专题04位置与坐标期末复习冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学“位置与坐标”复习讲义通过表格梳理核心知识，将确定位置、平面直角坐标系、轴对称与坐标变化等要点按逻辑分层，用思维导图呈现知识脉络，突出坐标表示、象限判断等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从有序数对表示到坐标系动点问题，覆盖12类常考题型，典例结合跟踪专练，通过“解题关键与易错点”培养空间观念和推理意识。基础学生可掌握坐标变换规律，优秀学生能突破压轴题，助力教师实施精准复习教学。

专题04位置与坐标期末复习冲刺必备讲义 1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系。 2.能在给定的平面直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 3.能在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置。 4.在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。 核心知识 点梳理 1.确定位置 2.平面直角坐标系 3.轴对称与坐标变化 4.解题方法 5.解题关键与易错点 常考题型 精讲精炼 1.有序数对的位置表示方法 2.用方向角和距离确定物体的位置 3.直角坐标系中点的坐标表示 4.点到坐标轴的距离计算 5.平面直角坐标系中点的象限判断 6.根据点的象限确定参数取值 7.平面直角坐标系内点的坐标规律探究 8.由平移变换确定点的坐标 9.坐标系中点的轴对称变换 10.坐标系中的动点问题 11.已知两点坐标求线段长度 12.坐标法在实际场景中的位置表示 期末备考 压轴通关 压轴题(17题) 【知识点01.确定位置】 一.位置的相对性 核心概念：一个地点的位置是相对的，需要有一个参照物（即 “观测点”）才能确定。 二.确定位置的方法： 1.方法一：方位角 + 距离 定义：从某个观测点出发，用一个角度（方位角）表示方向，用一个长度（距离）表示远近，来确定目标点的位置。 方位角：通常以正北或正南方向为基准，描述物体所在的方向。例如，“北偏东 30°”、“南偏西 45°”。 示例：一艘船在灯塔的北偏东 60° 方向，距离灯塔 10 海里处。 2.方法二：行列定位法 定义：在平面内，将物体放置在一个网格中，用一对有序的数字（行号，列号）来表示其位置。 示例：电影院的座位号 “5 排 3 号”，可以记作（5, 3）。. 3.方法三：经纬度定位法 定义：在地球表面，用经度和纬度这两个角度值来确定任意一点的位置。 示例：北京的经纬度大约是东经 116°，北纬 40°。 【知识点02.平面直角坐标系】 1. 基本概念 平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。 x 轴（横轴）：水平的数轴，通常规定向右为正方向。 y 轴（纵轴）：竖直的数轴，通常规定向上为正方向。 原点（O）：x 轴与 y 轴的交点。 坐标平面：由 x 轴和 y 轴分割成的整个平面。 象限：x 轴和 y 轴将坐标平面分成四个部分，从右上开始，按逆时针方向依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点的坐标 (1)有序数对：平面内任意一点 P 的位置，可以用一对有顺序的实数（a, b）来表示，这对实数叫做点 P 的坐标。 (2)坐标的确定： *横坐标（a）：过点 P 向 x 轴作垂线，垂足在 x 轴上对应的数。 *纵坐标（b）：过点 P 向 y 轴作垂线，垂足在 y 轴上对应的数。 (3)坐标的表示：点 P 的坐标记作 P(a, b)。 (4)各象限内点的坐标特征： 第一象限：(+, +) 第二象限：(-, +) 第三象限：(-, -) 第四象限：(+, -) (5)坐标轴上点的坐标特征： *x 轴上的点：纵坐标为 0，记作 (x, 0)。 *y 轴上的点：横坐标为 0，记作 (0, y)。 *原点：坐标为 (0, 0)。 3. 坐标与距离 (1)点到坐标轴的距离： 点 P (a, b) 到 x 轴的距离为 |b|（纵坐标的绝对值）。 点 P (a, b) 到 y 轴的距离为 |a|（横坐标的绝对值）。 (2)平行于坐标轴的直线上的点： 平行于 x 轴的直线上的所有点，纵坐标相同。 平行于 y 轴的直线上的所有点，横坐标相同。 【知识点03.轴对称与坐标变化】 1. 关于坐标轴对称的点的坐标变化规律 (1)关于 x 轴对称： 点 P (a, b) 关于 x 轴的对称点 P' 的坐标为 (a, -b)。 规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 (2)关于 y 轴对称： 点 P (a, b) 关于 y 轴的对称点 P'' 的坐标为 (-a, b)。 规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 (3)关于原点对称（拓展内容）： 点 P (a, b) 关于原点的对称点 P''' 的坐标为 (-a, -b)。 规律：横、纵坐标都互为相反数。 2. 图形的轴对称变换 方法：要作一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形，只需先求出图形上关键点（如顶点、端点）的对称点坐标，然后依次连接这些对称点，即可得到对称图形。 步骤： (1)确定原图形的关键点坐标。 (2)根据对称规律，求出各关键点的对称点坐标。 (3)在坐标系中描出这些对称点。 (4)按原图形的连接顺序，顺次连接各对称点，得到对称图形。 【知识点04.解题技巧与易错点警示】 一、 确定位置 核心方法：用一对有顺序的信息来确定一个点的位置。 方位角 + 距离：如 “北偏东 30°，100 米处”。 行列定位：如 “5 排 3 号”，记作 (5, 3)。 二、 平面直角坐标系 1.基本构成：由两条互相垂直且有公共原点的数轴（x 轴、y 轴）组成。 2.点的坐标：平面内任意一点 P，用有序数对 (a, b) 表示。 a 是横坐标（对应 x 轴）。 b 是纵坐标（对应 y 轴）。 3.象限与坐标特征： 第一象限：(+, +) 第二象限：(-, +) 第三象限：(-, -) 第四象限：(+, -) x 轴上的点：纵坐标为 0，如 (a, 0)。 y 轴上的点：横坐标为 0，如 (0, b)。 4.点到坐标轴的距离： 点 P (a, b) 到 x 轴的距离 = |b| (纵坐标的绝对值)。 点 P (a, b) 到 y 轴的距离 = |a| (横坐标的绝对值)。 三、 轴对称与坐标变化 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号。 点 (a, b) → (a, -b)。 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号。 点 (a, b) → (-a, b)。 1.找出原图形的关键点坐标。 2.求出各关键点的对称点坐标。 3.顺次连接对称点。 四、 解题关键与易错点 关键技巧： 1.确定位置的核心是有序数对。 2.判断象限看坐标正负。 3.求距离用绝对值。 4.对称变换记 “横同纵反”（x 轴）和 “横反纵同”（y 轴）。 常见错误： 1.混淆坐标顺序 (a, b)。 2.求距离时忘记加绝对值。 3.作轴对称图形时，连接对称点的顺序错误。 【题型1.有序数对的表示方法】 【典例】将正整数，，，，，，按如下表数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示，则用数对表示为 ． 【跟踪专练1】如图的密码表是用来玩听声音猜字母的，如果听到“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”表示的是“”，那么听到“叮—叮叮，叮叮叮—叮，叮—叮叮”时，表示的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 【题型2.用方向角和距离确定物体的位置】 【典例】如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【跟踪专练1】钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图，下列描述能够准确表示钓鱼岛地点的是（   ） A．北纬 B．福建的正东方向 C．距离温州市约千米 D．北纬，东经 【跟踪专练2】如图，以点O为观测点，点A的位置是南偏东方向处． （1）点B的位置是 ； （2）点C的位置是 ； （3）A，D两点间的距离为 ． 【题型3.直角坐标系中点的坐标表示】 【典例】已知，长方形在坐标平面内的位置如图所示，边和分别在x轴和y轴上，则点A的坐标为（   ） A．4 B．6 C． D． .【跟踪专练1】如图，已知，两点的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为 ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，且，若已知点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型4.点到坐标轴的距离计算】 【典例】在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点到轴的距离是 ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（    ） A．1 B． C．4或1 D．或 【跟踪专练2】矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是 ． 【题型5.平面直角坐标系中点的象限判断】 【典例】在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练1】已知点在第一、三象限的角平分线上，则点在第 象限． 【跟踪专练2】下列说法不正确的是（    ） A．若，则点一定在第二、四象限的角平分线上 B．点到轴的距离是2 C．若中，则点在轴上 D．点可能在第二象限 【题型6.根据点的象限确定参数取值】 【典例】在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，则a的值为 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，点，若，，即点，则表示点A到点的一个平移．例如：点，若，，则表示点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． 根据上述定义，探究下列问题： （1）已知点，点，则线段的长度是 ； （2）已知点，点，则线段的长度是 ； （3）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，点，若，（为正数），当 时，点在的直角边上． 【题型7.平面直角坐标系内点的坐标规律探究】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段，垂足为；线段，，垂足为；线段，垂足为，……，按此规律，点的坐标为 ． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（   ） A． B． C． D． 【题型8.由平移变换确定点的坐标】 【典例】点先向上平移3个单位，再向左平移4个单位得到的点的坐标是 ． 【跟踪专练1】将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【题型9.坐标系中点的轴对称变换】 【典例】年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 【跟踪专练2】已知点和点关于x轴对称，则的值为（） A．1 B． C． D． 【题型10.坐标系中的动点问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中点，点A，B，C，D的坐标分别是点，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照设A→B→C→D→A→…的方向不断移动，点P的移动速度为每秒1个单位长度，当第2025秒时点P的坐标是 ． 【跟踪专练1】如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【跟踪专练2】已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【题型11.已知两点坐标求线段长度】 【典例】已知点，下列说法正确的是（   ） A．点P在第二象限 B．点P到x轴的距离为3 C．点P到y轴的距离为4 D．点P到原点的距离为5 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的边长是 ． 【跟踪专练2.】若点，可知，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．2 D．3 【题型12.坐标法在实际场景中的位置表示】 【典例】天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点 A 的坐标是，点 C 的坐标是，则点 B 的坐标是 ． 【跟踪专练1】如图是某学校的平面图，如果教学楼所在位置的坐标为，图书馆所在位置的坐标为，则多功能厅所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为 ． 1．在数轴上，点、在原点的两侧，分别表示数、2，将点向右平移3个单位长度，得到点．若，则的值为 ． 2．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则为 ． 3．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，，，，，，，，…则点的坐标是 ，的坐标是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，则图中的的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ． 8．如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为 ． 9．重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 11.在教材第23页综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现长方形的重心在两条对角线的交点处，则如图a所示，长方形中，点，则求出a图的重心坐标为 ；而对于复杂的几何图形而言我们有分割法，可以将几何图形分割成若干个规则图形，求出各自的重心，再找其所在的关系．例如，对于正方形而言可以分割成两个长方形面积分别为， ，则正方形的面积为，正方形的重心坐标与两个长方形的重心坐标，之间的关系为，，已知图b中， ， ， ，则求出b图形的重心坐标 （结果保留小数点后一位） 12.下图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏______度的方向行1千米到达邮局；再向______行______千米到达广场；由广场向北偏______度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 13．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 14．如图，小航设计了一个的“相反数”转换方阵，其工作程序是：点击任意一个方格， 它本身以及它上、下、左、右的方格中的数均会变为原来的相反数．其中第2行第1 列的方格记为， 如：点击方格， 那么方格、、、四个方格中的“”均会变为“”． （1）依次点击方格，后，第3行的3个数从左到右分别是 ； （2）若要将方格中的数“”变为“”，同时要求其它方格中的数均为“”， 则需要点击方格的最少次数是 15．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 16．在平面直角坐标系中，是给定的边形．我们称如下的变换为一次“－轴反射变换”：将平面内一点X沿直线进行翻折得到点；将点沿直线翻折得到点；…；将点沿直线翻折最终得到点．并记点为点X在“－轴反射变换”下的像点．请回答下列问题： (1)如图1，若是给定的等腰直角三角形，顶点坐标为，，，则点在此“－轴反射变换”下的像点的坐标为______； (2)如图2，若是给定的四边形，顶点坐标为，，，，点在此“－轴反射变换”下的像点的坐标是，则点的坐标为______；四边形内一点的像点的坐标是______（用含的代数式表示）； (3)如图3，若是给定的平面内一个等边三角形，点P是此三角形内（不含边界）一点，对点P进行一次“－轴反射变换”得到点，是否存在点P使得和P重合？如果存在，请在图中给出点P的具体位置；如果不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，a，b，c满足． (1)__________，__________，__________． (2)如图1，若点D为y轴负半轴上的一个动点，连接交x轴于点E，是否存在点D，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若第一象限内的线段是由线段平移而成，点，连接，，若交于点Q． ①求与的面积差，并求出点Q的纵坐标（都用含n的式子表示）； ②若的面积为27，直接写出点Q的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04位置与坐标期末复习冲刺必备讲义 1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系。 2.能在给定的平面直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 3.能在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置。 4.在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。 核心知识 点梳理 1.确定位置 2.平面直角坐标系 3.轴对称与坐标变化 4.解题方法 5.解题关键与易错点 常考题型 精讲精炼 1.有序数对的位置表示方法 2.用方向角和距离确定物体的位置 3.直角坐标系中点的坐标表示 4.点到坐标轴的距离计算 5.平面直角坐标系中点的象限判断 6.根据点的象限确定参数取值 7.平面直角坐标系内点的坐标规律探究 8.由平移变换确定点的坐标 9.坐标系中点的轴对称变换 10.坐标系中的动点问题 11.已知两点坐标求线段长度 12.坐标法在实际场景中的位置表示 期末备考 压轴通关 压轴题(17题) 【知识点01.确定位置】 一.位置的相对性 核心概念：一个地点的位置是相对的，需要有一个参照物（即 “观测点”）才能确定。 二.确定位置的方法： 1.方法一：方位角 + 距离 定义：从某个观测点出发，用一个角度（方位角）表示方向，用一个长度（距离）表示远近，来确定目标点的位置。 方位角：通常以正北或正南方向为基准，描述物体所在的方向。例如，“北偏东 30°”、“南偏西 45°”。 示例：一艘船在灯塔的北偏东 60° 方向，距离灯塔 10 海里处。 2.方法二：行列定位法 定义：在平面内，将物体放置在一个网格中，用一对有序的数字（行号，列号）来表示其位置。 示例：电影院的座位号 “5 排 3 号”，可以记作（5, 3）。. 3.方法三：经纬度定位法 定义：在地球表面，用经度和纬度这两个角度值来确定任意一点的位置。 示例：北京的经纬度大约是东经 116°，北纬 40°。 【知识点02.平面直角坐标系】 1. 基本概念 平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。 x 轴（横轴）：水平的数轴，通常规定向右为正方向。 y 轴（纵轴）：竖直的数轴，通常规定向上为正方向。 原点（O）：x 轴与 y 轴的交点。 坐标平面：由 x 轴和 y 轴分割成的整个平面。 象限：x 轴和 y 轴将坐标平面分成四个部分，从右上开始，按逆时针方向依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点的坐标 (1)有序数对：平面内任意一点 P 的位置，可以用一对有顺序的实数（a, b）来表示，这对实数叫做点 P 的坐标。 (2)坐标的确定： *横坐标（a）：过点 P 向 x 轴作垂线，垂足在 x 轴上对应的数。 *纵坐标（b）：过点 P 向 y 轴作垂线，垂足在 y 轴上对应的数。 (3)坐标的表示：点 P 的坐标记作 P(a, b)。 (4)各象限内点的坐标特征： 第一象限：(+, +) 第二象限：(-, +) 第三象限：(-, -) 第四象限：(+, -) (5)坐标轴上点的坐标特征： *x 轴上的点：纵坐标为 0，记作 (x, 0)。 *y 轴上的点：横坐标为 0，记作 (0, y)。 *原点：坐标为 (0, 0)。 3. 坐标与距离 (1)点到坐标轴的距离： 点 P (a, b) 到 x 轴的距离为 |b|（纵坐标的绝对值）。 点 P (a, b) 到 y 轴的距离为 |a|（横坐标的绝对值）。 (2)平行于坐标轴的直线上的点： 平行于 x 轴的直线上的所有点，纵坐标相同。 平行于 y 轴的直线上的所有点，横坐标相同。 【知识点03.轴对称与坐标变化】 1. 关于坐标轴对称的点的坐标变化规律 (1)关于 x 轴对称： 点 P (a, b) 关于 x 轴的对称点 P' 的坐标为 (a, -b)。 规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 (2)关于 y 轴对称： 点 P (a, b) 关于 y 轴的对称点 P'' 的坐标为 (-a, b)。 