专题一 第二讲 复数-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第二讲 ◆知识清单 【基础梳理】 一、复数的概念 1.复数的分类 实数(b=0), 复数x=a十bi 纯虚数(a=0), (a,b∈R) 虚数(b≠0) 非纯虚数(a≠0)， 2.复数的有关概念 (1)复数相等：a十bi=c十di→a=c且b=d(a, b,c,d∈R) (2)共轭复数：a十bi与c十di共轭→a=c且 b=-d(a,b,c,d∈R), (3)复数的模：向量O2的模叫做复数之=a+bi 的模，记作|x或a十bi,即|x=|a+bi= r=√a2+b(r≥0，a,b∈R). 3.复数的几何意义 复数之=a十bi与复平面内的点Z(a,b)及平面 向量OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一对应的 关系 二、复数的四则运算 1.复数的四则运算法则 设1=a十bi,z2=c十di(a,b,c,d∈R),则 (1)z1+x2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+ (b+d)i; (2)x1-x2=(a十bi)-(c+di)=(a-c)+ (b-d)i; (3)12=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+ bc)i; (4)atbi_(atbi)(c-di)_ z2 c+di (c+di)(c-di) (ac+bd)+(bc-ad)i(c十di≠0. c2+d2 复数 精准记忆◆ 2.复数运算的几个重要结论 (1)十212+|ǎ一212=2(%|2+1212). (2)·=|x2=|乏|2 (3)若x为虚数，则z2≠2. (4)(1±i)2=±2i. 6i (6)im=l,n+1=i,in+2=-1,in+3=-i(n∈N0. 【自主检测】 题组一复数的概念 1.已知a∈R,若a-1十(a-2)i是实数，则a= () A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.(2025·全国I卷)(1+5i)i的虚部为() A.-1 B.0 C.1 D.6 题组二复数的几何意义 1.复数之=一1一2i在复平面内对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知复数z=一1-i,则 |x=() A.0 B.1 C.√2 D.2 题组三复数的四则运算法则 1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2)(1-2)=( ) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 2.(2024·北京卷)若复数之满足三=-1-i,则 之=() A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i ◆◆方法清单 考点一 复数的概念 【高考这样考】 E(2024·上海卷)已知虚数x,其实部为1，且之十 2=m(m∈R),则实数m的值为 【方法规律】解决复数概念问题的方法及注意 事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以 转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问 题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚 部满足的方程（不等式）组即可· (2)解题时一定要先看复数是否为a十bi(a, b∈R)的形式，以确定实部和虚部. 【备考这样练】 1.(2023·全国甲卷)若(a十i)(1-ai)=2,a∈ R,则a=( A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(2025·北京高考)已知复数之满足i·之十2= 2i,则|x=( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.8 3.(2023·湖南雅礼中学模拟)已知复数之= 己，则下列结论正确的是() A之的虚部为i B.z=2 C.之的共轭复数z=一1十i D.z2为纯虚数 4.(2025·天津高考)已知i是虚数单位，则 3+i i 专题一基础考点 把控高考◆ 考点二 复数的几何意义 【高考这样考】 (2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1+3i)(3-i) 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【方法规律】复数几何意义问题的解题策略 (1)复数之、复平面上的点Z及向量OZ相互联 系，即x=a+bi(a,b∈R)台Z(a,b)台Oz, (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应 的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系 在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问 题的解决更加直观 【备考这样练】 1.(2023·江苏南京模拟)已知复数之满足iz= 1一3i,则复数乏在复平面内对应的点位 于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2024·全国甲卷文)设复数之=√2i,则之·乏 =( A.-2 B.√2 C.-√2 D.2 3.设复数之满足|之一i=1,之在复平面内对应 的点为(x,y),则( A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 艺术生文化课考前100天数学 4.(2023·江苏苏州中学模拟)在复平面内，满 足(x一2)i=1+i的复数z对应的点为Z,则 1Oz=() A.√2 B.5 C.2w2 D.√/10 考点三 复数的四则运算 【高考这样考】 (2024·新高考I卷)若复数之满足之， 1+i,则x=() A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【方法规律】复数的加法、减法、乘法运算可以 类比多项式运算，除法关键是分子、分母同乘 分母的共轭复数，注意要把ⅰ的幂写成最简 形式 【备考这样练】 1.(2025·全国卷)已知复数x=1+i,则2 () A.-i B.i C.-1 D.1 2.(2024·全国甲卷理)若复数之=5十i,则i(乏十 )=() A.10i B.2i C.10 D.2 3.(2023·广东清远模拟)复数(1十i)2十i(1一i)= () A.3-i B.3+i C.-1+3i D.1+3i 4.(2023·广东高三校联)已知复数之满足(1十 2i)2·之=5，则之=() A多- B号+ C-+i D. 5.(2024·天津卷)已知i是虚数单位，则复数 (W5+i)·(W5-2i)=答案及解析 “主书”答案及解析 专题一 基础考点 又当x=π时，sin2x=sin2π=0，可知sin2x=0为x=0, 故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件 第一讲集合与常用逻辑用语 综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件. 【知识清单·精准记忆】 2.C解析：a⊥b→x2十x十2x=0台x=0或x=-3,.x=一3 【自主检测】 是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C 题组一 正确.a∥b2x十2=x2台x2-2x-2=0台x=1士√3，故B,D 1.B解析：A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},.A∩B={2,3, 错误. 4}.故选B. 3.C解析：由ACC,得CC二CA,当B二CC时，B二CA, 2.C解析：由题意知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故 可得A∩B=⑦；“A∩B=心”能推出“存在集合C,使得A二C CA={2,4,6,7,8},CA中有5个元素. 且B三CC” 3.C解析：图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，即 4.B解析：由(a十b)·(a一b)=0,得a2一b=0,即a2一b1 图中的阴影部分可以用A∩(CuB)来表示. =0,∴.a=|bl,当a=(1,1),b=(-1,1)时，a=|bl,但a 4.5 ≠b且a≠一b,故充分性不成立；当a=一b或a=b时，(a十b)· 题组二 (a一b)=0,故必要性成立..“(a十b)·(a一b)=0”是“a 1.C解析：由函数y=x单调递增可知，若a3=,则a=b;由 一b或a=b”的必要不充分条件 函数y=3单调递增可知，若3=3，则a=b.故“a=”是 考向2 “3“=3”的充要条件.故选C 1.一1解析：由题意，得p:x≥一2，q:x≥a一1.p是q的充要 2.B解析：由{xx>5}手{xx≤-1或x≥3}，可知p是q的 条件，∴.a一1=-2，即a=一1. 必要不充分条件， 2.3解析：由x2一x-6>0,解得x<-2或x>3.,“x2一 3.A解析：由f(x)r=1知，f(x)≤1且存在实数o∈R,使 x一6>0”是“x>a”的必要不充分条件，'.{x|x>a}军 得f(x)=1;而f（x)≤1恒成立，不能得到f(x)mx=1. {xx一2或x>3},∴.a≥3，故a的最小值为3. 【方法清单·把控高考】 考点一 第二讲复数 【高考这样考】 【知识清单·精准记忆】 C解析：方法一：，N={x|x2一x一6≥0}=(-∞，-2]U 【自主检测】 [3,+o∞)，而M={-2,-1,0,1,2},∴M∩N={-2}. 题组 方法二：.M={-2,-1,0,1,2},将-2，-1,0,1,2代入不等 1.C解析：.a-1十(a-2)i是实数，.a-2=0,∴.a=2, 式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立，.M∩N={-2}. 2.C解析：(1十5i)i=-5+i,其虚部为1. 【备考这样练】 题组二 考向1 1.C解析：之=一1一2i在复平面内对应的点为（一1，一2），它位 1.C解析：.A=B,∴.3a一2=a,解得a=1或a=2.当a=1 于第三象限 时，集合A={0,1,1}不满足元素的互异性，故舍去；当a=2 2.C解析：z=|-1-i=√(-1)2+(-1)z=√2.故选C 时，集合A={0,1,4},集合B={1,0,4},符合题意.∴.a=2. 题组三 2.B解析：当a-2=0时，解得a=2,此时A={0,-2},B= 1.D解析：(2+2i)(1一2i)=2+4一4i+2i=6-2i {1,0,2},不符合题意；当2a一2=0时，解得a=1,此时A= 2.C解析：由题意得，z=i(-1-)=1一i {0,一1}，B={1,一1,0}，符合题意.综上，a=1. 【方法清单·把控高考】 考向2 考点一 1.D解析：B={xx3=x={0,-1,1),故A∩B={0,1. 【高考这样考】 2.D解析：由题意可得B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4, 2解析：设x=1+bi,b∈R且b≠0， 9},则Ca(A∩B)={2,3,5}.故选D 3.A解析：由U=AUB=(0,2],A∩(CuB)=(1,2],得B= 则+是=1++（货）+（货+）=m (0,1]. b+3 考点二 1+b =m, .m∈R,∴. 解得m=2. 【高考这样考】 63-b A解析：若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存在 (1十6=0， x1∈D,使得f(x1)=M+1, 【备考这样练】 取o=1,则|f()|=|M十1>M,充分性成立； 1.C 解析：，(a十iD(1-ai)=a-a2i+i计a=2a十(1-a2)i=2, 取f(x)=2,D=R,则对任意M∈R,一定存在x2∈D,使得 f(x2)=M+1, 220解得a-1 取o=x2,则|f(o)|=|M+1>M,但此时函数f(x)的值 2.B解析：由1·2+2=2i,可得z==2+21=2+2i,所以 域为(0，十∞)，必要性不成立. 1 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在∈D, z=√/2+2=22. 使得|f(o)>”的充分不必要条件. 2 2(1+) 【备考这样练】 3.D解析：z=白F+5=1+i心x的虚部为1， 考向1 x|=√2，乏=1一i,22=2i为纯虚数， 1.A解析：由x=0→sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0” 的充分条件； 4.V0解析：先由题得3士=-i(3十iD=1一31，所以 1 3+i=√P+(-3)严=√/10， 1 4a解析：b在a方向上的投影向量为bcos晋合=2X2a=a 考点二 【方法清单·把控高考】 【高考这样考】 考点一 A解析：.(1+3iD(3一i)=3+8i一3=6+8i,.所求复数 【高考这样考】 对应的点为(6,8)，位于第一象限 B解析：，点D在边AB上，BD=2DA,∴BD=2DA, 【备考这样练】 即C市-Ci=2(CA-Cd),∴.i=3Cd-2CA=3n-2m= 1.B解析：由题得z=131_03i-3--3-, -2m+3n. 2 -11 【备考这样练】 .∴.乏=一3十i,.复数乏在复平面内对应的点为(-3,1)， 考向1 ∴.复数乏在复平面内对应的点在第二象限. 2.D解析：x=√2i,=一√2i,之·=2.故选D. 1A解析：D为△ABC的边AB的中点，C市=2(C十 3.C解析：设x=x十i(x,y∈R),z-i=1, Ci),∴Ci=2C-Ci .x+(y-1)i=1,.x2+(y-1)2=1. 2.B解析：，DE=3EC,.E为线段DC A 4.D解析：.(x一2)i=1+i, 上靠近，点C的四等分点，如图. =1中+2=3-i,则z(3,-1), i 显然△ABMO△EDM,即能-0 .∴.|O2=32+(-1)=√/10】 告…M=号A迹=号(+D成=号 考点三 【高考这样考】 (AD+AB)=号AB+号AD, C解析：方法一（解方程法）：“产=1十i,2=(x一1)(1十 考向2 D,即x=z一1十i-i,即i=1+i,z=1+i-1+(-D 1.A解析：(a十3b)∥(a一b),∴.存在实数入，使得a一b= i(-i) Xa十3b=k,3以=-1，解得及=-子 1一i故选C 【备考这样练】 2.A解析：Bd-BC+Cd=(-2a十8b)+3(a-b)=a十5b.又 1 AB=a+5b,∴AB=Bd,则AB与BD共线.又AB与Bd有公共 1.A解析：因为=1+i所以1中白}-=-i 点B,A,B,D三点共线. 2.A解析：z=5十i,2=5-i,i(2十2)=10i.故选A 3.B解析：由C范=入PA+P克，得C范-P克=APA,即C市= 3.D解析：(1+i)2+i(1-i)=1+2i-1+i+1=1+3i 1P才，则C,P才为共线向量.又C,PA有公共点P,∴C,P,A 4.D解析：.(1十2i)2·x=5, 三点共线，即点P在直线AC上 考点二 -a叶0-3十(-39=-号- 5 5 5(-3-4i) 【高考这样考】 5.7-√5i解析：(W5+i)(W5-2i)=(W5)2-25i+√5i-2= B解析：方法一：以{A范，AD}为基底向量，可知A范| 7-√5i 1Ad1=2,A$.Ad=0,则武-E成+BC-2AB+A市，E动-= 第三讲平面向量 【知识清单·精准记忆】 脐+市=-2恋+A办，∴·励=(2A+AD)· 【自主检测】 (-2A+D)=-A恋+市=-1+4=3. 题组 1.A解析：D心-DA+A市+B武=AB-Ad+BC-a-b+c. 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1,0),C(2,2),D(0,2), y 2.D解析：D成-D心+C市=A$+(-号AD)=A站-号Ad- 可得武=(1,2)，ED=(-1,2), a-zb. .E0.E=-1+4=3. 方法三：由题意可得ED=EC一√5，CD=2. 3.B解析：a与b共线，.存在μ∈R,使得a=b,即-3e一 AE B 在△CDE中，由余弦定理可得 e,=4(6-e).故u=-3,-=-1,解得入=-3 cOs∠DEC=ED+EC-CD _5+5-43 2ED·EC 2×5XW55’ 4.15解析：a∥b,.2k=5×6,解得=15. 题组二 ∴武.动-d动cos∠DC=5×5×g-3. 1B解折：aa+a6=a+ab1cos60=1+号-号. 【备考这样练】 考向1 2.B解析：由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=-2a·b=0.∴.b 1.B解析：向量a,b满足a十b=(2,3),a-b=(-2,1), =2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方，得a2+4a·b+4b ∴.a2-1b12=(a+b)·(a-b)=2X(-2)+3×1=-1. =4,即1+2+4B=1+6b=4,解得1b12=2,.b= 2.C解析：.|a-2b|2=|a2-4a·b+4b2,a=1,|b= 号故选B 3,a-2b|=3,∴.9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,.a· b=1. 3.C解析：四边形ABCD为矩形，建系 y 3号 解析：：a=(2,2),b=(-8,6),∴a·b=2X(-8)+ 如图，A(0,0),M(6,3),N(4,4), 则AM=(6,3),NM=(2,-1), 2×6=-4,la=√22+2=22，|bl=√(-8)2+62=10. .AM.NM=6×2-3×1=9. a=合2文i0最 a·b 4.一号解析：(a+b叶c=d+8+d十 -2