单 再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函 调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含 数y=sin(x一T)的图象，则fx)=( 义不同，显然M是N的子集， (2)抓住两种方法.已知函数在区间M上单调 Asin(受) B.sin(+) 求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已 知区间与单调区间的子集关系，建立参数所 C.sin(2) D.sin(+) 满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导 4.已知函数y=sin2x的图象上每个点向左平 函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解. -27 艺术生文化课考前100天数学 【备考这样练】 考向2三角函数性质的综合 ■考向1三角函数的单调性及应用 1.(2021·全国乙卷)函数f)=sin营十c0s音 1.(2024·天津卷)已知函数f(x)=sin3(wx十 的最小正周期和最大值分别是() )的最小正周期为x,则f(x)在[一登·看] A.3π和√2 B.3π和2 上的最小值为( ) C.6π和W2 D.6π和2 A-9 2.（多选)(2023·河北秦皇岛模拟)已知函数 f(x)=2sin(wx十p)(w>0,lp<牙)图象的 C.0 D含 一条对称轴方程为x=石，与其相邻对称中心 2.(多选)函数f(x)=sin xcos x的单调递减区 间可以是( 的距离为于，则( A[km-3T,kx-晋](k∈Z A.f(x)的最小正周期为π B[kx+,kr+]k∈Z刃 B.f(x)的最小正周期为2π C.g-看 C.[2k元+平，2x+](∈Z刀 D.g-3 D.[kx+T,kπ+受]（兔∈ZD 3.(2025·北京高考)设函数f(x)=sin wx十 3.若函数f(x)=2√3 sin wxcos wx十2 sinwx十 cos wx(w>0),若f(x十π)=f(x)恒成立，且 c0s2ax在区间[一，]上单测递增，则正 f()在[0，至]上存在零点，则w的最小值为 数w的最大值为() () A日B青 c.4 D.号 A.8 B.6 C.4 D.3 -28当n为偶数时，b-1+b.=2(n-1)-3+4n十6=6n十1，T.- 13+t》.号=多+子 2 当心5时，工-S=(多t+子n）-d+n=2m-1>0, ∴.Tm>Sn 当n为奇数时，工，=T+1-b1=是(m+1)2+子(n+1) [4+1D+6J=号r+2n-5 当心5时，T工。-S.=(8i+8n-5）-(i+4m=号(n+ 2)(n-5)>0,.Tm>Sn. 综上，当n>5时，T>Sn J2n-3,n=2k-1k∈N. 方法二：由(1)知，S.=+4n,6.={4n+6,n=2k, 当n为偶数时，Tn=(b十b十…十b-1)十(b2十b十…十b,)= -1+2g》-3.受+4++6.受=多+ 2 2 当心5时，T.-S=(号t+子）-(+4n=号m-10>0, ∴.T>Sn 当n为奇数时，若n≥3，则Tn=(b+b+…十bn)+(b2+ 6++61)=-1+2-3.时1+14+4g-D+6.” 2 2 2 号0+号-5，显然T=6=-1满足上式， ∴当n为奇数时，工，=号+号-5， 当>5时，工.-5.=(3r+号n-5）-(+4m）=2(n+ 2)(n-5)>0,.Tm>Sn 综上，当n>5时，T>Sn 【备考这样练】 1.B解析：因为λ∈[0,1]，a.>0,b>0,所以λan≤a.,(1一λ)bn≤ bn,且二者等号不同时成立，所以cn=Aan十(1一λ)bn<am十 bn,所以只需考虑a一bn|<cm是否对入∈[0,1]都成立.当 2≤an≤5时，am>bn,cn=bn十1(am一b.)∈[bn,an],所以只需 b>a.-ba,即2b.>am,即2+1>10n-9,n取4,5时满足.当 n=1或n≥6时，an<bn,cn=bn+入(an-b)∈[an,bn],所以只 需am>b.一an,即2an>bn,即2-1<10n-9,n取6时满足.综 上，满足条件的n有3个. 2.(1)解：设{an}的公比为q(q>0),则1十q=q-1,得q=2, 8= =2"-1. (2)(1)证明：由(1)知，a=21, ∫k,n=2-1, 6-(6i+2,2<n<2,∈N 当n=a+1=2时，b.=k+1, b.-1=bg-1=b2-2+2k=b2-3+4k=…=b2+2k·(2k-1-1) =k十2k·(2-1一1)=k·2一k, ∴.b.-1-a4·bn=k·20-k-(k十1)2-1=(k-1)2-1-k. 设f(x)=(x-1)2-1-x,x≥2，则f(x)=21+(x-1)2-1 ln2-1≥2+2ln2一1>0，∴.f(x)在[2，十o∞)上单调递增， f(x)≥f(2)=0, .b.-1-a·bn≥0，即bm-1≥ak·bn. （i)解：令k=1,得b=1,令k=2,得b2=2,b=b2十2k=6, 令k=3,得b=3,6s=b+2k=9,bs=b十2k=15,b,=b十2k =21, ∴.b,b+1,…,b1是一个以为首项，2k为公差的等差 数列. bg1=k,由(i)知b2-1=k·2一k,∴.b21十b2+1十…十 附-1=：2,2=k41, 2 ∴26，-写6，=h+i+…+br-1=1X40+2X4+…+n× 41,42b:=1×4+2×4+…+n×4", 两式相减，得一3空6，=4+4+…十1一·=二号 4=-…4=(兮-小4-3， 3 26.=(3-号)·4+日 考点三 【备考这样练】 1.D解析：由题意可知分段函数为增函数，且f(8)>f(7),即 3-a>0, a>1, 解得2<a<3,故实数a的取值范围是 a8-6>(3-a)X7-3, (2,3). 2D解析：由题意得2m-5m+3=1,解得m=2或m=.当 m=之时，)=2为偶函数，不合题意；当m=2时，f()= x立为非奇非偶函数，符合题意.故a.=fm十十fm n+i+Wn=+I-历，则S=2-1+3-2+…十 √2021-√2020=√2021-1. 专题三三角函数与解三角形 第一讲三角函数的图象与性质 【知识清单·精谁记忆】 【自主检测】 题组 1.AC解析：.sin0·cos>0,.sin0<0,cos0<0或sin> 0,cos>0,∴.0的终边在第一象限或第三象限. 2.A解析：由三角函数的定义，得c0sa=-⑤， 5,sina=-25 5 因光血&一。一停 3.B解析：.sin(-110)=-sin110°=-sin(180°-70) -sin70=a,.sin70°=-a,.cos70°=√1-(-a)2= √1-a,∴.tan70°=sin708 a c0s70° √1-a 题组二 1.A解析：由题困可知，A=2,T=2号-（-否)门]=π，∴w 2.由函数图象经过点（号，2），得2sim(2×号十9)=2， ∴2×3+g-受+2km,k∈Z∴9--吾+2km,k∈Z:l9l< 受，9=-晋函数的解析式为y=2sin(2x-否） 2.B解析：.f(x)=sin wx∈[-1,1]，且f(x1)=-1,f(x2)= 1,一m=受，心f(x)的最小正周期T=2×受=元， w牙=2. 3号解标：画数)y一sx纵坐标质亮赞。标变为，=s弓 原来的2倍 ω-2 题组三 1,BC解析：对于A,令f)=0,则x=,k∈乙，又g()≠ 0,故A错误；对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确； 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D, 令2x=受+m,k∈Z,即x=平+经，∈Z为f()图象的对 称轴方程，令2红-牙=受十x,EZ,即x-g+,k∈Z为 g(x)图象的对称轴方程，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不 相同，故D错误.故选BC, 2[01解折：由xe[-吾，至]，得c0[o,1 3.[-1,0)解析：y=tan在(-受，受)内单调递减， 六w0且T-高>≥，-lK0, 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 吾晋（答案不唯一）解析：因为s(a十）=sin(a一B, cos(a十3)≠cos(a一B), 所以a十Ba一B的终边关于y轴对称，且不与y轴重合， 故a十B叶a-B=元+2kπ，k∈Z且a十≠+lr,lEZ, 即a=受十kr,k∈乙，故取a=受，9=吾可满足题设要求. 【备考这样练】 考向1 1.C解析：由题意，得P(1,一√5)，它与原点的距离r= √1+(3）=2，∴sima=义=-5. 2 2.D解析：“角0的终边经过点P(合，-号)0是第回象 限角，且6m0-子，m0=-号，则0可以为警 考向2 1.c解桥：（骨-）=号a(晋+）=m登-（告 a)-cos(-a)=3 2.C解析：原式=sin0sinm0叶2 sin0叶cos2D sin 0+cos 0 =sin (sing+cos 0)2 sin 0++cos 0 sin0sin Ocos sinsin cos0 sin20+cos20 tan20+tan0_4-2_2 .tan20+14+1=5 考点二 【高考这样考】 -号解析：设A(西，合)，B(,合)，由AB1=吾可得 a-a=吾，由sinx=号可知，x=吾+2kx或x=56+2kx, b∈Z,由图可知，ow十p-(uw十p)=-否=，即 o(m-a)-ξw=4.“f(g5）=im(+g）=0, 弩+p=m,k∈五，即g=-+,k∈Z,∴f(x)= sin(4红-8r+x)=sim(4r-+x),·f(x)= sin(4红-ξ）或f)=-sim(4r-5).又：f0)<0, fo)=sim(4x-）∴fW=sn(4x-经）=5 【备考这样练】 考向1 1.B解析：由图象可知A=1,否-号一(-吾），故T=x0 2,f()=sin(2x十p.由图象可知当x=时，sin(2×十 )=19=5 2.C解析：函数y=2sin(3x-吾)的最小正周期T=, 函数y=2sin(3x-否)在[0,2x]上的图象拾好是三个周期 的图象，作出函教y=2sin(3x-否)与y=sinx在[0,2x] 上的图象如图所示， 〕Y个 由图可知，这两个图象共有6个交，点.故选C. 考向2 1.D解析：“y=sim(2zx+受）=sin2(x+牙)函数y sin2x十交)的图象向右平移牙个单位长度，可得到函数y= sin2x的图象. 2.D解析：f()=sin(ar十p)在区间（石，）上单调递增， 小号-要-晋=受，且w>0,则T=w-琴=2，当=晋 时，f()取得最小值，则2×否十9=2kr一受，∈Z,则9= 2kx-,k∈Z,不妨取k=0,则f(x)-sin(2x-若)， ∴(-爱)=sm(-)-号 3.B解析：先将函数y=sim(z一平)的图象向左平移号个单 位长度，得到函数y=sim(x十-平)=sin(x+)的图 象，再将所得图象上所有，点的横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变，得到函教y=sim(受十)的图象，心x)= sin(受+)： 4歪解析：把函数y=si血2x的图象上每个点向左平移 (0<g<受)个单位长度，得到函数y=sm(2x+晋)= sin(2x十2p)的图象，2g=石，则p-是 考点三 【高考这样考】 A解析：设函数f(x)的最小正周期为T,根据题意有 ∫+g=受+2x, (m,k∈Z), atg-ms 由正孩函数的对称性可知导一音-②m)工(ZD, 即x=2nm+五，∴w=4n+2(n∈ZD. 4 2w 又)在[-登登]上单羽递增，则号≥品-（一爱）， ·开≥登，得0<≤2， 9=5+2kx w=2,则 (k,m∈Z), o-mx3 “p∈（-元，，k=0,m=1,此时9=号，小f(x) sin(2x+号)， 当xe[o,登]时，2x+∈[子]， 由正孩函数的单洞性可知于)山=血暂=复 2 【备考这样练】 考向1 1.A解析：由fx)的最小正周翔为，可得一无w=号， f)=sin(2x+x)=-sin2x.当xe[-是：看]时，2x∈ [吾晋]，m2x∈[]fx0a=-9故 选A 2.AB解折：fa)=sino=合sin2x,由音+26r<2x≤ 经+2∈D,得要+k≤<经+a∈刀，函数/) S血xmsx的单调道减区间是[kx十冬，kr+](k∈Z刀，放B 正确.函数f(x)的周期是kπ(k≠0)，故A正确. 3.B解析：f(x)=2√3 sin wxcos w+2sin2x十cos2wz= 3m2a+1在区间[-经]上单调递增， -3≥-受 解得≤合∴正数m的最大值为后 3wm≤， 考向2 1.C解析：“f代x)=sin音十cos号=2sim(号+平），最小 正周期T==6m:sinm(号+)1f)s=E. 2.AC解析：f(x)图象相邻的对称中心与对称轴的距离为 至心最小正周期T=,故A正确，B错误；：ω=祭=2，且 2×晋+p=受+m,k∈Zlp<音，p=吾，故C正确，D 错误. 3.C解析：函数f(x)=sin十cOs=√2sin(ax十年） (w0), 设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x十π)=f(x)可得T- π(k∈N·), 所以T-2=爱(k∈N~),即w2(k∈N): 又函数f(x)在[0，晋]上存在零点，且当x∈[0，平]时， ur+e[,翠+]， 所以+平≥，即>3. 综上，ω的最小值为4. 第二讲」 三角恒等变换 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.C解析：os登os吾+ows危si=osos吾十 如晋n青-o(段-吾）=os冬- 2 2BD解析：osa-5na=2(号osa-号sn。)= 2(cos acos-sini号）=2cos(a+5）=2sin(g-a): 3A解折：“m6的-，原式-甲0紧 tan(60°-18)=tan42°. 题组二 1.D解析：os。=2os号-1=2X(停）'-1=-号， 因为0<a<元，所以受<a<元，则sina=V-cosa V-(-)-, 则血(。登)=mao至-ossn子=告×号 (-)×9-语 2.-6 解析： sin 2a-cos'a= 2sin acos a-cos'a 1+cos 2a 1+2cos2a-1 2sin acos g cos'g-tan a6 1 5 2cosa 题组三 1.B解析：，在△ABC中，sin Asin B<cos Acos B,∴.cos(A+ B)>0,∴.cosC0,则C为钝角，故△ABC是钝角三角形. 2子解折：am=ama十)-a=骨9动2 1 3 1+7× =1.又Bc(0,g=至 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 B解析：sn(a-)=smo0sB-co8 asin B=-弓，in B 专sin产号，smle叶A0=in叶case号， .∴.cos(2a+23)=cos2(a+B)=1-2sin2(a+3)=1-2X (号)》=日 【备考这样练】 1.A解析：由cos(a十B)=m得cos acos B-sin asin B=m①， 由tan atan月=2得0as0g=2②，由①@得 cos acos B cos acos -m,cos a)-cos acos sin asin B sin asin B--2m, -3m.故选A 2D解析：“0sa=1-2an号-1生5，e为机角， 4 2