规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 (3)关于原点对称（拓展内容）： 点 P (a, b) 关于原点的对称点 P''' 的坐标为 (-a, -b)。 规律：横、纵坐标都互为相反数。 2. 图形的轴对称变换 方法：要作一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形，只需先求出图形上关键点（如顶点、端点）的对称点坐标，然后依次连接这些对称点，即可得到对称图形。 步骤： (1)确定原图形的关键点坐标。 (2)根据对称规律，求出各关键点的对称点坐标。 (3)在坐标系中描出这些对称点。 (4)按原图形的连接顺序，顺次连接各对称点，得到对称图形。 【知识点04.解题技巧与易错点警示】 一、 确定位置 核心方法：用一对有顺序的信息来确定一个点的位置。 方位角 + 距离：如 “北偏东 30°，100 米处”。 行列定位：如 “5 排 3 号”，记作 (5, 3)。 二、 平面直角坐标系 1.基本构成：由两条互相垂直且有公共原点的数轴（x 轴、y 轴）组成。 2.点的坐标：平面内任意一点 P，用有序数对 (a, b) 表示。 a 是横坐标（对应 x 轴）。 b 是纵坐标（对应 y 轴）。 3.象限与坐标特征： 第一象限：(+, +) 第二象限：(-, +) 第三象限：(-, -) 第四象限：(+, -) x 轴上的点：纵坐标为 0，如 (a, 0)。 y 轴上的点：横坐标为 0，如 (0, b)。 4.点到坐标轴的距离： 点 P (a, b) 到 x 轴的距离 = |b| (纵坐标的绝对值)。 点 P (a, b) 到 y 轴的距离 = |a| (横坐标的绝对值)。 三、 轴对称与坐标变化 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号。 点 (a, b) → (a, -b)。 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号。 点 (a, b) → (-a, b)。 作轴对称图形：找点 → 对称 → 连线。 1.找出原图形的关键点坐标。 2.求出各关键点的对称点坐标。 3.顺次连接对称点。 四、 解题关键与易错点 关键技巧： 1.确定位置的核心是有序数对。 2.判断象限看坐标正负。 3.求距离用绝对值。 4.对称变换记 “横同纵反”（x 轴）和 “横反纵同”（y 轴）。 常见错误： 1.混淆坐标顺序 (a, b)。 2.求距离时忘记加绝对值。 3.作轴对称图形时，连接对称点的顺序错误。 【题型1.有序数对的表示方法】 【典例】将正整数，，，，，，按如下表数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示，则用数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数阵中的规律探究（包括每行数字个数、排列方向及末尾数字特征），解题的关键是识别每行末尾数字为对应行数的平方，以及奇数行与偶数行的不同排列方向，进而确定2024所在的行数和列数． 先观察数阵得出核心规律：每行末尾数字是对应行数的平方，奇数行数字从右往左排列，偶数行从左往右排列，第行有个数字；再通过计算2024附近的平方数，确定其所在行数；最后根据该行排列方向和末尾数字，计算2024在该行的列数，从而得到数对． 【详解】解：观察数阵可知： 第行末尾数字为（如第1行尾，第2行尾，第3行尾）；奇数行数字从右往左排列，偶数行从左往右排列； 第行有个数字． 计算2024附近的平方数：，， 故第45行末尾数字为2025． ∵45是奇数， ∴第45行数字从右往左排列，且第45行有个数字． ∵第45行末尾数字2025对应数对（从右往左第1列）， ∴2024在2025右侧，对应第2列，即数对为 故答案为：． 【跟踪专练1】如图的密码表是用来玩听声音猜字母的，如果听到“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”表示的是“”，那么听到“叮—叮叮，叮叮叮—叮，叮—叮叮”时，表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了密码对应规律的探究与应用，解题的关键是根据已知“”的密码与字母对应关系，找出“叮叮”组合与密码表行列的对应规则． 先分析“”的密码与对应字母在密码表中的行列位置，提炼出“m叮—n叮”对应“n行m列”的规律；再将题目中的密码拆分，按规律找出每个密码对应的字母，最后匹配选项． 【详解】解：由“”的密码与密码表对应关系可得，规律为“m叮—n叮”对应密码表中n行m列的字母． “叮—叮叮”是1叮—2叮，对应2行1列的字母L； “叮叮叮—叮”是3叮—1叮，对应1行3列的字母M； “叮—叮叮”是1叮—2叮，对应2行1列的字母L， 组合为，对应选项D， 故选：D． 【跟踪专练2】若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位置与坐标，解题的关键是理解题目的规定，明确位置与坐标的对应关系． 根据有序数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数解答． 【详解】解：若电影院的排号记为， 则排号可记为； 故选：C 【题型2.用方向角和距离确定物体的位置】 【典例】如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 【跟踪专练1】钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图，下列描述能够准确表示钓鱼岛地点的是（   ） A．北纬 B．福建的正东方向 C．距离温州市约千米 D．北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，利用坐标确定位置的方法，即可解答． 【详解】解：A、选项仅提供纬度，缺少经度，无法确定具体位置； B、选项仅指出方向，未说明距离，无法精确定位； C、选项仅给出距离，缺乏方向，同样无法准确描述位置； D、选项同时包含纬度和经度的具体数值，符合用地理坐标准确定位的要求． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，以点O为观测点，点A的位置是南偏东方向处． （1）点B的位置是 ； （2）点C的位置是 ； （3）A，D两点间的距离为 ． 【答案】 北偏东方向处 北偏西方向处 50 【分析】本题考查方位角、勾股定理，根据图示可得点B，C的位置，连接，用勾股定理可求A，D两点间的距离． 【详解】解：（1）点B的位置是北偏东方向处； （2）点C的位置是北偏西方向处； （3）连接， 由图可得，，， ， 故答案为：北偏东方向处；北偏西方向处；50． 【题型3.直角坐标系中点的坐标表示】 【典例】已知，长方形在坐标平面内的位置如图所示，边和分别在x轴和y轴上，则点A的坐标为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平面直角坐标系，点的坐标等知识． 根据图形得出，，即可求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴点A的坐标为， 故选C． .【跟踪专练1】如图，已知，两点的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理，利用点，坐标、求得的长度，进而求出的长度即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点， ∴， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，且，若已知点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A与点C分别作x轴的垂线交x轴于点E与点D，根据点的坐标分别得出与的长，再根据证明，得出与的长即可求解． 【详解】解：如图，过点A与点C分别作x轴的垂线交x轴于点E与点D， ∵， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是． 故选：A． 【题型4.点到坐标轴的距离计算】 【典例】在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点到轴的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标平面上的点到坐标轴的距离,根据点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值即可求解. 【详解】解：∵点的坐标为，其纵坐标为， ∴点到轴的距离为， 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（    ） A．1 B． C．4或1 D．或 【答案】D 【分析】本题考查点到坐标轴的距离．根据点到两坐标轴的距离相等，可得点的横坐标与纵坐标的绝对值相等，即，解此绝对值方程即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 故选：D． 【跟踪专练2】矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形．在直角中利用勾股定理即可求得的长，则、的横坐标可以求得，则点的纵坐标就是点的纵坐标，由此得出点的坐标；设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，从而求得的纵坐标． 【详解】解：在直角中，， 则，即、的横坐标是， 则点坐标为； 设，则， 在直角中，， ， 则， 解得：． 故的坐标是． 【题型5.平面直角坐标系中点的象限判断】 【典例】在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查由点的坐标判断其所在象限，熟记象限中点的坐标符号特征是解决问题的关键． 点的横坐标为负，纵坐标恒为正，根据象限符号特点判断即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的横坐标、纵坐标， ∴ 点在第二象限， 故选：B． 【跟踪专练1】已知点在第一、三象限的角平分线上，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，象限内点的符号特点，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数． 利用一、三象限的角平分线上点横纵坐标相等求出坐标，继而判断所在象限． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在第一象限， 故答案为：一． 【跟踪专练2】下列说法不正确的是（    ） A．若，则点一定在第二、四象限的角平分线上 B．点到轴的距离是2 C．若中，则点在轴上 D．点可能在第二象限 【答案】C 【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 本题考查点坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义和所在象限的判断方法． 【详解】解：A、若，则x、y互为相反数，点一定在第二、四象限的角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意； B、点到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意； C、若点中，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意； D、因为，，所以点可能在x轴上，可能在y轴上，可能在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【题型6.根据点的象限确定参数取值】 【典例】在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，则a的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标， 点在第一象限的角平分线上，则横坐标与纵坐标相等． 【详解】解：由题意，得， 移项得， 解得． 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征．观察平面直角坐标系，根据点P的位置确定m的取值范围，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察平面直角坐标系可知：点P在第三象限， ， ， ，C，D选项不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，点，若，，即点，则表示点A到点的一个平移．例如：点，若，，则表示点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． 根据上述定义，探究下列问题： （1）已知点，点，则线段的长度是 ； （2）已知点，点，则线段的长度是 ； （3）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，点，若，（为正数），当 时，点在的直角边上． 【答案】 2 5 【分析】本题考查的是新定义，坐标与图形，勾股定理的应用，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）由点，点，利用两点间距离公式可得答案． （2）由点，点，根据勾股定理即可求出线段的长度． （3）由点的坐标为， 假设点在边上时求出m，检验是否在边上，若点在边上，检验是否在边上即可求解． 【详解】解：（1）∵点，点， ∴线段的长度是． 故答案为： （2）∵点，点， ∴线段的长度是． 故答案为： （3）∵，，，， ∴，， ∴点的坐标为， 当点在边上，则， 解得，此时点的坐标为． ∵， ∴当时，点在边上． 当点在边上，则，此时点的坐标为，在第四象限， ∴当时，点不在边上． 综上：当时，点在的直角边上． 故答案为： 【题型7.平面直角坐标系内点的坐标规律探究】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键．观察图形可以看出；；每个为一组，由于，在负半轴，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答． 【详解】解：观察图形可以看出；每个为一组， ， 在负半轴，纵坐标为， 的横坐标分别为， 则的横坐标为, 的横坐标为， 的坐标为． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段，垂足为；线段，，垂足为；线段，垂足为，……，按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标点的规律问题，合理找出规律是解题的关键． 找出变化为偶数时的规律，求出，再向下平移一个单位即可解答． 【详解】解：由题意可得：当变化为偶数时，则有： ∵， ， ， ， ∴， ∴为向下平移1个单位，即， 故答案为：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探究，理解友好点的定义是解题的关键． 根据友好点的定义，计算前5个点的坐标，发现点的坐标每4个点为一个循环，进而确定的坐标，再根据友好点的定义得到的友好点为，即可得出答案． 【详解】解：∵点的友好点为，的坐标为 ∴的坐标为，即， 同理可得，的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， …… ∴点的坐标每4次为循环， ∵，， ∴的坐标为，的坐标为， ∵，， ∴的友好点为， ∴点的友好点为， 故选：B． 【题型8.由平移变换确定点的坐标】 【典例】点先向上平移3个单位，再向左平移4个单位得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移变换，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．让P的横坐标减4，纵坐标加3即为移动后点P的坐标． 【详解】解：由点平移规律可知：点P的横坐标为；纵坐标为， ∴点P的坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练1】将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 由点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，知点P坐标为，再根据点P正好落在x轴上知，得出m的值，据此可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P， 则点P坐标为， 由点P正好落在x轴上知， 解得， 则， 点P坐标为， 故选： 【跟踪专练2】如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点平移的坐标变化规律，掌握点的坐标变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”成为解题的关键． 先根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，然后再确定点的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴将线段向左平移4个单位，向下平移1个单位得到线段， ∴点的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 【题型9.坐标系中点的轴对称变换】 【典例】年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：由题知，点和点关于轴对称， 因为点坐标为， 所以点的坐标为 故选：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作关于的对称点，连接交于，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知点和点关于x轴对称，则的值为（） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴横坐标相等：，纵坐标互为相反数：． 解得：；． ∴． 故选：B． 【题型10.坐标系中的动点问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中点，点A，B，C，D的坐标分别是点，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照设A→B→C→D→A→…的方向不断移动，点P的移动速度为每秒1个单位长度，当第2025秒时点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的运动规律，点的坐标等知识点，解题的关键是找出点的运动规律． 确定点的运动规律，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得，点是周期运动规律，运动周期为8秒， ∴， ∴此时，点P的坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 【跟踪专练2】已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【题型11.已知两点坐标求线段长度】 【典例】已知点，下列说法正确的是（   ） A．点P在第二象限 B．点P到x轴的距离为3 C．点P到y轴的距离为4 D．点P到原点的距离为5 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是掌握各象限内点的坐标符号、点到坐标轴的距离以及点到原点的距离的计算方法． 分别根据各象限内点的坐标符号、点到轴和轴的距离公式、两点间距离公式（点到原点的距离），对每个选项进行分析判断． 【详解】解：∵点P的坐标为， A、横坐标，纵坐标，点P在第四象限，A错误； B、点P到x轴的距离为，B错误； C、点P到y轴的距离为，C错误； D、点P到原点的距离为，D正确． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，勾股定理，构建直角三角形是解答关键． 过点作轴于点，易得到和的长度，再利用勾股定理求解． 【详解】解：过点作轴于点，如下图 ， ， ， ， 正方形的边长是． 故答案为：． 【跟踪专练2.】若点，可知，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式看成点到两点和的距离之和，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：， ∵把式看成点到两点和的距离之和， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即的值最小，且最小值为的长， ∵， ∴的最小值为5， 故选：B． 【题型12.坐标法在实际场景中的位置表示】 【典例】天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点 A 的坐标是，点 C 的坐标是，则点 B 的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标表示位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．根据点A和点C的坐标，建立平面直角坐标系，即可得出点B的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标是，点C的坐标是， 建立如图所示平面直角坐标系， 由图可知，， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是某学校的平面图，如果教学楼所在位置的坐标为，图书馆所在位置的坐标为，则多功能厅所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了建立直角坐标系并求点的坐标． 根据题意建立直角坐标系，根据直角坐标系作答即可． 【详解】解：根据题意建立坐标系如下： 则多功能厅所在位置的坐标为． 故选：D． 【跟踪专练2】重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；由题意先画出平面直角坐标系，然后根据题意可得点，，，进而根据中点坐标公式可得，，最后代入题中所给重心坐标公式可进行求解． 【详解】解：所建平面直角坐标系如图所示： ∵，，，， ∴，，， ∵是矩形的对角线，且交于一点， ∴点是的中点， ∴根据中点坐标公式可得，即， 同理可得， ∴，， ∴此“L”形的重心坐标为； 故答案为． 1．在数轴上，点、在原点的两侧，分别表示数、2，将点向右平移3个单位长度，得到点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴两点间的距离，数轴上的平移计算，绝对值方程的求解，熟练掌握平移，解绝对值方程是解题的关键．根据题意，点C表示的数为，确定，根据，建立方程解答即可． 【详解】解：点、在原点的两侧，分别表示数、2， 故点A一定在原点的左侧， 故， 根据题意，点C表示的数为， 故， 由， 得， 解得，（舍去）， 故a的值为， 故答案为：． 2．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则为 ． 【答案】120或300 【分析】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键． 设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C的位置，即可得到答案． 【详解】解： 如图：设中心点为点O，在中， ， ， 是直角三角形，且 ∴C的位置为：或． 故答案为：120或300 3．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示2024的有序数对． 根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2024在第多少排，然后即可写出表示2024的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有：个数， ∵当时，， 当时，， ∴2024在第64排， ∵， ∴表示2024的有序数对是． 故选：C． 4．如图，已知，，，，，，，，，…则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ∵，， ∴是第组第二个数，坐标为：， 是第组第三个数，坐标为：， 故答案为：，． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出四边形是长方形及求出四边形的周长是解题的关键．根据题意可求出四边形的周长，再根据移动2025个单位，即可得出移动后的动点坐标． 【详解】解：因为，，，， 所以，，，，且四边形是长方形， 则长方形的周长为：． 因为， 则， 所以移动了2025个单位后动点在点C的右边3个单位处， 则， 所以移动了2025个单位后动点的坐标为． 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，则图中的的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系、等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，取点，连接，，，则可知，都是等腰直角三角形，则，，从而得解． 【详解】解：如下图取点，连接，，， 则，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与几何图形，垂线段最短，解题的关键在于利用等面积法求解．根据N为线段上一动点，P为线段上一动点，过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接，根据求解，即可解题． 【详解】解：过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接， ，，， ， ， ， 即的最小值为4， 故答案为：4． 8．如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称的性质及勾股定理的应用，利用轴对称的性质，分别过点A和点B作关于x，y轴的对称点，，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P，此时点，Q，P，四点共线，从而得出四边形的周长最小值为，然后求出点，的坐标，再利用勾股定理求得和的长度即可． 【详解】解：如图，过点A作关于y轴的对称点，过点B作关于x轴的对称点，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P， ∴当点，Q，P，四点共线时，则，即， ∵点A为，点B为， ∴点为，点， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的相关知识点． 根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离的计算及周期规律问题．先求出四边形的周长，再用细线的长度除以周长得到绕的圈数和余数，最后根据余数确定细线另一端所在的位置坐标． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线从点A出发，按的顺序缠绕，在绕了201圈后，细线回到起点A，剩余的长度为5，从A点开始继续缠绕， ∴从A到B的长度是2，从B到C的长度是3， ∵， ∴剩余的5个单位长度刚好是从A点经过B点到达C点， ∴细线另一端所在位置的点的坐标是C点的坐标，即． 故选：C． 11.在教材第23页综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现长方形的重心在两条对角线的交点处，则如图a所示，长方形中，点，则求出a图的重心坐标为 ；而对于复杂的几何图形而言我们有分割法，可以将几何图形分割成若干个规则图形，求出各自的重心，再找其所在的关系．例如，对于正方形而言可以分割成两个长方形面积分别为， ，则正方形的面积为，正方形的重心坐标与两个长方形的重心坐标，之间的关系为，，已知图b中， ， ， ，则求出b图形的重心坐标 （结果保留小数点后一位） 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质和有理数的混合运算，根据矩形的重心求解方法即可得到长方形重心坐标；先延长交于点F，将图形分割为长方形和长方形，分别求得其重心和面积，利用已知公式求解即可． 【详解】解：根据题意可知，图中长方形的对角线坐标为， 延长交于点F，如图， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴长方形的重心坐标，面积为， ∵， ， ， ∴长方形的重心横坐标为， ∴长方形的重心坐标，面积为， ∴b图形的重心坐标，， 则b图形的重心坐标， 故答案为：，． 12.下图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏______度的方向行1千米到达邮局；再向______行______千米到达广场；由广场向北偏______度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 【答案】(1)南50；正东；2.7；东40； (2)公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 【分析】本题考查的是根据方向和距离，确定物体的位置； （1）依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”就可以直接填写答案； （2）先求出整个过程中的总路程，算出总时间，即可求出平均速度． 【详解】（1）解：4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行千米到达广场；由广场向北偏东40度的方向行0.8千米到达公园， 故答案为：南50；正东；2.7；东40； （2）整个过程的总时间为：（分钟）（小时） 整个过程的总路程为：（千米）， 所以平均速度为：（千米/时）， 答：公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 13．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 14．如图，小航设计了一个的“相反数”转换方阵，其工作程序是：点击任意一个方格， 它本身以及它上、下、左、右的方格中的数均会变为原来的相反数．其中第2行第1 列的方格记为， 如：点击方格， 那么方格、、、四个方格中的“”均会变为“”． （1）依次点击方格，后，第3行的3个数从左到右分别是 ； （2）若要将方格中的数“”变为“”，同时要求其它方格中的数均为“”， 则需要点击方格的最少次数是 【答案】 、、 5次 【分析】本题考查了“相反数”转换方阵，熟练掌握相反数定义，“相反数”转换方阵的工作程序是解题的关键 （1）点击方格后，第3行的3个数从左到右分别是、、，点击方格后，第3行的3个数从左到右分别是、、； （2）要点击，，，，，至少5次． 【详解】解：（1）依次点击方格后，“相反数”转换方阵中的数如图所示，第3行的3个数从左到右分别是、、，点击方格后，第3行的3个数从左到右分别是、、，“相反数”转换方阵如下： （2）第一次点击，“相反数”转换方阵如下： 第二次点击，“相反数”转换方阵如下： 第三次点击，“相反数”转换方阵如下： 第四次点击，“相反数”转换方阵如下： 第五次点击，“相反数”转换方阵如下： 符合要求，需要点击方格的最少次数是5次． 故答案为：5次． 15．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，． 16．在平面直角坐标系中，是给定的边形．我们称如下的变换为一次“－轴反射变换”：将平面内一点X沿直线进行翻折得到点；将点沿直线翻折得到点；…；将点沿直线翻折最终得到点．并记点为点X在“－轴反射变换”下的像点．请回答下列问题： (1)如图1，若是给定的等腰直角三角形，顶点坐标为，，，则点在此“－轴反射变换”下的像点的坐标为______； (2)如图2，若是给定的四边形，顶点坐标为，，，，点在此“－轴反射变换”下的像点的坐标是，则点的坐标为______；四边形内一点的像点的坐标是______（用含的代数式表示）； (3)如图3，若是给定的平面内一个等边三角形，点P是此三角形内（不含边界）一点，对点P进行一次“－轴反射变换”得到点，是否存在点P使得和P重合？如果存在，请在图中给出点P的具体位置；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了坐标与图形、轴对称的性质、垂直平分线的判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由题意得，直线为，直线为，直线为，再根据轴对称的性质依次求出点、、的坐标即可； （2）由题意得，直线为，直线为，直线为，直线为，设点的坐标为，根据轴对称的性质表示出点的坐标，结合点的坐标是，求出点的坐标，同理即可表示出点的坐标； （3）连接、、、，作的垂直平分线，根据轴对称的性质得到，进而推出的垂直平分线经过点，再根据轴对称的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴直线为，直线为，直线为， ∴点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， 故答案为：； （2）解：∵，，，， ∴直线为，直线为，直线为，直线为， 设点的坐标为， ∴点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， ∵点的坐标是， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； ∵点， ∴同理可得，点的坐标是； 故答案为：；； （3）解：不存在，理由如下： 由题意得，点沿直线进行翻折得到点，点沿直线进行翻折得到点，点沿直线进行翻折得到点， 如图，连接、、、，作的垂直平分线， 由翻折的性质得，， ∴的垂直平分线经过点， ∵点沿直线进行翻折得到点， ∴直线是的垂直平分线， 假设点和P重合，则直线与直线重合， ∴直线经过点，与题意矛盾， ∴点与点P不重合， 即不存在点P使得和P重合． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，a，b，c满足． (1)__________，__________，__________． (2)如图1，若点D为y轴负半轴上的一个动点，连接交x轴于点E，是否存在点D，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若第一象限内的线段是由线段平移而成，点，连接，，若交于点Q． ①求与的面积差，并求出点Q的纵坐标（都用含n的式子表示）； ②若的面积为27，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)；6；4 (2) (3)①；；② 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b、c的值； （2）过点C作轴于N，连接交轴于M，连接，设，根据可建立方程求出，则；根据的面积等于的面积，可证明，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）①过点Q作轴于T，延长交y轴于H，连接，由平移的性质可得，则；设，则，根据，，可得，，可求出，则，据此可得； ②根据题意可得，解得，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点C作轴于N，连接交轴于M，连接，设， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图所示，过点Q作轴于T，延长交y轴于H，连接， 由（1）得， ∵第一象限内的线段是由线段平移而成，点， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②∵的面积为27， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，非负性的性质等等，正确作出辅助线利用割补法转换图形的面积是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $