专题03 图形的初步认识（期末复习讲义，23知识点+18题型）七年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学期末复习讲义通过核心考点表与知识框架图系统构建图形初步认识的知识体系，用对比表格梳理直线射线线段区别、多面体与旋转体特征等要点，以思维导图呈现几何体分类、视图与展开图的内在联系，突出三视图、最短路径等重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与素养导向的方法指导，如“立体图形表面展开图”题型结合正方体11种展开类型培养空间观念（数学眼光），“线段动点问题”通过代数表示与方程求解发展推理意识（数学思维）。基础通关练、重难突破练、综合拓展练满足不同层次学生需求，配套易错点提醒与解题技巧模板，助力教师精准教学，学生自主高效复习。

专题03 图形的初步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见的几何体 能够识别和命名常见几何体，并能将其与现实物体相对应。 基础概念题，常在选择题或填空题中考查识图与分类。 立体图形的分类 能根据几何体的特征（如面、棱、顶点）对立体图形进行分类。 基础考点，考查对柱、锥、球等基本立体图形特征的理解。 由立体图形到视图 掌握从不同方向观察立体图形，并能画出其三视图（主、左、俯视图）。 高频易错点，考查空间想象能力，是后续学习的基础。 立体图形的表面展开图 能判断常见立体图形（如正方体、圆柱、圆锥）的平面展开图，并能进行还原。 中考常考题型，常以选择题形式出现，要求空间推理能力。 平面图形形状的识别 能识别基本平面图形（如三角形、四边形、圆等）及其基本性质。 最基础考点，通常作为其他复杂图形问题的起点。 多边形的概念与分类 理解多边形、正多边形的定义，并能根据边数进行分类。 基础概念题，常结合内角和、外角和等性质一并考查。 直线、射线、线段的联系与区别 能从端点、长度、表示方法三个维度清晰区分并正确表示直线、射线和线段。 基础必考点，是几何语言的起点，要求概念清晰，表达准确。 最短路径问题 能运用几何原理（如“两点之间线段最短”、“垂线段最短”）解决简单的实际路径最短问题。 常作为实际应用题出现，考查将实际问题抽象为几何模型的能力。 两点之间线段最短 理解并应用“两点之间，线段最短”这一基本事实。 几何公理的应用，常在填空或证明中作为依据。 线段的和与差 能进行线段长度的和差计算，并理解其几何意义。 基础计算与作图题，常作为后续几何证明和计算的中间步骤。 与线段有关的动点问题 能用代数方法（设未知数）表示动点形成的线段长度，并建立方程求解。 中档难点，综合考查几何直观与代数运算能力，分类讨论是关键。 角的概念理解与角的表示方法 理解角的定义（静态和动态），并掌握角的三种表示方法（数字、希腊字母、顶点字母）。 基础考点，是学习所有角相关知识的起点，要求准确规范。 角的比较和运算 会用量角器或叠合法比较角的大小，并能进行角的和、差、倍、分计算。 高频计算点，是几何计算的基础，常与钟面角等问题结合。 余角和补角 理解余角（和为90°）与补角（和为180°）的概念，并能利用其性质进行计算和简单推理。 高频考点，常在选择题中考查概念，在计算题中考查应用，需注意区分。 知识点一、常见的立体图形及其分类 1.立体图形 各部分不都在同一平面内的几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是常见的立体图形 易错点： 1. 从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形几何图形分为立体图形和平面图形两类。 2. 几何研究的内容是物体的形状(如方的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积等)和位置关系(如相交、垂直、平行等) 2.常见的立体图形分为三类 圆柱:两个底面平行且是大小相同的圆形，侧面是曲面 棱柱:两个底面平行且是相同的多边形，侧面是平行四边形 圆锥棱锥:底面是圆形，侧面是有一个顶点的曲面；棱锥：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形球体 3.棱柱和棱锥 根据底面多边形的形状可分为:三柱和三棱锥、四棱柱和四棱锥、五棱柱和五棱锥.... 4.棱和顶点 在棱柱和棱锥中，相邻两个面的交线叫做棱，两条棱的交点叫做顶点 知识点二、多面体 1.围成立体图形的各面都是平面图形的立体图形称为多面体 2.多面体的面都是平的，没有曲面，像圆锥、圆柱等都不是多面体 易错点： 在判断一个物体是否是多面体时易忽略多面体的各个面都是平的。 3.多面体通常根据组成这个立体图形的面数决定是几面体，如长方体是六面体，五棱锥也是六面体 知识点三、视图及其相关概念 1.视图 我们从某一方向观察物体时，看到的平面图形称为物体的一个视图 易错点： 视图可以看成物体在某一方向光线下的正投影 2.三视图 对一个物体从正面、上面、侧面(左面或右面)进行正投影，得到的三个平面图形组成这个物体的三视图，其中: (1)主视图:从正面观察得到的投影，称为主视图 (2)俯视图:从上面观察得到的投影，称为俯视图 (3)侧视图:从侧面观察得到的投影，称为侧视图，依观察(投影)方向不同，有左视图和右视图通常将主视图、俯视图与左(或右)视图称为一个物体的三视图 3.常见立体图形的三视图 立体图形 主视图 左视图 俯视图 知识点四、 物体的投影 1.投影及其相关概念 一般地，用光线照射物体在某个面(地面、墙壁、暮布等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的面叫做投影面 2.平行投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影，例如太阳光可以看成平行光线，物体在太阳光照射下形成的影子属于平行投影 易错点： 形成投影应具备的条件 1.要有物体存在且物体处于光源与投影面之间； 2.要有光线; 3.要有一个呈现投影的面,即投影面(投影面应是平的). 3.中心投影 由一点发出的光线形成的投影，叫做中心投影如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就可以看成是中心投影 4.正投影 当投影线垂直于投影面时，产生的平行投影称为正投影 知识点五、 由立体图形画三视图 1.三视图之间的关系 (1)位置关系:主视图在左上方，主视图的正下方是俯视图，左视图在主视图的右边，主视图反映物体的长和高俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽 (2)大小关系:三视图之间的大小是相互联系的，主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平产，左视图与俯视图的宽相等 2.三视图的画法 (1)确定主视图的位置，画出主视图; (2)在主视图的正下方画出俯视图，并且主视图与俯视图长对正; (3)在主视图的正右方画出左视图，与主视图高平齐，与俯视图宽相等 易错点： 画三视图的规定:画三视图时，看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线 知识点六、 由三视图确定立体图形 1.由三视图描述立体图形的方法 由三视图想象立体图形的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的正面、上面和左面，然后综合起来考虑整体形状。 易错点： 1.由三视图描述立体图形的形状时，要对三视图进行综合分析，仅一个方向的视图只能反映立体图形的部分信息 2.立体图形的三视图是平面图形，立体图形和三视图两者知其一，就能确定另外一种图形，即两者之间可以互相转化 知识点七、 立体图形的表面展开图 1.立体图形的表面展开图 有些立体图形是由平面或曲面围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形这样的平面图形称为相应立体图形的表面展开图 易错点： 1.对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形，如正方体就有多种表面展开图 2.不是所有的立体图形都有表面展开图，如球就没有表面展开图 3.立体图形中相对的两个面在表面展开图中既没有公共边，也没有公共顶点 2.常见立体图形的表面展开图 常见立体 图形的表 面展开图 知识点八、 正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的表面展开图 表面展开图 图示(共 11 种) “一四一”型 “二三一”型(或“一三二”型） “二二二”型 “三三”型 知识点九、 圆柱、圆锥的展开与折叠 1.圆柱的表面展开图 (1)组成:由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成. (2)图示:圆柱（图 ①）的侧面展开图如图 ②所示;表面展开图如图③所示 2.员锥的表面展开图 (1)组成:由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成 (2)图示:圆锥(图①)的侧面展开图如图 ②所示；表面展开图如图③所示· 易错点： 1. 圆柱的表面展开图中长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高 2. 圆锥的表面展开图中扇形的半径是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 知识点十、 棱柱的展开与折叠 棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 几种常见棱柱的表面展开图: 名称 三棱柱 长方体(四棱柱) 五棱柱 六棱柱 立体图形 表面展开图(举例) 易错点： 棱柱的表面展开图中，侧面是长方形，上、下底面是多边形，而且长方形的个数和多边形的边数相等 知识点十一、 平面图形 1.平面图形 各部分都在同一平面内的几何图形是平面图形，常见的平面图形有线段、角、三角形、长方形、圆等 2.平面图形与立体图形的关系 平面图形与立体图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的，立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形 易错点： 1.平面图形的各个部分都在同一个平面内，立体图形的各个部分不都在同一个平面内。 2.平面图形没有薄厚之分，更没有体积的存在。 知识点十二、 多边形及其相关概念 1.多边形的各边都是线段而非曲线，多边形是封闭图形;多 边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形..……..三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由为正整数)条线段组成，那么这个多边形叫做边形 2.圆是由曲线围成的封闭图形，是平面图形，但不是多边形3.任何一个多边形都可以按照一定的方法分割为若干个三角形，一般用以下三种方法(以五边形为例，如图所示)： 易错点： 多边形是由线段围成的封闭图形，通过分割成三角形可知研究多边形可转化为研究三角形 知识点十三、 简单平面图形的组合 1.在生活中，有很多图案都是由简单图形组合而成的，这些图案或美化了环境，或具有特殊的含义 2.简单的平面图形的组合问题主要有两类：一类是从简单的组合图形中找出常见的平面图形，另一类是利用简单平面图形按要求设计图案或标志如设计班徽等。 易错点： 很多图案由平面图形组合而成，可以由一种平面图形经过多种变换组成，也可以由多种平面图形拼接而成 知识点十四、 点和线的概念 1.点 通常用一个点表示一个物体的位置，一个点一般用一个大写字母表示 2.线段、射线、直线 (1)在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线等都给我们以线段的形象; (2)把线段向一端无限延伸所形成的图形叫做射线； (3)把线段向两端无限延伸所形成的图形叫做直线 易错点： 1.线段和射线都是直线的一部分，线段有长短，可以度量和比较，但射线不行， 2.线段、射线、直线的表示方法都一样，只是射线有方向性，故用两个大写字母表示时有顺序，而线段和直线没有顺序性 3.在表示直线、射线、线段时，除两个大写字母外，前面还应加上直线、射线或线段，其中表示线段时“线段”两个字可以省略，而直线、射线不能省略 3.线段、射线、直线的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线或直线或直线 射线或射线 线段或线段或线段 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两端无限延伸 向一端无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分;线段向一端无限延伸就成为射线，向两端无限延伸就成为直线;射线向反方向无限延伸就成为直线 4.点和直线的位置关系 （1）点在直线上，或者说直线经过这个点; （2）点在直线外，或者说直线不经过这个点 知识点十五、 线段和直线的基本事实 1.线段的基本事实 线段的基本事实 两点间的距离 举例 两点之间线段最短 定义 性质 在所有连结4、B两点的线中，线段AB是最短的，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离 连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 (1)存在性(2)最短性(3)唯一性 2.直线的基太事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线·即两点确定一条直线 易错点： 两点间的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形，因此不能把两点之间的距离说成是线段 .另外，连结两点是指画出以这两点为端点的线段 知识点十六、 线段的画法及长短比较 1.线段的长短比较方法 (1)度量法:利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 (2)叠合法:把两条线段中的一条线段移到另一条线段所在直线上，使它们有一个端点重合，另一个端点在重合端点同侧，然后根据另一个端点的位置进行比较 2.画一条线段等于已知线段 (1)方法一:利用刻度尺先量出已知线段的长度，再画一条等于这个长度的线段 (2)方法二:如图，用直尺画射线，再用圆规在射线上截取. 易错点： 1.当两条线段的长短差别不大，而又不方便放在一起比较时，运用度量法;当两条线段能够放在一起比较而又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法 2.度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行比较的，从“数”的方面比较，一般用度量法;从“形”的方面比较，一般用叠合法。 知识点十七、 线段的和差倍分 1.线段的和与差 如图，已知线段 (1)线段的和:在直线上作线段，在AB的延长线上作线段，则线段就是与的和，记作，如图①所示 (2)线段的差:在直线上作线段，在线段AB上作线段，则线段就是与的差，记作如 图②所示 2.线段的倍与分 如图，射线上有三点，它们的长度关系是，则 易错点： 1.几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段 2.用尺规作线段的和时，依次向右截取:作线段的差时，从最右边的端点向左截取 知识点十八、 线段的中点 1.线段的中点的概念 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点，如图，如果是线段AB的中点，那么 2.线段的三等分点(拓展) 把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点·如图，如果是线段 AB的三等分点，那么 易错点： 线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上。 知识点十九、 角的概念 ①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共顶点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 ②动态定义：角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。起始边与终边可以重合。 2、角的内部：射线旋转时经过的平面部分。角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点，角的边以外的部分。角将平面分成三部分，即角的外部，角的内部和角的两边及顶点。 3、角的表示方法： (1)用三个大写英文字母表示：∠AOB或∠BOA；（顶点字母在中间） (2)用顶点的一个英文字母表示：∠O；(只适用于顶点处只有一个角的情况) (3)用一个希腊字母表示：∠ɑ；(标注弧线与对应的希腊字母) (4)用一个数字表示：∠1；(标注弧线与对应的或数字)O B A 1 O B A ɑ O B A 4、角的分类： 1周角=2平角=4直角 知识点二十、 角度的换算 角的单位：度、分、秒：把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°； 把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′； 把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″。 1°=60′；1′=60″。 知识点二十一、 角平分线 如图，OC将∠AOB分成相等的两部分，OC就是∠AOB角平分线。 就有：∠AOC=∠BOC=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC 知识点二十二、 互余和互补 余角：如果两个角的和等于一个直角(90)，那么这两个角互为余角(简称互余)，其中一个角是另一个角的余角； 补角：如果两个角的和等于一个平角(180)，那么这两个角互为补角(简称互补)，其中一个角是另一个角的补角； 余角、补角的性质 同角(或等角)的补角相等； 几何语言：因为∠1＋∠2=180， ∠1＋∠3=180, 所以∠2=∠3. 同角(或等角)的余角相等； 几何语言：因为∠4＋∠5=90， ∠4＋∠6=90, 所以∠5=∠6. 注意：(同角一定是等角，但等角不一定是同角.) 知识点二十三、 方位角 方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东30°”，“南偏西40°”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成 “东偏北60°，西偏南50°”等，但有时如北偏东45°时，我们可以说成东北方向。 题型一 常见的几何体 解｜题｜技｜巧 ☆认识柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体等基本几何体，了解其基本特征 ◎根据几何体的面、棱、顶点特征进行分类识别 ◎柱体：上下底面平行且全等，侧面为矩形（直柱）或平行四边形（斜柱） ◎锥体：有一个底面和一个顶点，侧面为三角形（棱锥）或曲面（圆锥） ◎球体：表面是曲面，没有平面 【典例1】观察下列实物模型，其整体形状呈现为圆锥形象的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 【变式1】请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【变式2】观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体：____________（填序号） 锥体：____________（填序号） 球体：____________（填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【变式3】指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 题型二 立体图形的特征 解｜题｜技｜巧 ☆掌握不同立体图形的面、棱、顶点数量及特点 ◎棱柱：面数=侧面数+2，棱数=侧面数×3，顶点数=侧面数×2 ◎棱锥：面数=侧面数+1，棱数=侧面数×2，顶点数=侧面数+1 ◎圆柱：3个面（2个平面，1个曲面），无棱无顶点 ◎圆锥：2个面（1个平面，1个曲面），无棱，1个顶点 【典例1】下面几何体中与其余三个不相同的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为 （结果保留一位小数）． 【变式1】随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有______个面，______条棱，______个顶点； (2)四棱柱有______个面，______条棱，______个顶点； (3)五棱柱有______个面，______条棱，______个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有______个面，______条棱，______个顶点． 【变式3】将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 题型三 由立体图形到视图 解｜题｜技｜巧 ☆掌握三视图（主视图、左视图、俯视图）的画法规则 ◎主视图：从正面看，反映长和高 ◎左视图：从左面看，反映宽和高 ◎俯视图：从上面看，反映长和宽 ◎画图时注意“长对正、高平齐、宽相等” 【典例1】我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，它的示意图如图所示，则它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式1】由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列不是中心投影的是（   ） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子 【变式3】如图是由几个相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数，请画出该几何体的主视图和左视图． 题型四 由视图到立体图形 解｜题｜技｜巧 ☆能根据三视图还原立体图形 ◎结合三个视图，确定立体图形的大致形状 ◎注意视图中的虚实线：实线表示可见轮廓，虚线表示不可见轮廓 ◎常用方法：先根据俯视图确定底面形状，再根据主视图和左视图确定高度和层数 【典例1】如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三种视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【典例2】如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 【变式1】如图，由若干相同大小的小正方体组成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，组成该几何体最少需要m个小正方体，最多需要n个小正方体，则m，n分别为（    ） A．3，7 B．4，7 C．3，8 D．4，8 【变式2】如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为___________； (3)重新用小立方块搭一个几何体，并保持主视图和左视图不变，则搭这样一个几何体最少要___________个小立方块． 【变式3】如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 题型五 立体图形的表面展开图 解｜题｜技｜巧 ☆了解常见立体图形的展开图，并能判断展开图能否折叠成指定立体图形 ◎正方体展开图有11种，掌握“141、231、222、33”等类型 ◎圆柱展开图：两个圆（底面）和一个矩形（侧面） ◎圆锥展开图：一个圆（底面）和一个扇形（侧面） ◎判断时注意相邻面与相对面 【典例1】下列图形中，不是正方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 【变式2】图中的图形经过折叠可以围成一个正方体盒子．如果折好以后，相对面上的两个数互为相反数，那么 ． 【变式3】图①为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图②所示． (1)从图①展开至图②，一共剪开了几条棱？ (2)若被剪开的棱的棱长和为，则这个四棱柱的体积是多少？ 题型六 平面图形形状的识别 解｜题｜技｜巧 ☆认识三角形、四边形、圆等基本平面图形 ◎根据边数分类：三角形（3条边）、四边形（4条边）等 ◎根据角分类：锐角、直角、钝角三角形；矩形、菱形等特殊四边形 ◎圆：到定点距离等于定长的点的集合 【典例1】下图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形是（   ） A．圆、长方形 B．圆、长方体 C．球、长方形 D．球、线段 【典例2】用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是圆的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【变式2】如图，往一个密封的正方体玻璃容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．三角形 B．五边形 C．梯形 D．七边形 【变式3】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 题型七 多边形的概念与分类 解｜题｜技｜巧 ☆理解多边形定义，掌握凸多边形、正多边形的概念 ◎多边形：由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭图形 ◎凸多边形：所有内角均小于180°，任意一边延长线都在图形外部 ◎正多边形：各边相等，各角相等 ◎n边形内角和=(n-2)×180°，外角和=360° 【典例1】从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例2】七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．下面的图是小明同学由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形（如图①）的边长为2，则拼成的“小天鹅”图案（如图②）阴影部分的面积为 ． 【变式1】阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【变式2】有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 题型八 直线、射线、线段 解｜题｜技｜巧 ☆理解三者的区别与联系，掌握其表示方法 ◎直线：无端点，向两方无限延伸，记作直线AB或直线l ◎射线：有一个端点，向一方无限延伸，记作射线OA（端点在前） ◎线段：有两个端点，长度有限，记作线段AB或线段a ◎注意表示方法的规范性 【典例1】下面说法正确的是（   ） A．射线比直线短 B．过一点可以作无数条直线 C．一条直线只能用一个字母表示 D．直线比线段长 【典例2】如图，点B，C，D，E在同一条直线上，图中共有线段 条，射线 条． 【变式1】若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 【变式2】下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，已知四点A，B，C，D．请完成下列作图（只要求作出图形，不要求写作法） (1)画直线； (2)画线段； (3)画射线； (4)在线段上取点P，使的值最小． 题型九 最短路径问题 解｜题｜技｜巧 ☆利用“两点之间线段最短”、“垂线段最短”等原理解决最短路径问题 ◎确定起点和终点，如果是直线上的点，直接连接 ◎若涉及直线外一点，作垂线段 ◎若在复杂图形中（如长方体表面），需将表面展开，将立体问题转化为平面问题 【典例1】如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【变式1】下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（    ） A．固定窗帘架时只需固定其两端 B．把弯曲的公路改直能缩短路程 C．钟表的秒针旋转一周会形成一个圆面 D．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 【变式2】如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式3】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 题型十 线段的和与差 解｜题｜技｜巧 ☆理解线段和差的意义，能进行相关计算和作图 ◎线段和：将两条线段首尾顺次连接，总长度等于两段长度之和 ◎线段差：从较长线段中截取与较短线段相等的部分，剩余部分即为差 ◎计算时注意单位统一，作图时使用圆规截取 【典例1】如图，已知线段，点M在上，，P，Q分别为，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知线段和射线，点位于点的右侧，且，点在线段上，且． (1)用圆规在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹），标注字母； (2)若，，则点是线段的中点吗？请说明理由． 【变式1】如图，平面上有不共线的四个点，根据要求画图： (1)画直线交于点；画射线，线段； (2)过图中的四点最多作___________条线段；请说明线段的理由是___________． (3)若，，是的中点，是的中点，求的长度． 【变式2】如图，点C在线段上，点M是的中点，，． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【变式3】如图，一直线上有线段，一线段在该直线上运动，且，a，b满足（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧） (1)当点D与点B重合时，求的长； (2)，N分别是线段，的中点，当时，求的长． (3)当线段运动到点B，D间的距离为1时，若有一点P在点D的右侧且位于线段的延长线上，求的值． 题型十一 线段之间的数量关系 解｜题｜技｜巧 ☆能根据已知条件（如中点、比例）确定线段间的数量关系 ◎中点：若点M是线段AB的中点，则AM=MB=AB ◎比例关系：若点C分线段AB为AC:CB=m:n，则AC=AB，CB=AB ◎常用方法：设未知数，列方程求解 【典例1】如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【典例2】如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 【变式1】如图，点是线段的中点，点是线段的中点，则下列等式中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【变式2】已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为．现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则判断正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 题型十二 与线段有关的动点问题 解｜题｜技｜巧 ☆用代数方法表示动点运动形成的线段长度，建立方程求解 ◎明确动点起点、方向、速度，用含时间t的式子表示线段长 ◎根据题目条件（如线段和差、倍数、中点）列出方程 ◎注意分类讨论：动点位置不同，线段关系可能不同 【典例1】如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【典例2】如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【变式1】如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【变式2】综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【变式3】如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 题型十三 角的概念理解与角的表示方法 解｜题｜技｜巧 ☆理解角的两种定义（静态：两条射线组成的图形；动态：一条射线绕端点旋转形成的图形），掌握角的三种表示方法 ◎用三个大写字母表示，顶点字母在中间，如∠AOB ◎用一个大写字母表示（顶点处只有一个角时），如∠O ◎用数字或希腊字母表示，如∠1，∠α ◎注意区分角的大小与边的长度无关 【典例1】如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【典例2】如图，写出所有符合下列条件的角： (1)以为顶点的角． (2)以为一边的角． (3)所有小于平角的角． 【变式1】如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【变式2】下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 题型十四 钟面角与方向角 解｜题｜技｜巧 ☆会计算钟表时针与分针的夹角，理解方位角（以正北或正南为基准）的表示方法 ◎钟面角：时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°。夹角=|时针角度-分针角度|，若大于180°，用360°减去 ◎方向角：通常以正北或正南为基准，用偏东或偏西的角度表示，如北偏东30° 【典例1】如图，10时整，钟表的时针与分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，是三岛的平面图，则岛在岛的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏东 【变式1】钟面上时分时，时针与分针组成的角是 ，时整时，时针与分针组成的角是 ． 【变式2】如图，点、点分别在点的北偏东和南偏东方向上，则 ． 【变式3】如图是小明和学校所在地的简单地图，已知，，，点为的中点，解答下列问题： (1)学校、停车场分别在小明家的什么方向上？ (2)图中哪些地方距离小明家距离相同？请说明理由． (3)有一条南北方向经过小明家的公路，请在这条公路上作出点，使点到商场与学校的距离之和最短． 题型十五 角度与大小比较 解｜题｜技｜巧 ☆会用叠合法和度量法比较角的大小 ◎度量法：用量角器测量角度，直接比较数值 ◎叠合法：将两个角的顶点和一边重合，比较另一边位置 ◎注意角的大小与边的长短无关，只与两边张开程度有关 【典例1】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 B． C． D． 【变式2】比较大小： ．（填或） 【变式3】请用度表示下列各角： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十六 角的比较和运算 解｜题｜技｜巧 ☆能进行角的和、差、倍、分计算 ◎角度相加：度与度、分与分、秒与秒分别相加，满60进1 ◎角度相减：度与度、分与分、秒与秒分别相减，不够减借1当60 ◎角的倍分：将度、分、秒分别乘以倍数，满60进1；除以倍数时，从高位到低位逐级进行，余数转化为下一单位 【典例1】如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若．则 ________°． (2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】如图1，将一副三角板中一块含有角的三角板的顶点和另一块含角的三角板的顶点重合于一点O，将含有角的三角板绕点O按顺时针方向旋转为如图2所示的情况（在内部），请回答问题： (1)图1中的度数为 ． (2)在旋转过程中，当平分时，求 的度数． (3)是否存在某一时刻，满足？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 °，的度数为 °； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． 题型十七 角平分线有关的计算 解｜题｜技｜巧 ☆理解角平分线定义（将一个角分成两个相等的角的射线），并能利用其进行角度计算 ◎若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=∠AOB ◎在复杂图形中，注意角平分线与其他角的关系（如邻补角、对顶角） ◎常用方法：设未知角为x，用x表示其他角，利用角的关系列方程 【典例1】如图，是的平分线，射线在内部，平分，已知，那么的大小等于 ． 【典例2】如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 【变式1】如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 【变式2】综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【变式3】综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 题型十八 余角和补角 解｜题｜技｜巧 ☆理解余角（和为90°）、补角（和为180°）的概念及性质 ◎若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余；若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补 ◎同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等 ◎注意：互余和互补是指两个角的关系，三个及以上角不适用 ◎计算时常用方程思想，设未知数求解 【典例1】人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为．若，则的度数为 ． 【典例2】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与之间有什么关系_________（选填“互余”“互补”或“相等”）？请说明你判断的依据． （1）如图①，与 ，依据： ． （2）如图②，与 ，依据： ． （3）如图③，与 ，依据： ． （4）如图④，与 ，依据： ． 【变式1】若与均为锐角，，，求与的关系 ． 【变式2】给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】如图，已知A、O、E三点在同一条直线上，，且和互为余角． (1)和∠3互余吗？ (2)和有什么关系？为什么？ (3)的补角是哪个角？为什么？ 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“建”字的对面是（　　） A．设 B．社 C．会 D．谐 2．如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这样做的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段是直线的一部分 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 3．已知，那么的补角的大小为 ． 4．如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 5．若，平分，则= °． 6．如图，将摆放在桌面上的一副三角板的直角顶点重合，若，则 ． 7．如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)在图中，连接交于E点； (2)在图中，连接并延长，交直线于点F． 8．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．如图，，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．角平分线的定义 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 2．如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则射线的方向是 （    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏东 3．一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，则线段的长为 ． 5．如图是一个正方体的展开图，正方体的相对面上的数字之和相等，则的值为 ． 6．如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 7．已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 8．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则________： (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中a为正整数），直接写出所有使的n值． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的有（） A．与互余 B． C．与互补 D． 3．如图，钟面上的时间是，则时针与分针的夹角为 ． 4．如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 5．如图，C是线段上一点，G是的中点，M是的中点，N是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 ．（填序号） 6．如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是 平方厘米． 7．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点O和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】：（1）如图②，和___________“共边角”（填“是”或“不是”）； （2）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是___________； （3）若、分别平分“共边角”和，请以图①为例来说明与的数量关系； 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为___________； 8．对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的初步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见的几何体 能够识别和命名常见几何体，并能将其与现实物体相对应。 基础概念题，常在选择题或填空题中考查识图与分类。 立体图形的分类 能根据几何体的特征（如面、棱、顶点）对立体图形进行分类。 基础考点，考查对柱、锥、球等基本立体图形特征的理解。 由立体图形到视图 掌握从不同方向观察立体图形，并能画出其三视图（主、左、俯视图）。 高频易错点，考查空间想象能力，是后续学习的基础。 立体图形的表面展开图 能判断常见立体图形（如正方体、圆柱、圆锥）的平面展开图，并能进行还原。 中考常考题型，常以选择题形式出现，要求空间推理能力。 平面图形形状的识别 能识别基本平面图形（如三角形、四边形、圆等）及其基本性质。 最基础考点，通常作为其他复杂图形问题的起点。 多边形的概念与分类 理解多边形、正多边形的定义，并能根据边数进行分类。 基础概念题，常结合内角和、外角和等性质一并考查。 直线、射线、线段的联系与区别 能从端点、长度、表示方法三个维度清晰区分并正确表示直线、射线和线段。 基础必考点，是几何语言的起点，要求概念清晰，表达准确。 最短路径问题 能运用几何原理（如“两点之间线段最短”、“垂线段最短”）解决简单的实际路径最短问题。 常作为实际应用题出现，考查将实际问题抽象为几何模型的能力。 两点之间线段最短 理解并应用“两点之间，线段最短”这一基本事实。 几何公理的应用，常在填空或证明中作为依据。 线段的和与差 能进行线段长度的和差计算，并理解其几何意义。 基础计算与作图题，常作为后续几何证明和计算的中间步骤。 与线段有关的动点问题 能用代数方法（设未知数）表示动点形成的线段长度，并建立方程求解。 中档难点，综合考查几何直观与代数运算能力，分类讨论是关键。 角的概念理解与角的表示方法 理解角的定义（静态和动态），并掌握角的三种表示方法（数字、希腊字母、顶点字母）。 基础考点，是学习所有角相关知识的起点，要求准确规范。 角的比较和运算 会用量角器或叠合法比较角的大小，并能进行角的和、差、倍、分计算。 高频计算点，是几何计算的基础，常与钟面角等问题结合。 余角和补角 理解余角（和为90°）与补角（和为180°）的概念，并能利用其性质进行计算和简单推理。 高频考点，常在选择题中考查概念，在计算题中考查应用，需注意区分。 知识点一、常见的立体图形及其分类 1.立体图形 各部分不都在同一平面内的几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是常见的立体图形 易错点： 1. 从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形几何图形分为立体图形和平面图形两类。 2. 几何研究的内容是物体的形状(如方的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积等)和位置关系(如相交、垂直、平行等) 2.常见的立体图形分为三类 圆柱:两个底面平行且是大小相同的圆形，侧面是曲面 棱柱:两个底面平行且是相同的多边形，侧面是平行四边形 圆锥棱锥:底面是圆形，侧面是有一个顶点的曲面；棱锥：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形球体 3.棱柱和棱锥 根据底面多边形的形状可分为:三柱和三棱锥、四棱柱和四棱锥、五棱柱和五棱锥.... 4.棱和顶点 在棱柱和棱锥中，相邻两个面的交线叫做棱，两条棱的交点叫做顶点 知识点二、多面体 1.围成立体图形的各面都是平面图形的立体图形称为多面体 2.多面体的面都是平的，没有曲面，像圆锥、圆柱等都不是多面体 易错点： 在判断一个物体是否是多面体时易忽略多面体的各个面都是平的。 3.多面体通常根据组成这个立体图形的面数决定是几面体，如长方体是六面体，五棱锥也是六面体 知识点三、视图及其相关概念 1.视图 我们从某一方向观察物体时，看到的平面图形称为物体的一个视图 易错点： 视图可以看成物体在某一方向光线下的正投影 2.三视图 对一个物体从正面、上面、侧面(左面或右面)进行正投影，得到的三个平面图形组成这个物体的三视图，其中: (1)主视图:从正面观察得到的投影，称为主视图 (2)俯视图:从上面观察得到的投影，称为俯视图 (3)侧视图:从侧面观察得到的投影，称为侧视图，依观察(投影)方向不同，有左视图和右视图通常将主视图、俯视图与左(或右)视图称为一个物体的三视图 3.常见立体图形的三视图 立体图形 主视图 左视图 俯视图 知识点四、 物体的投影 1.投影及其相关概念 一般地，用光线照射物体在某个面(地面、墙壁、暮布等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的面叫做投影面 2.平行投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影，例如太阳光可以看成平行光线，物体在太阳光照射下形成的影子属于平行投影 易错点： 形成投影应具备的条件 1.要有物体存在且物体处于光源与投影面之间； 2.要有光线; 3.要有一个呈现投影的面,即投影面(投影面应是平的). 3.中心投影 由一点发出的光线形成的投影，叫做中心投影如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就可以看成是中心投影 4.正投影 当投影线垂直于投影面时，产生的平行投影称为正投影 知识点五、 由立体图形画三视图 1.三视图之间的关系 (1)位置关系:主视图在左上方，主视图的正下方是俯视图，左视图在主视图的右边，主视图反映物体的长和高俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽 (2)大小关系:三视图之间的大小是相互联系的，主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平产，左视图与俯视图的宽相等 2.三视图的画法 (1)确定主视图的位置，画出主视图; (2)在主视图的正下方画出俯视图，并且主视图与俯视图长对正; (3)在主视图的正右方画出左视图，与主视图高平齐，与俯视图宽相等 易错点： 画三视图的规定:画三视图时，看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线 知识点六、 由三视图确定立体图形 1.由三视图描述立体图形的方法 由三视图想象立体图形的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的正面、上面和左面，然后综合起来考虑整体形状。 易错点： 1.由三视图描述立体图形的形状时，要对三视图进行综合分析，仅一个方向的视图只能反映立体图形的部分信息 2.立体图形的三视图是平面图形，立体图形和三视图两者知其一，就能确定另外一种图形，即两者之间可以互相转化 知识点七、 立体图形的表面展开图 1.立体图形的表面展开图 有些立体图形是由平面或曲面围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形这样的平面图形称为相应立体图形的表面展开图 易错点： 1.对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形，如正方体就有多种表面展开图 2.不是所有的立体图形都有表面展开图，如球就没有表面展开图 3.立体图形中相对的两个面在表面展开图中既没有公共边，也没有公共顶点 2.常见立体图形的表面展开图 常见立体 图形的表 面展开图 知识点八、 正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的表面展开图 表面展开图 图示(共 11 种) “一四一”型 “二三一”型(或“一三二”型） “二二二”型 “三三”型 知识点九、 圆柱、圆锥的展开与折叠 1.圆柱的表面展开图 (1)组成:由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成. (2)图示:圆柱（图 ①）的侧面展开图如图 ②所示;表面展开图如图③所示 2.员锥的表面展开图 (1)组成:由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成 (2)图示:圆锥(图①)的侧面展开图如图 ②所示；表面展开图如图③所示· 易错点： 1. 圆柱的表面展开图中长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高 2. 圆锥的表面展开图中扇形的半径是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 知识点十、 棱柱的展开与折叠 棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 几种常见棱柱的表面展开图: 名称 三棱柱 长方体(四棱柱) 五棱柱 六棱柱 立体图形 表面展开图(举例) 易错点： 棱柱的表面展开图中，侧面是长方形，上、下底面是多边形，而且长方形的个数和多边形的边数相等 知识点十一、 平面图形 1.平面图形 各部分都在同一平面内的几何图形是平面图形，常见的平面图形有线段、角、三角形、长方形、圆等 2.平面图形与立体图形的关系 平面图形与立体图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的，立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形 易错点： 1.平面图形的各个部分都在同一个平面内，立体图形的各个部分不都在同一个平面内。 2.平面图形没有薄厚之分，更没有体积的存在。 知识点十二、 多边形及其相关概念 1.多边形的各边都是线段而非曲线，多边形是封闭图形;多 边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形..……..三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由为正整数)条线段组成，那么这个多边形叫做边形 2.圆是由曲线围成的封闭图形，是平面图形，但不是多边形3.任何一个多边形都可以按照一定的方法分割为若干个三角形，一般用以下三种方法(以五边形为例，如图所示)： 易错点： 多边形是由线段围成的封闭图形，通过分割成三角形可知研究多边形可转化为研究三角形 知识点十三、 简单平面图形的组合 1.在生活中，有很多图案都是由简单图形组合而成的，这些图案或美化了环境，或具有特殊的含义 2.简单的平面图形的组合问题主要有两类：一类是从简单的组合图形中找出常见的平面图形，另一类是利用简单平面图形按要求设计图案或标志如设计班徽等。 易错点： 很多图案由平面图形组合而成，可以由一种平面图形经过多种变换组成，也可以由多种平面图形拼接而成 知识点十四、 点和线的概念 1.点 通常用一个点表示一个物体的位置，一个点一般用一个大写字母表示 2.线段、射线、直线 (1)在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线等都给我们以线段的形象; (2)把线段向一端无限延伸所形成的图形叫做射线； (3)把线段向两端无限延伸所形成的图形叫做直线 易错点： 1.线段和射线都是直线的一部分，线段有长短，可以度量和比较，但射线不行， 2.线段、射线、直线的表示方法都一样，只是射线有方向性，故用两个大写字母表示时有顺序，而线段和直线没有顺序性 3.在表示直线、射线、线段时，除两个大写字母外，前面还应加上直线、射线或线段，其中表示线段时“线段”两个字可以省略，而直线、射线不能省略 3.线段、射线、直线的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线或直线或直线 射线或射线 线段或线段或线段 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两端无限延伸 向一端无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分;线段向一端无限延伸就成为射线，向两端无限延伸就成为直线;射线向反方向无限延伸就成为直线 4.点和直线的位置关系 （1）点在直线上，或者说直线经过这个点; （2）点在直线外，或者说直线不经过这个点 知识点十五、 线段和直线的基本事实 1.线段的基本事实 线段的基本事实 两点间的距离 举例 两点之间线段最短 定义 性质 在所有连结4、B两点的线中，线段AB是最短的，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离 连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 (1)存在性(2)最短性(3)唯一性 2.直线的基太事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线·即两点确定一条直线 易错点： 两点间的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形，因此不能把两点之间的距离说成是线段 .另外，连结两点是指画出以这两点为端点的线段 知识点十六、 线段的画法及长短比较 1.线段的长短比较方法 (1)度量法:利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 (2)叠合法:把两条线段中的一条线段移到另一条线段所在直线上，使它们有一个端点重合，另一个端点在重合端点同侧，然后根据另一个端点的位置进行比较 2.画一条线段等于已知线段 (1)方法一:利用刻度尺先量出已知线段的长度，再画一条等于这个长度的线段 (2)方法二:如图，用直尺画射线，再用圆规在射线上截取. 易错点： 1.当两条线段的长短差别不大，而又不方便放在一起比较时，运用度量法;当两条线段能够放在一起比较而又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法 2.度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行比较的，从“数”的方面比较，一般用度量法;从“形”的方面比较，一般用叠合法。 知识点十七、 线段的和差倍分 1.线段的和与差 如图，已知线段 (1)线段的和:在直线上作线段，在AB的延长线上作线段，则线段就是与的和，记作，如图①所示 (2)线段的差:在直线上作线段，在线段AB上作线段，则线段就是与的差，记作如 图②所示 2.线段的倍与分 如图，射线上有三点，它们的长度关系是，则 易错点： 1.几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段 2.用尺规作线段的和时，依次向右截取:作线段的差时，从最右边的端点向左截取 知识点十八、 线段的中点 1.线段的中点的概念 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点，如图，如果是线段AB的中点，那么 2.线段的三等分点(拓展) 把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点·如图，如果是线段 AB的三等分点，那么 易错点： 线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上。 知识点十九、 角的概念 ①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共顶点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 ②动态定义：角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。起始边与终边可以重合。 2、角的内部：射线旋转时经过的平面部分。角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点，角的边以外的部分。角将平面分成三部分，即角的外部，角的内部和角的两边及顶点。 3、角的表示方法： (1)用三个大写英文字母表示：∠AOB或∠BOA；（顶点字母在中间） (2)用顶点的一个英文字母表示：∠O；(只适用于顶点处只有一个角的情况) (3)用一个希腊字母表示：∠ɑ；(标注弧线与对应的希腊字母) (4)用一个数字表示：∠1；(标注弧线与对应的或数字)O B A 1 O B A ɑ O B A 4、角的分类： 1周角=2平角=4直角 知识点二十、 角度的换算 角的单位：度、分、秒：把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°； 把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′； 把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″。 1°=60′；1′=60″。 知识点二十一、 角平分线 如图，OC将∠AOB分成相等的两部分，OC就是∠AOB角平分线。 就有：∠AOC=∠BOC=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC 知识点二十二、 互余和互补 余角：如果两个角的和等于一个直角(90)，那么这两个角互为余角(简称互余)，其中一个角是另一个角的余角； 补角：如果两个角的和等于一个平角(180)，那么这两个角互为补角(简称互补)，其中一个角是另一个角的补角； 余角、补角的性质 同角(或等角)的补角相等； 几何语言：因为∠1＋∠2=180， ∠1＋∠3=180, 所以∠2=∠3. 同角(或等角)的余角相等； 几何语言：因为∠4＋∠5=90， ∠4＋∠6=90, 所以∠5=∠6. 注意：(同角一定是等角，但等角不一定是同角.) 知识点二十三、 方位角 方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东30°”，“南偏西40°”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成 “东偏北60°，西偏南50°”等，但有时如北偏东45°时，我们可以说成东北方向。 题型一 常见的几何体 解｜题｜技｜巧 ☆认识柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体等基本几何体，了解其基本特征 ◎根据几何体的面、棱、顶点特征进行分类识别 ◎柱体：上下底面平行且全等，侧面为矩形（直柱）或平行四边形（斜柱） ◎锥体：有一个底面和一个顶点，侧面为三角形（棱锥）或曲面（圆锥） ◎球体：表面是曲面，没有平面 【典例1】观察下列实物模型，其整体形状呈现为圆锥形象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对圆锥几何体形状特征的理解与应用，解题关键是清晰把握圆锥的定义（一个圆形底面、一个曲面侧面、一条高），并将各实物模型形状与之对比甄别．需依据圆锥的形状特征（一个圆形底面、一个曲面侧面、仅一条高），对每个选项的实物模型形状逐一分析判断． 【详解】解：选项A的实物模型整体形状为长方体（四棱柱），不符合圆锥特征．长方体由六个矩形面组成，有12条棱、8个顶点，与圆锥的曲面、单一底面等特征完全不同． 选项B的实物模型整体形状为圆柱，不符合圆锥特征．其具备两个平行的圆形底面和曲面侧面，属于圆柱结构，不具备圆锥的形状特点； 选项C的实物模型整体形状呈现为圆锥形象．它有一个圆形底面，侧面是曲面，从顶部到底面圆心的距离为唯一的一条高，符合圆锥的形状特征； 选项D的实物模型整体形状为长方体（四棱柱），不符合圆锥特征．长方体由六个矩形面组成，有12条棱、8个顶点，与圆锥的曲面、单一底面等特征完全不同． 故选：C． 【典例2】请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 【答案】（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥 【分析】本题考查了常见几何体的名称，熟练掌握常见几何体的名称是解题的关键．根据常见几何体的特征逐一判断即可． 【详解】解：由图可知，（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥． 故答案为：长方体；圆柱；球体；圆锥；三棱锥． 【变式1】请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了对常见几何体的认识，通过观察题干的物体的形状特征，将其与圆柱、球、圆锥等几何体进行对应，即可作答． 【详解】解：观察左1的图中的物体，其上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征， ∴左1的图的物体类似于圆柱； 观察左2的图中的物体，主体部分是一个球体，下方有一个类似圆柱的部分， ∴左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 观察右2的图的物体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱， ∴该物体可看作由圆锥和圆柱构成； 观察右1的图的物体，有一个顶点，底面是一个圆形，侧面是一个曲面，符合圆锥的特征， ∴右1的图类似于圆锥． 【变式2】观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体：____________（填序号） 锥体：____________（填序号） 球体：____________（填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 【变式3】指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 题型二 立体图形的特征 解｜题｜技｜巧 ☆掌握不同立体图形的面、棱、顶点数量及特点 ◎棱柱：面数=侧面数+2，棱数=侧面数×3，顶点数=侧面数×2 ◎棱锥：面数=侧面数+1，棱数=侧面数×2，顶点数=侧面数+1 ◎圆柱：3个面（2个平面，1个曲面），无棱无顶点 ◎圆锥：2个面（1个平面，1个曲面），无棱，1个顶点 【典例1】下面几何体中与其余三个不相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了立体图形的认识．立体图形：有些几何图形如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形的特征判断即可． 【详解】解：A是三棱柱、B是四棱柱、D是五棱柱，都是柱体， C是三棱锥，是锥体， 故选：C． 【典例2】如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为 （结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的体积公式及旋转后圆锥的底面半径、高与直角三角形边长的对应关系是解题的关键．判断旋转后得到的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式计算． 【详解】解：以直角边为轴旋转一周，得到的是圆锥， 圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的体积为 ， 故答案为：． 【变式1】随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解． 本题考查了点、线、面、体，准确识图观察出得到的几何体的曲面的形状是解题的关键． 【详解】解：观察四个选项，A选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶， 故选：A． 【变式2】如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有______个面，______条棱，______个顶点； (2)四棱柱有______个面，______条棱，______个顶点； (3)五棱柱有______个面，______条棱，______个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有______个面，______条棱，______个顶点． 【答案】(1)5，9，6 (2)6，12，8 (3)7，15，10 (4)，， 【分析】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点． （1）结合图形及四棱柱的特点即可求解； （2）结合图形及五棱柱的特点即可求解； （3）结合图形及六棱柱的特点即可求解； （4）由三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，总结即可． 【详解】（1）解：三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点； （2）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； （3）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； （4）n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点． 【变式3】将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查探究规律，找出规律是解题的关键． （1）只要将图①〜⑤中各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐含的数量关系，将这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）解：填表如下： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 （2）解：用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系为， 故答案为：． 题型三 由立体图形到视图 解｜题｜技｜巧 ☆掌握三视图（主视图、左视图、俯视图）的画法规则 ◎主视图：从正面看，反映长和高 ◎左视图：从左面看，反映宽和高 ◎俯视图：从上面看，反映长和宽 ◎画图时注意“长对正、高平齐、宽相等” 【典例1】我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，它的示意图如图所示，则它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 【典例2】如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体． 根据俯视图得出小立方块的行列分布，再根据数字即可得出主视图． 【详解】由俯视图可知，几何体有三列，第一列只有第一行有一个，第二列有二行，每行均有二个，第三列只有第二行有一个， 即这个几何体的主视图是， 故选：D． 【变式1】由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图，正确理解三视图的定义是解题的关键．根据三视图的定义，俯视图是从上面看到的图形即可求解，主要看不见的轮廓线用虚线． 【详解】解：根据三视图的定义，俯视图是从上面看到的图形， ∴它的俯视图为：， 故选：D． 【变式2】下列不是中心投影的是（   ） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影的判断，根据中心投影是指光线从一个点（投影中心）发散形成的投影逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 中心投影的光线需从一点发散， 而A中阳光为平行光，光线不从一个点发散， ∴ A不是中心投影， B、C、D中光源均为点光源，光线从一点发散，是中心投影， 故选：A． 【变式3】如图是由几个相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数，请画出该几何体的主视图和左视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中小正方形中的数字中的最大数字． 由已知条件可知，主视图有4列，每列小正方形数目分别为2，2，3，2，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3,2，据此可画出图形． 【详解】解：如图所示： 题型四 由视图到立体图形 解｜题｜技｜巧 ☆能根据三视图还原立体图形 ◎结合三个视图，确定立体图形的大致形状 ◎注意视图中的虚实线：实线表示可见轮廓，虚线表示不可见轮廓 ◎常用方法：先根据俯视图确定底面形状，再根据主视图和左视图确定高度和层数 【典例1】如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三种视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力，理解三视图是解决本题的关键． 根据口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”即可得到解答． 【详解】解：由三视图可知，该几何体共2行3列，其分布情况如图所示： ∴构成这个几何体的小正方体的个数是6个， 故选：B． 【典例2】如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)120平方厘米 【分析】本题考查由三视图判断几何体、求棱柱的表面积，解题的关键是： （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的棱长的和以及表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，这个几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：由题知，该几何体的表面积． 【变式1】如图，由若干相同大小的小正方体组成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，组成该几何体最少需要m个小正方体，最多需要n个小正方体，则m，n分别为（    ） A．3，7 B．4，7 C．3，8 D．4，8 【答案】B 【分析】本题考查了从正面看和从左面看的图形，能根据从正面看和从左面看的图形画出从上面看到的图形是解题的关键．根据从正面看和从左面看的图形画出从上面看到的图形即可求解． 【详解】解：从上往下看，用最多的立方体摆放如图所示： 从上往下看，用最少的立方体摆放如图所示： 或或 故选：B． 【变式2】如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为___________； (3)重新用小立方块搭一个几何体，并保持主视图和左视图不变，则搭这样一个几何体最少要___________个小立方块． 【答案】(1)图见解析 (2)26 (3)6 【分析】本题考查了三视图，掌握几何体的特征是解题的关键． （1）根据几何体的特征画图即可； （2）观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形，再根据几何体的表面积公式计算即可； （3）由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层，第一层需要4个小立方块，第二层至少需要2个小立方块，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，三视图如下， （2）解：观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形， ∴这个几何体的表面积为， 故答案为：26； （3）解：由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层， 第一层需要4个小立方块，第二层至少需要2个小立方块， ∴搭这样一个几何体最少要（个）小立方块． 故答案为：6． 【变式3】如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，求几何体的体积， （1）由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，即可解答． （2）由三视图可知，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，再结合体积公式解答即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个圆柱． 故答案为：圆柱． （2）解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为4、4、3，圆柱体的底面圆的直径为2，高为3， ∴该几何体的体积为． 题型五 立体图形的表面展开图 解｜题｜技｜巧 ☆了解常见立体图形的展开图，并能判断展开图能否折叠成指定立体图形 ◎正方体展开图有11种，掌握“141、231、222、33”等类型 ◎圆柱展开图：两个圆（底面）和一个矩形（侧面） ◎圆锥展开图：一个圆（底面）和一个扇形（侧面） ◎判断时注意相邻面与相对面 【典例1】下列图形中，不是正方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体展开图特点，分别将每个展开图进行折叠，看看能否折成一个完整的正方体，即可解题． 【详解】解：由正方体展开图特点可知，选项A、B、C为“141型”均是正方体展开图，不符合题意； 选项D折叠后有一面重合，不是正方体展开图，符合题意； 故选：D． 【典例2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式1】下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．根据有图案的表面之间的位置关系解答即可. 【详解】根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D． 故选：D． 【变式2】图中的图形经过折叠可以围成一个正方体盒子．如果折好以后，相对面上的两个数互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、相反数、代数式求值，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键． 先根据正方体的平面展开图的特点和相反数的定义可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：由正方体的平面展开图的特点可知，与1处在相对的面上，与处在相对的面上， ∵折好后相对面上的数互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】图①为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图②所示． (1)从图①展开至图②，一共剪开了几条棱？ (2)若被剪开的棱的棱长和为，则这个四棱柱的体积是多少？ 【答案】(1)7条棱 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键． （1）根据总棱数为12，展开图相连的还有5条棱，得出剪开的是7条棱即可； （2）根据题中数据求出原四棱柱的高即可得出原四棱柱的体积． 【详解】（1）解：∵四棱柱共12条棱，展开图相连的还有5条棱， ∴一共剪开了7条棱． （2）解：， ． ∴这个四棱柱的体积是． 题型六 平面图形形状的识别 解｜题｜技｜巧 ☆认识三角形、四边形、圆等基本平面图形 ◎根据边数分类：三角形（3条边）、四边形（4条边）等 ◎根据角分类：锐角、直角、钝角三角形；矩形、菱形等特殊四边形 ◎圆：到定点距离等于定长的点的集合 【典例1】下图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形是（   ） A．圆、长方形 B．圆、长方体 C．球、长方形 D．球、线段 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形的识别，解题的关键是区分平面图形与立体图形，识别标志中的几何图形． 观察标志的组成，判断图形类型（平面或立体）以确定正确选项． 【详解】解：A、标志由圆（平面图形）和长方形（平面图形）组成，此选项符合题意； B、长方体是立体图形，标志为平面图形，此选项不符合题意； C、球是立体图形，标志为平面图形，此选项不符合题意； D、球是立体图形，且标志中的图形不是线段，此选项不符合题意； 故选：A． 【典例2】用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，解题关键是熟悉常见几何体． 根据四个选项中的图形，逐一分析能否得到截面的形状是圆，再作出选择． 【详解】 解：一个平面去截截面的形状不可能是圆，故A不符合； 一个平面去截截面的形状不可能是圆，故B不符合； 一个平面去截截面的形状可能是圆，故C符合； 一个平面去截截面的形状不可能是圆，故D不符合； 故选：C． 【变式1】图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是认识平面图形，解题关键是掌握长方形的特征以及周长、面积的定义． 根据面积、周长的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，图甲的面积与图乙的面积和是长方形的面积，但图甲、图乙的面积不一定相等，图甲、图乙的周长都等于长方形的长、宽与曲线对角线的和，即它们的周长相等． 故选：． 【变式2】如图，往一个密封的正方体玻璃容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．三角形 B．五边形 C．梯形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体，几何体的截面，掌握正方体的截面形状是解题的关键．正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 所得水平面形状可能是三角形、四边形（梯形是四边形）、五边形和六边形，不可能出现七边形． 故选：D． 【变式3】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 题型七 多边形的概念与分类 解｜题｜技｜巧 ☆理解多边形定义，掌握凸多边形、正多边形的概念 ◎多边形：由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭图形 ◎凸多边形：所有内角均小于180°，任意一边延长线都在图形外部 ◎正多边形：各边相等，各角相等 ◎n边形内角和=(n-2)×180°，外角和=360° 【典例1】从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ， ∴的值为． 故选：A． 【典例2】七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．下面的图是小明同学由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形（如图①）的边长为2，则拼成的“小天鹅”图案（如图②）阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了七巧板问题． 用正方形的面积减去白色三角形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【答案】(1)21 (2)32 【分析】本题考查了多边形，解一元一次方程等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式是解决问题的关键． （1）观察图形，得到，，再代入计算即可得到答案； （2）由题意，然后列出关于的方程，求出，再求出答案即可； 【详解】（1）解：由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）解：设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． 【变式2】有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 【变式3】某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【分析】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【详解】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 题型八 直线、射线、线段 解｜题｜技｜巧 ☆理解三者的区别与联系，掌握其表示方法 ◎直线：无端点，向两方无限延伸，记作直线AB或直线l ◎射线：有一个端点，向一方无限延伸，记作射线OA（端点在前） ◎线段：有两个端点，长度有限，记作线段AB或线段a ◎注意表示方法的规范性 【典例1】下面说法正确的是（   ） A．射线比直线短 B．过一点可以作无数条直线 C．一条直线只能用一个字母表示 D．直线比线段长 【答案】B 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线、射线、线段的性质以及直线的表示方法；根据直线、射线、线段的性质以及直线的表示方法进行解答即可． 【详解】解：A、射线和直线都是无限延伸的，无法比较长短，故此选项错误，不符合题意； B、过一点可以作无数条直线，这是几何的基本性质，故此选项正确，符合题意； C、一条直线可以用两个大写字母表示（如直线），也可以用一个小写字母表示（如直线），故此选项错误，不符合题意； D、直线无限延伸，没有长度；线段有有限长度，但两者不能直接比较长短，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【典例2】如图，点B，C，D，E在同一条直线上，图中共有线段 条，射线 条． 【答案】 10 12 【分析】此题主要考查了线段和射线的定义，掌握线段和射线的定义的解题的关键． 先确定一个端点，然后数线段，不遗漏不重复即可． 【详解】解：图中线段有10条： 线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段； 以点A为端点的射线有4条，以点B为端点的射线有2条，以点C为端点的射线有2条，以点D为端点的射线有2条，以点E为端点的射线有2条，故射线有12条； 故答案为：10，12． 【变式1】若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了排列组合的应用． 计算总站点数，再求线段总条数，最后乘以2考虑往返车票． 【详解】解：∵总站点数包括A、B和3个中间站，共5个站点． ∴线段总条数为， ∵往返行车需两种车票， ∴车票种类为． 故选：D． 【变式2】下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，理解直线、射线、线段的定义和性质是解答关键． 根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，故说法错误； （2）射线是不可度量的，故说法错误； （3）线段和线段是同一条线段，故说法正确； （4）射线和射线不是同一条射线，故说法错误； （5）直线和直线是同一条直线，故说法正确； ∴正确的有2个． 故选：B． 【变式3】如图，已知四点A，B，C，D．请完成下列作图（只要求作出图形，不要求写作法） (1)画直线； (2)画线段； (3)画射线； (4)在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义，解题的关键是理解直线、线段、射线的定义． （1）过A，B画直线即可； （2）以B，C为端点，连线即可； （3）以C为端点，画过D的射线即可； （4）连接、交于点P即可． 【详解】（1）解：直线如图所示； （2）解：线段如图所示； （3）解：射线如图所示； （4）解：如图，点P即为所求． 题型九 最短路径问题 解｜题｜技｜巧 ☆利用“两点之间线段最短”、“垂线段最短”等原理解决最短路径问题 ◎确定起点和终点，如果是直线上的点，直接连接 ◎若涉及直线外一点，作垂线段 ◎若在复杂图形中（如长方体表面），需将表面展开，将立体问题转化为平面问题 【典例1】如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则， 根据两点之间，线段最短，可知选项B铺设的管道，则所需管道最短． 故选：B． 【典例2】如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 【变式1】下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（    ） A．固定窗帘架时只需固定其两端 B．把弯曲的公路改直能缩短路程 C．钟表的秒针旋转一周会形成一个圆面 D．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线和线段的性质，关键是正确理解两点确定一条直线；两点之间，线段最短． 根据直线和线段的性质进行解答即可． 【详解】选项A． 固定窗帘架时只需固定其两端，相当于通过两个点确定一条直线，符合题意； 选项B．涉及两点之间线段最短，不符合题意； 选项C．涉及线动成面，不符合题意； 选项D．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉，属于“直线可以无限延伸”的知识，不符合题意． 故选：A． 【变式2】如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 把此正方体的一面展开，然后在平面内，根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示， 故选：B． 【变式3】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B． 题型十 线段的和与差 解｜题｜技｜巧 ☆理解线段和差的意义，能进行相关计算和作图 ◎线段和：将两条线段首尾顺次连接，总长度等于两段长度之和 ◎线段差：从较长线段中截取与较短线段相等的部分，剩余部分即为差 ◎计算时注意单位统一，作图时使用圆规截取 【典例1】如图，已知线段，点M在上，，P，Q分别为，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求线段长度，掌握线段的和差及线段中点的定义是解答本题的关键． 根据，得到，进而求出的长度；由中点求出和的长度，结合图中可得的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵P，Q分别为，的中点， ∴，， ∴． 故选：B． 【典例2】如图，已知线段和射线，点位于点的右侧，且，点在线段上，且． (1)用圆规在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹），标注字母； (2)若，，则点是线段的中点吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）由于，，则，故，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：因为，． 所以． 又因为，所以为的中点． 【变式1】如图，平面上有不共线的四个点，根据要求画图： (1)画直线交于点；画射线，线段； (2)过图中的四点最多作___________条线段；请说明线段的理由是___________． (3)若，，是的中点，是的中点，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)6；两点之间，线段最短 (3)16 【分析】本题考查了直线、射线、线段，两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）根据射线、直线、线段的定义作图即可； （2）根据线段的定义以及两点之间线段最短解答即可； （3）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． 【详解】（1）解：如图所示，直线，射线，线段，点即为所求； （2）解：线段有，，，共有线段6条， ，理由：两点之间，线段最短． 故答案为：6；两点之间，线段最短； （3）解：∵， ， ∵是的中点，是的中点， ， ， ． 【变式2】如图，点C在线段上，点M是的中点，，． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的特点，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据线段的和差求出，再结合线段中点的特点求解，即可解题； （2）根据线段的比例关系求出，由（1）知，，再根据计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ，， ， 点M是的中点， ． （2）解： ，， ， 由（1）知，， ． 【变式3】如图，一直线上有线段，一线段在该直线上运动，且，a，b满足（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧） (1)当点D与点B重合时，求的长； (2)，N分别是线段，的中点，当时，求的长． (3)当线段运动到点B，D间的距离为1时，若有一点P在点D的右侧且位于线段的延长线上，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4或 【分析】本题考查了平方的非负性，线段的和差． （1）根据平方的非负性得到，，根据计算即可； （2）分两种情况结合线段中点的定义根据线段的和差作答即可； （3）分两种情况根据线段的和差作答即可． 【详解】（1）解：因为，，， 所以，， 所以，， 所以， 当点D与点B重合时，如图1所示，所以 （2）解：因为，所以有以下两种情况： ①当点C在点B的左侧时，如图2所示． 因为，， 所以， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以，， 所以 ②当点C在点B的右侧时，如图3所示． 因为，， 所以， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以， 因为， 所以 综上所述，的长为 （3）解：有以下两种情况： ①当点D在点B的左侧时，，如图4所示． 设， 则，，， 所以； ②当点D在点B的右侧时，，如图5所示． 设， 则，，， 所以 综上所述，的值为4或 题型十一 线段之间的数量关系 解｜题｜技｜巧 ☆能根据已知条件（如中点、比例）确定线段间的数量关系 ◎中点：若点M是线段AB的中点，则AM=MB=AB ◎比例关系：若点C分线段AB为AC:CB=m:n，则AC=AB，CB=AB ◎常用方法：设未知数，列方程求解 【典例1】如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的中点性质及线段的和差逐项进行证明即可． 【详解】解：①∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴③正确； 综上，正确的选项是①②③， 故选：A． 【典例2】如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，能根据图形求出各个线段之间的关系是解此题的关键． （1）根据线段中点求出、的长，根据即可求得的长，根据可求出、的长，最后根据即可得解； （2）根据为的中点，，可得到，，结合，，表示出，即可得出答案． 【详解】（1）解：为的中点，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的中点，， ，， ，， ． 【变式1】如图，点是线段的中点，点是线段的中点，则下列等式中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，根据线段中点的定义可得，，再逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， ∴，故①正确，②错误； ∵，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上，等式中正确的是①④， 故选：． 【变式2】已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为．现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则判断正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查线段的和差倍分关系，线段中点的性质，解题的关键是熟知中点的性质． 首先求出，然后由中点性质得到，然后根据线段的和差分两情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ， ∵为线段的中点， ， ∴，故②正确； ∵点在线段上，且到点的距离为， ∴如图所示，当点在点右边时， ， ， ，， ∴为线段中点； ， ∴，即为线段的四等分点； 如图所示，当点在点左边时， ， ∴，， ∴为线段中点，， ∴，即为线段的四等分点，故⑤正确； 综上，或，故④错误；或，故③正确；P为线段或线段的中点，故①正确． 综上所述，正确判断的个数是4． 故选：B． 【变式3】如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段中点特点，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，以及根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）根据题意分别求出，再结合线段中点特点得到，进而求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据线段中点特点得到，进而推出，再由得到，即可求出的值； （3）设，则，根据线段在直线上移动，分情况讨论，结合建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： ，， ， D为的中点， ， ， ； （2）解： D为的中点，E为的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解： ，， 设，则， ， 当E在A的左侧时， 有， 解得， ， ； 当A在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在之间时， 有， 解得， ， ， ； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 题型十二 与线段有关的动点问题 解｜题｜技｜巧 ☆用代数方法表示动点运动形成的线段长度，建立方程求解 ◎明确动点起点、方向、速度，用含时间t的式子表示线段长 ◎根据题目条件（如线段和差、倍数、中点）列出方程 ◎注意分类讨论：动点位置不同，线段关系可能不同 【典例1】如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 【典例2】如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， ． 【变式1】如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 【变式2】综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)8，2； (2)； (3)或4； (4)长度不变化，为4． 【分析】本题考查数轴动点问题，根据题意分析动点运动情况进行解题． （1）根据数轴上线段长度的计算方法，用点表示的数减去点表示的数，即为的长；根据中点的性质，确定出中点到点和点的距离，确定中点位置即可； （2）用含的表达式表示、，结合相遇问题，得出方程，解出时间即可； （3）做分类讨论，对相遇前和相遇后都进行计算分析，注意区分相遇前和相遇后的长度计算方式； （4）考虑点经过点和未经过点的情况，用含的表达式表示相关长度，计算的长度； 【详解】（1）解：∵表示，表示， ∴的长度为， 故的长度为， 则中点中点表示的数为 ∴中点表示的数为． （2）解：的长度为，的长度为， 若、点相遇，则， 即，解得． （3）在、点未相遇的情况下： ， 若，即， 解得； 在、点相遇后的情况下： ， 若，即， 解得； 故当的值为或时，． （4）解：当点未经过点时： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 当点经过点后： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 所以长度不会发生变化，的长度始终为． 【变式3】如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 题型十三 角的概念理解与角的表示方法 解｜题｜技｜巧 ☆理解角的两种定义（静态：两条射线组成的图形；动态：一条射线绕端点旋转形成的图形），掌握角的三种表示方法 ◎用三个大写字母表示，顶点字母在中间，如∠AOB ◎用一个大写字母表示（顶点处只有一个角时），如∠O ◎用数字或希腊字母表示，如∠1，∠α ◎注意区分角的大小与边的长度无关 【典例1】如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【典例2】如图，写出所有符合下列条件的角： (1)以为顶点的角． (2)以为一边的角． (3)所有小于平角的角． 【答案】(1) (2)． (3)． 【分析】本题考查了角的识别与表示，解题关键是明确角的顶点、边的构成，以及平角的度数界限，从而准确找出符合条件的角． 需找出顶点为的所有角，即由出发的射线组成的角； 需找出以为其中一条边的角，即与其他射线组成的角； 需找出所有度数小于的角，需将图中各顶点处的角进行筛选． 【详解】（1）解：角的顶点为,因此符合条件的角有、、 故答案为：、、 （2）解：以为一边时，另一边分别为、、对应的角为 故答案为： （3）解：平角的度数为,因此符合条件的角有: 故答案为：． 【变式1】如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 【变式3】如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 【答案】(1)答案见解析 (2)两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段、射线、角平分线的画法，两点之间线段最短，熟练掌握线段、射线、角平分线的画法是解题的关键． （1）①反向延长射线即可；②用量角器画出的角平分线即可；③用圆规截取即可；④连结，与的交点即为所求； （2）根据两点之间线段最短，可知④中的作图正确． 【详解】（1）如图，即为所求的图形； （2）因为两点之间线段最短，所以连结，与的交点P即为所求． 故答案为：两点之间线段最短． 题型十四 钟面角与方向角 解｜题｜技｜巧 ☆会计算钟表时针与分针的夹角，理解方位角（以正北或正南为基准）的表示方法 ◎钟面角：时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°。夹角=|时针角度-分针角度|，若大于180°，用360°减去 ◎方向角：通常以正北或正南为基准，用偏东或偏西的角度表示，如北偏东30° 【典例1】如图，10时整，钟表的时针与分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角．由于钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，根据钟面被分成12大格，得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数． 【详解】解：钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数． 故选：D． 【典例2】如图，是三岛的平面图，则岛在岛的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查了方位角的定义，正确理解方位角的定义是解题的关键． 根据方位角的概念，以B岛为观测点，先确定正北方向，再看A岛的位置，即可求解． 【详解】解：图中B岛的西方向与的夹角为23°， ∴与正北方向的夹角为 ， ∴A岛在B岛的北偏西方向． 故选：A． 【变式1】钟面上时分时，时针与分针组成的角是 ，时整时，时针与分针组成的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，解题的关键是掌握时钟上一大格是度．通过计算时针与分针之间的格数，再乘以度即可得解． 【详解】解：对于时分：时针与分针之间的格数为格，； 对于时整：时针与分针之间的格数为格，． 故答案为：，． 【变式2】如图，点、点分别在点的北偏东和南偏东方向上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方向角，熟练掌握角的运算是解题的关键；根据题意，列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：； 故答案为：80． 【变式3】如图是小明和学校所在地的简单地图，已知，，，点为的中点，解答下列问题： (1)学校、停车场分别在小明家的什么方向上？ (2)图中哪些地方距离小明家距离相同？请说明理由． (3)有一条南北方向经过小明家的公路，请在这条公路上作出点，使点到商场与学校的距离之和最短． 【答案】(1)学校在小明家北偏东方向；停车场在小明家南偏东方向 (2)公园和学校距离小明家距离相同；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的定义，方位角，两点之间线段最短，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据所给的方位角和距离进行描述即可； （2）根据线段中点的定义得到，进而得到，由此即可得到答案； （3）根据两点之间线段最短找点即可． 【详解】（1）解：， 由图可知：学校在小明家北偏东方向； 停车场在小明家南偏东方向； （2）解：公园和学校距离小明家距离相同，理由如下： ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， 即：公园和学校距离小明家距离相同； （3）解：根据两点之间线段最短， 连接交于点， 点即为所求， 题型十五 角度与大小比较 解｜题｜技｜巧 ☆会用叠合法和度量法比较角的大小 ◎度量法：用量角器测量角度，直接比较数值 ◎叠合法：将两个角的顶点和一边重合，比较另一边位置 ◎注意角的大小与边的长短无关，只与两边张开程度有关 【典例1】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度单位的换算，将度的小数部分转换为分和秒，使用和进行转换． 【详解】解：的整数部分为，小数部分， 这其中整数部分，小数部分， 故． 故选：A． 【典例2】已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，度、分、秒的换算．首先根据，将转化为，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选：D． 【变式2】比较大小： ．（填或） 【答案】 【分析】本题主要考查角的单位换算及大小比较，熟练掌握角的单位换算及大小比较是解题的关键；将转换为度分形式，再与比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：． 【变式3】请用度表示下列各角： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度单位的换算，需要将分和秒转换为度，利用，，，的关系进行除法运算． （1）利用度、分和秒之间的换算计算即可； （2）利用度、分和秒之间的换算计算即可； （3）利用度和分之间的换算计算即可； （4）利用度和秒之间的换算计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵ ，， ∴，， 则． （3）解：∵ ， ∴． （4）解：∵， ∴． 题型十六 角的比较和运算 解｜题｜技｜巧 ☆能进行角的和、差、倍、分计算 ◎角度相加：度与度、分与分、秒与秒分别相加，满60进1 ◎角度相减：度与度、分与分、秒与秒分别相减，不够减借1当60 ◎角的倍分：将度、分、秒分别乘以倍数，满60进1；除以倍数时，从高位到低位逐级进行，余数转化为下一单位 【典例1】如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握通过观察角的开口大小直观比较角的大小是解题的关键； 通过观察图形中角的开口大小，直观比较各个角的大小，从而判断选项的正确性． 【详解】解： A、与开口大小相近，无法得出； B、开口小于，所以； C、开口小于，所以，该选项正确； D、与开口大小不同，不相等． 故选：C． 【典例2】已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若．则 ________°． (2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）求出，求出，根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，结合，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：． （3）解：．理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查度分秒的换算，掌握度分秒的换算方法以及单位之间的进率是正确计算的前提． （1）按照度分的加法计算方法进行计算即可； （2）先将变形为，再按照减法的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】如图1，将一副三角板中一块含有角的三角板的顶点和另一块含角的三角板的顶点重合于一点O，将含有角的三角板绕点O按顺时针方向旋转为如图2所示的情况（在内部），请回答问题： (1)图1中的度数为 ． (2)在旋转过程中，当平分时，求 的度数． (3)是否存在某一时刻，满足？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）设，则，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为； （2）解：因为平分， 所以， 所以； （3）解：存在，理由如下： 因为在内部， 所以， 设，则， 因为， 所以， 解得：， 所以， 所以． 【变式3】如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 °，的度数为 °； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）设，则，，然后作差即可； （4）设，根据图形可得，，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：恰好平分， ， ； （3）解：，理由如下： 解：设，则，， （4）设，则，， ． 题型十七 角平分线有关的计算 解｜题｜技｜巧 ☆理解角平分线定义（将一个角分成两个相等的角的射线），并能利用其进行角度计算 ◎若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=∠AOB ◎在复杂图形中，注意角平分线与其他角的关系（如邻补角、对顶角） ◎常用方法：设未知角为x，用x表示其他角，利用角的关系列方程 【典例1】如图，是的平分线，射线在内部，平分，已知，那么的大小等于 ． 【答案】41 【分析】本题考查角的计算，正确发现角与角之间的关系是解题的关键． 根据题意易得，和，进而通过角与角之间的关系得到，从而得到的大小． 【详解】解： 平分， ， ， 是的平分线， ， ， 即， ， ， 故答案为：41． 【典例2】如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：因为是的平分线，是的平分线， 所以， 因为， 所以， 即； （2）解：因为，，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式1】如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线以及角的比较和运算： ①根据判断； ②结合和判断； ③结合和判断； ④根据判断． 【详解】∵，分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ①正确． ∵， ∴． 又∵， ∴． ②正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ③错误． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． ④正确． 故答案为：①②④． 【变式2】综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【答案】（1）12；（2）不变化，；（3）①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，再根据中点的定义得 ，，然后根据 得出答案； 对于 ，先求出，再根据中点的定义得，即可得出，然后根据得出答案； 对于（3）①，先求出 ，再根据角平分线的定义得 ，，即可得，然后根据得出答案； ②根据角平分线的定义得 ，即可得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； 解：不变化， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； ，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； ，理由如下： ，分别平分和， ，， ． ， ． ， ， ， ， 即． 【变式3】综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 题型十八 余角和补角 解｜题｜技｜巧 ☆理解余角（和为90°）、补角（和为180°）的概念及性质 ◎若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余；若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补 ◎同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等 ◎注意：互余和互补是指两个角的关系，三个及以上角不适用 ◎计算时常用方程思想，设未知数求解 【典例1】人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 根据余角的定义和度分秒的进制进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ， 故答案为：． 【典例2】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与之间有什么关系_________（选填“互余”“互补”或“相等”）？请说明你判断的依据． （1）如图①，与 ，依据： ． （2）如图②，与 ，依据： ． （3）如图③，与 ，依据： ． （4）如图④，与 ，依据： ． 【答案】 互余 相等 同角的余角相等 相等 等角的补角相等 互补 【分析】本题考查了角度的比较.根据每个图形三角板的位置摆放可求出与的关系，即可判断是否互余或互补. 【详解】解：（1）图①可知，与一个直角组成一个平角，，可知 与互余． （2）图②中都是同一个角的余角，根据同角的余角相等，可知与相等. （3）图③中分别是同一个角的补角，根据等角的补角相等，可知与相等. （4）图④中，组成一个平角，得，由互补的定义， 可知与互补． 故答案为：①互余 ② ③相等 ④同角的余角相等⑤相等⑥等角的补角相等⑦互补 ⑧．   【变式1】若与均为锐角，，，求与的关系 ． 【答案】互余 【分析】本题考查了角的和差，余角的定义． 通过计算与的和，发现其结果为，因此两角互余． 【详解】解：， 故与互余． 故答案为：互余． 【变式2】给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，根据两个角的度数和为90度，两个角互为余角，两个角的度数和为180度时，两个角互为补角，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则，即互余；故①说法正确； 两个角的度数和为180度时，两个角互为补角；故②说法错误； 若，，则；故③说法正确； 若的余角为，则，故它的补角为；故④说法正确； 故选：D． 【变式3】如图，已知A、O、E三点在同一条直线上，，且和互为余角． (1)和∠3互余吗？ (2)和有什么关系？为什么？ (3)的补角是哪个角？为什么？ 【答案】(1)和互余 (2)和互余，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和为，则这两个角互为余角；如果两个角的和为，则这两个角互为补角． （1）由和互为余角可知，根据点，，三点在同一条直线上可知，于是可得，根据余角的定义即可得出结论； （2）根据，结合，由等角的余角相等可得结论； （3）由（2）可知，由于的补角是，利用等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又，，三点在同一条直线上， ， ， 答：和互余； （2）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又， ， ∴和互余； （3）解：的补角是， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴的补角是． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“建”字的对面是（　　） A．设 B．社 C．会 D．谐 【答案】B 【分析】本题考查了正方体展开面相对的字，一定的想象力是解题的关键；由图知，“设”字与“谐”字相对，“和”字与“会”字相对，“建”字与“社”字相对，即可确定答案． 【详解】解：由图知，“设”字与“谐”字相对，“和”字与“会”字相对，“建”字与“社”字相对； 故选：B． 2．如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这样做的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段是直线的一部分 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线的性质，根据直线的性质：两点确定一条直线进行解答即可．关键是掌握两点确定一条直线． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这样做的依据是两点确定一条直线． 故选：A． 3．已知，那么的补角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的大小为， 故答案为：． 4．如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了钟面角，解决本题的关键是得到时针旋转的旋转角的计算方法． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针转动的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：∵时针从上午的8时到10时共旋转了2个格，每相邻两个格之间的夹角是， ∴时针旋转的旋转角． 故答案为：60． 5．若，平分，则= °． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，掌握其知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解： 平分，， ， 故答案为：． 6．如图，将摆放在桌面上的一副三角板的直角顶点重合，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是通过观察图示，发现几个角之间的关系．从图可以看出，的度数正好是两直角相加减去的度数，从而问题可解． 【详解】解， ， ． 故答案为：． 7．如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)在图中，连接交于E点； (2)在图中，连接并延长，交直线于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画直线，画线段和画延长线，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 8．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．如图，，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．角平分线的定义 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握“同角的余角相等”是解题的关键． 先根据直角的定义得出和、和的数量关系，再利用余角的性质判断与的关系． 【详解】解：∵，都是直角， ∴， ∴，， ∴和都是的余角， ∴（同角的余角相等）． 故选：A． 2．如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则射线的方向是 （    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，方向角的表示方法是北偏东或北偏西，南偏东或南偏西． 根据垂直，可得的度数，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：∵射线与射线垂直， ∴， ∴， 故射线的方向角是北偏西. 故选：B． 3．一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查正方体对面数字推理，解题的核心是利用正方体相邻面一定不是相对面的空间特征． 先观察第一个和第二个正方体可知“1”的对面是“6”，观察第一个和第三个正方体可知“5”的对面是“2”，即可得“3”的对面是“4”，再根据正方体摆放的位置即可求解． 【详解】解：观察第一个和第二个正方体可知，与“1”相邻的有“2”，“3”，“4”，“5”， “1”的对面是“6”， 观察第一个和第三个正方体，与“5”相邻的有“1”，“4”，“3”， 由于“1”的对面是“6”， “5”的对面是“2”， “3”的对面是“4”， “？”处可能是“1”或“6”， 结合三个正方体中与“1”相邻的“3”，“5”的位置关系可判断“？”处为“1”． 故选：． 4．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】6或10/10或6 【分析】本题考查了两点间的距离，中点的定义，解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答．根据题意分两种情况画图解答即可得出答案． 【详解】解：①如图，， 点是折线的“折中点”， 点为线段的中点， ， ， ， ， ； ②如图，， ∵点是折线的“折中点”， ， ∵点为线段的中点， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为6或10． 故答案为：6或10． 5．如图是一个正方体的展开图，正方体的相对面上的数字之和相等，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的计算，正方体的展开图，由题意可知，的对面是，的对面是，的对面是，，从而算得，然后代入求值即可． 【详解】解：由题意可知，的对面是，的对面是，的对面是， 正方体的相对面上的数字之和相等， ， ， ， 故答案为：1． 6．如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 7．已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据线段中点的定义求出，进而根据比即可求解； （2）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， ， ； （2）解：当点在点左侧时，如图， ，， ； 当点在点右侧时，如图， ，， ； 综上，线段的长为或． 8．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则________： (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中a为正整数），直接写出所有使的n值． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)n的值为50或70 【分析】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）当时，，，，然后利用算得答案； （3）从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，②当时③当时，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，在内，在内，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴（舍去）； 综上所述：的值为50或70． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中角度计算问题． 根据三角板的性质得，可得，结合图形即可求解． 【详解】解：∵这是一副三角板， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的有（） A．与互余 B． C．与互补 D． 【答案】ABCD 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，余角、补角的定义逐个进行判断，最后得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 平分，平分，平分， ，，， ，， ，，， ， ∴与互余，故和符合题意， ，， ， 与互补，故符合题意， ， ∴， ，即，故符合题意， 故选：ABCD． 3．如图，钟面上的时间是，则时针与分针的夹角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，计算某一时刻时针和分针之间所成的角度，理解时针和分针运动规律是解题的关键．钟表一圈为，被分成12个大格，每个大格对应的圆心角为，分针走60分钟转一圈，时针转1个大格，以此规律计算即可． 【详解】解：时，分针正好指向6，即时针从12点方向到6点方向，分针转动了30分钟，此时时针转动了半个大格， 所以时针和分针的夹角为． 故答案为：． 4．如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由题意可分四种情况，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分： ①如图， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ③如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ④如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或； 故答案为或． 5．如图，C是线段上一点，G是的中点，M是的中点，N是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了线段中点的性质以及线段中点的有关计算，掌握线段中点的性质是解题的关键． 根据线段中点可得，，，然后再利用线段中点的有关计算，逐个判断即可求解． 【详解】解：是的中点，M是的中点，N是的中点， ，，， ，故结论①正确， ，故结论②正确， ， ，故结论③正确， ，而不一定为中点，故结论④错误， 综上所述，结论①②③正确． 故答案为：①②③． 6．如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是 平方厘米． 【答案】108 【分析】本题主要考查了三角形面积及正方体表面积的计算，读懂图形是解答关键． 根据题意可知，把圆柱削成一个最大的正方体，圆柱的底面直径等于削成的正方体的底面对角线的长度，把这个正方形分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆柱的底面直径，高等于圆柱底面的半径，根据三角形的面积公式：，把数据代入公式求出削成正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式求出这个正方体的表面积． 【详解】解： （平方厘米） 答：这个正方体的表面积是108平方厘米． 故答案为：108． 7．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点O和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】：（1）如图②，和___________“共边角”（填“是”或“不是”）； （2）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是___________； （3）若、分别平分“共边角”和，请以图①为例来说明与的数量关系； 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为___________； 【答案】（1）是；（2）或；（3）；（4）或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线、与线段中点有关的计算，熟练掌握角平分线和线段中点的计算是解题关键． （1）根据“共边角”的定义解答即可得； （2）分两种情况，画出图形（见解析），根据角的和差解答即可得； （3）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差可得，据此建立等式化简即可得； （4）根据题意设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点，则，，再分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，根据线段的和差计算即可得． 【详解】解：（1）∵和都有公共顶点和一条公共边， ∴和是“共边角”， 故答案为：是． （2）由题意，设和是“共边角”，且，， 如图，当在的内部时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 如图，当在的左侧时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 故答案为：或． （3）∵、分别平分“共边角”和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）由题意，设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点， ∴，． ①如图，当点在线段上时， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∴； ③如图，当点在线段的延长线上时， ∴； 综上，的长度为或， 即这两条线段的中点之间的距离为或， 故答案为：或． 8．对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了数轴上动点问题，线段的和差计算； （1）先分析定义，得出当在之间时，不满足；当在点的左侧时，满足；当在点的右侧时，满足； ①将点表示的数分别为，分别求得到的距离，进而结合定义进行判断，即可求解； ②根据在点的左侧，则得出的最小值为，进而得出点表示的数，即可得出长度的最小值； （2）分情况讨论，设是上的任意一点，当在点的左侧时，得出的最小值为，的最大值为，当在点的右侧时，得出的最小值为，的最大值为，进而根据线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，进而求得的范围． 【详解】（1）解：∵数轴上、两点表示的数分别是、，且，则点在点的左侧， 当在之间时，不满足； 当在点的左侧时，， 设，则， ∵ ∴ ∴即 当在点的右侧时， 设，则 ∵ ∴ ∴即 ∵ ∴点表示的数为，点表示的数为， ①点表示的数分别为， ∵，则在之间，不合题意， ∵在左侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； ∵在点的右侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； 故答案为：，．     ②∵为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点， 线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”， ∴在点的左侧，则 ∴当时取得最小值，此时点表示的数为 ∴长度的最小值为 故答案为：． （2）解：当在点的左侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 当在点的右侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 综上所述：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $