专题一 第五讲 古典概型的概率计算-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共 有2×3×A=36(个). 2.B解析：不妨记5名志愿者分别为a,b,c,d,e,假设a连续参 加了两天服务，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与 星期日的服务，共有A好=12（种）方法，同理，b,c,d,e连续参 加了两天服务，也各有12种方法，.恰有1人连续参加两天 服务的选择种数为5×12=60. 3.288解析：先排队列的头和尾，有A子=12（种）排法，再排中 间的4人，有A=24(种)排法，则不同的排法有12×24=288 (种). 考向2 1.D解析：9个整数中共有4个不同的偶数和5个不同的奇 数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇 数和2个偶数，故不同的取法有C十C4十C号C=66(种). 2.120解析：①1男4女，CC=45(种)；②2男3女，CC 60(种)；③3男2女，CC%=15(种)...一共有45+60十15= 120(种). 3.16解析：从6位学生中任意选3人有C=20(种)选法，没有 女生入选有C4=4(种)选法，故至少有1位女生入选的不同选 法共有20一4=16（种）. 考向3 1.C解析：首先确定相同的读物，共有C种，然后两人各自的 另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排 列，共有A种，根据分步乘法计数原理，可得CA=120(种). 2.B解析：丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看作一个元素，连 同乙、戊看成三个元素排列，有3！种排列方式：为使甲不在两 端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位 置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2种排列方式..安排这5名同学共有3！×2X2=24(种)不 同的排列方式 3.C解析：可先将3名大学生分成2组，一组2人，一组1人， 共有C=3(种)分法，再将这两组分配到2个山村，有A虽= 2(种)分法，故共有3X2=6(种)分法. 4.24112解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同 的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共 有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数 均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一 个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法. 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1=24. 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数 字分别为1,2,3,4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数 字的最大值分别为1,3,3,5，故从第一行选21，从第二行选 33,从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最 大，故选中方格中的4个数之和的最大值为21十33十43十 15=112. 芳点二 【高考这样考】 A解析：方法一（公式法）：(x一√x)的展开式的通项为 T+1=C4xr(-√元)'=(-1)rCx+(r=0,1,2,3,4).由 4-乞=3，得r=2,(x-丘)的展开式中父的系数为 (-1)2C=6. 方法二（组合数法）：(x一√x)4的展开式中含x的项是由 (x一√x)(x一√x)(x一√x)(x一√x)中任意取2个括号内的 与剩余的2个括号内的（一√）相乘得到的，（题眼）∴(x √x)4的展开式中含x的项为Cx2·C(一√x)2=6x,.(x √x)4的展开式中x3的系数为6. 【备考这样练】 考向1 1.D解析：(2x一是)》'的展开式的道项为T1=C(2) (-广=(-10r2C,令5-2=1，得=2， (2x-子)'的展开式中x的系数为(-1D2CG=80, 2.C解析：由题意T,+1=C(2x)s-(一y)',当r=4时，x2y项 的系数是15×4=60. 3.一20解析：(x一1)展开式的通项公式为T+1=Cx5-,· （-1)',当r=3时，T4=Cgx3·(-1)3=-20x2,即(x-1)6 的展开式中x3项的系数为一20. 考向2 1.B解析：二项式系数的和是32，则2”=32，n=5.令x= 1,则展开式中各项系数的和为（一1）5=一1. 2.B解析：令x=1,则a十ag十a2十a1十a=1,令x=-1,则 a4-a十a-a十aw=(-3)=81,故4+a十a=181=41, 2 3.5解析：（号十z)的展开式的通项公式为T+:=C。· (3)x,则各项的系数分别为C(3)”,C(日)°，C· (3)°，c(3)',C(3)°，c(3),c(3),c· (日)'，C(号)，C(号)，C(号)°，观察发现二项式系 数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算C。· (),G(号)，c8(),G(3)广，G(号)， C(号)°，比较可得，C(号)=5最大. 考向3 1.B解析：(1十ax)3,(1-x)5的展开式中x的系数分别为 a3,C(-1)3,由题意可得a3-10=-2,即a3=8,解得a=2. 22的解折：（停+号）的展开式的通项为T:-C(停》厂 (传）广=C·3·24,令6k-18=0,则=3，常数项 为T4=Cg·3°·x°=20. 3.115解析：令x=0,则a=1. 又(1-2x)4=a-2a1x+4a2x2-8ax3+16a4x, 故(1-2x)=a+a1（-2x)+a2(-2x)2+a3(-2x)3+ a4(-2x)4,令t=一2x,则(1十t)4=a十a1t十a2十a3t十a4产， 令t=1,则十a1十a2十a十a4=24,故a1十a2十a十a4=l5. 第五讲古典概型的概率计算 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 1.D解析：一枚硬币连掷2次可能出现（正，正），（反，反），（正， 反)，（反，正）4种情况，只有一次出现正面的情况有2种，故 P=是-安 2.B解析：用树状图列举如图. ∴.事件总数有15种，由题意知小敏输入一次密码能成功的概 率为： 3.号解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取 法有6种，则所求概率为P= 62 55 4号解析：两数之和等于5有两种情况(1,0不(2,3)，总的基 本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， 3,0,3,5,4,5,共10种.P=品-号 1 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 C号=21（种）不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2,4)， (2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，故所求概 率p2=号 21 【备考这样练】 1.A解析：用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙两人每人抽取 1个主题共有6×6=36（个）不同结果，它们等可能，其中甲 乙抽到相同主题的结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)， (6,6),共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果 有30个，概率P-器-吾 2.C解析：从6张卡片中无放回抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1， 4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种情况，其中数字之积为4 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种 情况，故概率为号号。 3号解析：从正方体的8个顶点中任取4个，有n=C= 70(个)结果，这4个点在同一个平面的有m=6+6=12(个)， 故所求概率P=m=12=6 -n7035 3 4.0解析：从5名同学中随机选3名的方法数为C=10,甲、 乙都入选的方法数为C=3,甲、乙都入选的概率P=0 3 考点二 【高考这样考】 B解析：画出树状图： 丙丁乙丁乙丙 丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲 甲 甲 丙 N 乙丁甲丁甲乙 乙丙甲丙甲乙 丁乙丁甲乙甲 丙乙丙甲乙甲 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头， 且甲或乙在排尾的排法共有8种，∴所来概率为员=子故选 24 B. 【备考这样练】 1.D解析：依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇 演，总的基本事件有C?=6(件)，其中这2名学生来自不同年 级的基本事件有CC=4(件)，∴.这2名学生来自不同年级的 概率为告=号 2.C解析：将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小 盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好 有3个小球有G种放法，故所求概率为是=品 3.D解析：分配方案共有CA种，恰好一名女生和一名男生 分到甲注区的分法有种，故所条板单龄=日 4.A解析：由题意可知m=(a,b)有C4×C=12(种)情况. :mLn,即m·n=0,.aX1十bX(-1)=0,即a=b,满足条 件的有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求的概率为6 5.2解析：甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，四 轮比赛后，甲的总得分最多为3分. 若甲的总得分为3分，则甲出卡片3,5,7时都赢，∴.只有1种 组合：3-2,5-4,7-6,1-8. 若甲的总得分为2分，有以下三类情况： 第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3一2,5 4,1-6,7-8: 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3一2,74,1一6,5一8或 3-2,7一4,1一8,5一6或3一2,7一6,1一4,5-8，共3种 组合； 第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5-2,7-4,1-6,3-8或 5-2,7-4,1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7- 2,1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7一6,1-8， 3-4或5一4,7-6,1-2,3-8，共7种组合. 综上，甲的总得分不小于2分共有12种组合，而所有不同的 组合共有4×3X2×1=24(种)，.甲的总得分不小于2分的 概牵P-贵=子 专题二数列 第一讲数列的概念与表示 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.C解析：经验证可知，它的一个通项公式为an=n十2. 2.AC解析：可以通过画函数的图象一一判断.B有增有减，D是 摆动数列，A对应的函数是一次函数，且一次项系数小于0，故 为递减数列，C中的数列可以看成指数函数，也是递减数列. 3.A解析：a+1=an十3>au,nEN“,即该数列每一项均小于后 一项，故数列{an}是递增数列. 4.1一1解析：当n=8时，a8=(-1)8=1.当n=9时，ag= (-1)9=-1. 题组二 1.D解析：S6=62+1=37,S=52+1=26,故a6=S6-S= 37-26=11. 2{22解析：当≥2时，a=SS=一2)一 [(n-1)2-2]=2n-1; 当n=1时，a1=S1=1一2=-1，不满足上式. 1-1,n=1, 故a.={2n-1,m≥2， 3.9或10解析：.要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加 即可，即需am>0,-+9n+10>0,得-1<n<10.又n∈ N,∴.1≤n<10.又ao=0,.n=9或n=10. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 2m-1解析：“a1十3a2十…十(2n-1)a,=2m,故当n≥2时， 2 a1+3a2+…+(2m-3)a1=2(n-1). 两式相减得(2m1)a,=2,a,三2乙n≥2) 又由题设可得a1=2,满足上式，从而{am}的通项公式为 2 am=2n-1' 【备考这样练】 考向 1.4n-5解析：当n=1时，a1=S1=2-3=-1;当n≥2时， a.=S,-S.-1=(2m2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,专题一基础考点 第五讲古典概型的概率计算 ◆知识清单·精准记忆◆ 【基础梳理】 【自主检测】 1.古典概型 1.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其 率为( ) 数学模型称为古典概率模型，简称古典概型： A号 c号 D (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个 (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两 相等， 位，只记得第一位是M,I,N中的一个字母， 2.古典概型的概率公式 第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏 一般地，设试验E是古典概型，样本空间2包 输入一次密码能成功开机的概率为( 含n个样本点，事件A包含其中的个样本 A音 B吉 c日 点，则定义事件A的概率P(A)=飞=n(A) nn(2) 3.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球.从中 其中，n(A)和n(2)分别表示事件A和样本空 任取一球，则取到白球的概率为 间2包含的样本点个数， 4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其 和为5的概率是 方法清单·把控高考◆ 考点一 简单古典概型的概率计算 ,求出概率P(A), 【高考这样考】 【备考这样练】 题(2022·新高考I卷)从2至8的7个整数中 1.（2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6 随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主 为() 题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同 A后 B c n号 主题的概率为( 【方法规律】计算古典概型的概率问题的一般 步骤 A哥 B号 c司 D (1)列出所有样本点，得到样本空间中样本点 2.(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6 的总数n; 的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的 (2)找出事件A所包含的样本点，得到A包含 2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率 的样本点的个数m; 为( ) (3)利用公式P(A)= A包含的样本点的个数 样本空间中样本点总数 A号 B. 3 c号 13 艺术生文化课考前100天数学 3.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任 来自不同年级的概率为() 选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 A日 B日 c司 D号 2.将7个相同的小球投人甲、乙、丙、丁4个不同 4.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随 的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么 机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选 甲盒中恰好有3个小球的概率为( ) 的概率为 A品 B号 c易 D 考点二复杂的古典概型问题 3.将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、 【高考这样考】 乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少 题(2024·全国甲卷文)甲、乙、丙、丁四人排成 一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到 一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率 甲社区的概率是( 是( ) A品 B月 c A子 c司 n号 4.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集 合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m= 【方法规律】古典概型中基本事件个数的探求方法 (a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率 适合基本事件个数较少且易一一列 为( 枚举法 举的问题 A司 B号 c D 树状 适用于较为复杂的问题中基本事件 5.(2024·新高考I卷)甲、乙两人各有四张卡 图法 个数的探求，尤其是有序问题 片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分 别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数 排列、 在求解一些较为复杂的问题时，可利 字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛 组合法 用排列、组合知识求出基本事件个数 中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一 张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的 人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置 【备考这样练】 此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次 1.(2023·全国甲卷文)某校文艺部有4名学 中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不 生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生 小于2分的概率为 中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生 -14