四川省成都市石室中学2025-2026学年高二上学期第十次数学周考试题

石室中学高2027届高二上期第十周数学周练 一、单选题（每题5分） 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．“”是“函数能取尽大于0的所有实数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，且，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在长方体中，是的中点，是的中点，与相交于点.若，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，其中，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．正方体的顶点在平面内，三条棱，都在平面同侧.若顶点到平面的距离分别为，则该正方体外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分） 9．下列说法正确的是（   ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D．过两点的直线方程为 10．已知m、n是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．已知两个向量，，且，则 D．若平面的法向量，，则点到平面的距离是2 12．已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 三、填空题（每题5分） 13．已知，则 ． 14．若以连续两次掷均匀骰子得到的点数，作为点的横、纵坐标，则点在直线上的概率为 15．已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上，则此圆的标准方程为 ． 16．已知点，圆上两点，且M，P，N三点共线，则的最小值为 ． 四、解答题 17．（10分）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线在轴上的截距． 18．（12分）已知圆M过点 (1)求圆M的方程； (2)过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 19．（12分）在锐角中，角所对的边分别为为边上一点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的值． 20．（12分）如图1，在直角梯形中，，，，E是的中点，将矩形沿折起，如图2，且. (1)求证：平面平面； (2)若点F在线段上，求点F到平面的距离； 21．（12分）甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战． (1)求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率； (2)求进行两局比赛后，比赛结束的概率； (3)求比赛结束后，甲获胜的概率． 22．（12分）在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若二面角是直二面角，求的长； (3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 石室中学高2027届高二上期第十周数学周练（答案） 《石室中学高2027届高二上期第十周数学周练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A C B D A AD AC 题号 11 12 答案 BC ACD 6．B 【详解】，，， ，当且仅当时取等号，的最大值是3．故选：B． 7．D 【详解】由题意得直线方程为，变形为， 可知直线过定点， 由可知， 当直线上存在点满足时，即直线与线段有交点， 如图所示，， 又因为直线的斜率不为0，所以直线斜率在， 直线倾斜角的范围为.故选：D. 8．A 【详解】以为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体棱长为，则， 设平面的法向量为，则由顶点到平面的距离分别为， 可得，即，则. 将三个等式平方相加可得：，则， 所以正方体外接球半径，所以外接球表面积.故选：A. 11．BC 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即，所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C，因为，所以，得，正确， 对于D，因为平面的法向量，， 所以点到平面的距离是，D错误； 故选：BC 12．ACD 【详解】由圆知：圆心，半径； 对于A，当时，圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为，A正确； 对于B，当时，圆心到直线的距离， ，圆上到直线的距离为的点有个，B错误； 对于C，为圆的两条切线，，， ，， ，当时，取得最小值， 四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为：； 当或时，在处切线的斜率为， 在处切线方程为：， 又，整理可得该切线方程为：； 当或，在处切线满足方程； 综上所述：在圆上一点处的切线方程为； 设， 则直线，直线， 设，则， 坐标满足方程，即直线方程为：； 为直线上的动点，， 直线，整理可得：， 令，解得：，直线恒过定点，D正确. 故选：ACD. 13．/ 14． 15． 16．48 15． 【详解】设圆心的坐标为，则有， 整理求得，故圆心为，， 则圆的方程为．故答案为： 16．48 【详解】由题意，M，P，N三点共线，设T为的中点， M，T，N在直线的射影分别为，，， 点O到直线的距离， ∴与圆相离，如图： 而，易得，即， ∴T在以为直径的圆C上，其中圆心，∵， ∴当C，T，共线，且T在C，之间时取等号． ∴的最小值为．故答案为：48． 17．(1) (2) 【详解】（1）由题意可得边上的高线所在的直线方程为， 设直线的方程为， 将代入可得：，即， 所以直线的方程为：， 由题意可得为直线与的交点，即，解得， 即. （2）设，则的中点， 则， 解得，即，可得， 所以直线的方程为：， 令，得所以直线在轴上的截距为． 18．(1) (2)或 【详解】（1）设圆， 则，解得，满足， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）知，，半径， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，故，解得，此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 19．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 所以，则， 因为在锐角中，，则，由正弦定理得，得证. （2）因为为三角形内角，故， 由平分得， 由得， ， 所以，解得. 由得，，所以.所以. 20．(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在矩形中，， 因为，E是的中点，所以 ，， 图2中，在中，， 因为，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知，，，， 所以以为坐标原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以平面的一个法向量为， 设点F到平面的距离为，则，所以点F到平面的距离为. 21．(1)；(2)(3). 【详解】（1）记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件， 记比赛两局结束且甲获胜为事件，则， 所以.故进行两局比赛且甲获胜的概率为． （2）记第一局由甲、乙对战两局后比赛结束为事件，则 所以，则两局后比赛结束的概率为. （3）设比赛结束后，甲获胜的概率为， 则， 则比赛结束后，甲获胜的概率为. 22．(1)证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）连接，在矩形中得且为的中点， 在中， 为的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，，，，，且， 则，． 设平面的一个法向量，则取得． 同理可取平面的一个法向量． 因此，得．解得．所以． （3）由题可知，． 学科网（北京）股份有限公司 $