专题01 期末复习易错题29个考点（举一反三期末专项训练）八年级数学上学期沪教版五四制2024

专题01 期末复习易错题29个考点 【沪教五四制2024】 【考点1 平方根、算术平方根】 1 【考点2 立方根】 2 【考点3 实数的分类】 2 【考点4 无理数】 3 【考点5 二次根式的定义】 4 【考点6 二次根式有意义的条件】 4 【考点7 二次根式的性质与化简】 4 【考点8 最简二次根式】 4 【考点9 二次根式的运算】 5 【考点10 二次根式的大小比较】 5 【考点11 二次根式的应用】 5 【考点12 一元二次方程的定义】 6 【考点13 一元二次方程的一般形式】 7 【考点14 一元二次方程的解】 7 【考点15 解一元二次方程—配方法】 8 【考点16 根的判别式】 9 【考点17 解一元二次方程—公式法】 9 【考点18 解一元二次方程—因式分解法】 10 【考点19 根与系数的关系】 10 【考点20 由实际问题抽象出一元二次方程】 11 【考点21 一元二次方程的应用】 12 【考点22 直角三角形的性质】 14 【考点23 直角三角形全等的判定】 14 【考点24 角平分线】 15 【考点25 勾股定理】 16 【考点26 勾股定理的证明】 16 【考点27 勾股定理的应用】 18 【考点28 勾股数/树】 19 【考点29 勾股定理逆定理的计算与证明】 20 【考点1 平方根、算术平方根】 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 2．的算术平方根是 ． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【考点2 立方根】 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）计算： ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【考点3 实数的分类】 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 3．在①  ②  ③0  ④3.14  ⑤  ⑥0.3  ⑦  ⑧  ⑨ 属于有理数的有：________________；（填序号） 属于无理数的有：________________；（填序号） 属于实数的有：________________．（填序号） 4．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【考点4 无理数】 1．（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么整数 ． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【考点5 二次根式的定义】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值是 ． 3．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【考点6 二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 3．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数满足，求的值是多少？ 【考点7 二次根式的性质与化简】 1．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 3．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为 ． 【考点8 最简二次根式】 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是 ． 【考点9 二次根式的运算】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（　　） A． B． C．2 D．－2 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【考点10 二次根式的大小比较】 1．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 4．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【考点11 二次根式的应用】 1．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 2．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【考点12 一元二次方程的定义】 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围值是 ． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 4．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有 （填序号）． 【考点13 一元二次方程的一般形式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程化成一般形式是 ；一次项系数是 ． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【考点14 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A．3 B． C．9 D． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·月考）关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 ． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【考点15 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）用配方法解方程，方程可变形为，则 ． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【考点16 根的判别式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值： ． 3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（    ） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【考点17 解一元二次方程—公式法】 1．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1） ； （2）方程的解是 ． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为， ，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为 （，） 【考点18 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是 ． 4．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【考点19 根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（25-26九年级上·江西赣州·期中）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为a，b． (1)若方程的两根相等，求k的值； (2)用含k的代数式表示； (3)是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在代数的领域内，存在着一类具有独特性质的方程，它们被称为“单位根方程”．此类方程的特点在于至少具备一个解为．例如：方程有解为，所以为“单位根方程”． (1)下列方程是“单位根方程”的有______；（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且该方程是“单位根方程”，求的值． 【考点20 由实际问题抽象出一元二次方程】 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点21 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 2．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 4．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【考点22 直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）在中，，当锐角 °时，为直角三角形． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁的中点．若，则的长为 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，， E为对角线的中点，连接．若， 则的度数为 °． 【考点23 直角三角形全等的判定】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）在下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（    ） A．已知一条直角边和一个锐角对应相等 B．已知两条直角边对应相等 C．已知一条直角边和斜边对应相等 D．已知两个锐角对应相等 2．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，已知，，的交点E在线段的垂直平分线上，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 4．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【考点24 角平分线】 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，则点D到的距离为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，锐角三角形的面积是15，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【考点25 勾股定理】 1．如图， 则的长为(   ) A．5 B．13 C．17 D．19 2．已知是直角三角形，直角边，斜边，则边（   ） A． B． C． D．或 3．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 4．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中， ，且，如果是奇异三角形，那么 . 【考点26 勾股定理的证明】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 2．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么： 3．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【考点27 勾股定理的应用】 1．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 2．如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 4．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 【考点28 勾股数/树】 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 3．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 4．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是    【考点29 勾股定理逆定理的计算与证明】 1．如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为 ． 3．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 4．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末复习易错题29个考点 【沪教五四制2024】 【考点1 平方根、算术平方根】 1 【考点2 立方根】 3 【考点3 实数的分类】 5 【考点4 无理数】 7 【考点5 二次根式的定义】 10 【考点6 二次根式有意义的条件】 11 【考点7 二次根式的性质与化简】 12 【考点8 最简二次根式】 14 【考点9 二次根式的运算】 15 【考点10 二次根式的大小比较】 17 【考点11 二次根式的应用】 19 【考点12 一元二次方程的定义】 21 【考点13 一元二次方程的一般形式】 23 【考点14 一元二次方程的解】 24 【考点15 解一元二次方程—配方法】 26 【考点16 根的判别式】 29 【考点17 解一元二次方程—公式法】 31 【考点18 解一元二次方程—因式分解法】 35 【考点19 根与系数的关系】 37 【考点20 由实际问题抽象出一元二次方程】 40 【考点21 一元二次方程的应用】 42 【考点22 直角三角形的性质】 47 【考点23 直角三角形全等的判定】 49 【考点24 角平分线】 51 【考点25 勾股定理】 54 【考点26 勾股定理的证明】 56 【考点27 勾股定理的应用】 59 【考点28 勾股数/树】 63 【考点29 勾股定理逆定理的计算与证明】 66 【考点1 平方根、算术平方根】 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查平方根定义和性质，根据平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，可得和互为相反数，再根据互为相反数的两个数和为0，求得m的值，再得出的值，从而得出x的值. 【详解】解：∵正数x的两个不同的平方根是和 ∴和互为相反数 ∴ 解得 则 ∴. 故答案为25. 2．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据数字的变化找出规律求值是解本题的关键．找出规律，计算求值即可． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ， 第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：， 前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，， 第八行第十三个数是 故选：D． 【考点2 立方根】 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动3位，立方根的小数点向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 4．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算． （1）运用平方根知识列出方程并求解； （2）将该方程变形后，运用立方根知识进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得， ∴； （2）解：由（1）所求， ∴关于x的方程为， 移项，得， 化系数为1，得， 开立方，得． 【考点3 实数的分类】 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无线循环小数是解题的关键． 根据有理数和无理数的定义，只有选项A是有理数，其他选项均为无理数． 【详解】A、是有理数，故A符合题意； B、是无理数，故B不符合题意； C、是无理数，故C不符合题意； D、是无理数，故D不符合题意． 故选：A． 3．在①  ②  ③0  ④3.14  ⑤  ⑥0.3  ⑦  ⑧  ⑨ 属于有理数的有：________________；（填序号） 属于无理数的有：________________；（填序号） 属于实数的有：________________．（填序号） 【答案】见解析 【分析】根据有理数、无理数和实数的定义分别填空即可． 【详解】解：∵=-7，=1.1， ∴属于有理数的有：①③④⑥⑦⑧⑨； 属于无理数的有：②⑤； 属于实数的有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨． 【点睛】本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数或有限小数，大于零的实数是正实数，小于零的实数是负实数． 4．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合： ，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合： ，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合： ，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合： ，， 故答案为：，， 【考点4 无理数】 1．（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么整数 ． 【答案】3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义，比较与相邻的完全平方数，确定其取值范围，从而得到答案． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ． 又∵a为正整数， ∴． 故答案为3． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，即无限不循环小数．逐一判断给定实数中哪些是无理数即可．掌握无理数的定义是关键，注意区分有限小数、循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）是无限不循环小数，属于无理数． ∴ 无理数有 、、（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”），共3个． 故选：B． 3．已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，包括利用算术平方根的大小比较确定无理数的整数部分，解决本题的关键是对无理数估算方法的运用． 要确定的整数部分和的整数部分，需通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，得出无理数的范围，进而确定其整数部分，核心是对无理数估算方法的运用． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴． 故选：D ． 4．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 【考点5 二次根式的定义】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二次根式，据此依次判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数，不符合题意； 选项B：，无论取何值，，故， 不符合题意； 选项C：，被开方数为（，故），符合题意； 选项D：，被开方数， 不符合题意. 故选：C. 2．当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可. 【详解】将代入二次根式可得： ， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键. 3．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【考点6 二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足， 解得， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件列出不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 故选：C． 4．已知实数满足，求的值是多少？ 【答案】2009 【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴a-2009≥0，即a≥2009， ∴2008-a≤-1＜0， ∴a-2008+=a，解得=2008， 等式两边平方，整理得a-20082=2009． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 【考点7 二次根式的性质与化简】 1．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 3．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据二次根式的意义确定a的符号，再化简求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ = ． 故选：D． 4．已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 【考点8 最简二次根式】 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、 ，可化简，不是最简二次根式； B、 ，可化简，不是最简二次根式； C、，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式； D、 ，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 2．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴被开方数相同，即， 解得：， 当时，，是最简二次根式，且被开方数与相同，故能合并． 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 【答案】0或1或3或4或5或7或9 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：∵都是最简二次根式，而，，， ∴均不是最简二次根式， 故答案为：0或1或3或4或5或7或9． 4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【考点9 二次根式的运算】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法、同类二次根式的概念是解题的关键．依次对每个选项依据二次根式的运算规则进行分析判断． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项正确． 故选：D． 3．已知，，则（　　） A． B． C．2 D．－2 【答案】B 【分析】根据二次根式的加法、乘法及分式的运算可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的运算，熟练掌握二次根式及分式的运算是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【考点10 二次根式的大小比较】 1．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 【答案】a＜b＜c 【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式． 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 将两数分别平方后，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 4．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解： ， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 【考点11 二次根式的应用】 1．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：； 故答案为：18． 2．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．将代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得：当时，， 即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，且的三边长分别为，，， ，，， ∴的面积为： ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）代入和到，即可求解； （2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为； （2）解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 【考点12 一元二次方程的定义】 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作出判断． 【详解】解：，当时，不是关于x的一元二次方程，故A不符合； 中含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故B不符合； 是关于x的一元二次方程，故C符合； 中分母含有字母，不是关于x的一元二次方程，故D不符合， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据二次项的系数不等于解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴则二次项系数， 解得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为零，据此即可求解； 【详解】解：由题意得： 且 ； 解 得 ，即 ； 当 时，，二次项系数为零，不符合要求； 当 时，，符合要求； 故选：B 4．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有 （填序号）． 【答案】①⑥ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 【考点13 一元二次方程的一般形式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程化成一般形式是 ；一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般形式． 先将方程右边的括号展开，然后移项使方程右边为0，合并同类项化为一般形式，再根据一般形式识别一次项系数． 【详解】解： ． ， ． 可知一次项系数为． 故答案为：，． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程展开并整理成一般形式 ，通过比较系数确定 和 的值． 【详解】解： 原方程为 ， 化为一般式可得：， 与一般形式 对比， 可得：，， 故选：B． 4．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【详解】解：∵的常数项为0， ∴，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 【考点14 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解；将已知根代入方程，直接求解参数即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 因此，a的值为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京·月考）关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 把代入一元二次方程中，得到关于k的一元二次方程，解此方程即可求得k的值，再根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，二者结合即可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程 的一个根 ∴把代入方程中得：， 即 解得：， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 【考点15 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）用配方法解方程，方程可变形为，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，配方时，先取一次项系数的一半的平方，即，然后两边同时加上4，得，即，与形式对比，从而确定的值． 【详解】原方程移项得：， 左右两边同时加上4，得， 即， 与形式对比，得， 故答案为9． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．直接开平方法适用于形如 (其中 为常数)的方程，可直接取平方根求解．选项A符合此形式，其他选项需先配方或因式分解，不能直接使用开平方法． 【详解】解：∵直接开平方法要求方程为 的形式，选项A：，符合条件，可直接开平方求解； 选项B：，需配方，且判别式为负，无法直接开平方； 选项C：，需因式分解，非直接开平方形式； 选项D：，需配方成 后才能开平方，非直接可用． ∴ 只有选项A可用直接开平方法求解． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)最大值为59，相应的x的值为 (2)①不能，理由见解析；②当时，矩形面积最大值为 【分析】（1）将代数式化为，即可求解； （2）①证明为等腰直角三角形，则，得，由即可判定；② ，再根据（1）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵是非负数， ∴， ∴， 则代数式的最大值为59，这时相应的x的值为； （2）解：①∵为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当矩形的面积达到时，， 整理得：， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形的面积不能达到． ② ， ∵是非负数， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法确定最值，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，是解题的关键． 【考点16 根的判别式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 且 (2)的值为2，方程的另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． (1)由于方程有实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零； (2)将根代入方程可求，再通过因式分解求另一个根． 【详解】（1）解：∵方程为一元二次方程且有实数根， ∴，即， 且判别式， 即， ， ， ， 故且； （2）解：将代入方程得， 即， ， ， 此时方程为，即， 因式分解得， 或， 解得：， ∴另一个根为． 综上所述：的值为2，方程的另一个根为． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴当取3时，方程有两个相等的实数根． 故答案为：3（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（    ） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式． 通过给定条件代入判别式，化简得，因此方程总有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 代入判别式：， ∴方程总有实数根， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式等知识，根据新运算定义，将方程转化为一元二次方程，利用根的判别式求参数范围即可． 【详解】解：由新运算定义，，得， 故方程化为， 由于该方程有两个实数根， ∴判别式， 解得． 故答案为：． 【考点17 解一元二次方程—公式法】 1．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据解一元二次方程的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵方程 可移项得， ∴ 因式分解得， ∴ 或， ∴ ， ； 甲解法两边除以，漏掉了的情况，原计算错误； 乙解法整理后方程应为，，原计算错误； 丙解法配方应为 即 ，原计算错误； 丁解法正确． 故选D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1） ； （2）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，解一元一次不等式，配方法，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法． （1）通过比较二次函数与常数2的大小关系，利用配方法求得，从而根据定义得出结果； （2）根据与的大小关系分类讨论，分别解方程并验证解的取值范围是否符合条件． 【详解】解：（1）对于 ，需比较与2的大小， 配方法： ， 因此恒有， ∵当 时，， ∴， 故答案为：； （2）方程， 分以下两种情况讨论： ①当，即时，， 则，即， 解得， 其中符合条件，不符合条件，舍去； ②当，即 时，， 则，即， 解得， 其中 符合条件，不符合条件，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为， ，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为 （，） 【答案】 ， 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式． 根据一元二次方程的求根公式，可得，先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积，即可推导、、、之间存在的一种特殊关系． 【详解】解：∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， ， ∴，， 故答案为： ，． 【考点18 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 则或， 所以，； （2）解：， ， ， 则或， 所以，． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项． 【详解】解： 则 ， 解得：， ∴这个三角形的两边的长为7和9， ∴第三边长x的范围为，即； 则该三角形的第三边的长可以为15． 故选D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是 ． 【答案】，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用换元法求解是解题关键．通过设，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用已知条件求出系数关系，进而求解方程． 【详解】解：设，则原方程化为， 由，得， 代入得， 代入方程得， 因，两边除以得， 因式分解得，解得或， 由，得或， 解得：，， 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，因式分解法求一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及一元二次方程的求解． （1）求方程的判别式为，即可求证； （2）由方程可得，解得，，根据有一根为负数可得，求解即可． 【详解】（1）证明：由方程可得，，，， 则判别式， 则无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由方程可得， 解得，， 由有一个根为负数可得，，解得． 【考点19 根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义． 利用根与系数的关系求出的值，并根据方程解的定义得到的值，然后整体代入求解． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，且， 即． ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期中）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，进而得到，再代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为a，b． (1)若方程的两根相等，求k的值； (2)用含k的代数式表示； (3)是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系； （1）由方程的两根相等，得到，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，最后代入计算即可； （3）由得到，结合（2）中结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知关于x的一元二次方程， a，b为方程的两个实数根， 若方程的两根相等， 则， 即， 整理得， 解得． （2）解：∵a，b为方程的两个实数根 ∴，， ∴ ． （3）解：不存在，理由如下 若成立， 则有， 即， ∴， 整理得， 解得， ∵a，b为方程的两个实数根， ∴， 解得， ∵， 不存在满足条件的常数k，使得成立． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在代数的领域内，存在着一类具有独特性质的方程，它们被称为“单位根方程”．此类方程的特点在于至少具备一个解为．例如：方程有解为，所以为“单位根方程”． (1)下列方程是“单位根方程”的有______；（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且该方程是“单位根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)24 【分析】本题考查了新定义的理解及解一元二次方程． （1）根据“单位根方程”的定义求解即可； （2）根据已知条件将代入原方程中求得m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系求得与的值，并将所求式子进行化简将与的值代入后即可得到答案． 【详解】（1）解：①，解得或，是“单位根方程”， ②，解得或，不是“单位根方程”， ③，解得或，是“单位根方程”， 故答案为：①③． （2）解：由题意知，是“单位根方程”， ∴两个实数根中必有， ∴当时，，解得， ∴关于x的一元二次方程为， ∴，， ∴． 【考点20 由实际问题抽象出一元二次方程】 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．熟练掌握一元二次方程的应用—增长率问题是解题的关键． 设日平均增长率为，则第二天收入为元，第三天收入为元，三天总收入为元，等于27000元． 【详解】解：∵ 首日收入为8472元，日平均增长率为，   ∴ 第二天收入为元，第三天收入为元， 三天总收入为元．   又∵ 三天共收入27000元，   ∴ 方程为． 故选D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．可借助平移性质得到长为 、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用及根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含的代数式表示出门的高和宽，再利用勾股定理建立方程．设门对角线长为尺，则竿长为尺；由“横之不出四尺”得门宽为尺，由“从之不出二尺”得门高为尺；因门的高、宽与对角线构成直角三角形，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，可列出方程，进而确定对应选项． 【详解】解：设门对角线长为尺，则竿长为尺． 由题意可知，门宽为尺，门高为尺． 因为门的高、宽与对角线构成直角三角形， 根据勾股定理得：， 该方程与选项A一致． 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 【考点21 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 【答案】（1）①；②的长为 10 米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为 240 平方米，此时的长为 10 米； （2）解：设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 2．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），；（2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个；（3）不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 4．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【考点22 直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）在中，，当锐角 °时，为直角三角形． 【答案】20 【分析】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余，直角三角形中有一个角为，结合和为锐角，可知，从而求出. 【详解】解：在中，， 若为直角三角形，则必有一个角为， 由于为锐角，因此， 即， 解得， 故答案为：20. 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁的中点．若，则的长为 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算． 【详解】解：， ， 是的中点， ， 故答案为： 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，， E为对角线的中点，连接．若， 则的度数为 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，由等边对等角可得，设，则，再根据三角形外角的性质以及角的和差可得，最后根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， E为对角线的中点， ∴，即 ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 【考点23 直角三角形全等的判定】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）在下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（    ） A．已知一条直角边和一个锐角对应相等 B．已知两条直角边对应相等 C．已知一条直角边和斜边对应相等 D．已知两个锐角对应相等 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键．结合已知条件与三角形全等的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．一条直角边和一个锐角对应相等，可结合直角，用或判定全等，故A不符合题意； B．两条直角边对应相等，且夹角为直角（相等），可用判定全等，故B不符合题意； C．一条直角边和斜边对应相等，可用判定全等，故C不符合题意； D．两个锐角对应相等，仅得角角角，但不能判定三角形全等，缺少边的关系，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答． 根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，已知，，的交点E在线段的垂直平分线上，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 【答案】或 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定，证明，再进一步求解即可. 【详解】解：∵的交点E在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， 根据“”判定， 只需添加或． 故答案为：或． 4．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 【考点24 角平分线】 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，，平分交于点D，若，则点D到的距离为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵在中，，平分，， ∴， ∴点D到的距离为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 、、是的三条角平分线， ， ，的面积为， ， ， 的面积 ， 故选：D 3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，锐角三角形的面积是15，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】过C作于点E，交BD于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为的最小值． 本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过C作于点E，交BD于点，过点作于，如图： 平分，，， ， 是最小值， 此时M与重合，N与重合， 三角形的面积为15，， ， 即的最小值为 故答案为： 【考点25 勾股定理】 1．如图， 则的长为(   ) A．5 B．13 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．首先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 2．已知是直角三角形，直角边，斜边，则边（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的计算，准确计算是解题的关键． 直接利用勾股定理计算即可； 【详解】在中，直角边，斜边， （）． 故选：． 3．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 故选：A． 4．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中， ，且，如果是奇异三角形，那么 . 【答案】1：： 【分析】由△ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2＝b2＋c2，记作②，或2b2＝a2＋c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值． 【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∴根据勾股定理得：c2＝a2＋b2，记作①， 又Rt△ABC是奇异三角形， ∴2a2＝b2＋c2，②， 将①代入②得：a2＝2b2，即a＝b（不合题意，舍去）， ∴2b2＝a2＋c2，③， 将①代入③得：b2＝2a2，即b＝a， 将b＝a代入①得：c2＝3a2，即c＝a， 则a：b：c＝1：：． 故答案为：1：：． 【点睛】此题考查了新定义的知识，勾股定理．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用． 【考点26 勾股定理的证明】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的几何验证，解题的关键是熟知勾股定理的运用． 根据图形及勾股定理的验证得到，故四边形的面积等于四边形的面积加上四边形的面积，再根据六边形的面积为14，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵六边形的面积为14， ∴ 解得，（舍去）， 根据图形及勾股定理的验证得到， ∴四边形的面积=四边形的面积加上四边形的面积． 故选：B． 2．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么： 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，第一种方法，这个图形的面积等于三个直角三角形的面积；第二种方法，可证明，进而推出B、C、D三点共线，则这个图形的面积等于梯形的面积，两种方法分别表示出这个图形的面积即可得到答案． 【详解】解；这个图形的面积等于三个直角三角形的面积，即为； 如图所示，∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴B、C、D三点共线， ∴这个图形的面积等于梯形的面积，即为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析； (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 【考点27 勾股定理的应用】 1．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 2．如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    【答案】1.5/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），    故答案为：1.5． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 【答案】19 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作交延长线于点D，则， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 故答案为：19． 4．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设km，则， 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， ∴， 解得：． 所以，=． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键． 【考点28 勾股数/树】 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 3．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10，24，26是勾股数，见解析 【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得， ∴， 把代入， 解得（负值已舍掉）， ∴； （2）10，24，26是勾股数． ∵． 又∵10，24，26都是正整数 根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数． 【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 4．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是    【答案】56 【分析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图，    在中，， 在中，， ∴ ， 故答案为：56． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 【考点29 勾股定理逆定理的计算与证明】 1．如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理， 首先求出，然后证明出，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵，D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 3．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 4．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $