专题一 第三讲 平面向量-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

第三讲 ◆◆知识清单 【基础梳理】 1.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运 算.向量线性运算的结果仍是向量，对于任意 向量a,b,c,以及任意实数入，，2，恒有 λ(4a士2b)=入a±入2b. 注意：谨记平面向量线性运算中的两个注 意点 (1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面 向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能 盲目转化， (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相 接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后 一个向量终点所在的向量；在用三角形减法 法则时要保证“同起，点”，结果向量的方向是 指向被减向量 2.平面向量的两个充要条件 已知两个非零向量a=（x1,y1),b=（x2, y2),则 (1)a/∥b台→a=b(b≠0)台x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b台→a·b=0台→x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的数量积的两种运算形式 (1)数量积的定义：a·b=|aIb1cos(其中0 为向量a,b的夹角)： (2)坐标运算：若a=（x1,y1),b=（x2,y2),则 a·b=x1x2十y1y2. 4.平面向量的四个性质 (1)若a=(x,y),则|a=√a·a=√x2十y」 (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 专题一基础考点 平面向量 精准记忆◆ |AB=√(x2-x1)2+(-y). (3)若a=(a,yM),b=(x2,y2),0为a与b的夹 角，则c0s0- a·b x2十h2 ab√好+√+吃 (4)la·b1≤|allb. 【自主检测】 题组一 平行向量的线性运算 1.如图，在四边形ABCD中，设AB=a,AD=b, BC=c,则DC=() D B A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 2.如图，在□ABCD中，E是BC的中点，若AB=a, A市=b,则D龙=() D Aba一b Bjatb C.atjb D.a-jb 3.设向量e1,e2是平面内的一组基底，若向量a= 一3e1一e2与b=e1一e2共线，则入=() A号 B. C.-3 D.3 4.(2024·上海卷)已知k∈R,向量a=(2,5), b=(6,k),且a∥b,则的值为 艺术生文化课考前100天数学 题组二平面向量的数量积 1.若向量a,b满足|a=|b|=1,a与b的夹角 为60°，则a·a十a·b等于( ) A号 B多 c1+号 D.2 2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足a=1, |a+2b=2,且(b-2a)⊥b,则1b=( ◆◆方法清单 考点一 平面向量的线性运算 【高考这样考】 (2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在边 AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则 C第=() A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 【方法规律】平面向量的线性运算技巧 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组 基底，同时注意向量共线定理的灵活运用， (2)运算过程中要重视数形结合，结合图形分 析向量间的关系 【备考这样练】 考向1平面向量的线性运算 1.(2020·新高考Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB 的中点，则C第=( A.2CD-CA B.2CA-CD C.2cò+CA D.2CA+CD 2.(2023·山东淄博模拟)在平行四边形ABCD 中，DE=3E心C,若AE交BD于点M,则() A.AM=AB+号Ad B,AM=3A+号Ad C.Am=子AB+}Ad D,Ai=号Ai+5A市 A号 D.1 3.已知向量a=(2,2),b=(一8,6)，则cos〈a,b〉= 4.已知a=1,b=2,a与b的夹角为，则b 在a方向上的投影向量为 把控高考◆ □考向2向量共线的条件及应用 1.已知向量a,b不共线，若(a十3b)∥(ka一b), 则实数=( A3R名 c D. 2.已知Ai=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a b),则( A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线 3.已知P是△ABC所在平面内一点，若C第= λPA+PB,其中λ∈R,则点P一定在() A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上 C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上 考点二 平面向量的数量积 【高考这样考】 (2023·全国乙卷文)正方形ABCD的边长是 2,E是AB的中点，则EC·E方=( ) A.√5 B.3 C.2W5D.5 【方法规律】平面向量数量积问题的解题方法 (1)借“底”数字化：要先选取一组合适的基底 (一般用已知的向量表示未知的向量)，建立 向量之间的关系，利用向量间的关系构造关 于未知向量的方程进行求解， (2)借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐 标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示 出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使 问题得以解决. 【备考这样练】 考向1平面向量数量积运算 1.(2023·北京卷)已知向量a,b满足a十b=(2, 3),a-b=(-2,1),则川a2-|b2=() A.-2B.-1 C.0 D.1 2.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足a=1, |b=√3，a-2b=3,则a·b=() A.-2B.-1C.1D.2 3.已知矩形ABCD中，|AB|=6,|AD|=4,若 点M,N满足BM=3M心，Di=2N心，则 AM·NM等于( A.20 B.15 C.9 D.6 4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0, a=1,b|=c=2,则a·b+b·c十c· a= 考向2平面向量的模 1.(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b= （一2,4)，则a一b=() A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2023·河北秦皇岛模拟)已知向量a,b满足 1a=1,|b=2,且a-b=|a+b1,则|2a+ b=() A.4 B.√2 C.√5 D.2√2 3.(2023·山东临沂月考)在正方形ABCD中， M,N分别是BC,CD的中点，若AB=2,则 |A+BN1=() A.2 B.√/10 C.4 D.2√5 4.(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b= (x-1,2x),若a⊥(a一b),则a= 一考向3平面向量的夹角与垂直问题 1.(2024·新高考I卷)已知向量a=(0,1),b= (2,x),若b⊥(b-4a),则x=() A-2 B.-1 C.1 D.2 专题一基础考点 2.(2023·全国甲卷文)已知向量a=(3,1),b= (2,2),则cos(a+b,a一b〉=( ) A贵 B晋 c得 n.25 3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b= (1,0),c=a+b,若(a,c〉=〈b,c〉，则 t=() A.-6 B.-5 C.5 D.6 考点三平面向量的综合问题 【高考这样考】 题(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD 中，E为线段CD的三等分点，CE=号DE, BE=λBA+μBC,则入十H= ;F为 线段BE上的动点，G为AF的中点，则AF· DG的最小值为 【方法规律】平面向量综合问题的解题方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系 中，则相关点与向量就可以用坐标表示出来， 这样就能进行相应的代数运算，从而使问题 得到解决。 (2)基向量法：适当选取一组基底，建立向量 之间的关系，利用向量间的关系构造关于未 知量的方程或表达式进行求解. 【备考这样练】 1.(2025·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，1OA=1O克=√2，AB1=2,设C(3,4), 则川2CA十A的取值范围是() A.[6,14幻 B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 2.（2025·天津高考)在△ABC中，D为AB边 的中点，C=}CD,A市=a,AC=b,则A花= (用a,b表示)；若|AE|=5,AE⊥ CB,则AE·C市=13+i=√+(-3)=√10. 考点二 【高考这样考】 A解析：(1十3i)(3一i)=3十8i一3=6+8i,∴.所求复数 对应的点为(6,8)，位于第一象限. 【备考这样练】 1.B解斩：由题得一31-13Di-当=-3-， .乏=一3十i,.复数在复平面内对应的点为（一3,1）， 复数乏在复平面内对应的，点在第二象限. 2.D解析：，=√2i,乏=一√2i,之·=2.故选D. 3.C解析：设之=x十i(x,yeR),,lx-i=1, ..x+(y-1)i=1,∴.x2+(y-1)2=1. 4.D解析：.(x一2)i=1+i, z=1+i+2=3-i,则Z(3,-1), ∴.1O21=√32+(-1)2=√10. 考点三 【高考这样考】 C解析：方法一（解方程法）：“产=1十i…x=(x一1)1十 i,即z=之-1+i-i,即xi=1+i,“z=1+i-1+D(-D i(-i) 1一i故选C 【备考这样练】 1A解折：因为=1+i,所以1中白}-言=-i 2.A解析：x=5十i,2=5-i,.i(十z)=10i.故选A 3.D解析：(1+i)2+i(1-i)=1+2i-1+i+1=1+3i 4.D解析：，(1十2)2·x=5, -ā十2丽=-339师=-是-青 5 5 5(-34i) 5.7-√5i解析：(W5+i)(w5-2i)=(W5)2-25i+√5i-2= 7-√5i. 第三讲平面向量 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组一 1.A解析：D心-DA+Ai+B就-Ai-Ad+BC-a-b+c. 2.D解析：D成-D心+C市-A+(-?AD)=A站-2A市- a-b 3.B解析：，a与b共线，∴.存在u∈R,使得a=b,即一3e1一 e,=(6-e).故=-3，-=-1，解得=-3 4.15解析：.a∥b,∴.2k=5X6,解得=15. 题组二 1B解折：a·a叶ab=a+60=1十号-是 2.B解析：由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b-2a·b=0.∴.b =2a·b.将|a十2b|=2的两边同时平方，得a2+4a·b+4b =4,即1+25+4=1+6b12=4,解得b12=号，b1 层故选B &将 解析：a=(2,2),b=(-8,6),∴a·b=2X(-8)+ 2×6=-4,|a=√22+2=2√2，|b|=√(-8)2+62=10. asab-i语-22文i0 4.a解析：b在a方向上的投影向量为b10s子日=2X2a=a 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 B解析：，'点D在边AB上，BD=2DA,BD=2DA, 即Ci-Ci=2(CA-Ci),∴.C克=3Ci-2Ci=3n-2m= -2m+3n. 【备考这样练】 考向1 1A解析：D为△ABC的边AB的中点，C市=2(Ci+ Ci),∴.Ci=2Ci-Ci 2.B解析：D=3E心，.E为线段DC 上靠近，点C的四等分点，如图. 显然△ABMU△EDM,即光-是 告，∴=号迹-号动+D成=号 （(AD+AB)=号AB+4AD. 考向2 1.A解析：(a十3b)∥(a-b),∴.存在实数入，使得a一b= a十3bA=6.31二1，解得=-子 2.A解析：Bd-B武+Cd=(-2a十8b)+3(a-b)=a十5b.又 AB=a十5b,'.AB=BD,则AB与B共线.又AB与B方有公共 点B,A,B,D三点共线 3.B解析：由C范=入PA+Pi,得C克-Pi=λP才，即C= 1P才，则C,P方为共线向量.又C,PA有公共点P,∴.C,P,A 三点共线，即点P在直线AC上， 考点二 【高考这样考】 B解析：方法一：以{A范，AD}为基底向量，可知|A范|= |AD=2,A·A市=0，则武=Ei+BC-2A迹+A迹，E办- 脐+办=-2恋+沛，∴武.励=(2A恋+D)· (-2恋+动)=-4恋+迹=-1+4=3. 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1,0),C(2,2),D(0,2), y 可得EC=(1,2),ED=(-1,2), .E0.E=-1+4=3. 方法三：由题意可得ED-EC=5,CD=2. 在△CDE中，由余弦定理可得 AE B cOS∠DEC=ED+EC-CD 5+5-43 2ED·EC 2X5X/5 5 ∴武.动-|动cos∠DC-5X5×号=3. 【备考这样练】 考向1 1.B解析：向量a,b满足a十b=(2,3),a-b=(-2,1), .∴.|a2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2X(-2)+3×1=-1. 2.C解析：la-2b2=|a2-4a·b+4b2,a=1,b= √3，a-2b|=3,∴.9=1-4a·b+4X3=13-4a·b,∴.a· b=1. 3.C解析：.四边形ABCD为矩形，建系 N 如图，A(0,0),M(6,3),N(4,4), D M 则AM=(6,3),NM=(2,一1)， ∴.Ai.NM=6×2-3×1=9. 4.-号解析：a+b叶eP=d+6+c+ B 2(a·b十b·c+c·a)=0→2(a·b+b·c+c·a)十9=0→a·b+ 9 bc十c…a=-2 考向2 1.D解析：.a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),.a-b= √/42+(-3)z=5. 2.D解析：由a一b|=|a十bl两边平方化简可得a·b=0, .(2a+b)2=4a2+b+4a·b=8,∴.|2a+b|=2√2. 3.B解析：以AB,AD所在直线分别为x,YN y轴建立如图所示的平面直角坐标系， D AB=2,则A(0,0),B(2,0),M(2,1), N(1,2),.AM=(2,1),BN=(-1,2), ..AM+BN=(1,3),..AM+BN= √/12+32=√/10. 4.√2解析：a-b=(1,1-2x),因为a⊥ (a-b),所以a·(a-b)=0, 则x十1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),故|a=√2. 考向3 1.D解析：.b⊥(b-4a),∴.b·(b-4a)=0,即b=4a·b..a =(0,1),b=（2,x),∴.b2=4十x2,a·b=x,得4十x2=4x, (x一2)2=0，解得x=2.故选D. 2.B解析：a=(3,1),b=(2,2),.a十b=(5,3),a一b=(1, -1),则|a+b1=√5+3=√34，|a-b|=√12+(-1)7 √2，(a+b)·(a-b)=5×1+3X(-1)=2,.cos(a+b,a-b)= (a+b)·(a-b)= 2 W17 1a+ba-bV34x2='17. 3.C解析：c=(3+4),0s(a,c)=c0s(b,c),即9+3+16 解得5 考点三 【高考这样考】 专一员解析：坐标法：以点A为坐标 原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1) (号，1)庞=(-31)，i=(-1, 0),BC=(0,1),Bd=xBA+BC,（-号，1)=λ(-1， 0)+u(0,1D,∴X=子，以=1，X+u=手由B(1,0), E(号，1)可得直线BE的方程为y=-3(x-1),设F(a, 3-3a)(号<a≤1)，则c(号，32)A=a,8-30, t-(号12).-a·号+(3-a).12a- 5d-6a+是=5(a-是）广-高当a=号时，A亦.心取 得最小值，为一8 【备考这样练】 1.D解析：因为|1OA=|OB=√2,1AB1=2, 由A市=Oi-Oi平方可得，0i.O市=0，所以Oi,0i》=受 2CA+AB=2(OA-O心)+Oi-OA=Oi+Oi-2O心， |0元1=√32+4=5， 所以|2Ci+AB12=OA+O+2Oi·O范+4O心 4(oi+oi).0元 =2+2+4×25-4(OA+Oi)·O心=104-4(Oi+ Oi)·0C. 又|(Oi+Oi)·O心1≤1ōi+Oi11O心|=5×√2+2= 10,即-10≤(OA+OB)·OC≤10， 所以|2C才+AB12∈[64,144]，即|2Ci+AB|∈[8,12]. 2.合a+子6-15解析：如图， 因为成=号市，所以正-心=号（市-心），所以迹 号A市+号A心 因为D为线段AB的中点，所以A花-日AB+号A心=日a+ 又图为恋=5，AELCB,所以A迹-（合a+号b)°-6G+ 号a…b叶号=25， A迹.Ci-(6a+号b)(a-b)=日a+2a…b-号8- 0,所以a2+3a·b=4b, 所以a2+4a·b=180, 所以A证.cD-=(合a+子b)·(-b叶2a)=d+日a…b 号6=立G+2a6-86) =zc+2a:0-2a-6a)=b(-d-4ab)=-15. 第四讲计数原理与二项式定理 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 题组 1.A解析：由分类加法计数原理知有5十12+3十6=26（种）不 同走法 2.C解析：由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线 路条数为2×3=6. 3.B解析：火车站有5股盆道，每股盆道只能停放一列火车，现 要停放3列不同的火车，它是排列问题，不同的停放方法有 A种. 题组二 10解析：令x=1,.(1十1)”=32，即2"=32，解得n=5, ∴.(x十1)5的展开式的通项为T+1=C·x,令5-r=2,则 r=3,T4=Cx2=10x2,故x2项的系数为10. 【方法清单·把控高考】 考点一 【高考这样考】 64解析：(1)若选修2门，则只能各选1门，共有CC4= 16(种). (2)选修3门，①若体育类选修课选1门，则艺术类选修课选2 门，共有CC=24(种)； ②若体育类选修课选2门，则艺术类选修课选1门，共有 CC4=24(种). 综上，不同的选课方案共有16+24十24=64（种）. 【备考这样练】 考向1 1.C解析：先排个位，然后排万位，再排其他位置，∴.由1,2,3，