精品解析：天津市蓟州区第一中学2025-2026学年高三上学期第二次学情调研（12月）数学试题

2025-2026学年第一学期第二次学情调研 高三数学 一、选择题：（每小题5分，共45分） 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量在向量方向上的投影向量的模为，向量在向量方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（ ） A. 1013 B. 1023 C. 2036 D. 2050 8. 已知函数的图象如图所示，图象与 轴的交点为，与 轴的交点为 ，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ） A. B. 0 C. D. 9. 设，是双曲线 ：的左、右焦点，点 分别在双曲线 的左、右两支上，且满足，，则双曲线 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 复数的虚部为___________． 11. 圆的圆心与抛物线的焦点 重合， 为两曲线的交点，则原点到直线 的距离为______． 12. 已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．若，且，则的值_______． 13. 已知正实数x，y，满足，则的最小值为________． 14. 已知菱形 的边长为2，，点 是边 上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于________；延长线段 至点 ，使得，若点 在线段 上，则的最小值为________． 15. 若存在实数，使函数有3个不同的零点，则实数 的取值范围为______________. 三、解答题（共5小题，共计75分） 16. 在 中，角 的对边分别为． （1）求角 的大小； （2）若的面积为． ①求 的值； ②求的值． 17. 如图，平面 ，， ，，，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若 为线段 上靠近 点的三等分点，求 到平面的距离． 18. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆 上，过点 的两条直线 ，分别与椭圆 交于另一点A，B，且直线 ，， 的斜率满足． （1）求椭圆 的方程； （2）证明直线 过定点； （3）椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围． 19. 已知无穷数列中，、、…、构成以10为首项，以 为公差的等差数列，、、…、构成首项为，公比为的等比数列，其中，． （1）当 ，时，求数列的通项公式； （2）若m是偶数且，求． （3）对一切正整数 ，都有.设数列的前 项和为，判断是否存在 ，使得 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数． （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求使恒成立的最大偶数a． （3）已知当 时，总成立．令，若在的图像上有一点列，若直线的斜率为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次学情调研 高三数学 一、选择题：（每小题5分，共45分） 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】由已知， ，． 故选：C． 2. 设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由等比数列的通项公式可得，， 当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足； 当是递减数列，可得或，故必要性不满足； 所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件. 故选：A 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性得出 的范围，然后即可得出 的大小关系. 【详解】由题意知， ，即， ，即， ，又， 即，∴． 故选：A 4. 已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的公比为，由，，成等差数列求出，再由等比数列前 和公式得的前5项和． 【详解】解：设的公比为， 因为，，成等差数列，所以，即， 所以， 所以． 所以， 因为， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以． 故选：C． 5. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令 ，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令 ，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令 ，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令 ，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 6. 已知向量在向量方向上的投影向量的模为，向量在向量方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量投影向量的模的定义得出与之间的关系，再利用向量垂直得到向量数量积为零建立一个方程，将关系式代入方程中，结合向量夹角的范围解出即可. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量的模为， 向量在向量方向上的投影向量的模为1， 所以，， 所以有：， 因为， 所以 ， 即 因为，所以， 又，所以， 故选：B. 7. 已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（ ） A. 1013 B. 1023 C. 2036 D. 2050 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到数列的第 项为数列的第项，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列的第 即得到的数列的第 项为数列的第项， 因为，可得， 所以. 故选：C. 8. 已知函数的图象如图所示，图象与 轴的交点为，与 轴的交点为 ，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，利用正弦型函数的性质、向量垂直的充要条件以及诱导公式进行求解. 【详解】由图象可知，，所以，又，所以， 所以，又，所以， 又，所以，所以，所以点的坐标为， 因为，所以，即，又， 解得，所以， 将的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数为: ， 所以， 故选：A. 9. 设，是双曲线 ：的左、右焦点，点 分别在双曲线 的左、右两支上，且满足，，则双曲线 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的交点为 ，，进而根据下向量关系得，再结合双曲线的性质即可得，，进而结合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，进而可得答案. 【详解】解：如图，设与的交点为 ，， 因为，所以， 所以，由双曲线的定义可知：，， 因为，所以， 所以，， 所以，， 所以，在中，， 所以 ，由余弦定理有：， 代入，，，整理得， 解得， （舍）， 所以，,，， 所以，在中，由余弦定理有：， 代入数据整理得：， 所以，双曲线的离心率为：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到，进而在中结合余弦定理求得. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 复数的虚部为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的乘方及除法运算计算得解. 【详解】依题意，，所以复数 的虚部为. 故答案为： 11. 圆的圆心与抛物线的焦点 重合， 为两曲线的交点，则原点到直线 的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求出圆心 的坐标，即可得到抛物线方程，联立圆和抛物线方程，求点 坐标及直线 的方程，利用点到直线的距离公式可得结果. 【详解】 ∵圆的圆心为，∴，即， ∴抛物线方程为. 由得，解得 或（舍）， ∴，∴直线 的斜率为， ∴，即， ∴原点到直线 的距离为. 故答案为：. 12. 已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．若，且，则的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数解析式，根据题意求得函数的最小正周期，从而求得的值，利用，且求得的值，根据诱导公式及同角三角函数关系式即可求出的值. 【详解】函数. 由，图象的两条相邻对称轴之间的距离为，得的最小正周期为，所以. 若，则. 因为，所以，所以. 所以. 故答案为：. 13. 已知正实数x，y，满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，根据已知及基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由， 当且仅当，即时等号成立， 所以目标式最小值为. 故答案为： 14. 已知菱形 的边长为2，，点 是边 上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于________；延长线段 至点 ，使得，若点 在线段 上，则的最小值为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及数量关系得到 为 的中点，求出；再建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，，表达出，求出最小值. 【详解】过点 作⊥ 于点， 因为，故，故 为 的中点， 故， 以 中点为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以， 解得， 故，， 设，， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：1， 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 15. 若存在实数，使函数有3个不同的零点，则实数 的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】化简，讨论a的取值，转化为函数 与直线有3个不同的交点，求h（x）的最值列a的不等式求解即可 【详解】令， 若，显然不合题意； 当时，若函数有3个不同的零点，即函数 与直线有3个不同的交点，则，即存在，使成立，令，求导可得，当时，，单调递减，所以，所以； 当时，若函数有3个不同的零点，即函数 与直线有3个不同的交点，则，即存在，使成立，令，求导可得，当时，，单调递减，所以，所以. 综上所述，， 故答案为. 【点睛】本题考查分段函数的图像及性质，考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查转化化归能力，是中档题 三、解答题（共5小题，共计75分） 16. 在 中，角 的对边分别为． （1）求角 的大小； （2）若的面积为． ①求 的值； ②求的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换计算即可； （2）利用余弦定理及三角形面积公式计算可求 ；利用三角恒等变换计算可求. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可知 化简得， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）及余弦定理可知， 又，， 联立可得或（舍去）； 由正弦定理可知，， 因为，，所以， 所以， 由可知， 所以， 故. 17. 如图，平面 ，， ，，，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若 为线段 上靠近 点的三等分点，求 到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，证得 ∥ ，利用线面平行的判定定理，即可证得 ∥平面； （2）以 为原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系.求得平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得平面与平面夹角的余弦值，由同角三角函数关系式得到其正弦值； （3）求出点 的坐标，根据点到平面距离的向量求法求得 到平面的距离． 【小问1详解】 连接 ，由 ，，得 ∥ . 因为，所以四边形是平行四边形. 由点 ， 分别为 ， 的中点，得 ∥ ，且. 由 ，，点 为 的中点，得， ∥ . 所以， ∥ .所以四边形为平行四边形，所以 ∥. 因为平面，平面，所以 ∥平面. 【小问2详解】 因为平面 ，，所以两两垂直. 以 为坐标原点，分别以所在直线为 轴建立如图空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为， 则，所以. 令 ，则，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则，所以平面的一个法向量为. ，所以. 平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为. 且. 所以 到平面的距离． 18. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆 上，过点 的两条直线 ，分别与椭圆 交于另一点A，B，且直线 ，， 的斜率满足． （1）求椭圆 的方程； （2）证明直线 过定点； （3）椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：由题意可设，设，， 由，整理得， ． 由韦达定理得，， 由得， 即， 整理得， 因为 ，得，解得 或 ， 时，直线 过定点，不合题意，舍去； 时，满足， 所以直线 过定点． （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可； （2）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用，建立方程，解出后验证即可； （3）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用进行计算，换元法求值域即可. 【小问1详解】 由题设得，解得， 所以 的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ）由（2）得直线，所以， 由， 整理得，， 由题意得， 因为点与连线的斜率为，所以，所以， 令，， 所以，在上单调递减， 所以的范围是． 【点睛】 19. 已知无穷数列中，、、…、构成以10为首项，以 为公差的等差数列，、、…、构成首项为，公比为的等比数列，其中，． （1）当 ，时，求数列的通项公式； （2）若m是偶数且，求． （3）对一切正整数 ，都有.设数列的前 项和为，判断是否存在 ，使得 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不存在，理由如下： 因为对任意的，都有成立， 所以数列的周期为 ， 由（1）可得， 又 ， 所以 ， 设，， 则， 当 时， ，即， 此时函数单调递增， 当 时， ，即， 此时函数单调递减， 所以 时，， 所以的最大值为 ， 故不存在满足条件的实数 ，使得 成立. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列，等比数列的通项公式，根据 的取值利用分段数列的形式表示通项公式即可； （2）根据题意结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解； （3）由题意可知数列的周期，先将数列的前 项和求出，然后利用周期性可得，构造函数，，利用定义法可求出的最大值，即可判断. 【小问1详解】 当 时， ， 当 时，， 所以. 【小问2详解】 因为m是偶数，， 所以 . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键在于根据题意利用数列的周期性，表示出 ，进而利用单调性判断求解即可. 20. 已知函数． （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求使恒成立的最大偶数a． （3）已知当 时，总成立．令，若在的图像上有一点列，若直线的斜率为，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式即可得切线方程； （2）参变分离，令，利用二次导数讨论其单调性，设出隐零点进行代换即可求解； （3）先利用导数证明，结合对进行放缩整理，然后分组求和即可证明. 【小问1详解】 当 时，，， 所以，曲线在点处切线的斜率为， 所以切线方程为． 【小问2详解】 当时，使等价于， 令，所以， 令，所以， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以在上，使，即， 当时， ， ； 当时， ，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，且， 所以使恒成立的最大偶数为． 【小问3详解】 时，， ， 令，则， 令，则，单调递增， 又，所以，当 时，，单调递增， 又，所以，当 时，， 即，则， ， ． 【点睛】本题第二问属于隐零点问题，主要是利用零点方程进行代换；第三问难点在于利用已知和对进行放缩，然后求和即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $