专题二 第二讲 等差、等比数列-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

第二讲 等 ◆知识清单 【基础梳理】 1.等差数列的有关公式 (1)通项公式：am=a1+(n-1)d. (2)通项公式的推广：an=am十(n-m)d(n, m∈N*). (3)前n项和公式：S.=a+n(n,1Dd= 2 n(a+tan) 2 2.等差数列的性质 (1)若{an}为等差数列，且k十l=m十n(k,l, m,n∈N*),则ak十al=am十an (2)若{an}是等差数列，公差为d,则a,a+m, a+m,…(k,m∈N*)是公差为d的等差 数列. (3)若{an},{bn}是等差数列，则{pam十qbn}也 是等差数列： (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列 Snm,S2m一Snm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差 数列，公差为md. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列 (停也为等差数列 3.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1g. (2)前n项和公式： na1,q=1, S= a(1-q2=1-a9,g≠1. 1-9 1-q 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：am=am·gm(n,m∈ N*). (2)若{an}为等比数列，且k十l=m十n(k,l, 专题二数列 差、等比数列 精准记忆◆ 。 m,n∈N*),则ak·a=am·an. (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则 {λan}(≠0)， a,a·6.,侵}仍是 an 等比数列 (4)在等比数列{am}中，等距离取出若干项也 构成一个等比数列，即an,an+k,an+2,an+3,… 成等比数列，公比为g. (5)若公比不为一1的等比数列{an}的前n项 和为Sm,则Sm,S2n一Sm,S3m一S2m,…成等比数 列，其公比为g, 【自主检测】 题组一等差数列 1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列， 若a2=4,a4=6,则d等于( A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差 中项是5，则m和n的等差中项是() A.2 B.3 C.6 D.9 3.已知在等差数列{an}中，a7十ag=16,a4=1, 则a12的值是 4.(2025·上海高考)已知等差数列{an}的首项 a1=一3，公差d=2,则该数列的前6项和为 题组二等比数列 1.在等比数列{an}中，a1= 29= a.=2则 1 n=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如果一1，a,b,c,一9成等比数列，那么() A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 艺术生文化课考前100天数学 3.在等比数列{an}中，an>0,且aa1o=27,则 log3a2十log3ag等于() A.9 B.6 C.3 D.2 ◆◆ 方法清单 考点一 等差、等比数列的基本运算 【高考这样考】 (2023·全国甲卷文)记Sn为等差数列{an}的 前n项和.若a2十a6=10,a4a8=45,则S5= () A.25 B.22 C.20 D.15 【方法规律】等差（比）数列基本运算的解题 途径 (1)设基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d (q)的方程（组），然后求解，注意整体计算，以 减少运算量. 【备考这样练】 考向1等差数列的基本运算 1.(2024·全国甲卷理)设Sn为等差数列{an}的 前n项和，已知S5=S0,a5=1,则a1=() A.? B c- n 2.(2022·全国乙卷)记S.为等差数列{a.}的前n 项和.若2S3=3S2十6，则公差d= 3.(2024·新高考Ⅱ卷)记S.为等差数列{am}的 前n项和，若a3十a4=7,3a2十a5=5,则S10= 一考向2等比数列的基本运算 1.(2023·全国甲卷理)已知等比数列{an}中， a1=1,Sn为{an}的前n项和，S=5S3一4，则 S4=() A.7 B.9 C.15 D.30 2.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3 项和为168，a2一a5=42,则a6=(） A.14 B.12 C.6 D.3 4.(2025·全国I卷)若一个正项等比数列的前 4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的 公比为 把控高考 3.(2023·全国乙卷理)已知{an}为等比数列， a2a4a5=a3a6,aga10=-8,则a7= 4.(2024·北京卷)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是 龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中 升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆 柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等 比数列，底面直径依次为65mm,325mm, 325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器 的高为 mm,升量器的高为 mm.（不计量器的厚度) 考点二 等差、等比数列的性质 【高考这样考】 (2025·北京高考)已知{am}是公差不为0的 等差数列，a1=一2，若a3,a4,a6成等比数列， 则a10=() A.-20B.-18C.16 D.18 【方法规律】等差、等比数列性质问题求解策略 (1)抓关系：抓住项与项之间的关系及项的序 号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的 性质进行求解。 (2)用性质：数列是一种特殊的函数，具有函 数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用 函数性质解题 【备考这样练】 考向1等差数列性质的运用 1.(2024·全国甲卷文)已知等差数列{an}的前 n项和为Sn,若S9=1,则a3十a7=() A.-2 B子 C.1 n号 2.(2025·全国Ⅱ卷)记Sm为等差数列{an}的前 n项和，若S3=6,S=一5，则S6=() A.-20B.-15C.-10D.-5 一考向2等比数列性质的运用 1.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前 n项和.若S2=4,S4=6,则S6=() A.7 B.8 C.9 D.10 2.在等比数列{an}中，如果a1十a2=40,a3十 a4=60,那么a7十a8=() A.135 B.100C.95 D.80 3.(2023·山东枣庄模拟)已知等比数列{an}满 足a2十a4+a6十as=20,a2·as=2,则1十 a2 1+1十1的值为( ) as a6 A.20 B.10 C.5 D. 考点三 等差、等比数列的判定与证明 【高考这样考】 题(2021·全国甲卷)记Sm为数列{am}的前n项 和，已知an>0,a2=3a1,且数列{√S}是等差 数列.证明：{an}是等差数列. 【方法规律】判定和证明数列是等差（比）数列 的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证 a+1a(或a）为与正整数n无关的某- 常数 (2)中项公式法： ①若2an=am-1十a+1(n∈N*,n≥2)，则{an} 为等差数列； ②若a品=am-1·a+1≠0(n∈N*,n≥2)，则 {an}为等比数列. 专题二数列 【备考这样练】 考向1等差数列的判定与证明问题 1.已知数列{an}中，a1=1,Sm为数列{an}的前n 项和，且当≥2时，有。2天=1皮立，则 S2024= 2.已知数列{am}的各项均为正数，前n项和为 Sm,且满足2Sm=a7十n-4(n∈N*). (l)求证：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 考向2等比数列的判定与证明问题 1.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3am一 6,则a6=() A.2X36 B.2X37 C.6×2 D.6×2 2.已知各项都为正数的数列{an}满足am+2= 2an+1+3am. (1)证明：数列{an十a+1}为等比数列； (2)若a=方a=多，求a.}的通项公式由于a1也适合此等式，.am=4n一5. 2.{2X3,≥2解析：当n=1时，a=S=3+1=4 当n≥2时，a.=S.-Sn-1=(3m+1)-(31+1)=2X3-1. 当n=1时，2×3-1=2≠aa.={2X3,≥2. 14,n=1, 3.解析：a十3a十3a十…+3a.=号，① 则当心2时a+3a,+3a,十叶3a1=”写，回 ①-②得3a,=了∴a,=安≥2). 由题意知a=子符合上式，a,= 考点二 【高考这样考】 C解析：a1=2,a+n=anan,令m=1,则a+1=a1an=2an, ∴.{an}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，∴.an=2X21= 2.又：a41十a42十…+4+0=25-，210二2）=25 1-2 25,即2+1(20-1)=25(210-1)，∴.2+1=25，∴.k+1=5,∴.k=4. 【备考这样练】 考向1 1.C解析：方法一：由已知可知，a=1,a2=2,a=2京，a= 安，a=。 方法二a品8…台·会a=(号)1 an-1 an-2 () 2品解析：由条件知会-吊分别令=1,23…，1一1， 代入上式得-1个幸式，脚会·品·8…品=合× a1 az a3 号×是X…×”,即会=是又a=号ia=品 2 2 3.+十2解析：由条件知a1-a,=n十1，则a=(a一a)+ (a-a)+(a-a)+…+(an-a-1)+a1=(2+3+4+…十 m)+2=m+n+2 2 4.4-及解析：a1一a,一n(m+一元一n中' 111 当≥2时a-a品 a-a-42n,a-a=1-2, 以上各式相加，得a-a=1- a=4-又a=3道合上式，a=4- n 考向2 1.an=2·31-1解析：a+1=3an十2，.a+1十1=3(an十 D2=8数列a十1为等比安到公比g=品.又 a1十1=2，.an十1=2·3-1，an=2·31-1. 2吊解折4=224=160。=十 合南动士=合又a=1,则哈=1}是以1为省 "a 项，合为公送的等基数到，小这-日十a-1)X号-号十 合a异 考向3 1.D解析：a=合a=2,as=-1,a=分=2，%=-1， 1 …,归纳得an+3=au,.a2024=a3x64+2=a2=2. 2.号解析：计算得@=2a-1=号，=2a-1-号，4=2a= 号.故教列{口，}是以3为周期的周期教列。 又“2017=672X3+1,∴am=a=号. 第二讲 等差、等比数列 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.D解析：，a4-a2=2d=6-4=2,.d=1. 2.B解析：由题意知，2n十m=8,2m十n=10,两式相加得3m+ 3n=18,m十n=6,∴.m和n的等差中项是3. 3.15解析：方法一：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 a1+6d+a1+8d=2a1+14d=16.① a+3d=1.② 联a0@,得a=-d=子au=a+1d=15, 7 方法二：a1十=a4十a12,.a12=16-1=15. 4.12解析：设该教列的前n项和为S.,则S=6a,+65d= 2 -18+30=12. 题组二 1C解标：a=a号×（合）=2即（合）广- （合)，解得=5， 2.B解析：：=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号，b= 一3，且a,c必同号，.ac==9. 3.C解析：a2a=aa1o=27,∴.loga2十log3a=log27=3. 4.2解析：设等比数列为{an},其公比为q,前n项和为Sm. 因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0. 又5=4，S=68,所以g≠1.由S=4得4）=4①. 1-9 由8=8臀2=68@器将号-婴=1，所 1-q 以g=16.又q>0,所以q=2. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 C解析：设等差数列{an}的公差为d,(d≠0)， 因为a3,a4,a6成等比数列，且a1=一2， 所以a=aa6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d =2或d=0(舍去)， 所以a1o=a1十9d=-2+9×2=16. 【备考这样练】 考向1 1.B解析：由S,=S,得5(a十a）=10ca,十a),5a,= 2 2 5la十a,ias=0,公差d-gg=-号a=a一4d= 1-4×(-号)=子故选B 2.B解析：设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 |3a1+3d=6∫d=-3 5a+10d=-53{a=5, 所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15. 3.95解析：设{an}的公差为d,由a十a4=a1十2d+a1十3d= 2a+5d=7,3a2+as=3(a1+d)+a1+4d=4a1+7d=5,解得 a=-4,d=3,则So=10a,十45d=95. 考向2 1.C解析：在等比数列{an}中，设公比为q,由题意知1十q十 q+q+g=5(1+q十d)-4,即q+g=4q十4d,即g+d 4q-4=0,即(q-2)(q十1)(q十2)=0.由题意知q>0,.q 2,∴.S4=1+2+4+8=15. 2.D解析：设{an}的公差为d,d≠0，因为a,a4,as成等比数 列，所以(a+3d)2=(a1+2d)(a1+5d),即a1十d=0.因为a1 =一2，所以a0=a1十9d=16.方法一：设等比数列的公比为 g,g≠0，由题意，g≠1，则a4十ag十a=02）=168,a4- 1-g as=a1q-a1g=a1q(1-q)=42,联立两式解得q=2,a1= 96,则a,=a=96×2=3. 方法二：设等比数列的公比为q,q≠0，则a1十a2十a3=a1(1十 q十q)=168,a2-a5=aq-a9=a9(1-q)=42,∴.q(1- g)=},解得g号a1=96,a=af=96X2=3. 3.-2解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4as= a3a6=a2q·a5q,显然an≠0，a4=d,即aq=qd,a1q=1. aa0=-8,.aq·aq=-8,.q5=(q)3=-8= (-2)3,.q=-2,∴.a,=aq·q=q=-2. 4.2357.5解析：设升、斗量器的高分别为hmm,h2mm,升、 斗、斛量器的容积分别为V1mm,V2mm,Vmm3.,升、斗、 斜量器的容积成公比为10的等比数列，.V3=10V2,即π× (32罗)×230=10×x×(2)°×，解得：=28.又V,= 10M1,即x×(25）'×23=10×π(2)'X,M=57.5, .升、斗量器的高分别为57.5mm,23mm. 考点二 【高考这样考】 C解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为a,a4,a6成等比数列，且a=一2， 所以a=aa6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得 d=2或d=0(舍去)， 所以a1o=a1+9d=-2+9×2=16. 【备考这样练】 考向1 l.D解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d,由S=9a十 9X8d=9(a+4d=1,得a十4d=日，则a+a=a,+2a am+6d=2a十8d=2(a十4d0=号.故选D 方法二：(a}为等差教列，S-9(aa》-9u=1,得as 2 =日，则a十a,=2a,=号故选D 2.B解析：设等差数列{a.}的公差为d,则由题可得 微十6，解号任二2 /3a1+3d=6, 所以Ss=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15. 考向2 1.A解析：方法一：设等比数列{a.}的公比为q,则由等比数列 s,=0)=4,0 的前n项和公式得 1-9 3,-02=6.② 1-9 ②÷①，得1十d=2,解得g=合代入①得是g8. s-a9g2-2g1-门8×(1-8）=7， 1一9 方法二：等比数列{an}的前n项和有如下的性质：S2,S4一S2, S-5,…成等比教列，且公北g-三。S=宁则S-S S2 1 (S4-S2)·g=(6-4)×2=1,S=S2+(S-S)+ (S6-S4)=4+2+1=7. 2.A解析：由等比数列的性质知，a1十a2,ag十a4,a5十a6,a十 成等比餐列，其首项为40，公比为8-=号，十a=40X ()）°=135. 3.B解析：在等比数列{a}中，由等比数列的性质可得a4·a= ·a=2,∴1+1+1+1=+a+4+a= as as as +at+-9-10. azas 考点三 【高考这样考】 证明：设等差数列{√Sn}的公差为d, 则d=√S-√S=v√a+a2-√a=√4a1-√a=√a, ∴.√S.=√a+(n-l)d=√a+(n-l)√a=nva1, ∴.Sn=na1. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=ma1-(n-1)2a1=(2n-1)a. ∴.am-an-1=(2n-1)a1-[2(n-1)-1]a=2a1, ∴数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列. 【备考这样练】 考向1 120解折：当心2时，由.32复=1，得2(8-S1) 2 （8-88-笑=-s1爱-=1又爱=2， “侵}是以2为首项，1为公差的等差数列，受=叶1，故 2 2 S=n千1，则Sa=2025 2.(1)证明：当n=1时，有2a1=a十1-4，即a-2a1-3=0,解 得a1=3(a1=-1舍去). 当n≥2时，有2S。-1=a2-1十n-5,又2S.=a2+n-4, 两式相减得2an=a一a1十1，即a一2am十1=a1,也即 (an-1)2=a2-1, 因此an-1=an-1或an-1=-a-1 若an-1=-an-1,则an十an1=1. 而a1=3,'.a2=一2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾， ∴.an-1=aw-1,即an一am-1=1, 因此数列{a,}是首项为3，公差为1的等差数列. (2)解：由(1)知a1=3,d=1,.数列{an}的通项公式为an 3+(n-1)×1=n+2. 考向2 1.A解析：2Sn=3an-6,.2Sn+1=3a+1-6,两式相减得 2at1=3a+1-3an,即at1=3am.2S=3a1-6,a1=6, .{am}是以6为首项，3为公比的等比数列，∴.a6=6×35= 2×36. 2.(1)证明：a+2=2a+1十3a, ∴.a+2+an+1=3(a+1十an). .数列{an}中各项均为正数， a41十a>0,at+021=3, ar+1十an ∴.数列{an十an+1}是公比为3的等比数列. (2)解：由(1)知数列{a,十a+i}是以a十a2为首项，3为公比 的等比数列，且a=2a=号 则an十a+1=(a1十a2)31=2X3-1. a+2=2a+1十3am, …an+2-3a+1=-(a+1-3an）=(-1)2(an-3an-1)=…= (-1)"(a2-3a1). 又a2-3a1=0,.a+1-3an=0, 故a1=3a4a=2X3r-,a.=号·3 第三讲数列求和 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 解：(1)由题意，得 b1=a2=a1+1=2,b2=a4=ag十1=a2+2十1=5. 易得a2+a=a2a+1十1，a2+1=a2n十2， ∴.a2+2=a2n十3，即b+1=bn十3， ∴.bn=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)可得a2n=3n-1, a2-1=a2m-2十2=b,-1十2=3n-2. ∴.a9=3×10-2=28,a20=3×10-1=29. .{an}的前20项的和为 (a+ag+…+a9)+(a2十a4+…+ao) =1+28×10+2+29×10=300. 2 2 【备考这样练】 1.C解析：因为S,=-n2+8n, 所以当n=1时，a1=S=-12+8X1=7, 当n≥2时，am=S.-S.-1=（-2+8n)- [-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9, 经检验，a1=7满足上式， 所以an=一2n十9，令an=一2n十9≥0，得n≤4，an=一2n十 9≤0，得n≥5. 设数列{an}的前n项和为Tm, 则数列{am}的前4项和为T4=S4=一4+8×4=16； 数列{|an}的前12项和为 T2=|a|+|a2|+…+|a2|=a十a2十ag+a4-as-as- 一a12 =2S4-S2=2×16-(-122+8×12)=80. 2.解：(1)2S.=3a+1一3，∴.2S+1=3a+2-3,两式相减可得 2a+1=3a+2-3a+1, 即a=号a1等比数列a)的公比为号 2S=3a,-3=5a-3a=1,故a.=(号） (2):25.=3a1-3,s.=2(a1-10=2[(号）”-1]， 设数列{S}的前n项和为T,则T=2 3 [1-()] 1号 多m=×(停)”-昌m只 考点二 【高考这样考】 (1)解：a=1,S=a=1,S-1 a 又~{会}是公差为号的等差数列， ÷8=1+号m-10-2,∴s-叶2， An 3 3 六当n>2时，S1=n+a, 3 ∴a.=S-5.1=n+2a_m+1a, 3 3 整理得(n一1)a,=(n十1)a。1,即，=+} aw-1n-1 an-2 an1 ”2×a, 2 显然对于n=1也成立， 六{a,}的通项公式a,-(n 2 1+1+…+1 a a2 an =2[(1-)+(合-号)++（员）] =2(1-)<2 【备考这样练】 1.A解析：a+1一n十aa=1心(n+1)a+1=a心数列 m,}是每项均为1的常数列，0=1，a,=aa1 11 nm+)=元一n中心数列{aat}的前10项和为(} )+(合号)++（品-）=1-=品 2.(1)证明：：at1=3an-2ar-1(n≥2，n∈N“), bm=an+1一an, g-a2-aaa-2a）-2 anti-an an+1an an+1-an 又b1=a2-a1=2-1=1, 数列{石}是以1为首项，2为公比的等比数列。 (2)解：由(1)知b=1×21=2-1 cn=(4m-1)2 6-22m+i2mD-(2), 1 .Sn=G十c2十十c =(1-+-+…+22) 1 =(1-2）-2 考点三 【高考这样考】 解：(1).2Sn=nam,∴.当n=1时，2a1=a1,即a1=0；当n=3 时，2(1+a)=3a,即a3=2. 当n≥2时，2S1=(n-1)a-1, .2(S。-S-1)=nan-(n-1)an-1=2a, 化简得(a-2a,=(r-1a1当心3时二一=之- 受-1，即a.=n-1, 当n=l,2,3时都满足上式，.an=n-1(n∈N). T,=1×(2)}+2×(g）)°+3×(3）)+…+ nx(2)°， 2工.=1×（号）+2×（分）°+…+(m-1)×(分)“十 nx(2)》, 两式相减得2工.=(3)广'+(3)‘+(3)+…+（分）