四川省成都市石室中学2025-2026学年高二上学期数学作业（一）空间向量与立体几何

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何核心知识，通过基础概念辨析（如零向量性质、投影向量）与复杂空间问题（如四棱锥线面角、二面角计算）探究，分层考查空间观念与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量概念、投影、共面条件|第1题辨析零向量方向等基础概念，第6题结合正方体中点线面位置关系| |多选题|4题|共面判断、基底、方向向量与法向量|第9题综合考查向量共线、共面及基底性质| |填空题|4题|对称点坐标、距离最值|第14题长方体中线段长度最小值，体现空间距离计算| |解答题|6题（10+12*5分）|向量计算、线面平行证明、线面角、二面角|第19题四棱锥中证明线面平行并求线面角正弦值，融合空间想象与逻辑推理|

国庆作业（一） 空间向量与立体几何复习题 一、单选题： 1.给出下列命题： ①零向量的方向是任意的; ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同; ③若空间向量，满足，则 ④空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确命题的个数为(     ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.空间向量在上的投影向量为(     ) A. B. C. D. 3.已知，，，若P，A，B，C四点共面，则(     ) A. 3 B. C. 7 D. 4.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为(     ) A. B. C. D. 5.已知，，，O为坐标原点，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为(     ) A. B. C. D. 6.如图所示，在正方体中，E是棱的中点，点F在棱上，且，若平面，则     A. B. C. D. 7.在正四棱柱中，，，点O，分别为正方形ABCD与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线CM与平面夹角的正弦值为(     ) A. B. C. D. 8.如图是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围是(     ) A. B. C. D. 二、多选题： 9.下面四个结论正确的是(     ) A. 空间向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 任意向量，，满足 10.下列说法命题正确的是（ ） A. 已知，则在上的投影向量为 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D. 若向量（是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 11.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则     A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则在上的投影向量的坐标为 12.在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内含表面，且满足，记动点P的轨迹为，则     A. 的面积为 B. 平面与所在平面平行 C. 当时，存在点P，使得 D. 当时，三棱锥的体积为定值 三、填空题： 13.已知点关于坐标平面Oxy的对称点为，点关于坐标平面Oyz的对称点为，点关于z轴的对称点为，则          . 14.如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点P为线段上一点，则最小值为          .  15.在正三棱锥中，是的中心，，则_______． 16.如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为          . 四、解答题： 17.本小题10分 已知 （1）求向量的坐标； （2）设向量，求； （3）若，求k的值. 18.本小题12分 如图，在三棱柱中，，，，点D满足 （1）用表示； （2）若三棱锥的所有棱长均为2，求及 19.本小题12分 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，E为PD的中点． （1）求证：平面PAB； （2）当平面平面ABCD时，求直线BE与平面PCD所成角的正弦值． 20.本小题12分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，， （1）证明：平面平面 （2）若平面PBC与平面ABCD的夹角为，求点C到平面PAB的距离. 21.本小题12分 如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，， （1）求证：平面AEG； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由. 22. 本小题12分 如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． （1）求点P到平面ABCM的最大距离； （2）若棱PB的中点为N，求CN的长； （3）设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 参考答案 1.D  2.C  3.C  4.A  5.C  6.C  7.D  8.C  9.ABC  10.ACD 11.BCD  12.ACD  13.  14.  15.16 16.  17.解：由， 得；……3分 由得，而，因此， 所以；……6分 由知，， 由，得 ，所以……10分 18.以， 所以……4分 因为三棱锥的所有棱长均为 所以，<，，，， ， 所以 ， …12分 19.解：证明：取PA的中点F，连接EF，BF， 为PD的中点，且， 又，，且， 四边形BCEF是平行四边形，， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB；……6分 取AD的中点为O，连接OC， ，， 又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD， 平面ABCD， ，，，， ，OD，OC两两垂直， 以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ，，，，， ，，， 设平面PCD的法向量为， 则， 令，得，， 故平面PCD的一个法向量为， ， 直线BE与平面PCD所成角的正弦值为 ……12分 20.解：证明：因为平面平面ABCD，且相交于AD，，平面ABCD， 所以平面PAD， 因为平面PAB， 所以平面平面PAD；……5分 取AD的中点O，连接PO， 因为，所以， 因为平面平面ABCD，且相交于AD，平面PAD， 所以平面ABCD， 以O为坐标原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，平面PBC的法向量为， 因为，， 所以，令，得， 平面ABCD的一个法向量为， 因为平面PBC与平面ABCD的夹角为， 所以⟨⟩，所以， 设平面PAB的法向量为， 因为，， 所以， 令，得， 因为， 所以点C到平面PAB的距离……12分 21.解：证明：连接 FG，在中， F， G分别为 SD， SB的中点， 所以， 又因为平面 AEG，平面 AEG， 所以平面……3分 解：因为平面 ABCD， AB，平面 ABCD， 所以，，又，所以， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面 SCD的法向量为， 则 ，即 令，得，， 所以平面 SCD的一个法向量为， 又平面 ESD的一个法向量为， 所以， 由图形可知，二面角的余弦值为……7分 存在，理由如下： 假设存在点 H，设， 则， 由知，平面 SCD的一个法向量为， 则⟨⟩， 即，所以，则， 故存在满足题意的点 H，此时 ……12分 22.（1） 由题意可知，当平面平面时， 点P到平面ABCM的距离最大， 因为，，点是边的中点， 所以，取的中点为，连接， 则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以P到平面ABCM的最大距离为.4 （2） 取中点，连接，， 则因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以.……8分 （3）连接， 因为，所以， 所以为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 过作于点，由题意得平面， 设，所以，， 所以，所以， ， 设平面的法向量为， 则，， 令，则， 设平面的法向量为， 因为， 则，可得， 令，则， 设两平面的夹角为， 则 ， 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为.……12分 第3页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $