专题01 期末复习易错题47个考点（举一反三期末专项训练）八年级数学上学期沪科版2024

专题01 期末复习易错题47个考点 【沪科版2024】 【考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征】 2 【考点2 坐标与图形性质】 4 【考点3 轴对称与坐标变化】 7 【考点4 函数的相关概念】 9 【考点5 一次函数的定义】 11 【考点6 一次函数的图象】 13 【考点7 一次函数的性质】 15 【考点8 一次函数图象上点的坐标特征】 17 【考点9 待定系数法求一次函数解析式】 19 【考点10 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 22 【考点11 根据实际问题列一次函数关系式】 24 【考点12 一次函数的应用】 27 【考点13 三角形的相关概念】 32 【考点14 三角形的三边关系】 33 【考点15 三角形的稳定性】 35 【考点16 三角形的中线】 37 【考点17 三角形的角平分线】 40 【考点18 三角形的高】 42 【考点19 三角形的内角和定理】 45 【考点20 三角形的外角性质】 48 【考点21 直角三角形的性质】 51 【考点22 全等图形】 53 【考点23 全等三角形的性质】 56 【考点24 全等三角形的判定SSS】 58 【考点25 全等三角形的判定SAS】 60 【考点26 全等三角形的判定ASA】 63 【考点27 全等三角形的判定AAS】 65 【考点28 直角三角形全等的判定HL】 68 【考点29 全等三角形的判定与性质】 70 【考点30 角的平分线的性质及判定】 76 【考点31 尺规作角平分线】 81 【考点32 生活中的轴对称现象】 85 【考点33 轴对称的性质】 89 【考点34 轴对称图形】 91 【考点35 线段垂直平分线的性质及判定】 93 【考点36 尺规作线段垂直平分线】 97 【考点37 关于坐标轴对称的点的特征】 101 【考点38 作图-轴对称变换】 104 【考点39 设计轴对称图案】 109 【考点40 等腰三角形的性质—等边对等角】 112 【考点41 等腰三角形的性质—三线合一】 115 【考点42 等腰三角形的判定—等角对等边】 118 【考点43 等腰三角形的判定与性质】 121 【考点44 等边三角形的性质】 127 【考点45 等边三角形的判定】 132 【考点46 等边三角形的判定与性质】 136 【考点47 含30°角的直角三角形的性质】 141 【考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征】 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了坐标的性质．点A的坐标是，其到x轴距离为，到y轴的距离为，则 ；又由点A在y轴的右侧可知A的横坐标为正数，即，据此即可求出a的值． 【详解】解：由题可知， 即或， 解得， 故答案为：3． 2．（24-25七年级下·海南·期末）已知点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握x轴上的点纵坐标为0是解题的关键． 根据x轴上的点纵坐标为0可得，然后再解方程即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得：． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)5 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5． （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； （3）解：点的长距为4，且点在第二象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到x轴、y轴的距离都是5， 是“完美点”． 4．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8；④已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，且它的纵坐标是，三角形的面积记为，则．其中正确的是有 ． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可． 【详解】由横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”， 则①第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法①正确； ②∵第三象限的横、纵坐标都为负数， ∴第三象限内不存在“吉祥点”，故说法②正确； ③∵，， ∴轴， ∵点是“吉祥点”且在坐标轴上， ∴点或， 则到直线的距离为或，故说法③错误； ∵，， ∴轴，， ∵点是第一象限内的“吉祥点”， ∴设，则有：， 根据题意可知：， ∴，故说法④正确； 综上可知，说法①②④正确； 故答案为：①②④． 【考点2 坐标与图形性质】 1．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 分三种情形画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图， 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，如图，过作于，过作于，再利用割补法求解面积即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∵，，，， ∴，，，，， ∴四边形的面积是． 故选：C 3．（24-25七年级下·全国·期末）若点，点，点P在y轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设，利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出即可． 【详解】解：如图，设， 由题意：， 或， 或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 (1)求点的坐标． (2)当点移动4秒时，请求出点的坐标． (3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点B的坐标是； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点移动4秒时，点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是； （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，存在两种情况： 第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 综上分析可知：在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 【考点3 轴对称与坐标变化】 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，掌握关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 先求出点关于x轴的对称点的坐标，再根据坐标确定象限即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点的坐标为， ∴在第二象限． 故选：B． 2．已知点，关于点对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可知：对称中心是对应点联线的中点，根据对称中心的与两点的关系列式计算即可得解． 【详解】解：设点的坐标为， 点与点关于点对称， ， 解得：，， 故点的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的知识，主要利用了对称中心与两对称点坐标的关系．掌握平面直角坐标系中线段中点公式是解题关键． 3．点P(－1－2a，5)关于x轴的对称点与点Q(3，b)关于y轴的对称点重合，则点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为 ． 【答案】(1，5) 【分析】根据坐标系中点关于坐标轴对称的坐标特征写出对应点的坐标，再根据题中的等量关系式列出方程求解即可. 【详解】解：∵点P(－1－2a，5)关于x轴的对称点的坐标为（－1－2a，-5)， 点Q(3，b)关于y轴的对称点的坐标(-3，b)， ∴解之得a=1,b=-5. ∴点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为(1，5). 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点关于坐标轴对称的点的坐标特征，正确理解点关于坐标轴对称的点的坐特征是解题的关键. 4．若过点的直线与轴平行，则点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据MN与x轴平行可以求得M点坐标，进一步可以求得点M关于y轴的对称点的坐标．　　 【详解】解：∵MN与x轴平行，∴两点纵坐标相同，∴a=-5，即M为（-3，-5） ∴点M关于y轴的对称点的坐标为：（3，-5） 故答案为（3，-5）． 【点睛】本题考查图形及图形变化的坐标表示，熟练掌握各种图形及图形变化的坐标特征是解题关键．　　　　 【考点4 函数的相关概念】 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键．根据函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）甲以每小时10的速度行驶时，他所走过的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（   ） A．数10和s，t都是变量 B．s是常量，数10和t是变量 C．数10是常量，s和t是变量 D．t是常量，数10和s是变量 【答案】C 【分析】本题考查变量和常量，熟练掌握基本概念是解决问题的关键． 根据变量和常量的概念，结合公式进行判断． 【详解】解：在中，数10是常量，s和t是变量， 故选：C． 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，解决本题的关键是圆圆观看了的杂技表演． 根据题意可知，圆圆在内，离家距离是，再由观看了的杂技表演可知此时距离不变，再由回家用了，可知在第时圆圆到家，由此判断图象即可． 【详解】解：∵从家出发走了到达离家的广场， ∴圆圆在第时，离家距离是， ∵圆圆观看了的杂技表演， ∴圆圆的离家距离不变，依然为， ∵圆圆再用回到家中， ∴圆圆在第时，到达家中， 由此可知可以表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是A选项． 故选：A ． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）中牟西瓜是河南中牟的水果类特产，享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”的美誉．研究发现，某品种西瓜的甜度与每日的光照时长有如下关系： 每日光照（h） 4 5 6 7 8 9 10 11 12 西瓜甜度（） 则以下说法错误的是（    ） A．在这一变化过程中，每日光照时长是自变量，西瓜的甜度是因变量 B．随着光照时长的增加，西瓜的甜度越来越高 C．为了保证西瓜更甜，最适合的光照时长约为小时 D．估计当光照时长大于时，西瓜甜度小于 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义和性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据表格中的数量关系逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由表格可知，该选项正确，不符合题意； B. 随着光照时长的增加，西瓜的甜度先逐渐增加，再逐渐降低，该选项错误，符合题意； C. 由表格可知，该选项正确，不符合题意； D. 由表格可知，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【考点5 一次函数的定义】 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此逐个选项分析． 【详解】解：A、是一次函数，也是正比例函数，故本选项不符合题意； B、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、是一次函数，但不是正比例函数，故本选项符合题意； D、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选C． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期末）写出一个图象经过点的正比例函数解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查求正比例函数解析式，运用待定系数法求解即可． 【详解】解：设图象经过点的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴这个正比例函数解析式为． 故答案为： 3．表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般形式（k，b为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是①④， 故选：D． 4．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得，且，从而可得答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， 则，且， 解得， 故答案为：． 【考点6 一次函数的图象】 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像不经过第三象限 B．点在直线上 C．图像与直线平行 D．若点，在该函数图像上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【详解】解：A．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意； B．∵时，， ∴函数图像必经过点，故本选项正确，不符合题意； C．∵与的k均为， ∴的图像与直线平行，故本选项正确，不符合题意； D．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 3．已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据的图象经第二、四象限，判断出，可知的图象中，y随x值的增大而减小，由此可解．解题的关键是根据经过的象限判断出k值的正负． 【详解】解：∵（）的图象经第二、四象限， ∴， ∴的图象中，y随x值的增大而减小， 若，则， ∴，， ∴． 反之，也成立，即， 故答案为：． 4．已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象不经过第一象限，得出，，判断出函数的增减性，再把和代入函数解析式得出函数值，再根据当时，的最大值与最小值的差为5，得出，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：一次函数的图象不经过第一象限， ，， 随着的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为5， ， 解得：， 故答案为：． 【考点7 一次函数的性质】 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，判断k的属性解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A.中，，符合题意； B.中，，不符合题意； C.中，，不符合题意；     D.中，，不符合题意； 故选：A． 2．已知点和点都在上，则a和b大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数图象的增减性，结合点和点纵坐标的大小关系，即可得到答案． 【详解】一次函数图象上的点，y随着x的增大而增大． 又：点和点都在直线上，且． ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键． 3．（24-25八年级下·上海静安·期末）如果是函数图象上不同的两点，那么的计算结果 ．（填“”、“”、“”或“不能确定”） 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小． 【详解】解：， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：． 4．关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②随x的增大而增大； ③函数的图象与函数的图象的交点一定在第一象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则 上述结论正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提． 根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可． 【详解】解：①当时，，当时，，而一次函数，y随x的增大而增大，所以，所以①正确； ②一次函数，y随x的增大而减小，因此②不正确； ③联立，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为，当时，，此时交点在第四象限，所以③不正确； ④若点在函数图象上，在函数图象上，则， ，即，，当时，，即，因此④正确． 综上所述，正确的结论有①④． 故选A． 【考点8 一次函数图象上点的坐标特征】 1．若、、三点在一条直线上，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一次函数的性质和待定系数法求解析式，根据已知点A和点B求得直线解析式，再次将点C代入即可求得a． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得 直线解析式为 把代入解得． 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）已知正比例函数（k是常数，）的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点满足函数解析式成为解题的关键． 先利用已知点求出正比例函数的比例系数k，得到函数解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入正比例函数解析式，得：，解得：． ∴正比例函数解析式为， A．将代入得，即不在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意； B．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意； C．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意； D．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意． 故选B． 3．若点关于y轴的对称点在一次函数的图象上，则k的值为（） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于轴、轴对称的点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程是解题的关键． 由点的坐标，可找出点关于轴的对称点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：点关于轴的对称点为． ∵点在一次函数的图象上， 解得：， 故选：D． 4．将若干个正方形按如图所示方式放置，每个正方形有一个顶点在直线上，两个顶点在x轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】 先根据解析式求得的坐标，再根据正方形的性质求得的坐标，从而得到坐标的规律，据此求得的纵坐标． 【详解】解：当时，， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 当时，， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ 同理可得：， ∴． 故填：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，正方形的性质，找到点坐标的规律是解题的关键． 【考点9 待定系数法求一次函数解析式】 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键． 先将，两点的坐标代入,运用待定系数法求出一次函数的解析式为，再根据“左加右减、上加下减”的原则得出新的直线表达式． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ∴， 将图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中过每两个点的一次函数图象，并得到对应的函数表达式为：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，比较函数值的大小，利用待定系数法分别求出三个函数的解析式，再求出相应的值进行比较即可． 【详解】解：设直线的表达式为：， 将代入， 得：，解得： ； 设直线的表达式为：， 将代入， 得：，解得： ； 设直线的表达式为：， 将代入， 得：，解得： ； ∴，，的值，其中最大的值等于， 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)该函数经过一点，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，求函数值，掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入（1）中函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：与成正比例， ∴设， 将，代入，得， ∴ ∴，即； （2）解：∵函数经过一点， ， 解得． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得两个一次函数的相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点， ∴经过点， ∴， 解得； ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵，是一次函数图象上的两点，且 ∴． 【考点10 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知直线过点和点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解． 根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴的交点坐标是点， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 利用待定系数法，将点代入，求得的值，解不等式即可． 【详解】解：将点代入得： ， 解得， 则 解得， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线经过点，，直线与该直线交于点． (1)求两直线交点的坐标； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是待定系数法求解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是会用待定系数法求直线解析式． （1）利用待定系数法代入求出直线的表达式即可；两直线的解析式联立方程组，解方程组得到点的坐标； （2）根据图象，找出点右边的部分且在x轴上方的的取值范围即可． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 直线的表达式为； ∵直线与直线相交于点， ， 解得， 点的坐标为：； （2）解：由图象可知，点右边直线在的上面， 不等式的解集为： ． 【考点11 根据实际问题列一次函数关系式】 1．节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（），应付款（元），则下列方程中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与商品件数的等式是解题关键．根据已知表示出买商品件的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠， 小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（）， 则小明应付货款与商品件数的函数关系式是：， 故选：D． 2．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式是解题的关键． 先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关系式并确定时间范围． 【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为秒，得乙跑步所用时间为秒，则甲跑的路程为米，乙跑的路程为米． 由题意可得． 当乙追上甲时，，即， 解得； 当乙刚要出发时， ，所以的取值范围是． 所以甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（）， 故选：C． 3．如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数表达式． 【详解】解：设边的长为，边的长为， ∵菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 又， ∴，解得：， ∴， ∴，且， 故选：B． 4．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． 【考点12 一次函数的应用】 1．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 (1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． (2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2)，A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少 【分析】本题考查列代数式，一次函数的实际应用，正确的列出代数式，一次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据运往C区和D区的蔬菜量，列出代数式即可； （2）根据总运费等于各部分的运费之和，列出函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨，从A县运往C区的蔬菜为x吨， ∴从县运往区的蔬菜为吨，B县运往C区的蔬菜为吨，从B县运往D区的蔬菜为吨； （2）由题意，得： 随的增大而增大 当时，总运费W最小 A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少． 2．芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)制造A种型号芯片10万件时，会获得最大利润，最大利润是260万元 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意列出函数关系式以及一元一次不等式组是解本题的关键． （1）由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，再根据总利润等于两种芯片的利润之和求解即可； （2）先根据B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，列不等式求解m的范围，再利用一次函数的性质求解最大利润即可． 【详解】（1）解：由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，根据题意得： ，即． （2）解：∵B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍， ∴，解得：， ∵、 ∴， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w取最大值，最大值为（万元），此时． 答：制造A型芯片10万件，B型芯片30万件，会获得最大利润，最大利润是260万元． 3．甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的路程（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的路程（千米）与（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题： (1)直线的解析式为______； (2)轿车到达点开始加速，求轿车加速后的速度； (3)求轿车加速后，轿车追上货车时的值；轿车超出货车20千米时的值． 【答案】(1) (2)120千米时 (3)；4 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式，根据问题及条件选用正确的解题方法． （1）由图象可知，货车5小时行驶400干米，即可得； （2）根据速度路程时间即可求解； （3）设线段对应的函数表达式为，用待定系数法可得线段对应的函数表达式，根据问题，与直线的解析式联立，组成方程即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，货车5小时行驶400千米， 货车的行驶速度是：（千米时）， 根据路程速度时间，可得直线的解析式为； 故答案为：； （2）解：轿车到达点开始加速，轿车加速后的速度为（千米时）； 答：轿车加速后的速度为120千米时； （3）解：设线段对应的函数表达式为，将 ，代入得：，解得， 线段对应的函数表达式为 ； 当轿车加速后，轿车追上货车时，， 解得，； 轿车超出货车20千米时， ， 解得，． 答：轿车加速后，轿车追上货车时，的值为；轿车超出货车20千米时， 的值为4． 4．甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 【答案】(1)80千米/小时 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、从函数图象获取信息、求一次函数解析式等知识，数形结合是关键． （1）根据题意结合图象即可得到答案； （2）求出A点的坐标是，B点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出图象与轴还有一个交点为，据此即可补全图象． 【详解】（1）解：∵一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时）， ∴由图象知：慢车速度为80千米/小时； （2）解：两车相遇时是A点，快车行驶的时间为6小时 ∴由图象可知，A点的坐标是，快车到达乙站时是B点， ∴慢车行驶的路程为，快车出发6小时行驶的路程为， ∴B点的纵坐标是， ∴B点坐标为， 设， 得 解得， ∴ （3）解：由（2）可知，快车到达乙站时，慢车还需行驶小时到达乙站， ∴图象与轴还有一个交点为， ∴连接B和点的线段即可补全图象， 如图： 【考点13 三角形的相关概念】 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 按角分类为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边的相等关系分为不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；据此即可解答． 【详解】解：按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形，即①正确． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．即②的分类不正确． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 4．（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形．分层计算即可求解． 【详解】解：单独的小三角形有8个， 两层小三角形有4个， 三层小三角形有2个， 共有个， 故答案为：14． 【考点14 三角形的三边关系】 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，通过计算每组中较小两数之和与第三边比较，判断是否能组成三角形. 【详解】解：∵ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边； 对于A：，，，∵ ，∴ 不能组成三角形； 对于B：，，，∵ ，∴ 不能组成三角形； 对于C：，，，∵ ，且，且，∴ 能组成三角形； 对于D：，，，∵，∴ 不能组成三角形； 故选： C. 2．（25-26八年级上·福建南平·期中）一个三角形三条边的长度分别为2厘米，3厘米，厘米，则可能是（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用三角形三边关系得出a的范围，再结合选项判断． 【详解】解：∵一个三角形三边长分别为2厘米，3厘米，厘米， ∴，即， ∴a可能是4． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 【答案】1或2.5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等知识，分两种情况讨论：当为腰时，或当为底边时，分别计算的长，并验证是否满足三角形三边关系定理． 【详解】解：∵三角形中，，周长为9， ∴， 情况一：当为腰时，则， ∴． 此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）． 情况二：当为底边时，则， 设， 则， 解得， 故． 此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理． 故的长为1或2.5． 故答案为：1或2.5． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知三根小棒的长分别是，，，若这三根小棒首尾相连能构成三角形，则正整数的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】 2（答案不唯一，如3、4等均可） 【分析】本题考查三角形的三边关系，一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此列不等式，再根据不等式解集取值即可． 【详解】解：三根小棒的长分别为 、、，为正整数，故 为最长边， 根据三角形三边关系（两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度），需满足 ，即 ， 解得 ， 由于 为正整数，因此 ，可取 ． 故答案为： 2（答案不唯一，如3、4等均可）． 【考点15 三角形的稳定性】 1．（25-26八年级上·河南·阶段练习）2025年底，河南省第一大跨径斜拉桥——丹江小三峡特大桥预计建成通车，其中斜拉设计结构稳固，蕴含的数学道理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于180° 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，理解三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状，据此即可解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，只有C构成了三角形的结构． 故选：C． 3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架，如图所示，平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是： ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 4．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）下列物体的某些结构都是三角形，其中没有运用三角形稳定性的是 ．（填物体名称） 【答案】警示牌 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可根据三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：没有运用三角形稳定性的是警示牌； 故答案为：警示牌． 【考点16 三角形的中线】 1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线． 根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长大4”，推出，即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是12，那么的面积为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴； 故选C． 3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题． 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为 ，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．    ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或． 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D，E，F分别在三边上，E是的中点，交于一点G，，，，则的面积是 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：①三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；②两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边之比． 首先根据三角形的中线的特征，以及两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出，的大小，进而求出的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可求出△ABC的面积． 【详解】解： E是的中点，， ，， ，， ， ， 的面积； 故答案为：． 【考点17 三角形的角平分线】 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，，由等角对等边可得，，于是，由此可解． 【详解】解： ，的平分线交于点D， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是20， 故答案为：20． 2．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质． 首先由角平分线得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的平分线，， ， 又， ． 故选：C． 3．如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则 °． 【答案】 【分析】根据，分别是的高和角平分线，得，；根据三角形的外角，得，，即可． 【详解】∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质． 4．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 【考点18 三角形的高】 1．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、是边上的高，故此选项符合题意； C、不是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如阁，、分别是的高，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查利用面积法求三角形的高．利用三角形的面积公式，表示出的面积，即，便可求出的长． 【详解】解：、分别是的高，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，中，是高，是角平分线，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及高的性质，解题的关键是熟练运用这些知识求出相关角的度数． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数．再利用高的性质求出的度数，最后通过求出结果． 【详解】解：在中，， ， ． 是角平分线， ， 是高， ， 在中，， ． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高性质、角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 故选：D． 【考点19 三角形的内角和定理】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【详解】（1）解： 为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 【考点20 三角形的外角性质】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义及三角形内角和定理，解题的关键是利用外角性质求出，再结合角平分线与内角和计算． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 答：的度数为． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合三角形内角和定理可得，再求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵与是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，则的度数为 【答案】/270度 【分析】本题考查三角形外角的性质． 由三角形外角的性质推出，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，中，，，、、、、…都在的延长线上，、、、、…分别在、、、、…上，且满足，，，，…依次类推， ． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，找到到角度的变化规律是解题的关键．由题意得；根据得，结合得，以此类推，即可找到一般规律． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 同理可得：，，，， ∴， 故答案为：． 【考点21 直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）在中，，当锐角 °时，为直角三角形． 【答案】20 【分析】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余，直角三角形中有一个角为，结合和为锐角，可知，从而求出. 【详解】解：在中，， 若为直角三角形，则必有一个角为， 由于为锐角，因此， 即， 解得， 故答案为：20. 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【考点22 全等图形】 1．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，给出的四对图形中是全等形的有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等形，根据能够完全重合的两个图形是全等形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，①中两个图形大小不一样，不可能完全重合，不是全等形； ②中的两个图形可以完全重合，是全等形； ③中两个图形形状不一样，不可能完全重合，不是全等形； ④中的两个图形可以完全重合，是全等形； 则给出的四对图形中是全等形的有2对． 故选：B． 2．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 4．（25-26八年级上·天津河西·阶段练习）对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查全等图形的定义，需同时满足形状和大小相同，缺一不可． 全等图形必须形状和大小完全相同．分析各结论：①周长相等不一定形状相同；②面积相等不一定形状相同；③周长和面积都相等不一定形状相同；④形状相同且面积相等则大小相同，因此全等．只有④能保证全等． 【详解】解：∵全等图形要求形状和大小都相同； ①周长相等不一定形状相同（如正方形和圆周长相等但形状不同）， ∴①不能保证全等； ②面积相等不一定形状相同（如长方形和三角形面积相等但形状不同）， ∴②不能保证全等； ③周长和面积都相等不一定形状相同（如不同形状的多边形可能周长面积相等但形状不同）， ∴③不能保证全等； ④形状相同且面积相等，则大小相同， ∴④能保证全等； ∴只有1个结论能保证全等， 故选：A． 【考点23 全等三角形的性质】 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，根据全等三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选D． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，，点、在一条直线上，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，点在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等，是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，再根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ．    【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为 ． 故答案为：． 【考点24 全等三角形的判定SSS】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角的作法，理解作法的依据是关键；根据作法过程即可作出判断． 【详解】解：由作法知：，， ∴， ∴， 即； 故选：B． 2．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 4．如图，点D在内部，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由，可知，再利用即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【考点25 全等三角形的判定SAS】 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，，，能直接判定的方法是“ ”． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．根据，，可得，利用证明即可． 【详解】解： ，， ，即， 在和中， ， ， 故答案为：． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，若点的运动速度为，则当与全等时，的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，利用，分两种情况进行讨论求出即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴，， ∴当时，， ∵点，点同时运动， ∴点的运动速度与点的相同， ∴； 当时，， 此时，， ∴； 综上：或； 故答案为：2或 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图所示的四个三角形中，能够全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定（），解题的关键是识别三角形的两边及其夹角是否对应相等． 根据判定定理，判断各三角形的两边及夹角是否对应相等，进而确定全等的三角形． 【详解】解：A、①的两边为、，夹角；②的两边为、，夹角，由可知①②全等，此选项符合题意； B、C、D选项均不满足判定两三角形全等的条件； 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，相交于点F，若． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理， （1）先证明，利用证明即可； （2）由全等得出，再根据及三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ， ， ； （2）解：∵， ， 设与交于点O， ， ， ， ． 【考点26 全等三角形的判定ASA】 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，点，分别在，上，，交于点，根据“”证明，还需添加的一个条件是：_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键． 由题目得到一对等边和一对等角，根据“”判定定理，还需一组夹边的另一组角相等． 【详解】解：要根据“”（两角及其夹边对应相等）证明， 结合已知条件，（一组边），（公共角）， 根据“”判定定理，还需一组夹边的另一组角相等， 即； 在和中， ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、等边对等角，由折叠的性质可得，证明，得出，由等边对等角可得，再由邻补角的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据即可解答． 【详解】解：由图可以看出这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边， 因此符合． 故选：D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．求证： 【答案】见详解 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明，结合，，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴． 【考点27 全等三角形的判定AAS】 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先求得，再利用证明即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点B、C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，已知，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质、全等三角形的判定，熟练掌握三角形外角的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 先证明，，然后根据可证． 【详解】证明：∵∠1是的一个外角， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点在同一直线上，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，由平行线的性质得，又由得，进而根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，且D，C，E在同一直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，余角的性质，根据余角的性质得出是解题的关键．先根据余角的性质得出，然后根据证明即可． 【详解】证明：，， ，                        ，， ， 在和中， ， ． 【考点28 直角三角形全等的判定HL】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的判定定理，由，，以及公共边利用“斜边直角边”定理来证明． 【详解】证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出，根据推出即可． 【详解】解：需添加的条件是：， 理由是：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答． 根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 4．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ， ， ， ∵， ∴在和中， ， ． 【考点29 全等三角形的判定与性质】 1．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD． (1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系． (2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由． 【答案】(1)BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解； (2)成立，理由见详解． 【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解； （2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解． 【详解】（1）解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下： ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°， 由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC =90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE， ∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°， ∴BD⊥CE； （2）解：（1）中结论仍成立，理由如下： 由题意可得如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°， 由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE， ∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°， ∴BD⊥CE． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形中的倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵点E是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为的角平分线 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，可得是等边三角形，得，结合利用全等三角形判定定理证出，得出，最后通过等量代换即可完成证明． 【详解】解：，理由如下： 过点作交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，   ， ， ， ，            在和中， ， ， ， ， ． 【考点30 角的平分线的性质及判定】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的平分线上的一点，，垂足为，且，是射线上一动点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、垂线段最短，作于点，由角平分线的性质定理可得，再由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时长的最小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵是的平分线上的一点，，垂足为，且，于点， ∴， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时长的最小，为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是（    ）． A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，理解角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 过两把直尺的交点P作，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图：过两把直尺的交点P作， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． 故选C． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，点是△内一点，且到三边的距离相等，，则，则 ． 【答案】/124度 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．过点作于点，于点，于点，依题意得，由此得点是和平分线的交点，则，在△中，由三角形内角和定理得，则，然后在△中，由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 点是△内一点，且到三边的距离相等， ， 点是和平分线的交点， ，， ， 在△中，， ， ， 在△中，． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点E，连接．    (1)说明与的关系并证明； (2)求的度数． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和的性质，角平分线的判定定理，解题的关键是证明平分． （1）证明，得，再根据全等三角形的性质和三角形内角和的性质，证明，即可得答案； （2）过点O作于点M，于点N，根据全等三角形的面积相等，证明，得平分，即可得答案． 【详解】（1）解：如下图，线段、相交于点F，   和都是等腰三角形， ，， ， ， 即， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）过点O作于点M，于点N，   ， ，， ， 平分， ， ， ， ． 【考点31 尺规作角平分线】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明是解题关键． ①由图可知，，，，据此证明即可． ②由图可知，，垂直平分，据此证明即可． ③由图可知，，，，依次证明， ，即可． ④由图可知，，，据此证明即可． 【详解】解：①有图可知， ， ， ， 射线是的角平分线； ②由图可知， ，， ， ， ， 射线是的角平分线； ③由图可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线； ④由图可知， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线． 故答案为：①②③④． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过D作于点H，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：过D作于点H， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ，， ， 又， ． 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． (1)以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用即可； （2）先根据等边对等角求得，再结合（1）求得． 【详解】（1）解：相等， 理由：连结，， ∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E， ∴， ∵大于的长为半径画弧，两弧交于点F， ∴， 又， ， ， 即以上作图得到的和数量上有相等关系； （2）， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等的性质和综合（），等边对等角，作角平分线(尺规作图)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，为的外角． (1)求作射线，使其平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若所作射线与平行，且，，求的周长． 【答案】(1)作图见解析 (2)周长是6.5 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据平行线的性质，以及角平分线的定义，可得，则是等腰三角形，即可求的周长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）平分， ． ， ，． ． ． 的周长． 【考点32 生活中的轴对称现象】 1．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键．根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线得交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角，即可求解． 【详解】解：①如图所示，， ， ， ， ， ， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ＝， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，或或； 综上所述， 或或 故答案为：或或． 3．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在物理实验课上，小华所在小组用两块平面镜和进行成像研究．两块镜子互相平行放置，小球放在两镜之间，其球心为点，点在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质，解决本题的关键是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离相等．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 【考点33 轴对称的性质】 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图所示，与关于直线对称，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键．由轴对称的性质可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ，， ． 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，和关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（    ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．和与面积相等 D．垂直平分 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：和关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称，且直线和直线不平行， 直线和直线的交点一定在上，A选项错误，符合题意； 和关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形，B、D选项正确，不符合题意； 和关于直线对称， ， 和面积相等，C选项正确，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，中，点D在边上，点E在边上，连结，四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接利用轴对称图形的性质得出，，进而结合已知得出答案． 【详解】解：∵四边形是以为对称轴的轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ， 则的度数为：． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，中，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度． 【答案】80 【分析】本题考查了折叠，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质是关键． 根据折叠，平行线的性质得到，结合题意得到，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80 ． 【考点34 轴对称图形】 1．（25-26八年级上·河南焦作·期中）中华文明，源远流长；中华文字，寓意深广．下列汉字是轴对称图形的是（   ） A．国 B．家 C．昌 D．盛 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两考的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形）． 根据轴对称图形的定义，依次判断各选项中的汉字是否符合条件． 【详解】解：A、国：沿任一直线折叠后，直线两旁的部分无法完全重合，不是轴对称图形； B、家：沿任一直线折叠后，直线两旁的部分无法完全重合，不是轴对称图形； C、昌：沿中间水平直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形； D、盛：沿任一直线折叠后，直线两旁的部分无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【跨学科·化学】如图是常见的化学仪器平面示意图，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，结合图形逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：C ． 3．（25-26八年级上·北京·期中）以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列几何图形：①等腰三角形；②直角三角形；③角；④线段；⑤任意三角形．其中，一定是轴对称图形的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．直接利用轴对称图形的概念分析得出答案． 【详解】解：一定是轴对称图形的有：①等腰三角形；③角；④线段； 故答案为：①③④． 【考点35 线段垂直平分线的性质及判定】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据题意得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得． （2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）连接， 证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，等边对等角，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据三角形内角和定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，求出，最后求出结果即可； （2）连接、、，根据线段垂直平分线的性质得出，从而得出，根据线段垂直平分线的判定得出点在线段的垂直平分线上． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ； （2）证明：连接、、， 垂直平分垂直平分， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 【考点36 尺规作线段垂直平分线】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质与作图步骤是解题关键． 分别作出线段的中垂线，作角平分线，进而得出其交点P即为所求，为加油站位置． 【详解】解：如图所示，P点即为所求，为加油站位置． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，等腰中，，． (1)请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． (2)点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于 ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）①利用尺规作出线段的垂直平分线即可；②利用尺规作出的角平分线，交于点P，点P即为所求； （2）直线与的交点即为点Q，最小值为的长． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求； ②如图，由角平分线的性质得点P到两边的距离相等，故点P即为所求； （2）解：直线与的交点即为点Q， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴ ∴最小值， ∴点Q即为所求作的点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线和角平分线，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在△中，是边上一点．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，作的平分线交于点； (2)在图2中，在上找一点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线． （1）作的角平分线交于点E，则为所求线段； （2）作的垂直平分线交于M，则点M满足条件． 【详解】（1）解：即为所求作线段； （2）解：作的垂直平分线交于M，如下图： 则， ， ∴点M即为所求作． 4．（25-26八年级上·上海宝山·期中）操作与探究： 定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”． (1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； (2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的作法与性质，对称的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）作出线段的垂直平分线交直线于点，则点为两点、的“等距点”．作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”． （2）证明，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可得． 【详解】（1）解：如图，点为两点、的“等距点”． 作法：连接，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，过作直线交直线于点，则点为两点、的“等距点”． 如图，点为两点、的“最佳观测点” 作法：过点作直线的垂线，垂足为，截取，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”； （2）解：连接，延长交过点与直线垂直的直线于点， ∵点是两点、的“等距点”， ∴， ∴， 又点是两点、的“最佳观测点”， ∴直线垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∵， ∴． 【考点37 关于坐标轴对称的点的特征】 1．（25-26八年级上·四川达州·期中）点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点到坐标轴的距离、坐标与图形变换-轴对称，熟知点关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 由已知可确定P的坐标为，再由点P关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对称点的坐标为． 【详解】解：∵P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6， ∴，， ∵点P在第三象限内， ∴，， ∴P的坐标为， ∴点P关于y轴对称点的坐标是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）将点向上平移个单位后得点，若点关于轴对称，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的平移规律． 根据平移性质，点向上平移时横坐标不变，纵坐标增加；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．利用这些关系列方程求解． 【详解】解：∵点向上平移个单位后得点， ∴，且． 又∵点A与点B关于x轴对称， ∴， 解得． 代入得：， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）已知点，，，其中点M与点P关于x轴对称，点N与点P关于y轴对称，则点在第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了轴对称问题． 利用点关于坐标轴对称的性质，求出a和b的值，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：点与点关于x轴对称， 则x坐标相等，y坐标互为相反数， 即， 解得； 点与点关于y轴对称， 则y坐标相等，x坐标互为相反数， 即， 解得； 因此， 点即， 横坐标为负，纵坐标为负，故在第三象限． 故答案为：三． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，有一动点A，先关于x轴对称到点，然后关于y轴对称到点，再关于x轴对称到点，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到……，每次点A回到第一象限总会往右平移一个单位长度得到点后再进行重复运动．已知，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了动点坐标规律的探索，轴对称的性质，解题的关键是掌握动点的规律． 动点的初始坐标为 ，操作序列具有周期性：每4次操作构成一个循环，每个循环后点的横坐标增加1，纵坐标不变，点是第507个循环的第一个点，其坐标可通过循环公式计算． 【详解】解：∵动点的初始坐标为 ， ∴ 根据题意得，，，，，……， ∴纵坐标以、、、每次一个循环，每个循环最后一个点的横坐标增加， ∴点的周期数为：， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同为，横坐标为， ∴点的坐标为 ， 故答案为：． 【考点38 作图-轴对称变换】 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，直线l经过点且与y轴平行． (1)若与关于x轴对称，请写出三个顶点的坐标：_____，____，___； (2)请在平面直角坐标系中画出关于直线l对称的图形； (3)若点是上一点，则点P关于直线l对称的点的坐标是_____． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，中点坐标公式，熟练掌握对称作图和中点坐标公式是解题的关键． （1）根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，确定坐标即可； （2）根据中点坐标公式，确定对称点的坐标后画图即可； （3）根据中点坐标公式，确定对称点的坐标． 【详解】（1）解：∵与关于x轴对称，，，， ∴， 故答案为：；；； （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：设对称点坐标为， 根据题意，得， 解得， 故， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出，，点坐标； (2)在x轴上找出一点P，使最短． 【答案】(1)详见解析，，， (2)详见解析 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． 由图知，，，； （2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点P即为所求． 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在一个的正方形网格中，每个小格均是边长为1的正方形，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最大． 【答案】(1)图见解析 (2)满足条件的点P共有4个；图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据题意作出关于直线对称的； （2）利用线段垂直平分线的性质与勾股定理求解； （3）利用三角形的三边关系求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴满足条件的点P共有4个， 故答案为：4； （3）如图，是异于的上任意一点，连接、， 则， 当、、三点在同一直线上时，有最大值，最大值为， 故延长交于点，点即为所求作． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，三角形的三边关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； (2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征． （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可； （2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可． 【详解】（1）解：为所求作的三角形，如图所示： ； （2）解：如图，为所求作的三角形； ； （3）解：∵与关于y轴对称， ∴点在线段上的对应点的坐标为． 【考点39 设计轴对称图案】 1．（2025·江西景德镇·一模）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（    ）    A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示，    一共有3种涂法， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示： ． 故选：D． 3．如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义求解即可得． 【详解】解：如图，共有以下5种选取涂黑方法：    故答案为：5． 4．如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点D，使A、B、C、D四点连接成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点D． 【答案】见解析 【分析】本题考查设计轴对称图形，选择的三边垂直平分线或三边所在的直线为对称轴寻找点D即可． 【详解】解：根据题意可知点D有如下情况：(长虚线是对称轴) 共有四个符合条件的点，点即为所求作的点． 【考点40 等腰三角形的性质—等边对等角】 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由等边对等角得，再证，即可得出； （2）由得，结合，可得． 【详解】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 4．（2024·陕西西安·一模）如图，的边与的边在一条直线上，点A恰好在边的延长线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，得出即可． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中，， ， ． 【考点41 等腰三角形的性质—三线合一】 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，则，根据垂直的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而计算的面积即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点 、 在和中 ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）． 根据等腰三角形“三线合一”作答即可． 【详解】解：在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线， 她这样做的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形中线的性质，根据三线合一定理得到，则由三角形中线平分三角形面积可得；可证明，则根据图形面积之间的关系可得． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考据等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ， ， ， 故答案为：． 【考点42 等腰三角形的判定—等角对等边】 1．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，即， ∴的周长是， 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线，平行线，等腰三角形的综合，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·期中）将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键． 首先根据平行线的性质得出，然后根据折叠的性质得出，通过等量代换得出，从而得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ∵点到距离为， 则． 故答案为：12． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义，利用平行线与角平分线推出是解题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，再由等角对等边得，则的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：在中，与的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 的周长是：， ∵， ． 故选：B． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，外角的性质． （1）先由直角三角形的性质得，再由等边对等角得，进而得，即可得出结论； （2）先由等腰直角三角形的性质得，再利用外角的性质得，再结合（1）的结论得，最后根据外角的性质得，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， ， 由（1）得，， ， ． 【考点43 等腰三角形的判定与性质】 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）在中，，点是和平分线的交点，点在外且满足，，设． (1)证明：． (2)证明：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知设，则，利用角平分线定义，等边对等角，可表示出和，再利用三角形内角和分别表示出与，即可得出结论； （2）在上取，结合（1）中的结论，证明，可以推导出，从而得到． 【详解】（1）证明：， 设，则， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ； （2）证明：如图，在上取， 由（1）得，， ， 在与中， ， ，， ，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：； (3)在（2）的条件下， ①尺规作图：作的平分线，与边相交于点；（要求保留作图痕迹，不用写作图过程） ②在①的基础上，探索，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据，得出，根据，，，得出，从而得，即可证明； （2）根据，得出，设，则，则，根据三角形内角和定理求出，即可得； （3）①根据尺规作图方法作图即可． ②在上取点，使，根据作图得出，证明，得出，，再证明，即可得． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ， ； （2）解：， ， ， 设，则， ， ， ； （3）解：①如图所示 ②． 在上取点，使， 平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】该题考查了全等三角形的性质和判定，尺规作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)当时，，理由见解析 (2)可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识： （1）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （2）分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （2）解：可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； 当时，， ∴． 综上，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答． （2）过点A作，垂足为H，利用等腰三角形的三线合一性质得出，利用余角的性质证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：过点A作，垂足为H． ∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 即． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键． 【考点44 等边三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是等边三角形，得，再证明，运用三角形的外角性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】考查等边三角形的性质、全等三角形的判定（）与性质．解题关键是利用等边三角形的边、角条件，通过“角的和差”构造全等三角形的对应角，进而证明全等实现线段转化；易错点是混淆全等三角形的对应边、对应角，或遗漏角的和差推导步骤． 先根据等边三角形的性质，得到、及；再通过角的和差关系，推出，满足全等条件；然后证明，利用全等对应边相等得；最后结合的线段和关系，代入已知长度计算出． 【详解】已知和均为等边三角形，因此： ，； ． 由，可得： ． 在和中： ， ． ． 又；，且，因此： 结合，得． 故答案为：5． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】证明，则，得到，则，求出，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为边向右侧作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、多边形内角和、等边对等角、等边三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 4．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 【考点45 等边三角形的判定】 1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； B、三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； C、有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； D、反例：若两个外角都为，则此等腰三角形三个角，此等腰三角形不是等边三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【答案】等边 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形． 【详解】解：∵中，，，于点， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴为等边三角形． 故答案为：等边 3．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据题意可得，，，从而得到，即可求证； （2）根据点，，在同一条直线上以及可得，从而得到，即可求证； （3）由（2）可得，，即可求证． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）证明：由（2）可得，， ∴是等边三角形． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定，解题的关键是利用已知条件推导等腰三角形的腰与底边相等． （1）利用中线性质得线段相等，结合高的垂直性质证明三角形全等，进而推出腰与底边相等，判定等边三角形； （2）根据三角形面积公式或全等三角形判定，由高相等推导腰与底边相等，再结合等腰三角形性质判定等边三角形． 【详解】探究（1） 证明：∵是上的中线， ∴． ∵是上的高， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． 探究（2） 解：已知：在中，，是腰上的高，是底边上的高，且， 求证：是等边三角形． 证明：∵是上的高，是上的高， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 【考点46 等边三角形的判定与性质】 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，，以为边向外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，且，，三点共线，若，，求的度数与的长． 【答案】；5 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的性质，通过图形旋转得到等边三角形是解题的关键．由旋转的性质可得出，，进而可得出为等边三角形以及，可得出；由点，，在一条直线上可得出，根据旋转的性质可得出，结合，可得出的长度，再根据等边三角形的性质即可得出的长度． 【详解】解： 绕着点D按顺时针方向旋转后得到， ，， 为等边三角形， ， ， 点，，在一条直线上， ， 绕着点D按顺时针方向旋转后得到， ， ， 为等边三角形， ． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解； （1）根据三个角都是的三角形是等边三角形进行论证即可； （2）利用全等可得平分，进而可得，从而得到． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，点是边上一点，点为边上一点，连接，．    (1)如图1，，点为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点，延长至点，使，连接． ①依题意补全图形；判定的形状，并说明理由； ②直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①图见解析，为等边三角形，理由见解析；② 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可；先证明 ，则可证明，继而可证明，又因为，则可判断的形状； ②利用可证明 ，即可得到，又因为，由代换可得． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， 为中点， ， ， ， ， ； （2）解：①如图所示：为等边三角形   ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②解：，证明如下：    ∵是等边三角形， ，， ∴ ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点47 含30°角的直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在等边三角形中，， 与交于点P，，垂足为Q．的度数为 ，若，，则的长为 ． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，三角形外角的性质， 先根据等边三角形的性质证明，可得，再证明，然后根据三角形外角的性质求出；先根据直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，7． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 【答案】1或5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是求出；先根据含30度角的直角三角形的性质求出，再分两种情况求出的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点E在线段上时， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段延长线上时， ∴， ∴； 故答案为：1或5． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过作于，过作于，则可求和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， ， 则中，()， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为()， 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，线段，点C是线段上一动点，以为边作等边，以为底边作等腰，则最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．连接，利用证明，求得，推出点在的角平分线上，当时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边，以为底边的等腰， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴当时，取得最小值，则的最小值， 故答案为：6． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末复习易错题47个考点 【沪科版2024】 【考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征】 2 【考点2 坐标与图形性质】 2 【考点3 轴对称与坐标变化】 3 【考点4 函数的相关概念】 3 【考点5 一次函数的定义】 5 【考点6 一次函数的图象】 5 【考点7 一次函数的性质】 6 【考点8 一次函数图象上点的坐标特征】 6 【考点9 待定系数法求一次函数解析式】 7 【考点10 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 7 【考点11 根据实际问题列一次函数关系式】 8 【考点12 一次函数的应用】 9 【考点13 三角形的相关概念】 11 【考点14 三角形的三边关系】 12 【考点15 三角形的稳定性】 12 【考点16 三角形的中线】 13 【考点17 三角形的角平分线】 14 【考点18 三角形的高】 15 【考点19 三角形的内角和定理】 16 【考点20 三角形的外角性质】 17 【考点21 直角三角形的性质】 18 【考点22 全等图形】 18 【考点23 全等三角形的性质】 19 【考点24 全等三角形的判定SSS】 20 【考点25 全等三角形的判定SAS】 21 【考点26 全等三角形的判定ASA】 22 【考点27 全等三角形的判定AAS】 23 【考点28 直角三角形全等的判定HL】 24 【考点29 全等三角形的判定与性质】 25 【考点30 角的平分线的性质及判定】 26 【考点31 尺规作角平分线】 28 【考点32 生活中的轴对称现象】 29 【考点33 轴对称的性质】 30 【考点34 轴对称图形】 31 【考点35 线段垂直平分线的性质及判定】 31 【考点36 尺规作线段垂直平分线】 32 【考点37 关于坐标轴对称的点的特征】 34 【考点38 作图-轴对称变换】 34 【考点39 设计轴对称图案】 36 【考点40 等腰三角形的性质—等边对等角】 37 【考点41 等腰三角形的性质—三线合一】 38 【考点42 等腰三角形的判定—等角对等边】 39 【考点43 等腰三角形的判定与性质】 41 【考点44 等边三角形的性质】 42 【考点45 等边三角形的判定】 43 【考点46 等边三角形的判定与性质】 44 【考点47 含30°角的直角三角形的性质】 45 【考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征】 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为 ． 2．（24-25七年级下·海南·期末）已知点在轴上，则 ． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 4．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8；④已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，且它的纵坐标是，三角形的面积记为，则．其中正确的是有 ． 【考点2 坐标与图形性质】 1．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 3．（24-25七年级下·全国·期末）若点，点，点P在y轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为 ． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 (1)求点的坐标． (2)当点移动4秒时，请求出点的坐标． (3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 【考点3 轴对称与坐标变化】 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点，关于点对称，则点的坐标是 ． 3．点P(－1－2a，5)关于x轴的对称点与点Q(3，b)关于y轴的对称点重合，则点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为 ． 4．若过点的直线与轴平行，则点关于轴的对称点的坐标是 ． 【考点4 函数的相关概念】 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）甲以每小时10的速度行驶时，他所走过的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（   ） A．数10和s，t都是变量 B．s是常量，数10和t是变量 C．数10是常量，s和t是变量 D．t是常量，数10和s是变量 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）中牟西瓜是河南中牟的水果类特产，享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”的美誉．研究发现，某品种西瓜的甜度与每日的光照时长有如下关系： 每日光照（h） 4 5 6 7 8 9 10 11 12 西瓜甜度（） 则以下说法错误的是（    ） A．在这一变化过程中，每日光照时长是自变量，西瓜的甜度是因变量 B．随着光照时长的增加，西瓜的甜度越来越高 C．为了保证西瓜更甜，最适合的光照时长约为小时 D．估计当光照时长大于时，西瓜甜度小于 【考点5 一次函数的定义】 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期末）写出一个图象经过点的正比例函数解析式 ． 3．表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 4．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【考点6 一次函数的图象】 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像不经过第三象限 B．点在直线上 C．图像与直线平行 D．若点，在该函数图像上，则 3．已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 4．已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为 ． 【考点7 一次函数的性质】 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点和点都在上，则a和b大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25八年级下·上海静安·期末）如果是函数图象上不同的两点，那么的计算结果 ．（填“”、“”、“”或“不能确定”） 4．关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②随x的增大而增大； ③函数的图象与函数的图象的交点一定在第一象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则 上述结论正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 【考点8 一次函数图象上点的坐标特征】 1．若、、三点在一条直线上，则 ． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）已知正比例函数（k是常数，）的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．若点关于y轴的对称点在一次函数的图象上，则k的值为（） A． B． C．2 D． 4．将若干个正方形按如图所示方式放置，每个正方形有一个顶点在直线上，两个顶点在x轴上，则点的纵坐标是 ． 【考点9 待定系数法求一次函数解析式】 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为 ． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中过每两个点的一次函数图象，并得到对应的函数表达式为：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)该函数经过一点，求出的值． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 【考点10 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知直线过点和点，则关于x的方程的解为 ． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线经过点，，直线与该直线交于点． (1)求两直线交点的坐标； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【考点11 根据实际问题列一次函数关系式】 1．节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（），应付款（元），则下列方程中正确的是（） A． B． C． D． 2．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【考点12 一次函数的应用】 1．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 (1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． (2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 2．芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 3．甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的路程（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的路程（千米）与（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题： (1)直线的解析式为______； (2)轿车到达点开始加速，求轿车加速后的速度； (3)求轿车加速后，轿车追上货车时的值；轿车超出货车20千米时的值． 4．甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 【考点13 三角形的相关概念】 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 2．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 【考点14 三角形的三边关系】 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·福建南平·期中）一个三角形三条边的长度分别为2厘米，3厘米，厘米，则可能是（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知三根小棒的长分别是，，，若这三根小棒首尾相连能构成三角形，则正整数的值可以为 ．（写出一个即可） 【考点15 三角形的稳定性】 1．（25-26八年级上·河南·阶段练习）2025年底，河南省第一大跨径斜拉桥——丹江小三峡特大桥预计建成通车，其中斜拉设计结构稳固，蕴含的数学道理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于180° 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架，如图所示，平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是： ． 4．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）下列物体的某些结构都是三角形，其中没有运用三角形稳定性的是 ．（填物体名称） 【考点16 三角形的中线】 1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是12，那么的面积为（   ） A．6 B．3 C． D． 3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D，E，F分别在三边上，E是的中点，交于一点G，，，，则的面积是 ． 【考点17 三角形的角平分线】 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是 ． 2．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则 °． 4．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【考点18 三角形的高】 1．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如阁，、分别是的高，，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图，中，是高，是角平分线，且，．求的度数． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【考点19 三角形的内角和定理】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【考点20 三角形的外角性质】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 3．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，则的度数为 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，中，，，、、、、…都在的延长线上，、、、、…分别在、、、、…上，且满足，，，，…依次类推， ． 【考点21 直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）在中，，当锐角 °时，为直角三角形． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【考点22 全等图形】 1．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，给出的四对图形中是全等形的有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 3．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·天津河西·阶段练习）对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点23 全等三角形的性质】 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，，点、在一条直线上，若，，则的长为 ． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，点在上，，求的度数． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ．    【考点24 全等三角形的判定SSS】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 4．如图，点D在内部，，．求证：．    【考点25 全等三角形的判定SAS】 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，，，能直接判定的方法是“ ”． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，若点的运动速度为，则当与全等时，的值为 ． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图所示的四个三角形中，能够全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，相交于点F，若． (1)求证：； (2)求的度数． 【考点26 全等三角形的判定ASA】 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，点，分别在，上，，交于点，根据“”证明，还需添加的一个条件是：_____． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．求证： 【考点27 全等三角形的判定AAS】 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点B、C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，已知，且．求证：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点在同一直线上，．求证：． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，且D，C，E在同一直线上，求证：． 【考点28 直角三角形全等的判定HL】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是 ． 3．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【考点29 全等三角形的判定与性质】 1．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD． (1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系． (2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由． 2．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【考点30 角的平分线的性质及判定】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的平分线上的一点，，垂足为，且，是射线上一动点，则长的最小值为 ． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是（    ）． A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，点是△内一点，且到三边的距离相等，，则，则 ． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点E，连接．    (1)说明与的关系并证明； (2)求的度数． 【考点31 尺规作角平分线】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． (1)以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； (2)若，求的度数． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，为的外角． (1)求作射线，使其平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若所作射线与平行，且，，求的周长． 【考点32 生活中的轴对称现象】 1．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 3．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 4．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在物理实验课上，小华所在小组用两块平面镜和进行成像研究．两块镜子互相平行放置，小球放在两镜之间，其球心为点，点在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则 ． 【考点33 轴对称的性质】 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图所示，与关于直线对称，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，和关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（    ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．和与面积相等 D．垂直平分 3．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，中，点D在边上，点E在边上，连结，四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形，，，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，中，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度． 【考点34 轴对称图形】 1．（25-26八年级上·河南焦作·期中）中华文明，源远流长；中华文字，寓意深广．下列汉字是轴对称图形的是（   ） A．国 B．家 C．昌 D．盛 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【跨学科·化学】如图是常见的化学仪器平面示意图，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京·期中）以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有 个． 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列几何图形：①等腰三角形；②直角三角形；③角；④线段；⑤任意三角形．其中，一定是轴对称图形的有 ．（填序号） 【考点35 线段垂直平分线的性质及判定】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【考点36 尺规作线段垂直平分线】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，等腰中，，． (1)请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． (2)点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于 ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在△中，是边上一点．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，作的平分线交于点； (2)在图2中，在上找一点，使得． 4．（25-26八年级上·上海宝山·期中）操作与探究： 定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”． (1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； (2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行． 【考点37 关于坐标轴对称的点的特征】 1．（25-26八年级上·四川达州·期中）点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）将点向上平移个单位后得点，若点关于轴对称，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）已知点，，，其中点M与点P关于x轴对称，点N与点P关于y轴对称，则点在第 象限． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，有一动点A，先关于x轴对称到点，然后关于y轴对称到点，再关于x轴对称到点，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到……，每次点A回到第一象限总会往右平移一个单位长度得到点后再进行重复运动．已知，则点的坐标是 ． 【考点38 作图-轴对称变换】 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，直线l经过点且与y轴平行． (1)若与关于x轴对称，请写出三个顶点的坐标：_____，____，___； (2)请在平面直角坐标系中画出关于直线l对称的图形； (3)若点是上一点，则点P关于直线l对称的点的坐标是_____． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出，，点坐标； (2)在x轴上找出一点P，使最短． 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在一个的正方形网格中，每个小格均是边长为1的正方形，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最大． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； (2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 【考点39 设计轴对称图案】 1．（2025·江西景德镇·一模）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（    ）    A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．    4．如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点D，使A、B、C、D四点连接成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点D． 【考点40 等腰三角形的性质—等边对等角】 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 4．（2024·陕西西安·一模）如图，的边与的边在一条直线上，点A恰好在边的延长线上，且，求证：． 【考点41 等腰三角形的性质—三线合一】 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【考点42 等腰三角形的判定—等角对等边】 1．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【考点43 等腰三角形的判定与性质】 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）在中，，点是和平分线的交点，点在外且满足，，设． (1)证明：． (2)证明：． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：； (3)在（2）的条件下， ①尺规作图：作的平分线，与边相交于点；（要求保留作图痕迹，不用写作图过程） ②在①的基础上，探索，，之间的数量关系，并证明． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求度数．若不可以，请说明理由． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：． 【考点44 等边三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为 ． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【考点45 等边三角形的判定】 1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 2．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    3．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 【考点46 等边三角形的判定与性质】 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，，以为边向外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，且，，三点共线，若，，求的度数与的长． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)连接，若，，求的长． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，点是边上一点，点为边上一点，连接，．    (1)如图1，，点为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点，延长至点，使，连接． ①依题意补全图形；判定的形状，并说明理由； ②直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【考点47 含30°角的直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在等边三角形中，， 与交于点P，，垂足为Q．的度数为 ，若，，则的长为 ． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，线段，点C是线段上一动点，以为边作等边，以为底边作等腰，则最小值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $