专题二 第四讲 数列综合问题-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

×()”=×-(侵)门 -n×(3)》=1 12 (1+2)(2)”, 即T.=2-(2+w(3)”,m∈N 【备考这样练】 1.解：(1)4Sn=3an十4①， .当n≥2时，4S-1=3a-1+4②， 则当n≥2时，①-②得4an=3an-3a-1,即a.=-3a-1· 当n=1时，由4Sn=3an+4得4a1=3a1十4，∴.a1=4≠0， ∴.数列{an}是以4为首项，一3为公比的等比数列， ∴.an=4X(-3)-1. (2)方法一（错位相减法）： b.=(-1)1nan=(-1)1nX4×(-3)"-1=4n·3-1, .Tm=4×3°+8×31+12×32+…+4n·3m-1, .3Tn=4×31+8×32+12×33++4n·3", 两式相减得-2T=4十4(3+32+…+3-1)-4n·3”=4+ 4×31-3-4m·3”=-2+(2-4m）·3, 1-3 .T=1+(2n-1)·3". 方法二（裂项求和）： b.=(-1)1a.=(-1)-1nX4X(-3)-1=4n·3-1, 令b,=(kn十b)·3m-[k(n-1)+b]·3, 则b.=(kn+b)·3"一[k(n-1)+b]·3-1=3m-1[3kn+3b- (n-1)-b]=(2kn+2b+k)·3-1, ÷路十解得合2、 即6=(2n-1)·3-[2(n-1)-1]·3-1=(2m-1)·3m (2n-3)·3w1, .Tn=b1+b2+b3++bn=1×31-(-1)X3°+3X32-1X 31+5X33-3×32+…+(2m-1)·3m-(2m-3)·3m-1= (2m-1)·3m-(-1)×3°=(2n-1)·3m+1. 2.解：(1)a2=5,a3=7. 猜想am=2m十1. 证明如下：由已知可得 a+1-(2n十3)=3[an-(2n+1)], an-(2n+1)=3[a-1-(2n-1)], …ッ a2-5=3(a1-3). a1=3,∴.an=2n+1. (2)由(1)得2"am=(2n+1)2, .S.=3×2+5×22+7×2+…+(2n十1)×2.① 从而2S.=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2+1.② ①一②，得 -Sn=3×2+2X22+2×23+…+2×2m-(2n+1)×2m+1. ∴.Sm=(2n-1)2+1+2. 第四讲 数列综合问题 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 (1)证明：设数列{an}的公差为d, a十d-26=a1+2d-46, a+d-2b1=8b1-(a1+3d), 解得么=a=号，“原命题得证 (2)解：由1知，6=a=号， ∴.be=an十abX2-1=a1+(m-l)d+a1, 即2*-1=2m,亦即m=2-2∈[1,500]，解得2≤k≤10， ,满足等式的解k=2,3,4,…,10, 故集合{k|b=am十a1,1≤m≤500}中的元素个数为10 2+1=9. 【备考这样练】 1.A解析：设等差数列的首项为a1,公差为d,则a3=a1十2d, a=a1十6d.,a1,a3,a1成等比数列， ∴.(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=2d. ∴=2+d3 2d-21 2.①③④解析：对于①：由题知am,bn是关于n的一次式，对应 的函数为一次函数，即点(n,an),(nb)分别在两条斜率均不 为0的直线上，而这两条直线最多有1个交点，∴M中最多有 1个元素，.①正确 对于②：不妨取an=2”,bn=(-2)”,则有a2u=22=4,bs= (-2)=4(k∈N),∴.a2=b(k∈N),此时M中有无数个 元素，②不正确. 对于③：由①知点(n,an)在一条斜率不为0的直线l。上.设b =bq1(q≠1)，当公比q>0时，直线l与数列{bn}对应的函 数的图象至多有2个公共，点，M中最多有2个元素；当q<一1 时，点(n,bn)在如图所示的曲线C,C2上，由图易知直线l与 曲线C1,C2至多有3个公共点，如当am=3n一4，bn=一1X （-2)1时，a1=bi=-1,a2=b=2,a4=b4=8,两个数列有3 项相同，∴M中最多有3个元素； G 当q=一1时，易知M中最多有2个元素；当一1<g<0时，易 知M中最多有3个元素.综上可知，当{an}为等差数列，{bn》 为等比数列时，M中最多有3个元素，③正确 对于④：若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则它们对应的函 数分别为单调递增函数和单调递减函数，两个函数图象的公 共点最多有1个，.M中最多有1个元素，.④正确.综上可 知，正确结论的序号为①③④ 3.解：(1)设{an}的公比为q, 则996得 a1=-2, 故{an}的通项公式为a.=(-2)”. 2②)由1得8212-号+(-1少2 1-9 3 由于S+81=-音+(-1D.22 3 -号+-w]-28, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列. 考点二 【高考这样考】 a.-6,n=2k-1'keN, (1)解：设等差数列a.的公差为d,a=2a,m=2, 则b6=a-6,b2=2a2=2a1+2d,bg=a-6=a1+2d-6, 会如十话记16意得份2 d=2, .an=a1+(n-1)d=2m+3, ∴.数列{an}的通项公式是an=2n十3. （2)证明：方法一：由1)知，S.=n5+2+3》=+4,6.= 2 /2m-3,n=2k-1k∈N l4n+6,n=2k, 当n为偶数时，b-1+b.=2(n-1)-3+4n十6=6n十1，T.- 13+t》.号=多+子 2 当心5时，工-S=(多t+子n）-d+n=2m-1>0, ∴.Tm>Sn 当n为奇数时，工，=T+1-b1=是(m+1)2+子(n+1) [4+1D+6J=号r+2n-5 当心5时，T工。-S.=(8i+8n-5）-(i+4m=号(n+ 2)(n-5)>0,.Tm>Sn. 综上，当n>5时，T>Sn J2n-3,n=2k-1k∈N. 方法二：由(1)知，S.=+4n,6.={4n+6,n=2k, 当n为偶数时，Tn=(b十b十…十b-1)十(b2十b十…十b,)= -1+2g》-3.受+4++6.受=多+ 2 2 当心5时，T.-S=(号t+子）-(+4n=号m-10>0, ∴.T>Sn 当n为奇数时，若n≥3，则Tn=(b+b+…十bn)+(b2+ 6++61)=-1+2-3.时1+14+4g-D+6.” 2 2 2 号0+号-5，显然T=6=-1满足上式， ∴当n为奇数时，工，=号+号-5， 当>5时，工.-5.=(3r+号n-5）-(+4m）=2(n+ 2)(n-5)>0,.Tm>Sn 综上，当n>5时，T>Sn 【备考这样练】 1.B解析：因为λ∈[0,1]，a.>0,b>0,所以λan≤a.,(1一λ)bn≤ bn,且二者等号不同时成立，所以cn=Aan十(1一λ)bn<am十 bn,所以只需考虑a一bn|<cm是否对入∈[0,1]都成立.当 2≤an≤5时，am>bn,cn=bn十1(am一b.)∈[bn,an],所以只需 b>a.-ba,即2b.>am,即2+1>10n-9,n取4,5时满足.当 n=1或n≥6时，an<bn,cn=bn+入(an-b)∈[an,bn],所以只 需am>b.一an,即2an>bn,即2-1<10n-9,n取6时满足.综 上，满足条件的n有3个. 2.(1)解：设{an}的公比为q(q>0),则1十q=q-1,得q=2, 8= =2"-1. (2)(1)证明：由(1)知，a=21, ∫k,n=2-1, 6-(6i+2,2<n<2,∈N 当n=a+1=2时，b.=k+1, b.-1=bg-1=b2-2+2k=b2-3+4k=…=b2+2k·(2k-1-1) =k十2k·(2-1一1)=k·2一k, ∴.b.-1-a4·bn=k·20-k-(k十1)2-1=(k-1)2-1-k. 设f(x)=(x-1)2-1-x,x≥2，则f(x)=21+(x-1)2-1 ln2-1≥2+2ln2一1>0，∴.f(x)在[2，十o∞)上单调递增， f(x)≥f(2)=0, .b.-1-a·bn≥0，即bm-1≥ak·bn. （i)解：令k=1,得b=1,令k=2,得b2=2,b=b2十2k=6, 令k=3,得b=3,6s=b+2k=9,bs=b十2k=15,b,=b十2k =21, ∴.b,b+1,…,b1是一个以为首项，2k为公差的等差 数列. bg1=k,由(i)知b2-1=k·2一k,∴.b21十b2+1十…十 附-1=：2,2=k41, 2 ∴26，-写6，=h+i+…+br-1=1X40+2X4+…+n× 41,42b:=1×4+2×4+…+n×4", 两式相减，得一3空6，=4+4+…十1一·=二号 4=-…4=(兮-小4-3， 3 26.=(3-号)·4+日 考点三 【备考这样练】 1.D解析：由题意可知分段函数为增函数，且f(8)>f(7),即 3-a>0, a>1, 解得2<a<3,故实数a的取值范围是 a8-6>(3-a)X7-3, (2,3). 2D解析：由题意得2m-5m+3=1,解得m=2或m=.当 m=之时，)=2为偶函数，不合题意；当m=2时，f()= x立为非奇非偶函数，符合题意.故a.=fm十十fm n+i+Wn=+I-历，则S=2-1+3-2+…十 √2021-√2020=√2021-1. 专题三三角函数与解三角形 第一讲三角函数的图象与性质 【知识清单·精谁记忆】 【自主检测】 题组 1.AC解析：.sin0·cos>0,.sin0<0,cos0<0或sin> 0,cos>0,∴.0的终边在第一象限或第三象限. 2.A解析：由三角函数的定义，得c0sa=-⑤， 5,sina=-25 5 因光血&一。一停 3.B解析：.sin(-110)=-sin110°=-sin(180°-70) -sin70=a,.sin70°=-a,.cos70°=√1-(-a)2= √1-a,∴.tan70°=sin708 a c0s70° √1-a 题组二 1.A解析：由题困可知，A=2,T=2号-（-否)门]=π，∴w 2.由函数图象经过点（号，2），得2sim(2×号十9)=2， ∴2×3+g-受+2km,k∈Z∴9--吾+2km,k∈Z:l9l< 受，9=-晋函数的解析式为y=2sin(2x-否） 2.B解析：.f(x)=sin wx∈[-1,1]，且f(x1)=-1,f(x2)= 1,一m=受，心f(x)的最小正周期T=2×受=元， w牙=2. 3号解标：画数)y一sx纵坐标质亮赞。标变为，=s弓 原来的2倍 ω-2艺术生文化课考前100天数学 第四讲 数列综合问题 ◆方法清单·把控高考◆ 考点一 等差、等比数列的简单综合问题 2.(2024·北京卷)设{am}与{bn}是两个不同的 【高考这样考】 无穷数列，且都不是常数列.记集合M={k (2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列， a=b,k∈N*},给出下列四个结论： {bn}是公比为2的等比数列，且a2一b2=a3 ①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多 b3=b4-a4. 有1个元素； (1)证明：a1=b1; ②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多 (2)求集合{k|b=am十a1,1≤m≤500}中元 有2个元素； 素的个数. ③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是 3.记Sm为等比数列{an}的前n项和，已知S2= 2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式： 【方法规律】等差、等比数列的综合问题的解 (2)求Sn,并判断S+1,Sm,Sm+2是否成等差 题技巧 数列. (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基 本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、 前n项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”， 灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.求 解过程中注意合理选择有关公式，正确判断 是否需要分类讨论 (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是 可以相互转化的，即{an}为等差数列台{can} (c>0且c≠1)为等比数列；{an}为正项等比 数列台{logan}(c>0且c≠1)为等差数列， 【备考这样练】 1.若等差数列{an}的公差d≠0且a1,a3,a成等 比数列，则等于() A. D.2 22 专题二数列 考点二 数列与不等式的综合 2.(2024·天津卷)已知数列{an}是等比数列，公 【高考这样考】 比大于0，其前n项和为Sm,若a1=1,S2= (2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列， a3-1. 「an一6，n为奇数， (I)求数列{an}的前n项和Sm; on= 记Sn,Tm分别为数列 (2am,n为偶数， k,n-ak, (2)设bn= k∈N*. {an},{bn}的前n项和，S4=32,T3=16. bn-1十2k,a<n<ak+1 (1)求{an}的通项公式； (i)当k≥2，n=a+1时，求证：b,n-1≥ak·bn; (2)证明：当n>5时，Tm>Sm （i)求26. 考点三 数列与函数的综合 【方法规律】数列与函数的综合问题主要有以下 两类 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一 般利用函数的性质、图象来解决 (2)已知数列条件，解决函数问题，此类问题一 【方法规律】数列与不等式的交汇问题 般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所 (1)函数法：即构造函数，通过函数的单调性、 给条件化简变形. 极值等得出关于正实数的不等式，通过对关 【备考这样练】 于正实数的不等式赋特殊值得出数列中的不 (3-a)x-3,x≤7， 等式 1.已知函数f(x)= 若数列 a'6,x>7, (2)放缩法：数列中的不等式可以通过对中间 {an}满足an=f(n),n∈N*,且{an}是递增数 过程或者最后的结果放缩得到. 列，则实数a的取值范围是() (3)比较法：作差或者作商进行比较 【备考这样练】 A[3 B(3) 1.(2025·上海高考)已知数列{an},{bn}, C.(1,3) D.(2,3) {cn}的通项公式分别为am=10n-9,bn=2", 2.已知幂函数f(x)=(2m2-5m十3)x是非奇 cm=λam+(1-入)bn.若对任意的入∈[0,1]， 非偶函数，令am 1 am,bm,cn的值均能构成三角形，则满足条件的 f(n+1)+fmn∈N),记 正整数n有() 数列{an}的前n项和为Sn,则S2o2o=( A.4个 B.3个 A.√2020+1 B.√2020-1 C.1个 D.无数个 C.√2021+1 D.√/2021-1 -23