专题01 期末复习易错题48个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学上学期沪教版五四制2024

专题01 期末复习易错题48个考点 【沪教五四制2024】 【考点1 单项式】 2 【考点2 多项式】 3 【考点3 整式】 5 【考点4 同类项】 7 【考点5 合并同类项】 9 【考点6 整式的加减】 10 【考点7 整式的加减—化简求值】 12 【考点8 同底数幂的乘法及其逆用】 14 【考点9 幂的乘方及其逆用】 15 【考点10 积的乘方及其逆用】 17 【考点11 同底数幂的除法及其逆用】 18 【考点12 整式的乘法】 20 【考点13 整式的除法】 23 【考点14 平方差公式】 25 【考点15 平方差公式的几何背景】 27 【考点16 完全平方公式】 31 【考点17 完全平方公式的几何背景】 34 【考点18 因式分解的相关概念】 38 【考点19 公因式】 40 【考点20 因式分解—提公因式法】 41 【考点21 因式分解—运用公式法】 43 【考点22 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 44 【考点23 公式法—十字相乘法】 46 【考点24 公式法—分组分解法】 47 【考点25 因式分解的应用】 48 【考点26 分式的定义】 51 【考点27 分式有意义的条件】 53 【考点28 分式的值为零的条件】 54 【考点29 分式的值】 56 【考点30 分式的基本性质】 58 【考点31 约分与通分】 60 【考点32 最简分式】 61 【考点33 最简公分母】 63 【考点34 分式的乘除法】 64 【考点35 分式的加减法】 66 【考点36 分式的混合运算】 67 【考点37 分式的化简求值】 71 【考点38 科学记数法—表示较小的数】 74 【考点39 负整数指数幂】 76 【考点40 分式方程的定义】 77 【考点41 分式方程的解】 79 【考点42 解分式方程】 81 【考点43 由实际问题抽象出分式方程】 84 【考点44 分式方程的应用】 86 【考点45 平移】 89 【考点46 旋转】 91 【考点47 轴对称】 93 【考点48 中心对称】 95 【考点1 单项式】 1．下列代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧x，其中是单项式的是 ．(填序号) 【答案】①②③⑦⑧ 【分析】本题考查单项式的定义，即单项式是由数或字母的积组成的代数式或单独的一个数或字母，熟练掌握其定义是解题的关键．根据单项式的定义，逐一判断各代数式是否符合． 【详解】①是常数，属于单项式；②是数与字母的积，属于单项式；③是数与字母的积，属于单项式；④含有加法运算，不是单项式；⑤分母中含有字母，不是单项式；⑥是多项式，不是单项式；⑦分母π是常数，属于单项式；⑧是单独字母，属于单项式； 故答案为：①②③⑦⑧． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式系数来求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）有三个条件：①只含有字时a，b，c，②系数为，③次数为4，能满足这三个条件的单项式为 （写出一个即可）． 【答案】、、（任选一个即可） 【分析】本题考查了写单项式. 根据单项式的定义作答即可. 【详解】有三个条件：①只含有字时a，b，c，②系数为，③次数为4，能满足这三个条件的单项式为、、. 故答案为：、、（任选一个即可）. 4．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）若有一组按一定规律排列的单项式：，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．通过观察单项式的系数、x的指数和y的指数的变化规律，发现系数正负交替，x的指数从0开始逐项增加1，y的指数从1开始逐项增加1． 【详解】解：∵ 第1个单项式：系数为2，x指数为0，y指数为1； 第2个单项式：系数为，x指数为1，y指数为2； 第3个单项式：系数为2，x指数为2，y指数为3； …… ∴ 第n个单项式：系数为 ，x指数为，y指数为 ， 即 ． 故选：C. 【考点2 多项式】 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）多项式的次数是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了多项式次数的定义，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．多项式次数的定义：多项式的次数是多项式中最高次项的次数，据此即可求解． 【详解】解：多项式 次数为 5， 故答案为：5． 2．（25-26七年级上·广西贵港·期中）若没有二次项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项数和次数．因为没有二次项，则二次项系数为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵没有二次项， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）将多项式按字母a的升幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 先分清多项式的各项，然后将多项式按字母a升幂排列． 【详解】解：多项式的各项为：、、、、， 按字母a的升幂排列，即按a的指数从小到大排列：a的指数为0的项有和，a的指数为1的项有，a的指数为2的项有，a的指数为3的项有， 因此排列为． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若整式化简后是关于、的三次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式，难度适中，注意先化简代数式，再求解． 根据三次二项式的定义，整式化简后应为两项，且最高次数为3．通过合并同类项后，令高次项系数为零，并调整另一项的次数至3． 【详解】解： ． ∴ ， ， 解得 ，． ∴ ． 故答案为 ． 【考点3 整式】 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列式子中：，，，，，整式有 个． 【答案】/四 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．根据整式的定义，判断所给式子是否为整式，从而确定整式的个数． 【详解】解：：分母含有字母，是分式，不是整式； ：单独的一个字母，是单项式，属于整式； ：字母的乘积，是单项式，属于整式； ：两个单项式的和，是多项式，属于整式； ：三个单项式的和，是多项式，属于整式； 故答案为：． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列式子：①0；②；③；④；⑤；⑥．其中是整式个数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查整式的概念，单项式和多项式统称为整，掌握整式的定义是解题关键．根据定义逐个判断每个式子即可． 【详解】解： ①0是常数，属于整式； ②分母含有字母x，不是整式； ③是多项式，是整式； ④中部分分母含有x，不是整式； ⑤是单项式，是整式； ⑥是多项式，是整式． ∴ 整式有①、③、⑤、⑥，共4个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了单项式、多项式、三次多项式和整式的定义进行判断；单项式是由数字或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和；三次多项式是多项式中最高次项的次数为3；整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】解：单项式：{①⑤⑧…}； 多项式：{②③⑦…}； 三次多项式：{⑦…}； 整式：{①②③⑤⑦⑧…}． 4．观察下列各式：，，，，．回答下列问题： (1)单项式分别为：______________________________； (2)多项式分别为：_________________________________； (3)整式有___________个； (4)的系数为__________； (5)次数最高的多项式为__________________． 【答案】(1)， (2)， (3)4 (4) (5) 【分析】根据单项式的定义即可得出（1），根据多项式的定义即可得出（2），根据整式的定义即可得出（3），根据间项式的系数的定义即可得出（4），根据多项式的次数的定义即可得出（5）． 【详解】（1）解：单项式有，； 故答案为：，； （2）多项式有，； 故答案为：，； （3）整式有，，，共4个； 故答案为：4； （4）的系数为； 故答案为：； （5）次数最高的多项式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，多项式的项和次数等知识点，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式，多项式中次数最高的项的次数，叫这个多项式的次数． 【考点4 同类项】 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列式子是的同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是依据“所含字母相同且相同字母的指数也相同”的规则判断同类项． 根据同类项的定义，逐一对比各选项与的字母及对应指数是否一致． 【详解】同类项的定义是：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项． 对于，其所含字母为，对应指数分别为1，2． A、，字母的指数为、的指数为1，与的指数不一致，不是同类项； B、，字母、的指数均为1，与的指数不一致，不是同类项； C、，所含字母为、，对应指数分别为1、2，与的字母和指数均一致，是同类项； D、，多了字母，所含字母与不同，不是同类项． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东临沂·期中）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题关键． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，从而列出方程求解． 【详解】单项式 与 是同类项， 的指数相等，即 ； 的指数相等，即 ，解得 ， ． 故答案为． 3．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）以下各组中：①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与．是同类项的是： （填写序号）． 【答案】③⑤⑥ 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；常数项也是同类项．逐一判断每组是否满足定义． 【详解】解：①中字母x和y的指数均不相同，不是同类项； ②中第一个式子含有字母z，第二个不含z，所含字母不相同，不是同类项； ③中字母m和n相同且指数相同，是同类项； ④中第一个式子含有字母a，第二个是常数，不是同类项； ⑤中字母x和y相同且指数相同，是同类项； ⑥中都是常数项，是同类项． 故答案为：③⑤⑥． 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）若单项式与的差是单项式，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义以及通过建立方程求解参数，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 两个单项式是同类项，因此它们的对应字母的指数必须相等，从而可以求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：单项式与的差是单项式， 与是同类项， ，， 解得，， ． 故选：C． 【考点5 合并同类项】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握“同类项是指所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，合并同类项时系数相加减、字母和字母的指数不变”是解题的关键． 根据合并同类项的法则，逐一判断每个选项的计算是否正确． 【详解】解：，故A项错误． 与不是同类项，不能合并，故B项错误． ，故C项错误． ，故D项正确． 故选：D． 2．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）若关于，的单项式与的和为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义；两个单项式的和为0，说明它们是同类项且系数互为相反数． 【详解】解： 单项式与的和为0，因此它们是同类项． 对于字母，指数均为1；对于字母，指数需相等，即，所以． 系数之和为0，即， 解得． 故． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·吉林·月考）当 时，多项式中不含项． 【答案】2 【分析】本题考查“多项式的概念”，理解不含某项代表该项的系数为0是解题关键． 不含项，说明合并同类项后项的系数为0，故，解出k的值即可． 【详解】解：多项式为 ， 合并同类项，项的系数为 ， 令 ，解得 ． 故答案为：2． 【考点6 整式的加减】 1．（25-26七年级上·四川广元·期中）化简∶ (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算（去括号、合并同类项），熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． （1）先找出同类项，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（25-26七年级上·天津·月考）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ∴被墨水遮住的一项应是， 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知关于m的多项式：与的和是一个单项式（a，b为非零常数），那么 【答案】或 【分析】本题考查整式的加减运算，两个多项式的和合并同类项后，得到．根据和为单项式，分两种情况讨论即可． 【详解】解：； ∵和为单项式， ∴①，即，此时； ②，则，此时； 故答案为：或． 【考点7 整式的加减—化简求值】 1．（25-26七年级上·北京西城·期中）先化简，再求值： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则． （1）先去括号，再进行整式加减计算，然后利用整体的思想代入求解即可； （2）先根据绝对值和平方的非负性求出，再利用整式的加减运算法则化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵ ∴， ∴原式； （2）解：，， ∴， ∴， 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知． (1)当，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)14 (2)9 【分析】本题考查的是整式的加减运算，代数式的值与某字母的值无关的含义； （1）利用整式加减运算法则先化简，再整体代入求值； （2）将变形为，再根据条件可得，即可求解． 【详解】（1）解： ∵， ∴； （2）解：， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴． 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）若多项式与多项式的差不含x的二次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，根据整式的加减计算法则求出两个多项式的差，再根据差中不含x的二次项，得到含x的二次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式与多项式的差不含x的二次项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点8 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，根据即可求解． 【详解】解：已知 ，， 由同底数幂的乘法法则，得 ， 故答案为： 6． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，则的值为 . 【答案】45 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．逆用同底数幂的乘法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：45． 3．（24-25七年级下·湖南·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可． 【详解】解：∵， ∴，无法确定z与y的关系； ∴的大小关系不可能是， 故选：B． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 【考点9 幂的乘方及其逆用】 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是幂的乘方，灵活运用幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方公式，将、、的指数化为相同，进而比较底数大小得出三者的大小关系． 【详解】，，， 且， ． 故选：． 2．（25-26八年级上·四川内江·月考）已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据，，，得出，，，根据，得出，根据同底数幂乘法得出，即可得出答案． 【详解】解： ，，， ∴，，， 即，，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如果，，那么用的代数式表示y为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运用以及完全平方公式，由，，得，，然后消去即可求解，熟练掌握幂的乘方和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方及其逆运算，掌握计算公式并灵活运用是解题的关键． 先将化为，再由幂的乘方及其逆运算将化为，再代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【考点10 积的乘方及其逆用】 1．（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，将原式进行正确地变形是解题的关键．逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）若，则 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程两边化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ， 解得：． 故答案为：6． 3．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算是（      ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． 根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 即， ， 解得； （2）解： ， ， 原式 ． 【考点11 同底数幂的除法及其逆用】 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方法则、同底数幂的除法法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将27和9分别表示为3的幂，利用同底数幂的运算法则简化表达式，再代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选C． 2．（2025·江苏泰州·三模）如果，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可． 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4051． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 【考点12 整式的乘法】 1．已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 【答案】D 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，根据整式不含x3项，可得三次项的系数为零． 【详解】（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）=-10x+6x2-2mx3+2nx4， 由（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）的结果中不含x3项，得-2m=0， 解得m=0， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 2．（25-26八年级上·北京·期中）若，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算与代数式求值，运用整体代入思想，先化简代数式，再结合已知条件整体代入． 先将代数式化简为含的形式，再由已知条件得出的值，整体代入化简后的式子求值． 【详解】解： ∵ ∴ 则原式 ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 【答案】24 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 根据图形中各线段的关系，用、的代数式表示相关线段的长，再根据，由矩形面积公式列出、的方程，求得便可求解． 【详解】设， 则， ， ， ， 整理得， 则长方形的周长是24， 故答案为：24． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到 ，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 【考点13 整式的除法】 1．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用．根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为，根据多项式除法法则进行计算． 【详解】解：∵长方形的面积为，且一边长为， ∴另一边长是：， 故选：D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意列出除法算式，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键． 根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，求关于和的式子的值，（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，非负性，根据非负性求出的值，根据多项式除以单项式的法则，进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 【考点14 平方差公式】 1．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键． 根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算； C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算． 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么 ． 【答案】17 【分析】本题考查了平方差公式的应用，求代数式的值，利用换元法，设，将原方程转化为关于的方程，进而求解的值，即可得解，正确利用换元法是解此题的关键． 【详解】解：设，则， 代入原方程可得， 整理得：， ∴， ∴，即， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式． 设两个连续奇数为和（为正整数），，根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为的倍数，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（为正整数）， ∵， 根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为8的倍数， A．，不是“凤凰数”，不符合题意； B．，不是“凤凰数”，不符合题意； C．，不是“凤凰数”，不符合题意； D．，是“凤凰数”，符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式乘以和除以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】 ． 故答案为：2． 【考点15 平方差公式的几何背景】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】此题主要考查平方差公式、多项式乘法的几何背景，掌握组合图形的拼接方法与面积的计算方法是解决问题的关键． 利用割补的方法将原图形进行转化，结合面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图①，图①中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以整个图形的面积为； 如图②，一个长方形的面积是，另一个长方形的面积是，所以整个图形的面积为； 如图③，在图③中，拼成一个长方形，长为，宽为，则面积为． 综上所述：“L”形的图形的面积为①；②；③；共3种方法正确． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：D． 3．（25-26七年级上·天津和平·期中）如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是平方差公式的几何背景及应用． 在（I）中，通过图形的剪拼，用两种方法表示平行四边形的面积，直观地推导得出平方差公式，体现了平方差公式的几何意义，即从图形面积的角度理解公式； 在（II）中，运用（I）中得到的平方差公式，对进行简便计算，体现了平方差公式在数的运算中的应用，利用公式可以快速计算两个数的平方差． 【详解】（I）解：方法一 ∵大正方形的边长为，面积是；小正方形的边长为，面积是， 又∵平行四边形是由大正方形挖去小正方形后剩余部分拼成的， ∴平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 即． 方法二 观察拼成的大平行四边形，它的底边长为，高为.根 ∴据平行四边形的面积公式：面积底高， 可得其面积为 （II）根据（I）中得出的， 可将，代入公式， 则 ． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积． （1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式． （2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为， 图②中阴影部分的面积可表示为， 恒等式， 故答案为：，，； （2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为， 新长方体体积为， 正方体挖去一个小长方体后的体积为， 根据变化前后几何体的体积相等， 可得， 代数恒等式为； 【考点16 完全平方公式】 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 通过引入中间变量，将原方程转化为关于的方程，简化后直接求解． 【详解】 ，且， 。 设，则，， 代入得：， 展开：左边， 右边， ， 移项得：， 即， ，， ， ． 故选． 2．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，，，则代数式的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的变形对代数式进行转化，再代入计算． 先求出的值，再利用恒等式 进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知．若，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． 根据题意将用含的式子表示，代入，利用完全平方公式建立等式求解即可． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 【答案】（1）①；②；（2）①一定，见解析；②一定，见解析 【分析】本题考查了代数式的求值，平方差公式，完全平方公式，掌握完全平方公式的变换，奇数用代数式如何表示是解题的关键． （1）①根据完全平方公式变换即可求解；②根据完全平方公式和变换即可求解． （2）①用含n的式子将两个连续奇数表示出来，计算出平方差，即可求解；②用含n、m的式子将两个奇数表示出来，计算出平方差，再根据n、m的奇偶分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ； ②，， ． （2）①设这两个连续奇数分别为，（为整数）， 则 ， 为整数， 一定能被8整除，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．             ②设这两个不同奇数分别为，（，均为整数，且）， ． 当、都为偶数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、都为奇数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、为一奇数一偶数时，则为偶数，为奇数，则一定为偶数； 综上所述，一定能被8整除． 即任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数． 【考点17 完全平方公式的几何背景】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用． （1）用两种方法表示面积，列出等式即可； （2）设正方形，的边长分别为，，可得，，代入（1）中结论求出，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1面积可表示为、， 即， 故答案为：； （2）解：设正方形，的边长分别为，， ，， ，， ， 即， ， ． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自教材图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用、列代数式、完全平方公式的简便运算等知识点，灵活运用完全平方公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）结合图形列代数式即可解答； （2）将写成，然后用完全平方公式求解即可； （3）将写成，然后解答即可． 【详解】解：（1）正方形的面积还可以表示为， 所得等式为：． 故答案为：，． （2） ． （3） ． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】七年级数学兴趣小组在一次数学活动课上，探索利用如图1所示的两个长方形和两个正方形拼接成一个大正方形，并探究相关问题． 【问题探究】（1）甲小组拼成了如图2所示的大正方形，发现大正形的面积有两种表示方法，请你帮他完成这两种表示方法． 方法1：______； 方法2：______； 【发现结论】（2）由上述“方法1”与“方法2”可列等式：______； 【尝试应用】（3）乙小组拼成了如图3所示的大正方形，若，，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）21 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是解题的关键． （1）图2分别看成一个大正方形的面积和边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即可求得答案； （2）由（1）中的表示方法即可得到答案； （3）首先求出，然后表示出阴影部分的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）方法1：； 方法2：； （2）由（1）中面积的两种不同表示方法可得到等式为：； （3）∵，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 ． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解正方形的面积，设，则，而，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设正方形的边长为， 则 ， 设，则：正方形的边长为， ∵， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 【考点18 因式分解的相关概念】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否满足定义． 【详解】根据因式分解要求左边是多项式，右边是整式的乘积， 选项A：左边是乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 选项B：左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，符合因式分解的定义，故符合题意； 选项C：左边是乘积，右边是乘积，但属于恒等变形，并非因式分解，故不符合题意； 选项D：右边不是乘积形式，而是和的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键．由等式右边展开得 ，与左边比较系数，得 和 ．由于 、 为整数，枚举所有整数对 满足 ，计算 ，即可确定 的可能值． 【详解】， 比较系数，得 ，， 、 为整数，且 ， 所有整数对 为： ，； ，； ，； ，； ，； ，。 （其余对为重复值，略） 的可能值为 ． 选项不在可能值中，故不可能． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若是多项式的一个因式，且，试求m、n的值，并将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键： （1）根据是多项式的一个因式，得到时，，进行求解即可； （2）根据是多项式的一个因式，得到时，，结合，求出的值，再利用十字相乘法，进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴时，， ∴； 解得； （2）∵是多项式的一个因式， ∴时，， 则，① 又，② 由①②可得：．     ∴多项式． 【考点19 公因式】 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）多项式分解因式时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握找公因式的要点是解题的关键． 找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的要点解题即可． 【详解】解：多项式分解因式时应提取的公因式为：， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式求解，准确的计算是解决本题的关键． 通过因式分解发现其含有因式，且能整除自身，则可判断． 【详解】解：∵，且， ∴是公因式． 故选D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是 ． 【答案】 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母或多项式因式的最低指数次幂，从而确定公因式即可． 本题主要考查了公因式，解题关键是熟练掌握公因式的定义． 【详解】解：与公因式是， 故答案为：． 4．多项式与的公因式是 ． 【答案】 【分析】把每个多项式先因式分解，然后选出公有的因式即可． 【详解】解：， ， 多项式与的公因式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，公因式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 【考点20 因式分解—提公因式法】 1．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为： 4．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 【考点21 因式分解—运用公式法】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．利用平方差公式：，进行两次分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【详解】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 4．（24-25九年级下·云南临沧·月考）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【考点22 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 1．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，观察表达式，发现与互为相反数，可统一提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式中提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，然后利用完全平方公式法因式分解即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可； （2）先凑出公因式，然后提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点23 公式法—十字相乘法】 1．若，则p，q的值分别为（    ） A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4 【答案】B 【分析】根据因式分解，进而即可求得的值 【详解】解： ， p，q的值分别为 故选：B 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式的因式分解-十字相乘法，将多项式视为关于x的二次三项式，通过寻找两个数使其和为一次项系数，积为，利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·四川内江·月考）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先利用十字相乘法因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可． 【详解】解： 【考点24 公式法—分组分解法】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 【详解】解： 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 4．分解因式：= ． 【答案】 【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【考点25 因式分解的应用】 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 2．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 3．（25-26九年级上·重庆·期中）已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 【答案】(1) (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点． （1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 则， 解得， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ∴或（不符合三角形三边关系，舍） ∴是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． （1）根据示例，先利用添项法把配成完全平方式，再分解因式即可， （2）根据示例，可得，再根据积等于0，则必有因式等于即可得出的值． 【详解】（1）解： ． ． （2） ． 所以，使等式，则或， 故或． 【考点26 分式的定义】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，熟记分式定义是解题关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子称为分式），逐一判断各式即可． 【详解】∵ 分式的定义是分母中含有字母， 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 是整式，无分母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是，含字母和，∴ 是分式； ∴ 分式有3个． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把 的盐溶在 的水中，那么在 这种盐水中的含盐量为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，先表示出盐在盐水所占的比例，从而可求解． 【详解】解：在 这种盐水中的含盐量为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【答案】 【分析】本题主考查分式的定义、分式的规律等知识点，发现分式的分子、分母的指数的规律是解题的关键． 分别找出分子指数规律和分母指数规律，再运用规律即可解答． 【详解】解：∵ ∴分母是以a为底数，指数为1，2，3，……，n；分子是以b为底数，指数为2，4，6，……，， ∴第8个式子为 ． 故答案为：． 【考点27 分式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，求解即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，依次需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：选项A的分母为，当时，，分母可能为零； 选项B的分母为，当时，，分母可能为零； 选项C的分母为，因为，所以，分母恒不为零； 选项D的分母为，当时，，分母可能为零； 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零．根据分式有意义的条件，得到，即可求得答案． 【详解】解：分式 有意义， 分母 ， ， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是准确列出不等式． 根据分式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：且， 故答案为：且． 【考点28 分式的值为零的条件】 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）当 时，分式的值为零． 【答案】1 【分析】本题考查分式值为零的条件，需同时满足分子为零且分母不为零． 要使分式的值为零，需分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意，令分子，解得：． 当时，分母，满足条件． 故答案为：1． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，先根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件得出分子且分母，再求出答案即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ 分子且分母， 由得， ∴ 或， 当时，分母，不符合条件， ∴ ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 【考点29 分式的值】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减运算，将转化为，整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可． 【详解】∵是负数， ∴或 ∴或. 故选D. 【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则 3．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意， ，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的计算．先化简分式，再求使该式为整数的整数，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解： ， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 【考点30 分式的基本性质】 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】解：A.，故选项A化简错误，不符合题意； B、，故选项B化简错误，不符合题意； C、，故选项C化简错误，不符合题意； D、，原选项化简正确，符合题意． 故选：D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 4．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【答案】（1）③；①②④；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式； （2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式； （3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式． 【详解】（1）①，是假分式； ②，是假分式. ③是真分式； ④，是假分式； （2）====， （3）. 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题． 【考点31 约分与通分】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简运算，需根据分式的加减乘除法则和平方差公式逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、∵ ，∴ A错误，不符合题意； B、∵ ，∴ B错误，不符合题意； C、∵，∴ C正确，符合题意； D、∵ 与无必然相等关系，例如取，则 ，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 【考点32 最简分式】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简分式的概念，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题的关键． 通过逐项检查各选项的分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】选项A：分子在实数范围内不能因式分解，与分母无公因式，因此是最简分式； 选项B：，可约分，不是最简分式； 选项C：分子，分母，有公因子2，可约分，不是最简分式； 选项D：分子，分母，有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：A． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，中必须有字母，且分子分母不能还有公因式， 选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除； 选项D代入后，分式为，分子分母有公因式4，不是最简分式，故排除． 只有选项A满足题意． 故选A． 3．在分式中，最简分式有 个． 【答案】2 【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得． 【详解】解： 是最简分式，故有2个. 故答案为：2 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 【考点33 最简公分母】 1．分式，的最简公分母是 ． 【答案】12x2y2 【分析】根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，的最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 2．分式与的最简公分母是 ． 【答案】x(x+2)(x-2) 【分析】先对分式的分母进行因式分解，根据确定最简公分母的方法即可求出最简公分母． 【详解】∵x2+2x=x(x+2)，x2-4=(x+2)(x-2)， ∴分式与的最简公分母是x(x+2)(x-2)， 故答案为：x(x+2)(x-2) 【点睛】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 3．下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母； 【详解】分式 、 、 的分母分别是 、 、 ， 故最简公分母是， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定最简公分母的方法逐项分析即可，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】∵两个分式的分母分别是：x2-x=x(x-1)，x2+x=x(x+1)， ∴最简公分母是x(x-1)(x+1) 故选：B 【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 【考点34 分式的乘除法】 1．（24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除法运算法则． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得： ， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 【考点35 分式的加减法】 1．化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减法则． 将原式通分后合并，并利用平方差公式和提取公因式进行化简． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 【考点36 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算∶ 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 通过观察，发现从第二项开始的分母均为连续整数的乘积，进而根据分式的混合运算的法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．． 按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【考点37 分式的化简求值】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1) 二；去括号时未变号 (2) 正确过程见解析；当时，值为 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确运用分式运算法则（通分、因式分解、约分），注意去括号时的符号处理． （1）观察化简步骤，判断错误步骤及符号处理的错误原因； （2）先对括号内分式通分并正确化简分子，再将除法转化为乘法，约分得到最简分式，选择使分式有意义的整数代入求值． 【详解】（1）解：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时符号处理错误，未将中的变为； 故答案为：二；去括号时未变号； （2）解：原式 ． 选 ，代入得：原式． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 【答案】(1)， (2)，6 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相减，再计算分式除法，得出结果后，最后代入求值即可； （2）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相加，再计算分式除法，最后整体代入求值即可. 【详解】（1）解： . 将代入得：原式. （2）解： . ∵， ∴， ∴原式. 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，将化为，，，然后代入，推出，可得结论．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 4．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度． 【考点38 科学记数法—表示较小的数】 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数利用科学记数法表示一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 2．很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 【答案】B 【分析】考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B 3．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知质量为的铁的体积是．现有一个体积为的铁钉，那么它的质量是 千克（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．先将体积单位从立方毫米转换为立方米，再求质量，最后用科学记数法表示结果，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为 ． 4．（2025·河南驻马店·一模）在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1m最早是由地球球面上经过巴黎经线南北两极点距离的两千万分之一定出的．“”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 先化简分式，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 【考点39 负整数指数幂】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方．分别计算、、的值：比较大小可得，即可求解． 【详解】解：，，． ，即． 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了指数运算，负整数指数幂，需运用指数法则（如幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法）进行简化计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：． 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）计算： 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握零指数幂、负整数指数幂成为解题的关键． 先计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后再加减计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点40 分式方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 4．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 【考点41 分式方程的解】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【详解】∵关于的分式方程的解是， ∴代入得， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解的情况列不等式及考虑分母不为0是解题的关键． 先解分式方程，再根据方程的解为正数及分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：； ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且 ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如果关于x的分式方程无解；则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先把去分母整理得，根据无解得，即可作答． 【详解】解：依题意，方程去分母得， 整理得， 当，即时，方程无解； 当时，， ∵分式方程无解， ∴， 此方程无解，故舍去， 综上，a的值为3， 故答案为：3 4．已知关于x的方程：＝﹣3． (1)当方程的解为正整数时，求整数m的值； (2)当方程的解为正数时，求m的取值范围． 【答案】(1)﹣1或3 (2)m＜4且m≠ 【分析】（1）先求出分式方程的解，然后结合方程的解是整数，即可得到答案； （2）先求出分式方程的解，然后结合方程的解是整数，即可得到答案； 【详解】（1）解： 去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2）， 解得：x＝， ∵方程的解为正整数，且x≠2， ∴4﹣m＝5或4﹣m＝1且4﹣m≠2 解得：m＝﹣1或3，且m≠2， ∴整数m的值为﹣1或3； （2）解： 去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2）， 解得：x＝， ∵方程的解为正数且x≠2， ∴＞0且≠2， 解得：m＜4，且m≠， ∴m的取值范围为m＜4且m≠． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是掌握解分式方程的步骤进行计算． 【考点42 解分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键， （1）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可； （2）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可 【详解】（1）解：两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． （2）解：两边同时乘得， ， 解得， 经检验是原方程的增根，原方程无解． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分类讨论；分两种情况，解分式方程即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了新运算的定义、解分式方程等知识，根据题意新定义运算将方程转化为分式方程并求解，检验即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∵， ∴ ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴x的值为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)或，过程见解析 (3)或 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将方程转化为的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为的形式，然后得到或，然后解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 故答案为：或； （2）解：方程的解为：或， 检验：当时，左边右边，故是方程的解， 当时，左边右边，故也是方程的解； （3）解：将方程左边整理得： ； 方程右边整理为： ； ∴原方程可化为：， ∴或， 解得，或． 【考点43 由实际问题抽象出分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？设第二组的速度为，第一组的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意，两个小组攀登同一座高的山，第一组速度是第二组的1.2倍，且比第二组早15分钟到达，设第二组的速度为，则第一组的速度是，利用时间差建立方程即可． 【详解】解：设第二组的速度为，则第一组的速度是， 由题意，得． 故选：A． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 【答案】 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程. 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据题意可得方程：； 故答案为：. 4．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 【答案】． 【分析】设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，根据提前24小时完成任务，列出方程即可． 【详解】设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米， 由题意得，． 【考点44 分式方程的应用】 1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设该货车在原国道上行驶的速度为，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设该货车在原国道上行驶的速度为， 由题意可得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该货车在原国道上行驶的速度为． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米 (2)A施工队每天的费用是1200元 【分析】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得，解答即可； （2）设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． 【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得， 解得， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． （2）解：设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 答：A施工队每天的费用是1200元． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）由题意可知，每支中性笔的价格为元．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 4．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】(1)每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； (2)10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 【考点45 平移】 1．有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是 （填序号）． 【答案】③⑤⑥ 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，进行判断即可．熟练掌握平移的定义是解题的关键． 【详解】解：①在游乐场荡秋千是旋转，不是平移； ②转动的电扇叶片是旋转，不是平移； ③正在上升的电梯是平移； ④行驶的自行车后轮是旋转，不是平移； ⑤水平传送带上的物体是平移； ⑥飞机在跑道上滑行，直至停止是平移； 故答案为：③⑤⑥ 2．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为厘米，宽为厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧， 则剩余部分(空白区域)的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 3．如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．    (1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． (2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 【答案】(1)图见解析 (2)在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度 【分析】（1）根据平移的定义及性质即可解答； （2）根据平移的定义及性质，俄罗斯方块的规则即可解答． 【详解】（1）解：∵该“T”形方块向下平移了个单位长度， ∴平移后的图形如图所示，      （2）解：∵俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动， ∴在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度． 【点睛】本题考查了平移的定义及性质，掌握平移的性质是解题的关键． 【考点46 旋转】 1．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 2．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查旋转的三要素即旋转中心，旋转角，旋转方向的应用． 根据旋转的性质，判断每个选项的图形是否可由原图形旋转得到。 【详解】解：A．该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转（或）得到，故此选项不符合题意； B．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不符合题意；     C．图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意；     D．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选项不符合题意；     故选：C． 3．如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个，顶点A，B，C及点O均在格点上请按要求完成以下操作或运算： (1)将绕点O旋转，得到，画； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）若绕点O顺时针旋转，可得，如图所示： 若绕点O逆时针旋转，可得，如图所示： （2）的面积． 【考点47 轴对称】 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． 利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质得，， ∴的周长为：， 故选：C． 3．如图是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查的是利用轴对称设计图案，根据轴对称图形的概念求解．解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故选：C． 【考点48 中心对称】 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；根据中心对称的性质判断即可，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 【详解】解：、关于点O成中心对称，A，B，C关于O的对称点分别为，则； 故选项A、B正确； 而是对顶角， 则， 故选项C正确； 的对应角是，不是， 故选项D错误； 故选：D． 3．如图，图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件：    (1)图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． （1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义作图即可； （2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义作图即可； 【详解】（1）解：如图，涂色部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，    （2） 解：如图，涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末复习易错题48个考点 【沪教五四制2024】 【考点1 单项式】 2 【考点2 多项式】 2 【考点3 整式】 3 【考点4 同类项】 3 【考点5 合并同类项】 4 【考点6 整式的加减】 4 【考点7 整式的加减—化简求值】 4 【考点8 同底数幂的乘法及其逆用】 5 【考点9 幂的乘方及其逆用】 5 【考点10 积的乘方及其逆用】 5 【考点11 同底数幂的除法及其逆用】 6 【考点12 整式的乘法】 6 【考点13 整式的除法】 7 【考点14 平方差公式】 7 【考点15 平方差公式的几何背景】 8 【考点16 完全平方公式】 9 【考点17 完全平方公式的几何背景】 10 【考点18 因式分解的相关概念】 11 【考点19 公因式】 12 【考点20 因式分解—提公因式法】 12 【考点21 因式分解—运用公式法】 12 【考点22 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 13 【考点23 公式法—十字相乘法】 13 【考点24 公式法—分组分解法】 13 【考点25 因式分解的应用】 13 【考点26 分式的定义】 14 【考点27 分式有意义的条件】 14 【考点28 分式的值为零的条件】 15 【考点29 分式的值】 15 【考点30 分式的基本性质】 15 【考点31 约分与通分】 16 【考点32 最简分式】 17 【考点33 最简公分母】 17 【考点34 分式的乘除法】 17 【考点35 分式的加减法】 18 【考点36 分式的混合运算】 18 【考点37 分式的化简求值】 19 【考点38 科学记数法—表示较小的数】 20 【考点39 负整数指数幂】 20 【考点40 分式方程的定义】 20 【考点41 分式方程的解】 21 【考点42 解分式方程】 21 【考点43 由实际问题抽象出分式方程】 22 【考点44 分式方程的应用】 23 【考点45 平移】 24 【考点46 旋转】 24 【考点47 轴对称】 25 【考点48 中心对称】 26 【考点1 单项式】 1．下列代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧x，其中是单项式的是 ．(填序号) 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）单项式的系数是 ． 3．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）有三个条件：①只含有字时a，b，c，②系数为，③次数为4，能满足这三个条件的单项式为 （写出一个即可）． 4．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）若有一组按一定规律排列的单项式：，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【考点2 多项式】 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）多项式的次数是 ． 2．（25-26七年级上·广西贵港·期中）若没有二次项，则的值是 ． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）将多项式按字母a的升幂排列为 ． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若整式化简后是关于、的三次二项式，则的值为 ． 【考点3 整式】 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列式子中：，，，，，整式有 个． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列式子：①0；②；③；④；⑤；⑥．其中是整式个数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 4．观察下列各式：，，，，．回答下列问题： (1)单项式分别为：______________________________； (2)多项式分别为：_________________________________； (3)整式有___________个； (4)的系数为__________； (5)次数最高的多项式为__________________． 【考点4 同类项】 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列式子是的同类项的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东临沂·期中）若单项式与是同类项，则 ． 3．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）以下各组中：①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与．是同类项的是： （填写序号）． 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）若单项式与的差是单项式，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【考点5 合并同类项】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）若关于，的单项式与的和为0，则 ． 3．（25-26七年级上·吉林·月考）当 时，多项式中不含项． 【考点6 整式的加减】 1．（25-26七年级上·四川广元·期中）化简∶ (1)； (2) (3) 2．（25-26七年级上·天津·月考）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知关于m的多项式：与的和是一个单项式（a，b为非零常数），那么 【考点7 整式的加减—化简求值】 1．（25-26七年级上·北京西城·期中）先化简，再求值： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知． (1)当，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）若多项式与多项式的差不含x的二次项，则的值为 ． 【考点8 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，则的值为 . 3．（24-25七年级下·湖南·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【考点9 幂的乘方及其逆用】 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川内江·月考）已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如果，，那么用的代数式表示y为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【考点10 积的乘方及其逆用】 1．（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）若，则 ． 3．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算是（      ） A．8 B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【考点11 同底数幂的除法及其逆用】 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 2．（2025·江苏泰州·三模）如果，那么 ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【考点12 整式的乘法】 1．已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 2．（25-26八年级上·北京·期中）若，求代数式的值． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【考点13 整式的除法】 1．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，求关于和的式子的值，（为正整数）． 【考点14 平方差公式】 1．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么 ． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【考点15 平方差公式的几何背景】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（25-26七年级上·天津和平·期中）如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【考点16 完全平方公式】 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 2．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，，，则代数式的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知．若，则的值是 ． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 【考点17 完全平方公式的几何背景】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自教材图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】七年级数学兴趣小组在一次数学活动课上，探索利用如图1所示的两个长方形和两个正方形拼接成一个大正方形，并探究相关问题． 【问题探究】（1）甲小组拼成了如图2所示的大正方形，发现大正形的面积有两种表示方法，请你帮他完成这两种表示方法． 方法1：______； 方法2：______； 【发现结论】（2）由上述“方法1”与“方法2”可列等式：______； 【尝试应用】（3）乙小组拼成了如图3所示的大正方形，若，，求出图3中阴影部分的面积． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【考点18 因式分解的相关概念】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若是多项式的一个因式，且，试求m、n的值，并将多项式进行因式分解． 【考点19 公因式】 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）多项式分解因式时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是 ． 4．多项式与的公因式是 ． 【考点20 因式分解—提公因式法】 1．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 2．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 3．因式分解： ． 4．若，则 ． 【考点21 因式分解—运用公式法】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 4．（24-25九年级下·云南临沧·月考）因式分解： ． 【考点22 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 1．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 3．（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【考点23 公式法—十字相乘法】 1．若，则p，q的值分别为（    ） A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 3．（24-25九年级下·四川内江·月考）分解因式： ． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【考点24 公式法—分组分解法】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 4．分解因式：= ． 【考点25 因式分解的应用】 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 3．（25-26九年级上·重庆·期中）已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【考点26 分式的定义】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把 的盐溶在 的水中，那么在 这种盐水中的含盐量为 ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【考点27 分式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 4．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围为 ． 【考点28 分式的值为零的条件】 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）当 时，分式的值为零． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【考点29 分式的值】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则 ． 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 3．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【考点30 分式的基本性质】 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 4．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【考点31 约分与通分】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）当时，的值是 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【考点32 最简分式】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 3．在分式中，最简分式有 个． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【考点33 最简公分母】 1．分式，的最简公分母是 ． 2．分式与的最简公分母是 ． 3．下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【考点34 分式的乘除法】 1．（24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 2．计算： ． 3．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点35 分式的加减法】 1．化简结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【考点36 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算∶ 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【考点37 分式的化简求值】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【考点38 科学记数法—表示较小的数】 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 2．很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 3．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知质量为的铁的体积是．现有一个体积为的铁钉，那么它的质量是 千克（结果用科学记数法表示）． 4．（2025·河南驻马店·一模）在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1m最早是由地球球面上经过巴黎经线南北两极点距离的两千万分之一定出的．“”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【考点39 负整数指数幂】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）计算： 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）计算： 【考点40 分式方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 4．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点41 分式方程的解】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如果关于x的分式方程无解；则a的值为 ． 4．已知关于x的方程：＝﹣3． (1)当方程的解为正整数时，求整数m的值； (2)当方程的解为正数时，求m的取值范围． 【考点42 解分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【考点43 由实际问题抽象出分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？设第二组的速度为，第一组的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 4．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 【考点44 分式方程的应用】 1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 4．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【考点45 平移】 1．有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是 （填序号）． 2．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 3．如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．    (1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． (2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 【考点46 旋转】 1．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 2．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个，顶点A，B，C及点O均在格点上请按要求完成以下操作或运算： (1)将绕点O旋转，得到，画； (2)求的面积． 【考点47 轴对称】 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点48 中心对称】 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 3．如图，图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件：    (1)图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $