专题二 第一讲 数列的概念与表示-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

专题二数列 第一讲 数列的概念与表示 ◆知识清单·精准记忆◆ 【基础梳理】 A.an-n B.an=n+1 1.数列通项公式与前n项和 C.an=n+2 D.an=2n 数列{an}的第n项am与序号n之间的 2.（多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项 通项 关系能用公式am=f(n)表示，这个公 公式可能是( 公式 式叫做数列的通项公式 A.an=-2n十1 B.an=-+3m+1 前n 数列{an}中，Sn=a1十a2十…十an叫 项和 做数列的前n项和 Ca,-是 D.an=(-1)m 2.数列的表示 3.已知aw+1一an一3=0，n∈N*,则数列{an》 是() 通项公式把数列的通项使用公式表示的方法 A.递增数列 B.递减数列 使用初始值a1和a+1=f(an)或a1, C.常数列 D.不能确定 递推公式 a2和an+1=f(an,am-1)等表示数列的 4.已知数列{an}的通项公式为an=(一1)”，则它 方法 的第8项是 ,第9项是 3.数列中an与Sn的关系 题组二数列中an与Sm的关系 若数列{an}的前n项和为Sm,通项公式为am, 1.(2023·江苏淮安模拟)设数列{am}的前n项 则a S1,n=1, 和Sn=n2+1,则as的值为( Sn-Snm-1,n≥2，n∈N*. A.8 B.9 C.10 D.11 提醒：由S.求am时，要注意分n=1和n≥2 2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2,则an= 两个步骤进行， 【自主检测】 3.若an=一n2+9n十10，则当数列{an}的前n项 题组一数列的通项公式 和Sm最大时，n的值为 1.数列3,4,5,6，…的一个通项公式为( 。方法清单·把控高考人 考点一 由am与Sn的关系求通项公式 (2-1)an=2n,则an= 【高考这样考】 【方法规律】已知Sm求am的步骤 (全国Ⅲ卷改编)设数列{an}满足a1十3a2十…十 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n一1替换Sm中的n得到一个新的关 -15 艺术生文化课考前100天数学 系，利用an=Sn一Sm-1(n≥2)便可求出当n≥ 的通项公式是( 2时an的表达式； A.an=2n (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与 n≥2时的表达式合并. ca.-()》 【备考这样练】 1.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2一3n,则 2.已知数列a}满足a,=号a1n行74，则 an an= 2.已知数列{an}的前n项和Sm=3”十1，则an= 3.在数列{an}中，a1=2,a+1=an十n十1，则an= 3.设数列{an}满足a十3a2+3a3十…十31an= 1 4.在数列{a}中，a1=3,a+1=a.十m十D,则 3则a, 通项公式an= 考点二 数列递推关系的运用 ■考向2构造法求数列通项公式 【高考这样考】 1.已知数列{an}满足a1=1,am+1=3am十2，则数 题(2020·全国Ⅱ卷)在数列{an}中，a1=2, 列{an}的通项公式为 antn=anan.若a+1十ak+2十…十ak+10= 2.已知在数列(a,}中，a1=1,at12,42(n 215一25，则k=（ N*),则数列{an}的通项公式an= A.2 B.3 C.4 D.5 考向3数列的周期性 【方法规律】已知数列的递推关系求通项公式 的典型方法 1在数列a,}中，若a1=2a,=1一a 1-(n≥2， (1)当出现an=a-1十m时，构造等差数列. n∈N*),则a2o24的值为() (2)当出现am=xam-1十y时，构造等比数列. A.-1 R司 C.1 D.2 (3)当出现am=am-1十f(n)时，用累加法 求解。 1 2an,0≤am<2, (4④当出现。，=fm)时，用累乘法求解 2.已知数列{an}满足a+1 2an-1,2≤am<1, 【备考这样练】 考向1累加法、累乘法求数列的通项公式 若e1=号，则aa 1.已知数列ia.中，a=1,-2则数列a —16本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， 3,0,3,5,4,5,共10种.P=品-号 1 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 C号=21（种）不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2,4)， (2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，故所求概 率p2=号 21 【备考这样练】 1.A解析：用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙两人每人抽取 1个主题共有6×6=36（个）不同结果，它们等可能，其中甲 乙抽到相同主题的结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)， (6,6),共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果 有30个，概率P-器-吾 2.C解析：从6张卡片中无放回抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1， 4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种情况，其中数字之积为4 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种 情况，故概率为号号。 3号解析：从正方体的8个顶点中任取4个，有n=C= 70(个)结果，这4个点在同一个平面的有m=6+6=12(个)， 故所求概率P=m=12=6 -n7035 3 4.0解析：从5名同学中随机选3名的方法数为C=10,甲、 乙都入选的方法数为C=3,甲、乙都入选的概率P=0 3 考点二 【高考这样考】 B解析：画出树状图： 丙丁乙丁乙丙 丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲 甲 甲 丙 N 乙丁甲丁甲乙 乙丙甲丙甲乙 丁乙丁甲乙甲 丙乙丙甲乙甲 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头， 且甲或乙在排尾的排法共有8种，∴所来概率为员=子故选 24 B. 【备考这样练】 1.D解析：依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇 演，总的基本事件有C?=6(件)，其中这2名学生来自不同年 级的基本事件有CC=4(件)，∴.这2名学生来自不同年级的 概率为告=号 2.C解析：将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小 盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好 有3个小球有G种放法，故所求概率为是=品 3.D解析：分配方案共有CA种，恰好一名女生和一名男生 分到甲注区的分法有种，故所条板单龄=日 4.A解析：由题意可知m=(a,b)有C4×C=12(种)情况. :mLn,即m·n=0,.aX1十bX(-1)=0,即a=b,满足条 件的有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求的概率为6 5.2解析：甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，四 轮比赛后，甲的总得分最多为3分. 若甲的总得分为3分，则甲出卡片3,5,7时都赢，∴.只有1种 组合：3-2,5-4,7-6,1-8. 若甲的总得分为2分，有以下三类情况： 第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3一2,5 4,1-6,7-8: 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3一2,74,1一6,5一8或 3-2,7一4,1一8,5一6或3一2,7一6,1一4,5-8，共3种 组合； 第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5-2,7-4,1-6,3-8或 5-2,7-4,1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7- 2,1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7一6,1-8， 3-4或5一4,7-6,1-2,3-8，共7种组合. 综上，甲的总得分不小于2分共有12种组合，而所有不同的 组合共有4×3X2×1=24(种)，.甲的总得分不小于2分的 概牵P-贵=子 专题二数列 第一讲数列的概念与表示 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.C解析：经验证可知，它的一个通项公式为an=n十2. 2.AC解析：可以通过画函数的图象一一判断.B有增有减，D是 摆动数列，A对应的函数是一次函数，且一次项系数小于0，故 为递减数列，C中的数列可以看成指数函数，也是递减数列. 3.A解析：a+1=an十3>au,nEN“,即该数列每一项均小于后 一项，故数列{an}是递增数列. 4.1一1解析：当n=8时，a8=(-1)8=1.当n=9时，ag= (-1)9=-1. 题组二 1.D解析：S6=62+1=37,S=52+1=26,故a6=S6-S= 37-26=11. 2{22解析：当≥2时，a=SS=一2)一 [(n-1)2-2]=2n-1; 当n=1时，a1=S1=1一2=-1，不满足上式. 1-1,n=1, 故a.={2n-1,m≥2， 3.9或10解析：.要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加 即可，即需am>0,-+9n+10>0,得-1<n<10.又n∈ N,∴.1≤n<10.又ao=0,.n=9或n=10. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 2m-1解析：“a1十3a2十…十(2n-1)a,=2m,故当n≥2时， 2 a1+3a2+…+(2m-3)a1=2(n-1). 两式相减得(2m1)a,=2,a,三2乙n≥2) 又由题设可得a1=2,满足上式，从而{am}的通项公式为 2 am=2n-1' 【备考这样练】 考向 1.4n-5解析：当n=1时，a1=S1=2-3=-1;当n≥2时， a.=S,-S.-1=(2m2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于a1也适合此等式，.am=4n一5. 2.{2X3,≥2解析：当n=1时，a=S=3+1=4 当n≥2时，a.=S.-Sn-1=(3m+1)-(31+1)=2X3-1. 当n=1时，2×3-1=2≠aa.={2X3,≥2. 14,n=1, 3.解析：a十3a十3a十…+3a.=号，① 则当心2时a+3a,+3a,十叶3a1=”写，回 ①-②得3a,=了∴a,=安≥2). 由题意知a=子符合上式，a,= 考点二 【高考这样考】 C解析：a1=2,a+n=anan,令m=1,则a+1=a1an=2an, ∴.{an}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，∴.an=2X21= 2.又：a41十a42十…+4+0=25-，210二2）=25 1-2 25,即2+1(20-1)=25(210-1)，∴.2+1=25，∴.k+1=5,∴.k=4. 【备考这样练】 考向1 1.C解析：方法一：由已知可知，a=1,a2=2,a=2京，a= 安，a=。 方法二a品8…台·会a=(号)1 an-1 an-2 () 2品解析：由条件知会-吊分别令=1,23…，1一1， 代入上式得-1个幸式，脚会·品·8…品=合× a1 az a3 号×是X…×”,即会=是又a=号ia=品 2 2 3.+十2解析：由条件知a1-a,=n十1，则a=(a一a)+ (a-a)+(a-a)+…+(an-a-1)+a1=(2+3+4+…十 m)+2=m+n+2 2 4.4-及解析：a1一a,一n(m+一元一n中' 111 当≥2时a-a品 a-a-42n,a-a=1-2, 以上各式相加，得a-a=1- a=4-又a=3道合上式，a=4- n 考向2 1.an=2·31-1解析：a+1=3an十2，.a+1十1=3(an十 D2=8数列a十1为等比安到公比g=品.又 a1十1=2，.an十1=2·3-1，an=2·31-1. 2吊解折4=224=160。=十 合南动士=合又a=1,则哈=1}是以1为省 "a 项，合为公送的等基数到，小这-日十a-1)X号-号十 合a异 考向3 1.D解析：a=合a=2,as=-1,a=分=2，%=-1， 1 …,归纳得an+3=au,.a2024=a3x64+2=a2=2. 2.号解析：计算得@=2a-1=号，=2a-1-号，4=2a= 号.故教列{口，}是以3为周期的周期教列。 又“2017=672X3+1,∴am=a=号. 第二讲 等差、等比数列 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.D解析：，a4-a2=2d=6-4=2,.d=1. 2.B解析：由题意知，2n十m=8,2m十n=10,两式相加得3m+ 3n=18,m十n=6,∴.m和n的等差中项是3. 3.15解析：方法一：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 a1+6d+a1+8d=2a1+14d=16.① a+3d=1.② 联a0@,得a=-d=子au=a+1d=15, 7 方法二：a1十=a4十a12,.a12=16-1=15. 4.12解析：设该教列的前n项和为S.,则S=6a,+65d= 2 -18+30=12. 题组二 1C解标：a=a号×（合）=2即（合）广- （合)，解得=5， 2.B解析：：=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号，b= 一3，且a,c必同号，.ac==9. 3.C解析：a2a=aa1o=27,∴.loga2十log3a=log27=3. 4.2解析：设等比数列为{an},其公比为q,前n项和为Sm. 因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0. 又5=4，S=68,所以g≠1.由S=4得4）=4①. 1-9 由8=8臀2=68@器将号-婴=1，所 1-q 以g=16.又q>0,所以q=2. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 C解析：设等差数列{an}的公差为d,(d≠0)， 因为a3,a4,a6成等比数列，且a1=一2， 所以a=aa6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d =2或d=0(舍去)， 所以a1o=a1十9d=-2+9×2=16. 【备考这样练】 考向1 1.B解析：由S,=S,得5(a十a）=10ca,十a),5a,= 2 2 5la十a,ias=0,公差d-gg=-号a=a一4d= 1-4×(-号)=子故选B 2.B解析：设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 |3a1+3d=6∫d=-3 5a+10d=-53{a=5, 所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15. 3.95解析：设{an}的公差为d,由a十a4=a1十2d+a1十3d= 2a+5d=7,3a2+as=3(a1+d)+a1+4d=4a1+7d=5,解得 a=-4,d=3,则So=10a,十45d=95.